2017年春七年级数学下册2相交线与平行线课题平行线的性质与判定的综合应用导学案(新版)北师大版
七年级下册第五章相交线与平行线
七年级下册第五章相交线与平行线一、相交线的性质相交线是两条在某一点相遇的直线。
两条相交的直线会在交点处形成锐角和钝角。
在相交线中，如果一个角是锐角，那么它的补角就是钝角；如果一个角是钝角，那么它的补角就是锐角。
这是相交线的性质之一。
因此，我们可以用这种方法来比较两条直线是否垂直。
二、对顶角与邻补角对顶角是两条直线相交形成的相对的两个角。
它们的度数总和为180度。
而邻补角则是相邻的两个角的度数之和为90度。
这些关系对于解决一些几何问题非常有用。
三、平行线的判定平行线是指两条在同一平面内不相交的直线。
我们可以通过以下方法来判定两条直线是否平行：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
这些方法可以帮助我们确定两条直线是否平行，从而解决一些几何问题。
四、平行线的性质平行线具有以下性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
这些性质都可以用来解决一些几何问题，例如计算角度、证明线段相等等等。
五、平行线与相交线的综合应用在解决几何问题时，我们经常需要将平行线和相交线的知识结合起来使用。
例如，我们可以利用相交线的性质和平行线的性质来判断两条直线是否垂直或平行，或者利用这些性质来计算角度和线段长度等。
六、空间中的平行关系在三维空间中，我们也可以定义平行关系。
例如，两个平面或两条直线可以被定义为平行的，如果它们在三个方向上都相等或成比例。
此外，两个平面或两条直线也可以被定义为垂直的，如果它们在三个方向上都相交于90度的角度。
这些关系在解决一些空间几何问题时非常有用。
七、命题与证明在几何学中，一个命题是由一个或多个已知事实和一个结论所组成。
如果命题的结论是由已知事实经过推理而得出的，那么这个命题就被称为定理。
证明一个命题就是要用逻辑推理的方法证明它是正确的。
证明的方法通常包括使用定义、公理、定理和已知事实等。
通过证明，我们可以确定一个命题是否为真，从而提高我们对数学知识的理解。
八、互逆命题互逆命题是一种特殊的命题形式，它指的是两个命题中的每一个都是另一个的逆命题。
新北师大版七年级数学下册《二章 相交线与平行线 3 平行线的性质 平行线的性质综合应用》课件_11
A
B
R
Q
P
C
D
2、（变式）如图，已知AB∥CD，猜想∠B、∠E、∠F、∠G、∠D五个 角有什么数量关系并证明。
选自北师大版七年级下册第二章《相交线与平行线》
《平行线的性质与判定》综合应用
——平行线 、折线、拐点 模 型
《构建初中数学有效课堂的实践研究》课题组
如图：如果两条平行线AB、CD，被第三条直线EF所截
(1)如果∠1=60° ①∠2=___6_0°（ 两直线平行，同位角相等）
②∠3=__6_0_°（ 两直线平行，内错角相等）
探究活动2：证一证
（2）凸 形 模 型 如图,已知AB∥CD，猜想∠B、∠D、∠BPD三个角有 什么数量关系?你能证明吗？
E 探究活动1：量一量 ∠B=__1_3_5° ∠D=___1_5°0 ∠BPD=___7_5° 猜想：∠B、∠D、∠BPD三个角有什么数量关系
____∠_B__+_∠_B__P_D__+_∠__D_=_3_6_0_°_
第一组变式：图形变复杂
1、如图：已知直线l1 ∥ l2 ，一块含30°的直角三角板
如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于___3_5__°
2
l1
1
l2
技能1——从复杂图形中辨认出模型
第二组变式：拐点的位置变化 2、如图,已知AB∥CD,且∠B=35°，∠D=60°， 则∠BPD=__2_5__° E
技能2——图形虽变，模变化
（3.1）、如图,已知AB∥CD,且∠B=140°，∠D=120°，
则∠BPD=___2_0_° E
技能2——图形虽变，模型的核心方法不变
第三组变式：平行线的方向变化
（3.2）、如图2，已知AB∥CD，∠B=30°，∠BPD=70°，
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质(知识梳理与考点分类讲解)
北师大版七年级下册第二单元相交线与平行线单元——平行线的性质（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行线的判定方法11.方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.2.表达方式：因为∠1=∠2,（已知）所以a//b（同位角相等，两直线平行）特别提醒：“同位角相等，两直线平行”是通过两个同位角的大小关系（相等）推导出两直线的位置关系（平行）.它是构建起角的大小关系与直线的位置关系的桥梁.【知识点二】平行线的画法过直线外一点画已知的直线平行线的步骤一落：把三角尺的一边落在一直的直线上；二靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺；三移：把三角尺沿着直尺移动使其经过已知点；四画：沿三角尺的一边画直线.此直线即为已知直线的平行线.特别提醒：1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线.3.移动是要始终保持紧靠.【知识点三】平行线的性质及其推论1.平行线的性质：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.表达方式：如果a//b,b//c,那么a//b.特别提醒：平行线的性质的前提是“过直线外一点”，若点在直线上，则不可能有平行线.【考点目录】【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行；【考点2】内错角相等两直线平行；【考点3】同旁内角互补两直线平行；【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度；【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度；【考点6】平行线判定与性质证明;【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）.【平行线性质求角的等量关系】【考点1】同位角相等两直线平行【答案】相等；理由见分析【分析】根据平行投影可得∠B＝∠E，再根据垂直可得∠C＝∠F＝90°，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．解：两根旗杆的高度相等．理由如下：∵太阳光线AB与DE是平行，∴∠B＝∠E，∵两根旗杆都垂直于地面放置，∴∠C＝∠F＝90°，∵两根旗杆在太阳光下的影子一样长，∴BC ＝EF ，∵在△ABC 和△DEF 中B E BC EF C F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AC ＝DF ，即两根旗杆的高度相等．【点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据题意找出三角形全等的条件，然后证明两三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，把一块三角板的30︒角顶点A 放在直尺的一边BC 上，若1:23:7∠∠=，则2∠=（）A ．126︒B ．118︒C ．105︒D ．94︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，由题意知：DE BC ∥，∴31∠=∠，∵1:23:7∠∠=，∴3:23:7∠∠=，∴3327∠=∠，∵2330180∠+∠+︒=︒，∴322301807∠+∠+︒=︒，∴2105∠=︒．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质和平角的定义．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【变式2】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为.【答案】60°/60度【分析】由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由对顶角相等，即可求得答案．解：∵a∥b，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠3=60°．故答案为：60°．【点拨】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【考点2】内错角相等两直线平行【例2】（2014下·贵州铜仁·七年级统考期末）已知：如图，点D、E分别在AB、BC上，DE AC∥，165∠=︒，265∠=︒，请说明：F CBF ∠=∠．（不必注明依据）【答案】证明见分析【分析】根据平行线的性质得出165C ∠=∠=︒，得出2C ∠=∠，根据平行线的判定得出AF BC ∥，再根据平行线的性质即可得证．解：∵DE AC ∥，165∠=︒，265∠=︒，∴165C ∠=∠=︒，∴2C ∠=∠，∴AF BC ∥，∴F CBF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的判定和性质，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解题的关键．【变式1】（2023·吉林白城·校联考三模）已知，如图，AB ∥CD ，∠A=70°，∠B=40°，则∠ACD=（）A ．55°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】B解：AB CD ∥.A ACD ∴∠=∠70.A ∠=︒ 70.ACD ∠=︒故选B.【点拨】两直线平行，内错角相等.【变式2】（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，直线a b ，直线l 与直线a 相交于点P ，直线l 与直线b 相交于点Q ，PM l ⊥于点P ，若155∠=︒，则2∠=.︒【答案】35【分析】本题主要考查平行线性质以及垂线的性质．根据平行线性质得3155∠=∠=︒，利用垂线性质即可求得2∠．解：直线a b ，3155∴∠=∠=︒，又PM l ⊥ 于点P ，90MPQ ∴∠=︒，2903905535∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：35．【考点3】同旁内角互补两直线平行【例3】（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒．（1）试说明：//AB CD ．（2）若228∠=︒，求3∠的度数．【答案】（1）见分析；（2）62︒【分析】（1）根据角平分线的定义，结合1290∠+∠=︒，可得180ABD BDC ∠+∠︒＝，进而即可得到结论；（2）由228∠=︒，得162∠=︒，进而得62ABF ∠=︒，结合//AB CD ，即可得到答案．解：（1）∵ABD ∠和BDC ∠的角平分线交于点E ，∴21ABD ∠∠＝，22BDC ∠∠＝，又∵1290∠+∠=︒，∴2(12)180ABD BDC ∠+∠∠+∠=︒＝，∴//AB CD ；（2）∵228∠=︒，1290∠+∠=︒，∴162∠=︒，又∵BF 平分ABD ∠，∴162ABF ∠=∠=︒，又∵//AB CD ，∴362ABF ∠=∠=︒．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质定理，掌握“同旁内角互补，两直线平行”，“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键．【变式1】（2012下·广东茂名·七年级统考期中）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的比为4：5，则这两个角中较小的角的度数为（）A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【答案】B【分析】根据比例设两个角为4x 、5x ，再根据两直线平行，同旁内角互补列式求解即可．解：设两个角分别为4x 、5x ，∵这两个角是两平行线被截所得到的同旁内角，∴45180x x +=︒，解得20x =︒，480x =︒，5100x =︒，所以较小的角的度数等于80︒．故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的性质，主要利用了两直线平行，同旁内角互补的性质，熟记性质是解题的关键．【变式2】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，射线AE 交CD 于点F ，若∠1＝116°，则∠2的度数等于．【答案】64°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD 的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠1+∠AFD =180°．∵∠1=116°，∴∠AFD =64°．∵∠2和∠AFD 是对顶角，∴∠2=∠AFD =64°．故答案为64°．【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．【平行线性质探究角的关系】【考点4】平行线判探究角的关系或求角度【例4】（2017下·北京东城·七年级统考期中）已知：直线AB CD ，点M 、N 分别在直线AB 、直线CD 上，点E 为平面内一点，（1）如图1，请写出AME ∠，E ∠，ENC ∠之间的数量关系，并给出证明；（2）如图2，利用（1）的结论解决问题，若30AME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，EQ NP ∥，求FEQ ∠的度数；（3）如图3，点G 为CD 上一点，AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，EH MN 交AB 于点H ，GEK ∠，BMN ∠，GEH ∠之间的数量关系（用含m 的式子表示）是．【答案】（1）MEN AME ENC ∠=∠+∠，证明见分析；（2）15︒；（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【分析】（1）过点E 作EE AB ' ，根据平行线的性质进行证明即可；（2）利用EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，再根据MEN AME ENC ∠=∠+∠，进行等量代换进行计算即可；（3）由已知条件可得11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠，1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，再根据平行线的性质进行各角的等量转换即可．解：（1）MEN AME ∠=∠+∠，证明如下：如图1所示，过点E 作EE AB ' ，∵AB CD ，∴AB CD EE 'P P ，∴1,2AME ENC ∠=∠∠=∠，∵12MEN ∠=∠+∠，∴MEN AME ENC ∠=∠+∠．（2）∵EF 平分MEN ∠，NP 平分ENC ∠，∴11,22NEF MEN ENP ENC ∠=∠∠=∠．∵EQ NP ∥，30AME ∠=︒，∴12QEN ENP ENC ∠=∠=∠．∵MEN AME ENC ∠=∠+∠，∴30MEN ENC AME ∠-∠=∠=︒，∴111130152222FEQ FEN QEN MEN ENC AME ∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒．（3）180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．证明如下：∵AMN m EMN ∠=∠，GEK m GEM ∠=∠，∴1EMN AMN m ∠=∠，1GEM GEK m∠=∠．∵EH MN ，∴1EMN HEM AMN m∠=∠=∠，∵11GEH GEM HEM GEK AMN m m ∠=∠-∠=∠-∠，∴m GEH GEK AMN ∠=∠-∠，∵180AMN BMN ∠=︒-∠，∴()180m GEH GEK BMN ∠=∠-︒-∠，180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．故答案为：180GEK BMN m GEH ∠+∠-∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，在五边形ABCDE 中，AE BC ∥，则C D E ∠+∠+∠=（）A ．540︒B ．360︒C ．270︒D ．180︒【答案】B 【分析】首先过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，由AE BC ∥，可证得AE DF BC ∥∥，然后由两直线平行，同旁内角互补可知180E EDF Ð+Ð=°，180CDF C Ð+Ð=°，继而证得结论．解：过点D 作DF AE ∥，交AB 于点F ，AE BC ∥，AE DF BC ∴∥∥，180E EDF ∴∠+∠=︒，180CDF C Ð+Ð=°，360C CDE E \Ð+Ð+Ð=°．故选：B ．【点拨】此题考查了平行线的性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．【变式2】（2023下·广东江门·七年级统考期末）如图，AB ∥CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，则∠E ：∠F 等于【答案】3：2解：如图，过点E、F分别作EG∥AB、FH∥AB，又因AB∥CD，根据平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF=∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF=∠DFH，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED=∠DEG+∠BEG=∠ABE+∠CDE；∵∠ABF=23∠ABE，∠CDF=23∠CDE，∴∠BFD=∠DFH+∠BFH=∠CDF+∠ABF=23（∠ABE+∠CDE）=23∠BED，∴∠BED：∠BFD=3：2．故答案为：3：2．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，解决这类题目要常作的辅助线（平行线），充分运用平行线的性质探求角之间的关系是解题的关键．【平行线性质性质与判定综合】【考点5】平行线判定与性质求角度【例5】（2023上·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，A B、两处是灯塔，船只在C处，B处在A 处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角ACB的度数．【答案】85°【分析】根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．解：如图，根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．∵AE ，DB 是正南正北方向，∴BD ∥AE ，∵∠DBA=∠BAE=45°，又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°-45°=35°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．题的关键．【变式1】（2023下·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，已知AB EF ∥，那么BAC ACE CEF ∠+∠+∠=（）A ．180°B ．270°C ．360°D ．540°【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，进而可得出结论．解：过点C 作CD EF ∥，∥Q AB EF ，AB CD EF \∥∥，∴180180BAC ACD DCE CEF ∠+∠=︒∠+∠=︒①，②，由①②+得，360BAC ACD DCE CEF ∠+∠+∠+∠=︒，即360BAC ACE CEF Ð+Ð+Ð=°．故选：C ．【点拨】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式2】（四川省成都市金牛区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）一副直角三角板如图放在直线m 、n 之间，且//m n ，则图中1∠=度．【答案】15【分析】如图，过点A 作AC ∥m ，则有////AC m n ，然后可得,45BAC CAD CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，进而问题可求解．解：如图所示，过点A 作AC ∥m ，∵//m n ，∴////AC m n ，∴1,45BAC CAD ADE ∠=∠∠=∠=︒，∵60BAC CAD ∠+∠=︒，∴115BAD CAD ∠=∠-∠=︒；故答案为15．【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【考点6】平行线判定与性质证明【例6】（2023下·七年级课时练习）如图，BD 平分ABC ∠，ED BC ∥，130∠=︒，4120∠=︒．（1）求2∠，3∠的度数；（2）证明：DF AB ．【答案】（1）230∠=︒，360∠=︒；（2）见详解【分析】（1）根据BD 平分ABC ∠，112ABD ABC ∠=∠=∠，即有130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，再结合ED BC ∥，即可求解；（2）由60ABC ∠=︒，4120∠=︒可得ABC ∠4=180+∠︒，则DF AB ，问题得解．解：（1）∵BD 平分ABC ∠，130∠=︒，∴112ABD ABC ∠=∠=∠，∴130ABD ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，∵ED BC ∥，∴2130∠=∠=︒，360ABC ∠=∠=︒，即：230∠=︒，360∠=︒；（2）∵60ABC ∠=︒，4120∠=︒，∴ABC ∠4=180+∠︒，∴DF AB ．【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，掌握两直线平行同位角相等；两直线平行同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．【变式1】（2020上·河南洛阳·七年级统考期末）如图，若12∠=∠，DE BC ∥，则下列结论：①FG DC ；②AED ACB ∠=∠；③CD 平分ACB ∠；④190B ∠+∠=︒；⑤BFG BDC ∠=∠．其中，正确结论的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】由平行线的性质得出内错角相等、同位角相等，得出②正确；再由已知条件证出2DCB =∠∠，得出FG DC ，①正确；由平行线的性质得出⑤正确；即可得出结果．解：DE BC ∥，1DCB ∴∠=∠，AED ACB ∠=∠，故②正确；12∠=∠ ，2DCB ∴∠=∠，FG DC ∴∥，故①正确；BFG BDC ∴∠=∠，故⑤正确；而CD 不一定平分ACB ∠，1B ∠+∠不一定等于90︒，故③，④错误；故选：B ．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．【变式2】（2021下·江苏盐城·七年级统考期中）如图a b ，c 与a 相交，d 与b 相交，下列说法：①若12∠=∠，则3=4∠∠；②若14180∠+∠=︒，则c d ∥；③4231∠-∠=∠-∠；④1234360∠+∠+∠+∠=︒正确的有（填序号）【答案】①②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断即可．解：如图，①若∠1=∠2，则b ∥e ，则∠3=∠4，故原说法正确；②若∠1+∠4=180°，则c ∥d ；故原说法正确；③由a ∥b 得到∠1=∠6，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180°-∠6=360°得，∠2+∠3+180°-∠4+180°-∠1=360°，则∠4-∠2=∠3-∠1，故原说法正确；④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°．故原说法错误．正确的有①②③，故答案为：①②③．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【平行线间的距离】【考点7】平行线间的距离（应用）【例7】（2022下·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，直线a b ∥，AB 与a ，b 分别交于点A ，B ，且AC AB ⊥，AC 交直线b 于点C ．（1）若160∠= ，求2∠的度数；（2）若6,8AC AB ==，10BC =，求直线a 与b 的距离．【答案】（1）30︒；（2）245【分析】（1）由直线a b ∥，根据平行线的性质得出3160∠=∠=︒，再由AC AB ⊥，根据垂直的定义即可得到结果；（2）过A 作AD BC ⊥于D ，根据1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ，即可求解．解：（1）∵a b∥∴3160∠=∠=︒又∵AC AB⊥∴290330∠=︒-∠=︒（2）如图，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 的长即为直线a 与b 的距离∵6,8AC AB ==，10BC =，ABC 是直角三角形∵1122ABC S AB AC BC AD =⨯⨯=⨯⨯ ∴8624105AB AC AD BC ⨯⨯===∴直线a 与b 的距离245【点拨】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．【变式1】（2021下·安徽合肥·八年级统考期末）如图，123////l l l ，且相邻两条直线间的距离都是2，A ，B ，C 分别为1l ，2l ，3l 上的动点，连接AB 、AC 、BC ，AC 与2l 交于点D ，90ABC ∠=︒，则BD 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，此时，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=12AC=2，∴BD的最小值为2．故选：A．【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．【变式2】（2019下·上海金山·七年级统考期中）已知直线a∥b∥c，a与b的距离是5cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是．【答案】8cm或2cm【分析】直线c的位置不确定，可分情况讨论．（1）直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm．解：（1）直线c在直线b1：直线a和直线c之间的距离为5cm+3cm=8cm；（2）直线c在直线a、b的之间，如图2：直线a和直线c之间的距离为5cm-3cm=2cm；所以a与c的距离是8cm或2cm，故答案为8cm或2cm．【点拨】此题考查两线间的距离，本题需注意直线c的位置不确定，需分情况讨论．。
《平行线的性质》相交线与平行线PPT免费课件(第2课时)
课堂检测 拓广探索题
如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD的数
量关系，并说明理由.
解法一：作∠PCE =∠APC,交AB于E.
A
∴ AP∥CE ∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
∴ ∠A+∠P=∠PCE+∠AEC,
C
∵AB∥CD ∴ ∠ECD=∠AEC,
∴∠A+∠P =∠PCE+∠ECD=∠PCD.
A
B
A
B
A E1
B
E
E1
E2
E2
E3
C
D
C
D
C
D
当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°
当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540° 当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
探究新知 若有n个拐点，你能找到规律吗？
A
B
E1
E2 …
【思考】在填写依据时要注意什么问题？
巩固练习
如图，AB∥EF，∠ECD=∠E，则∠A=∠ECD.
理由如下：
B
A
∵∠ECD=∠E， ∴CD∥EF( 内错角相等，两直线平行 又AB∥EF，
D
C
)E
F
∴CD∥AB(平行于同一直线的两条直线互相__平__行_ ).
∴∠A=∠ECD( 两直线平行,同位角相等 __ ).
= ∠ E1 +∠ E2
探究新知
若左边有n个角，右边有m个角,你能找到规律吗？
A
F1 F2 Fn-1
B E1
七年级数学下册第二章相交线与平行线2.3.1平行线的性质教案
平行线的性质课题 2.3平行线的性质 (1)课型新授课教学目标1．掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算；2．逐渐理解几何推理的要领，分清推理中“因为”、“所以”表达的意义，从而初步学会简单的几何推理.重点认识平行线的性质和判别直线平行的条件的区别和联系难点熟练应用平行线的性质和判别直线平行的条件教学用具课件教学环节说明二次备课复习新课导入一、导入想一想：平行线的三种判定方法分别是先知道什么……、后知道什么？同位角相等内错角相等两直线平行同旁内角互补反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？利用平行线的性质与判定直线平行的条件的互逆关系自然引入新课，学生不觉得突兀，极易猜想出结论.课程讲授二、新课如图2-18，直线a与直线b平行．（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？（4）换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简称为：两直线平行，同位角相等．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简称为：两直线平行，内错角相等．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称为：两直线平行，同旁内角互补．通过测量、猜想、验证，让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质，使学生对知识的认识从感性上升到理性.如图 2-19，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4．（1）∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？（2）反射光线BC与EF也平行吗？解：（1）由AB∥DE，可以得到∠1＝∠3，由∠1＝∠2，∠3＝∠4，可以得到∠2＝∠4；（2）由∠2＝∠ 4，可以得到BC∥EF.三、例题例2 如图2-21，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．解：因为∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，所以EF∥CD. 又因为AB∥CD，根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，所以EF∥AB．例3 如图2-22，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1= 107° ，求∠2，∠3的度数.解：因为a∥b，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠2=∠1 =107°.因为c∥d，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以∠1＋∠3= 180° ，所以∠3=180° - ∠1= 180°- 107°= 73°.四、习题1．如图，已知：∠1=105° ，∠2=75° ，你能判断a∥b 吗？解：能.因为∠2=75° ，所以∠3=180°- ∠2=105°，因为∠3=180°，所以∠1=∠3，所以a∥b(同位角相等，两直线平行）2．如图，AE∥CD，若∠1=37° ，∠D=54° ，求∠2和∠BAE的度数.解：因为AE∥CD所以∠2=∠1=37°（两直线平行，内错角相等）所以∠BAE=∠D=54°，（两直线平行，同位角相等）小结通过本节课的内容，你有哪些收获？1.平行线的性质；2.在写几何推理的过程中，因为和所以分别表达的意义；作业布置板书设计课后反思。
人教版七年级下册数学《平行线的性质》相交线与平行线说课教学课件
知识回顾
根据右图，填空： ①如果∠1＝∠C，
那么＿A＿B ∥＿C＿D .（ 同位角相等，两直线平行 ）
E
A
41 32
B
② 如果∠1＝∠B ，
那么＿E＿C ∥＿B＿D .（ 内错角相等，两直线平行 ）
CD
③ 如果∠2＋∠B＝180°，
那么＿E＿C ∥＿B＿D .（ 同旁内角互补,两直线平行 ）
练习
如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°，∠B=60° ，∠AED=40°. （1）DE和BC平行吗？为什么？ （2）∠C是多少度？为什么？
答案： （1）平行； （2）∠C=40°．
潜望镜的原理
如图，潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过镜子 反射时， ∠1=∠2 、∠3=∠4 ，说明为什么进入潜望镜的光线 和离开潜望镜的光线是平行的．
练习
已知：如图，∠AGD=∠ACB，∠1=∠2，CD与EF平行吗？为什 么？ 答：CD∥EF．
理由如下： ∵ ∠AGD =∠ACB ， ∴ GD∥BC. ∵∠1和∠3是内错角， ∴∠1=∠3（两直线平行,内错角相等）. ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3. ∵∠2和∠3是同位角， ∴ CD∥EF（同位角相等，两直线平行）.
两直线平行，同位角相等
性质1 两条平行线被第三条线所截， 同位角相等． 简单说成： 两直线平行，同位角相等．
思考
同位角相等 两直线平行
内错角相等 两直线平行
两直线平行同位角相等两直线平行内错角相等
？
两直线平行，内错角相等
如图，直线a∥b，c是截线．求证：∠1=∠2．
证明： ∵ a∥b（已知） ∴ ∠3=∠2（两直线平行，同位角相等） 又∵ ∠3=∠1（对顶角相等） ∴ ∠1=∠2（等量代换）
七年级数学下册第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.1平行线的性质第2课时平行线的性质和判定及其综合
第2课时平行线的性质和判定及其综合运用1．掌握平行线的性质与判定的综合运用；(重点、难点) 2．体会平行线的性质与判定的区别与联系．一、复习引入问题：平行线的判定与平行线的性质的区别是什么？判定是已知角的关系得平行关系，性质是已知平行关系得角的关系．两者的条件和结论刚好相反，也就是说平行线的判定与性质是互逆的．二、合作探究探究点一：先用判定再用性质如图，C，D是直线AB上两点，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.(1)CE与DF平行吗？为什么？(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数．解析：(1)由∠1＋∠DCE ＝180°，∠1＋∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE ，即可证明CE ∥DF ；(2)由平行线的性质，可得∠CDF ＝50°.由DE 平分∠CDF ，可得∠CDE ＝12∠CDF ＝25°.最后根据“两直线平行，内错角相等”，可得到∠DEF 的度数．解：(1)CE ∥DF .理由如下：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DCE ＝180°，∴∠2＝∠DCE ，∴CE ∥DF ；(2)∵CE ∥DF ，∠DCE ＝130°，∴∠CDF ＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.∵DE 平分∠CDF ，∴∠CDE ＝12∠CDF ＝25°.∵EF ∥AB ，∴∠DEF ＝∠CDE ＝25°.方法总结：根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键．从角的关系得到直线平行用平行线的判定，从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质，二者不要混淆．探究点二：先用性质再用判定如图，已知DF ∥AC ，∠C ＝∠D ，CE 与BD 有怎样的位置关系？说明理由．解析：由图可知∠ABD 和∠ACE 是同位角，只要证得同位角相等，则CE ∥BD .由平行线的性质结合已知条件，稍作转化即可得到∠ABD ＝∠C .解：CE ∥BD .理由如下：∵DF ∥AC ，∴∠D ＝∠ABD .∵∠C ＝∠D ，∴∠ABD ＝∠C ，∴CE ∥BD .方法总结：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．探究点三：平行线性质与判定中的探究型问题如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 之间的两点，且∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF .(1)判定∠BAE ，∠CDE 与∠AED 之间的数量关系，并说明理由；(2)∠AFD 与∠AED 之间有怎样的数量关系？解析：平行线中的拐点问题，通常需过拐点作平行线． 解：(1)∠AED ＝∠BAE ＋∠CDE .理由如下：如图，过点E 作EG ∥AB .∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥CD ，∴∠AEG ＝∠BAE ，∠DEG ＝∠CDE .∵∠AED ＝∠AEG ＋∠DEG ，∴∠AED ＝∠BAE ＋∠CDE ；(2)同(1)可得∠AFD ＝∠BAF ＋∠CDF .∵∠BAF ＝2∠EAF ，∠CDF ＝2∠EDF ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝32∠BAF ＋32∠CDF ＝32(∠BAF ＋∠CDF )＝32∠AFD ，∴∠AED ＝32∠AFD .方法总结：无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解．三、板书设计⎭⎪⎬⎪⎫同位角相等内错角相等同旁内角互补判定性质两直线平行本节内容的重点是平行线的性质及判定的综合，直接运用了“∵”“∴”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，逐步培养学生的逻辑推理能力．因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要．本节内容的难点是理解平行线的性质和判定的区别，并在推理中正确地应用．由于学生还没有学习命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，所以在教学中，应让学生通过应用和讨论，体会到如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定；反之，如果两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质。
【人教版】七年级数学下册第五章相交线与平行线5.3.1平行线的性质教案
第五章 5.3.1 平行线的性质知识点1:平行线的性质1两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.知识点2:平行线的性质2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.知识点3:平行线的性质3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.注意：(1)同位角相等、内错角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论,所以它们成立的前提是“两直线平行”.(2)要注意正确区分平行线的性质与判定,由角的数量关系得到两条直线平行,是平行线的判定;由两条直线平行得到角的数量关系,是平行线的性质.(3)要特别注意没有两条直线平行这个条件,同位角和内错角不相等,同旁内角也不互补.考点1:探索平行线中的拐角【例1】如图,AB∥DE,则∠BCD、∠B、∠D之间的数量关系如何,为什么?解:∠BCD=∠B-∠D.理由:如图,过点C作CF∥AB.∵CF∥AB,∴∠B=∠BCF(两直线平行,内错角相等).∵AB∥DE,∴CF∥DE,∴∠DCF=∠D(两直线平行,内错角相等),∴∠B-∠D=∠BCF-∠DCF.∵∠BCD=∠BCF-∠DCF,∴∠BCD=∠B-∠D.点拨:作辅助线构造内错角是解决此题的关键.提升点2:平行线性质的应用【例2】如图,已知l1∥l2,∠ABC=120°,l1⊥AB,求∠α的度数.解答:如图,过点B作l3∥l1.∵l1⊥AB(已知),∴l3⊥AB(两直线平行,同位角相等).∴∠γ=90°(垂直的定义).∵∠ABC=120°(已知),∴∠β=120°-90°=30°.又l3∥l1,l1∥l2(已知),∴l3∥l2(平行公理推论).∴∠α=∠β=30°(两直线平行,同位角相等).点拨:平行线有一个非常重要的作用,就是角的传递,在本题中虽然知道l1∥l2,但却与∠ABC无法建立联系,因此我们可以过点B作一条与l1平行的直线l3,根据“平行于同一条直线的两条直线平行”的性质可得到l3∥l2,进而可以建立起∠ABC与∠α的联系.注意：本题辅助线的作法还可以叙述为:过点B作l3⊥AB.适当添加辅助线是解数学题的重要手段.这里过直线外一点作已知直线的平行线,是常用的辅助线之一.辅助线在解题过程中起铺路架桥的作用,有化难为易之功效,是解数学图形题常用的技巧.作辅助线要注意作法的叙述,辅助线要画成虚线.。
七年级数学下册第二章相交线与平行线2.3.2平行线的性质教案
平行线的性质
知识与技能目标：会识别“三线八角”中另两类角：内错角和同旁内角；会
数学思考目标：经历拼、摆、测量合情推理出内错角、同旁内角满足什么关系时两直线情感态度目标：在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和
寻求说理的途径和方法，发展有条理的说理能力．
，然后测量∠1与∠
比较其大小，将此方法交由全班讨论。
学想到小黑板上只能作出线段
探索两直线平行的条件
系的角称为内错角，具有∠
两条直
平行的依据可以从内错角的数量关系考虑，。
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳
七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最长。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。
②内错角成正比，两直线平行。
③同旁内角互补，两直线平行。
11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。
(一)正负数1.正数：大于0的数。
2.负数：小于0的数。
3.0即不是正数也不是负数。
4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。
如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。
3.分数：正分数、负分数。
(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题平行线的性质与判定的综合应用
【学习目标】
1．综合利用平行线的性质与判定进行求解与证明．
2．在学习中培养学生逻辑思维能力和合理推理能力．
【学习重点】
熟练应用平行线性质与判定解决问题．
【学习难点】
学会基本的推理并正确书写推理的格式．
行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．
方法指导：平行线性质与判定的综合应用，注意按正确推理形式书写，所推理的结论要结合已知等条件进行转换后再推理出新的结论．
学习笔记：角平分线的定义、对顶角、等量代换、平行线的性质与判定是目前推理中的几种方式，学生应多加练习，熟练掌握．
情景导入生成问题
旧知回顾：
平行线的判定方法有哪些？
答：判定1：同位角相等，两直线平行；
判定2：内错角相等，两直线平行；
判定3：同旁内角互补，两直线平行．
自学互研生成能力
阅读教材P52－53，完成下列问题：
范例如图，∠BEF＝70°，∠B＝70°，∠DCE＝140°，且CD∥AB，求∠CEF的度数．
解：∵∠BEF＝∠B＝70°，∴AB∥EF.∵CD∥AB，∴EF∥CD.∴∠DCE＋∠CEF＝180°.∵∠DCE＝140°，∴∠CEF＝40°.
, (范例1图) (仿例1图) (仿例2图))
仿例1.如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD交于点B，D.若∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．
解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠3＝∠4，∵∠3＝75°，∴∠4＝75°.
仿例2.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，试探究∠A与∠F的大小关系，并说明理由．
解：∠A＝∠F，理由如下：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DB∥EC，∴∠4＝∠C，又∵∠C＝∠D，∴∠4＝∠D，∴DF∥AC，∴∠A＝∠F.
仿例3.如图，已知AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM，试说明：∠B＝2∠DCN.
证明：∵CN⊥CM，∴∠BCN＋∠MCB＝90°，∠ECM＋∠NCD＝90°.∵CM平分∠ECB，∴∠ECM＝∠MCB，∴∠BCN＝∠DCN.∵AB∥DE，∴∠B＝∠BCD＝2∠DCN.
仿例4.如图，已知∠5与∠4互补，∠3＝∠D，那么∠1与∠2相等吗？为什么？
解：∠1＝∠2.理由如下：∵∠4＋∠5＝180°，∴DE∥CF，∴∠2＝∠D，∠3＝∠1，∵∠3＝∠D(已知)，∴∠1＝∠2.
仿例5.如图，AE平分∠CAD，AE∥BC，O为△ABC内一点，∠OBC＝∠OCB，试说明：∠ABO＝∠ACO.
证明：∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAE，∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠ABC，∠CAE＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC－∠OBC＝∠ACB－∠OCB，即∠ABO＝∠ACO.
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．
学习笔记：
检测可当堂完成．交流展示生成新知
1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块平行线的性质和判定的综合应用
检测反馈达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。