典型环节传递函数-积分环节
控制工程基础基本知识与公式
控制工程基础基本知识与公式
控制以测量反馈为基础，控制的本质是检测偏差，纠正偏差。
自动控制系统的重要信号有输入信号、输出信号、反馈信号、偏差信号等。
输入信号又称为输入量、给定量、控制量等。
自动控制按有无反馈作用分为开环控制与闭环控制。
自动控制系统按给定量的运动规律分为恒值调节系统、程序控制系统与随动控制系统。
自动控制系统按系统线性特性分为线性系统与非线性系统。
自动控制系统按系统信号类型分为连续控制系统与离散控制系统。
自动控制系统按系统输入输出变量数量分为单变量系统与多变量系统。
对控制系统的基本要求是稳定性、准确性、快速性。
拉普拉斯变换：
拉普拉斯反变换
拉普拉斯变换解微分方程 传递函数是在零初始条件下将微分方程作拉普拉斯变换，进而运算而来。
传递函数与微分方程是等价的。
传递函数适合线性定常系统。
)a s (F )t (f e at +→-
典型环节传递函数：
比例环节K 惯性环节
一阶微分环节 二阶微分环节 传递函数框图的化简
闭环传递函数 开环传递函数 误差传递函数 闭环传递函数是输出信号与输入信号间的传递函数。
误差传递函数又称偏差传递函数，是偏差信号与输入信号间的传递函数。
系统输出信号称为响应，时间响应由瞬态响应与稳态响应组成。
系统的特征方程是令系统闭环传递函数分母等于零而得。
特征方程的根就是系统的极点。
1S +τ
1
S 2S 22+ζτ+τ
一阶惯性系统
的单位阶跃响应：。
大学自动控制原理2.4典型环节传递函数
传递函数的零点和极点决定了系统的动态特性和稳定性。
03
传递函数的分子和分母多项式决定了系统的频率响应特性。
典型环节的分类
比例环节
输出信号与输入信号成正比，传递函 数为 G(s) = K，其中 K 为常数。
02
积分环节
输出信号与输入信号的时间积分成正 比，传递函数为 G(s) = 1 / (sT)，其 中 T 为时间常数。
将介绍控制系统的稳定性 分析方法。
掌握频率响应法在控制系 统设计中的应用。
学习如何利用根轨迹法进 行系统性能分析。
了解现代控制系统的基本 概念和分类。
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高阶环节的传递函数具有多个极点和零点，这些极点和零点 决定了环节的动态特性，如响应速度、超调和调节时间等。
实例分析
以一个三阶惯性环节为例，其传递函数为 $G(s) = frac{1}{s^3 + 2s^2 + 3s + 1}$，该环节具有三个极点 $s = -1, -1, -1$ 和一个 零点 $s = 0$。
拉普拉斯变换中的频率。
该传递函数是一个有理分式，分 母为线性多项式，分子为常数。
当输入信号 (s) 变化时，输出信 号 (G(s)) 会根据增益 (K) 和时间
常数 (T) 进行相应的变化。
实例分析
实例1
一阶惯性环节在电机控制系统中的应用，用于描述电机的动态响应特性。
实例2
在温度控制系统中的一阶惯性环节，用于描述加热元件的热量传递和散热过程。
04 一阶惯环节
定义与特点
定义
一阶惯性环节的传递函数为 (G(s) = frac{K}{T s + 1})，其中 (K) 是增益，(T) 是时间常 数。
典型环节与开环系统的频率特性
第五章 线性系统的频域分析法
6.一阶微分环节和二阶微分环节
dr (t ) G s ＝Ts +1 c(t ) T r (t ) dt
C(s) G s ＝ T 2 s 2 + 2 Ts 1 R(s)
2 d r (t ) dr (t ) 2 c(t ) T 2 T r (t ) 2 dt dt
传函典型环节表达式
第五章 线性系统的频域分析法
二 典型环节极坐标(Nyquist)图的绘制
1.放大环节（比例环节）
传递函数：G(s) K 频率特性： G( j) [G(s)]s j K Ke j 0 K j0
A( ) K ( ) 0
Im
放大环节的极坐标图是复 平面实轴上的一个点，它 到原点的距离为K。
第五章 线性系统的频域分析法
G(j0) 1 0
1 1 G j 45 2 T
G(j) 0 -90
不难看出，随着频率 ω=0→∞ 变化，惯性环节的幅值 逐步衰减，最终趋于 0 。相位的绝对值越来越大，但 最终不会大于90°，其极坐标图为一个半圆。
Im
s
实际微分环节实现电路
第五章 线性系统的频域分析法
4.积分环节
1 1 G s ＝ c t r t dt Ti s Ti 特点：输入消失后输出仍具有记忆功能。
dt
0
t
实例：电动机角速度与角度间的关系，物体行驶距离 与物体速度间的关系，模拟计算机中的积分器等。
特点：含一个储能元件，对突变的输入不能立即跟 随，输出无振荡。
0.63
第五章 线性系统的频域分析法
3.微分(超前)环节
控制工程基础：2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
(s+pj )
j 1
m
(is 1)
K
i1 n
(Tjs 1)
j 1
(零极点形式、首一多 项式形式、伊万思形式)
(时间常数形式、尾一 多项式形式、伯德形式)
(动态)方框图： R(s)
C(s)
G(s)
m
G(s)
C(s) R(s)
b0sm b1sm1 bm1s bm a0sn a1sn1 an1s an
举例
2、用复阻抗概念求电路的传递函数
L
R2
＋
＋
ur
u1 R1 C
－
－
Ls
R2
＋
＋
＋
uc Ur(s) U1(s) R1 1/Cs
－
－
－
＋
Uc(s)
－
举例
RLC网络示意图
3、等效刚度法
设等效弹性刚度为：fa
f1
k1
→ 则 fa =k1+f1s
并联弹簧的弹性刚度等于各弹簧弹性刚度之和。
k2 设等效弹性刚度为：fb
R(0)
s0 an r()
传递函数的阶：特征多项式的阶次n即为传递函数的 阶次，对应的系统为n阶系统。
二、传递函数的性质
性质1： 传递函数是复变量s的有理真分式函数，所有 的系数均为实常数，且m≤n。
性质2： 传递函数由系统的结构和参数确定，与输入 信号的形式与大小无关。
性质3： 如果传递函数已知，那么可以研究系统在各 种输入信号作用下的输出响应。
N(s) – 分母多项式，又称特征多项式，它决定着系统 响应的基本特点和动态本质。
一般情况下，要求n≥m
G(s) C(s) b0sm b1s m1 bm1s bm M (s) R(s) a0s n a1s n1 an1s an N (s)
典型环节的时域响应实验
典型环节的时域响应实验一、实验目的1、熟悉并掌握自动控制原理实验系统的使用方法及各典型环节模拟电路的构成方法。
2、熟悉各种典型环节的理想阶跃响应曲线和实际阶跃响应曲线。
对比差异、分析原因。
3、了解参数变化对典型环节动态特性的影响，掌握各典型环节的工作特点。
二、实验设备1、自动控制原理实验箱2、示波器三、实验原理典型环节分别有比例、积分、微分、惯性、比例积分、比例微分、比例积分微分等环节，在不同输入信号下将会有不同的输出响应，呈现出不同的工作特点，其方框图、传递函数、模拟电路等如下所示：1、比例环节(P)（1）方框图：如图1.1-1所示。
（2）传递函数：（3）阶跃响应：（4）模拟电路图：如图1.1-2所示。
注意：图中运算放大器的正相输入端已经对地接了100K的电阻，实验中不需要再接。
以后的实验中用到的运放也如此。
（5）理想与实际阶跃响应对照曲线：①取R0=200K；R1=100K。
理想阶跃响应曲线实测阶跃响应曲线②取R0=200K；R1=200K。
理想阶跃响应曲线实测阶跃响应曲线2、积分环节(I)（1）方框图：如右图1.1-3所示。
（2）传递函数：（3）阶跃响应：（4）模拟电路：如图1.1-4所示。
（5）理想与实际阶跃响应曲线对照：①取R0=200K；C=1uF。
理想阶跃响应曲线实测阶跃响应曲线②取R0=200K；C=2uF。
理想阶跃响应曲线实测阶跃响应曲线3.比例积分环节(PI)(1)方框图：如图1.1-5所示。
（2）传递函数：（3）阶跃响应：（4）模拟电路图：如图1.1-6所示。
（6）理想与实际阶跃响应曲线对照：①取R0=R1=200K；C=1uF。
理想阶跃响应曲线实测阶跃响应曲线②取R0=R1=200K；C=2uF。
理想阶跃响应曲线实测阶跃响应曲线4.惯性环节(T)（1）方框图：如图1.1-7所示。
（2）传递函数：（3）模拟电路图：如图1.1-8所示。
（4）理想与实际阶跃响应曲线对照：①取R0=R1=200K；C=1uF。
2-4 典型环节及其传递函数
气阻的数学表达式为 ∆p = R∆q ∆p 式中， 是气体压力降 ； ( N/m 2 ) ∆q ( N ⋅ s) 是气体重量流量 ； R 是气阻值。 因而它的传递函数为 ∆P( s ) G( s ) = =R ∆Q ( s ) （３）喷嘴一挡板机构 喷嘴一挡板机构由恒节流孔 １，背压室 ２，喷嘴 ３，和挡板 ４ 组成，如图 ２－１８ 所示。 ∆h 它的作用是把输入挡板的微小位移 转换成相应 的气压信号输出。在忽略背压室气容影响时，可把喷嘴 1 2 4 一挡板机构看作一个比例环节，即 3 D ∆p D = k 1 ∆h 式中， 是喷嘴背压的变化； ∆p D ∆h 是挡板开度变化量； 是比例系数。 k1 d （４）放大器 h 在自动控制系统中用得最多的是运算放大 器，它是一个具有高放大倍数直接耦合式放大器。 1 − 恒节流孔 2 − 背压室 运算放大器一般由集成电路构成，其符号如图 ２－ 3 − 喷嘴 4 − 挡板 １９ 所示。 图 2-17 喷嘴挡板机构结构示意图 图中三角形尖端代表输出端，输出电压为 u 0 (t ) 它有两个输入端，一个是同相输入端 ｂ 用 “十”表示，一个是反相输入端 ａ 用“一”表示。当 放大器工作在放大区而不是饱和区时，输出电压 与同相输入端电压 和反相输入 u 0 (t ) u i (t ) u ( t ) 端电压 之间的电压差成正比。即 i1 a u 0 (t ) = k [u i2 (t ) − u i1 ( t )] + 也可写成 b ∆u 0 (t ) = k∆u i (t ) U i1 因而其传递函数为 Ui2 U0 ∆U 0 ( s ) G( s ) = =k 图 2-19 运算放大器符号图 ∆U i ( s ) 式中， 为开环放大倍数，这个数值很高，可达到 。所以集成运算放大器工作在 k 10 6 ~ 10 7 无反馈状态时输入电阻很高。它有以下两个主要特点： ①由于开环输入电阻很高，运算放大器两个输入端的电流接近于零。 ②由于开环放大倍数很高，所以 ｂ 端和 Ｃ 端电位接近相等，即 。 u i2 ≈ ui1 运算放大器本身虽属放大环节，但可用它来组成其他各种基本环节。
典型环节的模拟电路
1、比例环节的模拟电路及其传递函数如下图
()21/G s R R =-
图1-1 比例环节的模拟电路及其传递函数
2、惯性环节的模拟电路及其传递函数如下图
()1K
G s Ts =-+
212/,K R R T R C ==
图1-2 惯性环节的模拟电路及其传递函数
3、积分环节的模拟电路及传递函数如下图
()1
G s Ts = T R C =
图1-3 积分环节的模拟电路及其传递函数
4、微分环节的模拟电路及传递函数如下图
()G s Ts =- T R C = 图1-4 微分环节的模拟电路及其传递函数
5、比例+微分环节的模拟电路及传递函数如下图（未标明的C=0.01f ）。
()()
2121/,G s K Ts K R R T R C =-+==
图1-5 比例+微分环节的模拟电路及其传递函数
6、比例+积分环节的模拟电路及传递函数如如下图
()()
2121/,G s K Ts K R R T R C =-+==
图1-6 比例+积分环节的模拟电路及其传递函数
7、重点：典型环节在阶跃输入信号作用下的输出特性测试。
8、难点：掌握典型环节的电模拟方法及其参数测试方法，测量典型环节的阶跃响应曲线，了解参数变化对动态特性的影响。
难点：参数变化对动态特性的影响。
2-4 典型环节及其传递函数
∫
G ( s ) = R / Ts ，这也是一个积分环节。从物理意义上说，由于液箱的液容 Ｃ 太大，或液阻 Ｒ
太大，液箱流出水量不足以影响液位，如果流入水量不变，液位将随时间不断增高（积分作 用）。 另外对直流伺服电动机，由于电气时间常数和机电时间常数大小，忽略不计时，该电动 机以转速为输出量，电枢电压为输入量时的动态特性成为比例环节，其传递函数为 N (s) G( s ) = =k U a (s) 如以电动机输出轴转角为输出量，相应的传递函数是 a ( s) k G( s ) = = U a (s) s 这是一个积分环节。可见，对于同一部件，不同输入或不同输出时，其传递函数是不同的。 最后，考虑气动仪表中常用的气容，它是一个气体容室能储存或放出气体，对气体量的 变化起惯性作用，类似于电路中的电容，见图 ２－２０。 通常采用“气容”这个概念来定量地表示气室储存气体的能力，其定义为 ∆m C= ∆p 式中， 是空气储存量的增量； ∆m ∆p 是气室压力的增量。 气体的质量流量（ｋｇ／ｓ）为 ∆q (t ) = d (∆m ) / dt
5
R2 R1
Ui Ri
图 2-23 运算放大器 组成的一阶惯性环节
−
+
C
U0
式中，时间常数 Ｔ＝ＲＣ。 实际上这是纯微分环节与一阶惯性环节相串联后构成的环节；当时间常数 Ｔ＜＜１ 时，一阶 惯性环节相当于 １：１ 的比例环节，因而总的传递函数相当于微分环节的传递函数。 当然也可以用运算放大器来组成微分环节，如 R 图 ２－２４ 所示。 该运放电路的传递函数为 if C U 0 (s) Ui G( s ) = = − RCs U i (s) U0 这就相当于一个纯微分环节。 + i
−
2
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积分环节(Integrating Element)
积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间的积累。 因此,凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元件一般 都含有积分环节。如水箱的水位与水流量,烘箱的温度与 热流量(或功率),机械运动中的转速与转矩,位移与速度， 速度与加速度,电容的电量与电流等等。积分环节也是自 动控制系统中遇到的最多的环节之一。
输出量随着时间的增长而不断增加，增长的斜率为1/T。
1．微分方程
.
积分环节(Integrating Element)
2．传递函数与功能框
积分环节的 功能框图
阶跃响应
.
积分环节(Integrating Element)
Байду номын сангаас3．动态
反变换可得
.
积分环节(Integrating Element)
4．举例