1_7第一章习题课

验证事件A、B相互独立。 证明 样本空间 = {(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)} A = {(正，正)，(正，反)} B = {(正，正)，(反，正)} AB = {(正，正)}
由古典概率知
P(A) = P(B) = 1/2 P(AB) = P(A)P(B) = 1/4
所以事件A与B相互独立。
(1 ) P (m 2)
C
k2
3
k 3
( 0 .4 ) ( 0 .6 )
k
3 k
0 . 352
(2)
P (m 3) P (m 4)

k 3 7 k4
5
C 5 ( 0 .4 ) ( 0 .6 )
k 7
k
k
5k
0 . 317 0 . 290
(3)
C
( 0 .4 ) ( 0 .6 )
解 （2）={ (男,男,男)， (男,男,女)， (男,女, 男)， (女,男,男)， (男,女,女)， (女,男,女)， (女,女,男)， (女,女,女) } A中包含6个基本事件 B中包含4个基本事件 AB中包含3个基本事件 P(A) = 6/8 = 3/4， P(B) = 4/8 = 1/2， P(AB) = 3/8 P(AB) = 3/8 = P(A)P(B) 事件A与B相互独立。
k n
种。由概率的加法定理有
因为以上各种方式中，任何两种方式都是互不相容的，于是有

k 0
n
Pn ( k )

k 0
n
Cn P q
k
k
nk
(P q)
n
1
注意到 Cn P q
k
k
nk
刚 好 是 二 项 式 ( P + q ) n 的 展 开 式 中 的 第 k + 1 项 ， 故 亦 称 ( 1 . 1 6)
首页 上页 返回 下页 结束
§1.6 独立性 例 题
例1.21 一个家庭中有若干个小孩，假定生男 和生女是等可能的，令 A={一个家庭中既有男孩，又有女孩}
B ={一个家庭中最多有一个女孩}
对下列两种情况，讨论A与B的独立性： （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解 （1） = { (男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) } A = { (男，女)，(女，男) } B = {(男，男)，(男，女)，(女，男) } AB = {(男，女)，(女，男) }
过来， A、B互不相容也不意味着A、B相互独立。
例1.23 系统的可靠性。进行课堂讨论。
首页
上页
返回
下页
结束

§1.6 独立性 例 题
例1.23 系统的可靠性。进行课堂讨论。
首页
上页
返回
下页
结束

§1.7 贝努里概型—定 义
将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不
影响，即每次试验结果发生的概率都不依赖也不影 响其它各次试验的结果，则称这n次试验是独立的， 或称为n次重复独立试验。例如80件产品中有5件次 品，从中每次任取一件，有放回地取20次。把每次 任取一件看成一次试验，取20次，即为重复20次。由于每次取出后都放回， 再取下一件时样本空间没有改变，所以每次取得的结果都不影响其余各次取
{第k次才打开门}＝{前k-1次未打开，第k次打开}
因此
P ( 第 k 次才打开门 1 1 ) 1 m m
k 1
首页
上页
返回
下页
结束

n
首页
上页
返回
下页
结束

§1.7 贝努里概型—定 理
定理 在n重贝努里试验中，事件A在每次试验 中发生的概率为p (0 < p < 1)，则在n次试验中，事件A 恰发生k次 (0≤k≤n) 的概率为
Pn ( k ) C n p q
k k nk
,
k 0 , 1, 2 , , n
其中q = 1 - p。
） ；
若Ａ，Ｂ相互独立，则 P(A B) （
若 B A ，则 P(A B) （
） P(A B) （ ，
） P(A B) （ ， ） ．
） ；
首页
上页
返回
下页
结束

§1.6 独立性 例 题
例1.20 分别投两枚均匀硬币，令 A = {硬币甲出现正面}
B = {硬币乙出现正面}
第一章随机事件及概率典型例题
一、事件关系与运算
(一 )填空题
1 . P {( A B )( A B )( A B )( A B )} ( ).
1 6
２．已知 P ( A )
P ( B ) P (C )
1 4
P ( AB ) 0 P ( AC ) P ( BC )
k
7k
首页
上页
返回
下页
结束

§1.7 贝努里概型 例 题
例1.26 某人有一串m把外形相同三钥匙，其中 只有一把能开门，他每次随机从m把钥匙中取一把去 开门，求他在第k次才能打开房门的概率。
解 在第k次打开房门相当与进行k次独立试验，
每次试验只有“打开”与“打不开”两个结果，“打开” 的概率为1/m， “打不开”的概率为1-1/m。
得的产品是正品或次品的概率。 因此， 各次取产品的试验是独立的， 这是
一个重复20次的独立试验。
如果试验 E 只有两个基本事件： A 及 A ，它们发生的概率分别为 P (A )= p ， P ( A )= 1 -p = q （ 0 ＜ p ＜ 1 ） 将 E 独 立 地 重 复 进 行 n 次 ， 则 称 这 。 一 系 列 的 重 复 独 立 试 验 为 n 重 贝 努 里 （ B e rno ulli） 试 验 ， 简 称 贝 努 里 试验或贝努里概型，记作 E 。 对于贝努里试验有如下定理。
式为二项概率公式。
首页
上页
返回
下页
结束

§1.7 贝努里概型 例 题
例1.24 金工车间有10台同类型机床，均配有 10千瓦的电机，已知每台机床正常工作时，平均每 小时开12分钟，且开动与否相互独立。现仅能供应
50千瓦的电力，求这10台机床能正常工作的概率。
解 50千瓦能供给5台机床同时开动，要使10台 机床正常工作，必需同时开机台数不大于5。每台机床只有开机与停机两种状 态，且 P(开机) = 12/60 = 1/5， P(停机) = 4/5 记10台机床中同时开机的台数为m，则
证明 由于试验的独立性，n 次试验中事件 A 在某指定的 k 次试验发生， 而 在 其 余 n－ k 次 试 验 中 不 发 生 的 概 率 为
P p q
k
nk
C 在 n 次试验中，指定事件 A 在某 k 次发生的方式有 Pn ( k ) C n p q
k k nk
0 . 994
首页
上页
返回
下页
结束

§1.7 贝努里概型 例 题
例1.25 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球 队举行对抗赛，校队实例较强，当一个校队运动员 与系队运动员对抗时,校队运动员获胜的概率为0.6, 赛前提供三种方案： （1）双方各出3人；（2）双方各出5人； （3）双方各出7人。 问：哪种方式对数学系有利？ 解 设m为系队获胜人数，基于三种方案系队获胜的概率为
则Ａ，Ｂ，Ｃ全不发生的概率为（ 则Ａ，Ｂ，Ｃ不全发生的概率为（
）； ）．
） ．
３ ． 设 P ( AB ) P ( A B ) ， P ( A ) p ， 则 P ( B ) ＝ （
４ ． 设 P ( A)
1 4
, P(B)
1
，
2 若Ａ，Ｂ互不相容，则 P(A B) （
） P(A B) （ ，
首页 上页 返回 下页 结束
§1.6 独立性 例 题
例1.22 样本空间={ 1，2，3，4 }含有等可能 的四个基本事件，又 A={1，2}，B={1，3}，C={1，4} ，ABC={ 1}
显然
P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 且(1.18)的三个等式均成立，即A、B、C两两相互独立。但 P(ABC) = 1/4 ≠ P(A) P(B) P(C) = 1/8 反过来， P( ABC ) = P( A )P( B )P( C ) 成立也不能保证(1.18)的三个等式均 成立（习题1.38）。 另外，由于P(AB)=1/4，说明A、B相互独立并不意味着A、B互不相容。反
k 1 4 P ( m k ) C 10 5 5 k 10 k
( 0 k 10 )
5 k 10 k
P (10 台能正常工作
k 1 4 ) P ( m 5 ) C 10 5 5 k 0
P(A) = 1/2， P(B) = 3/4， P(AB) = 1/2
P(AB) = 1/2 ≠ P(A)P(B) = 3/8 事件A与B不相互独立。
首页 上页 返回 下页 结束
§1.6 独立性 例 题
例1.21 一个家庭中有若干个小孩，假定生男 和生女是等可能的，令 A={一个家庭中既有男孩，又有女孩} B ={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情况，讨论A与B的独立性： （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。