专题16 菱形的判定与性质（含答案）
专题16 菱形的判定与性质
知识解读
菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，可从菱形的共性和特性两个方面来理解.
共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等。
菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直判断一个四边形是菱形有三种方法方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形方法3：四条边相等的四边形是菱形。
如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，前两种判断方法可以理解为“平行四边形+菱形特征=菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征。
培优学案
典例示范
一、菱形四边相等为全等提供了可能
例1如图4-16-1①，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF.
（1）求证：CE=CF；
（2）如图4-16-1②，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB.
B
A E
B
A
E
H
C
F
F
C
D
D
①②
图4-16-1
【提示】（1）由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE2A△DCF（SAS），则可得CE=CF；
（2）延长BA与CF，交于点G，由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果。
【解答】
【技巧点评】
菱形的四条边相等、对角相等，这就为全等三角形提供了条件，因此菱形问题常常与全等三角形联系在一起．
【跟踪训练】
1．如图4－16－2，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝DF．连接BF
与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝34CG2；
③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③
二、菱形被两条对角线分成四个直角三角形
例2已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2【提示】菱形的周长是20cm，故边长为5cm，又两条对角线的比是4：3，不妨设两条对角线长为4k，3k，因菱形的对角线互相垂直平分，同勾股定理可得（4k）2＋（3k）＝100，可求出k的值，即可求出菱形的两条对角线的长，代入菱形的面积公式，可求出菱形的面积．
【技巧点评】
菱形的一边和两条对角线的一半构成直角三角形，在直角三角形中，应用勾股定理，是解决这个问题的基本思路，本题在计算菱形的面积的时候，应用了菱形的面积等于对角线之积的一半．【跟踪训练】
1.如图4－16－3，菱形ABCD的周长为40cm，AC，BD相交于O，且BD:AC＝3：4．求AC，BD的长及菱形ABCD的面积．
【解答】
三、含60°角的菱形常与等边三角形结合在一起
例3如图4－16－4，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满
足AE＋CF＝2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
【提示】（1）由于菱形ABCD的边长为2，BD＝2，所以△ABD和△BCD是等边三角形，则∠BDE＝∠BCF＝60°，BC＝BD，又由于AE＋CF＝2，AE＋ED＝2可得DE＝CF，即可证明△BDE≌△BCF；（2）由△BDE≌△BCF可证BE＝BF，∠DBE＝∠CBF，由于∠CBF＋∠DBF＝60°，即可证明∠FBE＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得△DEF是等边三角形．
【解答】
【技巧点评】
如果一个菱形有一个内角等于60°，那么这个菱形较短的对角线会把菱形分成两个等边三角形，此时常需要用等边三角形知识解决问题．
【跟踪训练】
3.如图4－16－5，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．
四、菱形的判定思路，平行四边形＋菱形特性＝菱形
由于菱形是一个特殊的平行四边形，因此判定一个四边形是菱形时，可考虑先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明这个平行四边形具有菱形特征（如邻边相等或对角线互相垂直）．当然如果能直接证明四条边相等，就不需要先证明它是平行四边形．
例4如图4－16－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D．交AB于E，F在DE上，且AF＝CE＝AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并说明理由．
【提示】（1）用两组对边平行且相等，可以证明四边形ACEF是平行四边形．（2）通过探究得出当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形，可以用一组对边相等的平行四边形来证明．
【解答】
【技巧点评】
要证明一个四边形是菱形，应尽可能先证明这个四边形是平行四边形，然后再证明一组邻边相等或者证明对角线互相垂直．
【跟踪训练】
4.如图4－16－7，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，
BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．
【解答】
例5 如图4－16－8，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，
AC 的中点．试说明：四边形EFGH 是菱形．
【提示】由于“点E ，F ，G ，H 分别是AD ，BD ，BC ，AC 的中点”，我们可联想到三角形中位线定理，
EH ，HG ，GF ，FE 分别是△ACD ，△ABC ，△BCD ，△ABD 的中位线，EH ，HG ，GF ，FE 分别等于1
2CD ，
12AB ，12CD ，1
2A B ．由于AB ＝CD ，所以EH ＝HG ＝GF ＝FE ，根据“四条边相等的四边形是菱形”可得四边形EFGH 是菱形．
【解答】
【技巧点评】
当题目不容易证明两直线平行时，我们可考虑通过证明四条边相等来证明这个四边形是菱形． 【跟踪训练】
5.如图4－16－9，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．【解答】
五、从对称的角度考虑菱形问题，可以为解决问题提供帮助
例6如图4－16－10，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）
A.3B．4C．5D．6
【提示】找到点F关于AC的对称点（即CD的中点），连接CD的中点与点E交AC于点B P，则点P为AC 与BD的交点，此时PE＋PF的和最短，即等于AD的长，由于菱形的对角线互相垂直，由勾股定理可得AD ＝5，所以PE＋PF的长为5．
【技巧点评】
本题是把轴对称变换与菱形的轴对称性结合在一起的综合题，解决问题的方法是作出F点的对称点F'，线段EF'的长就是PE＋PF的最小值，同样道理，也可以作E点的对称点E’．
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，许多题目正是从对称的角度展开对问题的讨论，因此从对称的角度思考问题，常常会给解决问题带来便利．
【跟踪训练】
6.如图4－16－11，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，
将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
【解答】
【拓展延伸】
例7如图4－16－12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30o．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【提示】
（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，由已知条件求证；
（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使口AEFD为菱形则还需要满足一组邻边相等；
（3）①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中利用AD＝2AE即求得．
②∠DEF＝90°时，由（2）知EF//AD，则得∠ADE＝∠DEF＝90°，求得AD＝AE·cos60°列式得．
③∠EFD＝90°时，此种情况不存在．
【解答】
【跟踪训练】
7.如图4－16－13，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A＝60°，质点P从点A出发沿着AB－BD－DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC－CB－BD作匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）已知质点P，Q运动的速度分别为4cm/s、5cm/s，经过12秒后，P，Q分别到达M，N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形？并说明理由．
【解答】
【竞赛连接】
例8（希望杯全国数学邀请赛试题）若某一个内角为30°的菱形中有一个点到四边的距离分别为1、2、3、4，则这个菱形的面积等于．
【提示】菱形内的点到对边的距离之和为菱形的高线，故菱形的高为1＋4＝2＋3＝5，根据直角三角形中30°角的特殊性可以证明AB＝2AE，根据边长和高即可求菱形ABCD的面积．
【跟踪练习】
8．（湖北初中数学竞赛试题）如图4－16－14，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC
的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（）
A．35°B．45°C．50°D．55°
培优训练
1.如图4－16－15，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长为3＋，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为．
2.如图4－16－16，在菱形ABCD中，∠BCD＝120°，点F是BD上一点，EF⊥CF，AE⊥EF，AE＝3，EF＝4，求AB长．
3.如图4-16-17，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F . 求证：四边形AEFG 是菱形.
G D
F
E
C
B A
图4-16-17
4.如图4-16-18，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N . 求证：四边形AMNE 是菱形.
O
E
N
M
D A
C
B
图4-16-18
5.如图4-16-19，在菱形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且CE =CF .试说明：AE =AF .
F D
A
B
C
图4-16-19
6.如图4-16-20，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF . （1）求证：AF =DC ；
（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论.
F
E
D
图4-16-20
7.如图4-16-21，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE ，BD 且AE =AB . （1）求证：∠ABE =∠EAD ；
（2）若∠AEB =2∠ADB ， 求证：四边形ABCD 是菱形.
E
C
B
A
图4-16-21
8.如图4-16-22，在四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，BC =CD ，锐角∠BAC 的角平分线AE 交BC 于点E ，AF 是CD 边上的中线，且PC ⊥CD 与AE 交于点P ，QC ⊥BC 与AF 交于点Q . 求证：四边形APCQ 是菱形.
Q
P
E
F
A
C
B
图4-16-22
9.如图4-16-23，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD 为AC 边的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG =BD ，连接BG 、DF .若AG =13，CF =6，求四边形BDFG 的周长.
E
F
D
B
C
图4-16-23
10.如图4-16-24，点D 是等腰Rt △ABC 的直角边BC 上一点，AD 的垂直平分线EF 分别交AC ，AD ，AB 于E ，O ，F ，且BC =2. （1）当CD =2时，求AE ；
（2）当CD =2(21) 时，试证明四边形AEDF 是菱形.
F
E O
A
C
D
图4-16-24
直击中考
11.★★（2017·湖北十堰）如图4-16-25，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，若∠ABC =140°，则∠OED =________.
O E
D
C
A
B
E D A
B
C
P A
D
B
C
图4-16-25
图4-16-26
图4-16-27
12.★★（2017·山东东营）如图4-16-26，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP +AP 的最小值为________.
13.★★★★（2017·湖南怀化）如图4-16-27，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点。若以P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，A （P ，A 两点不重合）两点间的最短距离为________cm .
14.★★（2017·山东滨州）如图4-16-28，在ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点
F ；再分别以点B ，F 为圆心，大于BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ，则所得四边形ABEF 是菱形。
（1）根据以上尺规作图的过程，证明：四边形ABEF 是菱形； （2）若菱形ABEF 的周长为16，AE =3，求∠C 的度数.
P
F
B
A
D
图4-16-28
15.★★（2017·贵州贵阳）如图4-16-29，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E 分别是边BC ，AB 的中点，连接DE 并延长至点F ，使EF =2DE ，连接CE ，AF . （1）证明：AF =CE ；
（2）当∠B =30°时，试判断四边形ACEF 的形状并说明理由.
F
E
D C
B
图4-16-29
16.★★★（2017·山东青岛）已知：如图4-16-30，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别是边AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OF ，OE . （1）求证：△BCE ≌△DCF ；
（2）当AB 与BC 满足什么条件时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由.
F
O E B
A D
C
图4-16-30
挑战竞赛
17.（江苏南通数学竞赛试题）如图4-16-31，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2. （1）证明：BC =2ED ；
（2）过点F 作FN /CA 交AB 于点N ，求∠NFD 的度数.
21
M
F
图4-16-31
北师大版九年级数学上《菱形的性质与判定》典型例题 (含答案)
《菱形的性质与判定》典型例题 例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求： （1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积． 例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ． 求证：.AF AE = 例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数. 例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =． 求证：GH 垂直平分CF ．
例 5 如图，A B CD 中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且 CF CD DE ==． 求证：AF BE ⊥． 例6 如图，在Rt △ABC 中， 90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形． 求证：AC 与DE 互相垂直平分
参考答案 例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2 1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD = E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD = ∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形． ∴.120260︒=⨯︒=∠ABC （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2 12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2 3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2 3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点． 例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论． 证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =， AD AB = ， ∴DF AD BE AB -=-， ∴.AF AE = 例3 解答：连结AC . ∵四边形ABCD 为菱形， ∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.
菱形的性质与判定 填空题练习(含答案)
菱形的性质与判定填空题练习 1、一个菱形的周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为cm2． 2、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4，则菱形面积为______________cm2． 3、如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ． 4、如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为_______． 5、如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB= ． 6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD=4，则四边形CODE的周长． 7、已知菱形的周长为 40 cm ，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________． 8、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH 的长等于 .
9、如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是____________(写出一个即可)． 10、如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O， E是CD的中点，且OE=2，则菱形ABCD的周长等于． 11、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6 cm，则AB=________cm. 12、两对角线分别是6cm和8cm的菱形面积是 cm2，周长是 cm． 13、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= 时，平行四边形CDEB为菱形。 14、如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D到直线AB的距离DE= ，点D到直线BC的距离等于． 15、如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6，若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为．
专题16 菱形的判定与性质（含答案）
专题16 菱形的判定与性质 知识解读 菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，可从菱形的共性和特性两个方面来理解. 共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等。 菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直判断一个四边形是菱形有三种方法方法1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形方法3：四条边相等的四边形是菱形。 如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，前两种判断方法可以理解为“平行四边形+菱形特征=菱形”，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征。 培优学案 典例示范 一、菱形四边相等为全等提供了可能 例1如图4-16-1①，在菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF. （1）求证：CE=CF； （2）如图4-16-1②，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB. B A E B A E H C F F C D D ①② 图4-16-1 【提示】（1）由菱形ABCD中，点E，F分别为AB，AD的中点，易证得△BCE2A△DCF（SAS），则可得CE=CF； （2）延长BA与CF，交于点G，由平行线的性质，可得AG=AB，∠G=∠FCD，由全等三角形的对应角相等，可得∠BCE=∠DCF，然后由∠CHB=2∠ECB，易证得∠G=∠HCG，则可得CH=GH，则可证的结果。 【解答】 【技巧点评】 菱形的四条边相等、对角相等，这就为全等三角形提供了条件，因此菱形问题常常与全等三角形联系在一起． 【跟踪训练】
菱形的性质与判定专题辅导
特殊的平行四边形——菱形专题 知识要点 菱形的性质：边：对边平行，四边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：互相垂直，每条对角线平分一组对角． 菱形的判定：四条边都相等的四边形；邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形． 即：证明菱形需证四条边相等，或先证明平行四边形，再证一个菱形特殊的性质即可. 一．选择题 1. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面 A ．15 B ． 2 3 15 C ．7.5 D ．315 则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） 5 题 ６题 A ．M （5，0），N （8，4） B ．M （4，0），N （8，4） C ．M （5，0），N （7，4） D ．M （4，0），N （7，4） 6. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、 BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论： ①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD = AB 2 其中正确的结 则BC 的长为（ ） ． 则下列结论：①．∠ABC =600；②．AC =2；③．BD =4；④．S ABCD =23；⑤菱形ABCD 的周长是8，其中正确的有（ ） A ．①②③④⑤ B ．①②④⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③⑤ 二、填空题 1. 如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ， PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是 _________ cm ． 1题 2题 3题 2. 已知：菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ______ ． 3. 如图：点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF=∠D=60°， A B D O ８题 八年级数学辅导资料十三
菱形专题学案(含答案)
第十一讲菱形 时间：年月日刘满江老师学生姓名： 一、兴趣导入 二、学前测试 1.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 对角线相等的四边形 2.如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（） A．B．C．D． 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=1300，则∠AOE 的大小为（） A．75°B．65°C．55°D．50° CDB 三、方法培养： 知识要点： 1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且四边相等． ②角的性质：邻角互补，对角相等． ③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 例1．如图，已知△ABC的面积为4，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA的长度，得到△EFA． （1）判断AF与BE的位置关系，并说明理由； （2）若∠BEC=15°，求AC的长． BM=AB= BM=AB= ?AC=4
变式练习：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积． =8． 【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论．
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定 【菱形的性质】 1．菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形 . 温馨提示： ①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等； ②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形； ③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。 2.菱 形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质. （2）菱形的四条边都相等. （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心. 菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD． 菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8． 菱形中的全等三角形： 全等的等腰三角形有：， 全等的直角三角形有： 点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想). 温馨提示： ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等； ③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（） A. 对角线相等的平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2.如图, 3.菱形ABCD A. 28、48 B.20、24 C.28、24 D.20、48 4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 第2题第3题第4题第5题 6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF． 7.如图，已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长． 8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F． （1）求证：AE=CF； （2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．
2021年中考真题分类菱形的性质含答案与试题解析
2021年中考真题分类菱形的性质 一．选择题（共8小题） 1．（2021•烟台）如图，在直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ，B ，C 在坐标轴上，若点B 的坐标为（﹣1，0），∠BCD ＝120°，则点D 的坐标为（ ） A ．（2，2） B ．（√3，2） C ．（3，√3） D ．（2，√3） 2．（2021•河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A ．四条边相等 B ．对角线相等 C ．对角线互相垂直 D ．是轴对称图形 3．（2021•陕西）在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC 、BD ，则AC BD 的值为（ ） A ．1 2 B ． √2 2 C ． √32 D ． √33 4．（2021•南充）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝BF ＝2，△DEF 的周长为3√6，则AD 的长为（ ） A ．√6 B ．2√3 C ．√3+1 D ．2√3−1 5．（2021•乐山）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作
AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若∠ABC ＝120°，AB ＝2，则PE ﹣PF 的值为（ ） A ．3 2 B ．√3 C ．2 D ．5 2 6．（2021•绍兴）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，点P 从点B 出发，沿折线BC ﹣CD 方向移动，移动到点D 停止．在△ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ） A ．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B ．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C ．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D ．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 7．（2021•成都）如图，四边形ABCD 是菱形，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，添加以下条件不能判定△ABE ≌△ADF 的是（ ） A ．BE ＝DF B ．∠BAE ＝∠DAF C ．AE ＝AD D ．∠AEB ＝∠AFD 8．（2021•南通）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（ ） A ．24 B ．20 C ．10 D ．5 二．填空题（共9小题） 9．（2021•黔东南州）如图，BD 是菱形ABCD 的一条对角线，点E 在BC 的延长线上，若∠ADB ＝32°，则∠DCE 的度数为 度．
人教版八年级下册数学《菱形的性质与判定》同步练习(含答案)
菱形的性质与判定 一 、填空题（本大题共6小题） 1.如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =， 则菱形ABCD 的边长是 ． 2.如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你 添加的条件是 ． 3.如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 16cm AB BC ==，则 1∠= 度． 4.已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为 ________． 5.菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为 6.已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方， 则菱形的一个钝角的大小是 二 、解答题（本大题共7小题） D C A B 图2 1 C B A E F D B C A
7.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =． ⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件． ⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形． 8.如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折 叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形． 9.如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、 BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四 边形且PQ PN =． 10.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒， 18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数． F E D C B A C' D C B A E Q E P N M D C B A
完整版)菱形的性质和判定练习题
完整版)菱形的性质和判定练习题 1.这个菱形的高为9cm。 2.较短对角线长为10cm。 3.边长为5cm。 4.各角分别为72°和108°。 5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。 6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。 7.对角线互相垂直。 8.菱形。 9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。 10.周长为40cm。 11.互相垂直且不平分。 12.AB长为8cm。 13.CD的长为4. 14.对角线BD的长为2. 15.边长为5. 16.OH的长为7. 17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。
18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入 AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36. 19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。由正弦定理可得， $BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。 20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。由勾股定理可得，$x^2+(x/2)^2=3^2$，解得$x=2\sqrt{2}$，因此菱形的周长为8，选项A正确。 21.设菱形的邻角分别为$\alpha$和$2\alpha$，则菱形的周长为$4a=8$，菱形的高为$h=1$，由菱形的面积公式可得，$ah=15\sqrt{3}/4$。由正弦定理可得，$a/\sin\alpha=2h$，代入
菱形的性质和判定(含解析)
菱形的性质和判定 一、选择题 1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ) A 。5 B 。7 C .8 D . 二、解答题 2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD， 求证：OE=BC 3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F． （1）求证：△BCF≌△． (2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．
4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。 5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB． （1)求证：CF=AD ； （2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由． 6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点． （1)求证：四边形BEFG 是平行四边形； (2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．
菱形的性质和判定的答案和解析 一、选择题 1、答案： B 试题分析： 作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4， AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。 解：作CH⊥AB于H，如图， ∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°, ∴△ABC为等边三角形， ∴CH=AB=4，AH=BH=4， ∵PB=3, ∴HP=1， 在Rt△CHP中，CP= =7， ∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′， ∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上， ∴当点A′在PC上时,CA′的值最小， ∴∠APQ=∠CPQ， 而CD∥AB， ∴∠APQ=∠CQP， ∴∠CQP=∠CPQ， ∴CQ=CP=7． 故选：B．
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_四边形_菱形的判定与性质-填空题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-图形的性质_四边形_菱形的判定与性质-填空题专训及答案 菱形的判定与性质填空题专训 1、 (2017石家庄.中考模拟) 如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为________ cm． 2、 (2017吉林.中考模拟) 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是________． 3、 (2019苏州.中考模拟) 在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在斜边BC上的一点E处，折痕记为BD （如图1），剪去△CDE后得到双层△BDE（如图2），再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为________ cm． 4、
(2017如皋.中考模拟) 如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=________． 5、 (2019.中考模拟) 如图：顺次连接矩形A 1B 1 C 1 D 1 四边的中点得到四边形A 2 B 2 C 2 D 2 ， 再顺次连接四边形A 2B 2 C 2 D 2 四边的中点得四边形A 3 B 3 C 3 D 3 ，…，按此规律得到四 边形A n B n ∁ n D n .若矩形A 1 B 1 C 1 D 1 的面积为24，那么四边形A n B n ∁ n D n 的面积为________. 6、 (2018龙湾.中考模拟) 如图，点A在x轴的正半轴上，点B在反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，延长AB交该函数图象于另一点C，BC=3AB，点D也在该函数的图象上，BD=BC，以BC，BD为边构造▱CBDE，若点O，B，E在同一条直线上，且▱CBDE的周长为k，则AB的长为________． 7、 (2018嘉兴.中考模拟) 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与BC边上的点重合，折痕为BE，再沿过点E的直线折叠，使点B与AD边上的点重合，折痕为 EF，连结，．DC =∠B F，则的值为________
2021年九年级数学中考复习分类专题：菱形的判定与性质(三)
2021年九年级数学中考复习分类专题： 菱形的判定与性质（三） 一．选择题 1．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（） A．40 B．24 C．20 D．15 2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（） A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，则四边形ABCD的周长为（） A．1 B．4 C．D． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF 于点O，则∠AOF为（）
A．60°B．90°C．100°D．110° 5．如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（） A．24 B．32 C．40 D．48 6．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是，那么sinα的值为（） A．B．C．D． 7．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB 于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（） A．10 B．12 C．13 D． 8．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①2OG＝AB；②与△EGD 全等的三角形共有5个；③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形， 其中正确的是（）
2021八年级下册数学专项训练--菱形的判定与性质(含解析)
八年级下册---菱形的判定与性质 一、解答题（共25题；共125分） 1.（2020八下·察哈尔右翼前旗期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是的平分线，E为AD延长线上一点，CF//BE且交AD于F，连接BF、CE． 求证：四边形BECF是菱形． 2.（2020八下·大兴期末）如图，已知△ABC，D是AC的中点，DE⊥AC于点D ，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE ，AF．求证：四边形AECF是菱形． 3.（2020八下·滨州月考）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF与AD、BD、BC分别交于点E、O、F。 求证：四边形BFDE是菱形。 4.（2019八下·红河期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE=DF。 求证；四边形ABCD是菱形。 5.（2019八下·马鞍山期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
6.（2019八下·吴兴期末）如图，O是矩形ABCD的角对线的交点，作ED∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E。求证：四边形OCED是菱形。 7.（2020七下·津南月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F．求证：四边形AECF是菱形． 8.（2020八下·泉州期中）如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交于点E，DF∥AC交于AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形． 9.（2020八下·新昌期末）如图，在中，点E，F分别是BC，AD上的点，且BE=DF，AE=AF. 求证：四边形AECF是菱形. 10.（2020八下·珠海期中）已知：如图，在⊿ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点. 求证：四边形AEDF 是菱形.
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-1菱形的性质与判定》达标测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分） 1．已知边长为10cm的菱形，一条对角线长为12cm，则它的面积为（）A．96B．80C．60D．48 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△CDE的面积为（） A．11B．12C．24D．22 3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝4，则在下列结论中正确的是（） A．DB＝5B．AE＝4C．BE＝2D．OA＝3 4．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（） A．B．C．D．8 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB垂足为点E，∠ADC＝130°，则∠BOE的大小为（）
A．65°B．60°C．35°D．25° 6．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠EAD的度数为（） A．30°B．70°C．30°或60°D．40°或70°7．如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点则AE长的最小值为（） A．4B．C．5D． 8．如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（） A．B．C．10D． 9．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（）
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章 菱形的性质与判定》同步练习题附含答案
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章菱形的性质与判定》同步练习题附含答案 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、单选题 1．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是（） A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形 2．如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC=120°，则AC的长为（） A．2 √3B．2 C．√3D．1 3．如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA=4，直线y=2 3x+4 3 过点C，则菱形ABOC 的面积是 ( ） A．4 B．32 3C．8 D．16 3 4．如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（） A．2√3cm2 B．3√3cm2 C．4√3cm2 D．6√3cm2 5．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为√3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）
A．1：2 B．1：3 C．1：√2D．1：√3 6．如图有一张长为12，宽为8的长方形（矩形）纸片，先将其上下对折，再左右对折，最后沿着虚线剪下一个直角三角形①，若该直角三角形①的直角边长为整数，将①展开可得一个四边形，则下列哪个选项不能作为该四边形的面积（） A．18 B．24 C．28 D．30 7．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（） A．78°B．75°C．60°D．45° 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC的长是.
菱形的性质和判定(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：菱形的定义是什么？ 问题2：菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 问题3：菱形有哪些性质？ 问题4：菱形的判定有哪些？ 问题5：一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？ 菱形的性质和判定（人教版） 一、单选题(共11道，每道9分) 1.下列说法错误的是( ) A.菱形的对边互相平行 B.菱形的对角相等 C.菱形的对角线相等 D.菱形的每一条对角线平分一组对角 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.每条对角线平分一组对角 D.对角相等 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 3.下列说法正确的是( ) A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的判定 4.如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判断平行四边形ABCD是菱形的是( ) A.AB=BC B.AC⊥BD C.BD平分∠ABC D.AC=BD
答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的判定 5.菱形ABCD的周长为8，高为1，则该菱形两邻角度数比为( ) A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质
6.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且AE=AD，若∠B=80°，则∠CDE的度数为( ) A.30° B.25° C.20° D.35° 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理 2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积 12 ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★) 解答方法： ∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2， ∴ 122 132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。 答案：cm cm 6,4。 【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。 【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是2 24286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分， 根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲 目标导航
故答案为24，20． 解答：24,20 【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15° 解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE， ∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C． 答案：C 【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键． 【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90° 解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形， 可得该菱形较小内角的度数是60°． 解答：A 【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★) 解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD， ∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°． 即这个菱形较小的一个内角等于60°． 解答：60 【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)
2024成都中考数学复习专题 矩形、菱形、正方形的性质与判定(含答案)
2024成都中考数学复习专题 矩形、菱形、正方形的性质与判定 基础题 1. (2023上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝C D.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是() A. AB∥CD B. AD＝BC C. ∠A＝∠B D. ∠A＝∠D 2. (2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是() A. (3，－3) B. (－3，3) C. (3，3) D. (－3，－3) 第2题图 3. (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线AC，BD一定是() A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 互相平分且相等 D. 互相垂直且相等 4. (2023深圳)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a 个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为() 第4题图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. (2023十堰)如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是()
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B. 对角线BD的长度减小 C. 四边形ABCD的面积不变 D. 四边形ABCD的周长不变 第5题图 6. 如图，菱形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，EF＝2，BD＝8，则该菱形的面积为() 第6题图 A. 12 B. 16 C. 20 D. 32 7. (2023杭州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则AB BC＝() A. 1 2 B. 3－1 2 C. 3 2 D. 3 3 第7题图 8. (2023大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD＝α，∠CBE＝β，则β＝() 第8题图 A. 45°＋1 2α B. 45°＋ 3 2α
九年级数学菱形的判定(基础)(含答案)
菱形的判定（基础） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法中正确的是( ) A.对角线相等的平行四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.有一个角是直角的平行四边形是菱形 答案：B 解题思路： 对角线相等的平行四边形是矩形，故A错误 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，故B正确 对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故C错误 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D错误 试题难度：三颗星知识点：略 2.下列四边形中不一定为菱形的是( ) A.对角线互相平分的四边形 B.每条对角线平分一组对角的平行四边形 C.对角线互相垂直的平行四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形 答案：A 解题思路： 对角线互相平分的四边形是平行四边形，并不一定为菱形，故A符合题意 每条对角线平分一组对角的平行四边形，对角线相互垂直，则此平行四边形是菱形，故B 不符合题意 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意 用两个全等的等边三角形拼成的四边形的四条边长相等，所以该四边形是菱形，故D不符合题意 试题难度：三颗星知识点：略 3.如图，AC=8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，可得菱形ABCD，则关于操作依据的原理说法正确的是( )
A.四条边相等的四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.菱形的四条边相等 D.菱形的对角线互相垂直平分 答案：A 解题思路： 由作图可知，AB=AD=CB=CD=5 ∴此操作依据的原理是四条边相等的四边形是菱形 试题难度：三颗星知识点：略 4.如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，添加一个条件不正确的是( ) A.AC⊥BD B.AB=AD C.AC=AB D.∠ABD=∠CBD 答案：C 解题思路： 当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，故A不符合题意 当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，故B不符合题意 当AC=AB时，平行四边形ABCD不一定是菱形，故C符合题意 当∠ABD=∠CBD时， ∵OA=OC ∴AB=CB ∴平行四边形ABCD是菱形，故D不符合题意 试题难度：三颗星知识点：略 5.如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定