一线三等角教案
一线三等角专题说课稿
一线三等角专题说课稿“一线三等角”是初中数学中一个非常重要的几何模型。
它在解决很多几何问题时都有着关键的作用。
通过对“一线三等角”的学习，能够帮助同学们提升几何思维能力，灵活运用所学知识解决问题。
说学情咱们大学生啊，已经有了一定的几何基础，对于三角形、全等三角形、相似三角形等知识有了一定的了解。
但是在面对较为复杂的几何图形和问题时，可能还存在思路不清晰、方法运用不熟练的情况。
所以通过这一专题的学习，能够进一步巩固和拓展大家的几何知识。
说教学目标1. 让同学们理解“一线三等角”的基本概念和特征。
2. 掌握运用“一线三等角”模型解决相关几何问题的方法和技巧。
3. 培养大家的观察能力、逻辑推理能力和创新思维能力。
说教学重难点1. 教学重点“一线三等角”模型的识别和应用。
2. 教学难点如何在复杂的几何图形中发现并运用“一线三等角”模型解决问题。
说教学方法我打算采用讲授法、讨论法和练习法相结合的方式。
先通过讲授让大家了解“一线三等角”的基本概念和常见类型，然后组织大家进行讨论，分享自己的解题思路和方法，最后通过大量的练习来巩固所学知识。
说教学过程1. 导入通过展示一些含有“一线三等角”模型的几何图形，引起大家的兴趣，让大家思考这些图形的特点和规律。
2. 知识讲解详细讲解“一线三等角”的定义、类型（比如直角型、锐角型、钝角型等）以及相关的性质和定理。
3. 例题分析选取一些典型的例题，和大家一起分析题目中的条件，如何发现“一线三等角”模型，以及如何运用模型来解决问题。
4. 小组讨论给出一些练习题，让大家分组讨论，互相交流解题思路和方法。
5. 总结归纳和大家一起总结“一线三等角”模型的应用技巧和注意事项。
6. 布置作业布置一些相关的作业，让大家在课后进一步巩固所学知识。
说教学反思在教学过程中，要关注同学们的学习情况，及时调整教学进度和方法。
对于同学们在学习过程中出现的问题和困难，要给予耐心的指导和帮助，让大家都能掌握“一线三等角”这一重要的几何模型。
一线三等角专题复习教案
“一线三等角”专题复习浙江慈溪育才初中苏生年教学要求：1.掌握“一线三等角”的有关结论；2. 学会在几何图形中分离或构造“一线三等角”的基本图形，进而解决问题；3.探索解决几何问题的规律，提高学生解决问题的能力。
教学重点：掌握“一线三等角”的结论并学会应用。
难点：在“残缺”图形中构造基本图形，需要学生的猜想并探索，是本次专题复习的难点。
教学过程：一、“一线三等角”的引出及结论如图1，已知∠BAD＝∠DB E＝∠BCE＝Rt∠，由余角的关系可得∠1＝∠E，进一步得到△ABD∽△CEB。
一般地，如图2，已知∠1＝∠2＝∠3，由三角形内角和定理可得∠CBE＝∠D，进一步得到△ABD∽△CEB。
结论：一直线上的三个等角，可得到两个三角形相似图1 图2二、“一线三等角”的应用例1：（2011•荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD 于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对利用“一线三等角”的结论，由∠CPD=∠A=∠B得到△APG∽△BFP。
另外有△APD∽△PGD。
故选B.FGB C ADEHF DCA B EE D CFB A 例2：如图，在平面直角坐标系中，B(5，3)、C(0，3)、D(1,3)，P 点在x 轴上，且∠BPD ＝45°，则点P 的坐标为 ．图1 图2 本例是一个中考的压轴题。
因为∠BPD ＝45°，有学生考虑到圆周角与圆心角的关系，作△BDP 的外接圆，再添加适当的辅助线，如图1，O ’E=2，O ’F=EF-O ’E=3-2=1，O ’B=O ’P=22， ∴FP=7，点P （37+，0）或点P （37-，0）.另外，因为∠BPD ＝45°是特殊角，结合“一线三等角”，设法作∠DMP=∠BNP=∠BPD ＝45°，如图2，设P （x,0）由△PMD ∽△BNP 得MP MD BN PN =，∴32832x =-，求得x=3±7， ∴点P （37+，0）或点P （37-，0）.比较两者，利用“一线三等角”的结论，添加辅助线，思路相当顺畅。
三角形相似(一线三等角)教案
相似三角形（复习）一线三等角学习目标（1）疏通本章知识，弄清知识脉络.（2）进一步熟悉相似三角形的判定及其性质，相似三角形的判定和性质的应用.（3）能 通过三角形相似建模，求线段的长.【重点】：相似三角形的判定和性质； 【难点】：相似三角形的判定和性质的应用.教学过程【问题引领】相似三角形的判定： 相似三角形的性质【精讲精练】1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上．添加一个条件能判断△ AED ∽△ ABC 是____________2.如图，线段AE ，BD 相交于点C ，连接AB ，DE ，其中AB:DE=1:2，AC=2，BC=3．若∠A=∠D ，则CE=_______，CD=_______．3.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是( )．A. 6B. 12C. 18D. 244.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为__________5.如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上GE ∥BD ，且交AB 于点E ，GF ∥AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A B A G A .=A E A D D F D G B .=C F A D F G E G C .=A C B D A E C F D .=B E D F6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 边上，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ，若 AE=AD 513，CD=3，则AF 的长为( ) 1513A. 2413B. 245C. 158D. 7.如图，在□ABCD 中，AE ：ED=1：2，点E 为AD 上一点，BE 交AC 于点F ，若AEF S=2 求 S BCF =________ S __________ABF = 【合作探究】1. 如图，AC ⊥AB ，BE ⊥AB 垂足分别为A ，B ，AB ＝10，AC=2，用一块直角尺 进行如下操作：让直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终经过点C ， 另一直角边与BE 相交于点D ，若BD=8，则AP 的长为_______A B D E C 第3题图D A B C EF 第4题图 第5题图AB C 第6题图 ACP B E D132B D2.在等边△ABC 中，AB=6，点P 在BC 边上，D 在AC 边上，且∠APC=60°，BP=2cm ，则CD 的长为_______【限时练】 1.如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，点D 为BC 上一点，BD=2，过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE=∠B .求线段EC 的长度.2.在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，∠AED=∠B ，如果AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，那么AB 的长为( )A.3B.92 C. 43 D.52第2题图第3题图第4题图 第5题图 3.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AD 、DC 上，BE ⊥EF ，AB=6，AE=9，DE=2，则EF 的长为_______________4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 上一点，点D 是边BC 上一点（不与B ，C 重合）．若∠EDF =∠B ，BE =2，BD =3，BC =6，则FC 的长为______________．5.如图，在△ABC 中，M ，N 分别为AC ，BC 的中点．若S △CMN ＝1，则ABMN S 四＝________.【走进中考】6.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA相交于点Q. (1)如图，当点Q 在线段AC 上，且AP ＝AQ 时， 求证：△BPE ≌△CQE ； (2)如图(2)，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ； 并求当BP ＝2，CQ ＝9时BC 的长．B CB C D F E D C B A B AC A B E F。
一线三等角教案
5、坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题。
教学环B=2，AD=4，BP⊥PQ，
AP∶PD=3∶7，则BP∶PQ=．
例4、已知：在梯形ABCD中，AD//BC，AD<BC，且AD=5，AB=DC=2．如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A．
教师可根据班级实际情况将边DC改为射线DC。
学生课后完成。
此题是对于上题变式演练的延续，也是初三同学在总复习中需要加强的动点函数问题，通过此题检验同学对于构造一线三等角的题型掌握程度。
2、通过归纳同种类型例题，提升学生数学自我分析能力，培养良好数学的思维方式和归纳能力。
过程与方法目标
情感态度与价值观目标
教学关键把握
教学重点
1、通过观察、分析、归纳、总结的方法探寻一线三等角基本图形特征。
2、培养学生分析，归纳能力。
教学难点
在复杂背景图形下识别、运用一线三等角基本图形解决问题。
教学方法
请同学简述此类图像的特征。
通过观察上述图像，说一说此类图像的共同特征。
通过观察发现在有“有三个相等的角的顶点在同一条直线上”的情况下，可以利用外角性质找到一对相等的角，再结合原有的一对相等的角，可以得到相似三角形。简称为“一线三等角”
两张图形分别展示了三角形中一线三等角的基本模型。
教学环节
三．变化探索
上大附中实验学校
教
学
设
计
年度2017年度
学期第一学期
姓名徐树茂
班级九年级（1）班
数学教研组制
2017年12月
教学设计
课题
一线三等角
上课时间
2017．12
一线三等角教学设计
EDCBA相似三角形专题复习————“一线三等角”型【教学目标】 1、会用“一线三等角”的基本图形解决相似中的相关问题 2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综合解题能力【重点】运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
【难点】 “一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用 【教学方法】 合作探究、小组讨论【教具准备】三角尺，多媒体．【教学过程】一．类比探究，问题导入：（1）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
△BAC ∽△CED（2）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
△ABC ∽△ECD（3）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=120°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
△BAC ∽△CED设计意图 一、导入新课,揭示目标(7分钟) 情景：（1）师生解读学习目标（1分钟） （2）三个问题呈现提供了同类相似三角形，让学生说出每一个问题的证明过程是必要的，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。
从问题和模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫。
（6分钟）追问：三个图形有什么共同点？（引入“一线三等角”的概括性名称）二、抽象模型，揭示实质（3分钟抽象模型的目的是让学生的认识从“特殊“上升到“一般”，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要求学生写出证明过程，为例1的学习提供帮助，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的效果。
E DCBA EDCBA321G FED CBA 321ED C B A二、抽象模型，揭示实质如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，并写出证明过程 结论：图中△ABC ∽△ECD理由：∵∠BCE=∠A+∠B=∠BCD+∠DCE 又∵∠A=∠BCD ∴∠B=∠DCE ∵∠A=∠E ∴△ABC ∽△ECD总结规律：顺口溜：“一线三等角，两头对应好，互补导等角，相似轻易找” 三．运用新知，看图作答下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）四、典例解析 综合运用例1、已知，如图，在矩形ABCE 中，D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点E 落在BC 上，若BC=10,BE ∶EC=4∶1.求CD 的长ABCDE例2如图，在平面直角坐标系中，o 为坐标原点，B 点坐标总结规律：（学生会用自己的语言总结出规律，老师应适当给予肯定，然后总结出顺口溜） 顺口溜：“一线三等角，两头对应好， 互补导等角，相似轻易找” 这里通过口诀来总结规律，学生兴趣盎然，形象易记。
九年级数学一线三等角教案
一线三等角模型复习目标：1.能熟练运用AAS定理证三角形全等体会“一线三等角”几何模型在解题中的作用.2.能构造出“一线三等角”模型，能提炼出“一线三等角”几何模型,提高解决问题的能力.学情分析：本班的学生学习数学的热情较高，基础挺好，思维比较活跃，研究的气氛比较浓，但需要进行适当的引导，一方面鼓励他们学习、提问的热情，一方面利用他们不同的见解，不同的看法，推进课堂进度，使问题回归知识本质从而使学生成为课堂的主人。
设计思路：本节课采用“诱思探究教学”，让学生在教师导向性信息的指引下，动用所有的感官，亲身体验，独立思考，自主探究，合作学习。
使本节课的教学任务得以顺利的完成。
充分体现“已诱达思，启智悟道”的教学精髓。
本节课采用学生动手和多媒体教学相结合的教学方法。
一方面增强了学生的动手能力，增加了学生的学习兴趣，另一方面通过演示使得导向性信息更加明确，有利于学生严密思维习惯的养成。
教学过程：导入：构造全等三角形时，技巧性不够，缺少数学模型思想，针对以上这个问题，引出复习目标。
一：归纳篇：1.通过做习题1:已知：如图，AB=AD,∠C=∠BAD=∠E=90,点C 、A 、E 共线。
求证：（1）∠1=∠2 （2）△ABC ≌△DAE第一个结论是应用的同角的余角相等这个结论。
第二个全等的结论运用的是AAS 定理的，（让学生 体会用AAS 定理证全等，关键是证角相等） 从而让学生观察本题特点，引出一线三直角 数学模型。
（三分钟完成本题+两分钟引出数学模型）2. 引申:老师引导学生如果换成三个相等的锐角三角形呢，三个相等的直角三角形呢，还会出现角相等，三角形全等的现象吗？引出下面探究 已知：如图，∠E=∠CAB= ∠D=∠α,AB=AC, E,A,D 共线。
猜想一个你认为正确的结论。
由这个探究从而得到一线三等角模型，同时也给出了精确的讲解。
当学生树立一线三等角模型之后，归纳总结一下，看到一线三等角模型之后会得到那些结论？B C AE123D让学生自己体会通过探究自己得到应有的结论，从而学案中的两个题也会迎刃而解。
《相似三角形之一线三等角》教学课件
《相似三角形之一线三等角》教学ppt课件2023-10-26CATALOGUE目录•引言•相似三角形基本概念•一线三等角定理及其应用•课堂活动与练习•总结与回顾01引言•相似三角形是初中数学的重要内容，而一线三等角是相似三角形的一种重要类型。
通过学习本课，学生能够深入理解相似三角形的性质和判定方法，提高数学思维和解决问题的能力。
课程背景课程目标学会如何利用一线三等角判定两个三角形相似；掌握一线三等角的定义和性质；培养学生的自主学习和合作学习能力。
通过案例分析，培养学生的数学思维和解决问题的能力；教学策略利用PPT课件引导学生逐步深入学习；采用讲解、示范、小组讨论等多种教学方法，帮助学生掌握知识；通过案例分析，让学生了解一线三等角的应用；组织课堂练习和小组讨论，加深学生对知识的理解和应用。
02相似三角形基本概念如果两个三角形三边对应成比例，那么这两个三角形相似。
定义如果$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么$\bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup DEF$。
数学符号表示相似三角形的定义相似三角形的性质对应角相等相似三角形对应角相等，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\angle A =\angle E$，$\angle B = \angle F$，$\angle C = \angle D$。
对应边成比例相似三角形对应边成比例，可以用$\bigtriangleup ABC \backsim \bigtriangleup DEF$推出$\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}$。
定义法根据相似三角形的定义进行判断，即判断两个三角形三边对应成比例。
平行线法通过平行线构造相似三角形，即利用平行线的性质，将两个三角形放在平行线上，通过移动使得对应边成比例，从而证明两个三角形相似。
“一线三等角”型相似优秀教案
“一线三等角”型相似教学目标：1、了解“一线三等角”型相似三角形的基本模型，建立模型解题意识；2、能熟练利用“一线三等角”型相似模型解决数学问题.教学重点：识别、构造“一线三等角”型相似模型并应用.教学难点：构造“一线三等角”型相似模型并灵活运用.教学方法：探究式教学法教学过程：1、建立模型：（1）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，点B、C、D在同一直线上，则△ABC∽△CDE．（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．则△ABD∽△DCE．简介：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。
若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．应用1、如图，在边长为9的正方形中，为上一点，连接.过点作ABCD F AB CF F ，交于点,=3，则等于( )FE CF ⊥AD E AF AE A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5应用2、如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数A 6(0)y x x =-<B 1(0)y x x=>的图像上，且，则的值为( )90AOB ∠=︒AO OBA. 6B. 3 D. 2应用3、如图，在等边中，为边上一点，且，求ABC ∆D BC 60,3,2ADE BD CE ∠=︒== 的边长.ABC ∆应用4、如图，等腰三角形OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为(6，8)，OA=OB ．动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动，动点Q 从原点O 出发，沿y 轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q 作x 轴的平行线，分别交OA 、AB 于E 、F ，连结PE 、PF ．设动点P 、Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也停止运动，它们运动的时间为t 秒(t ≥0)．(1)点E 的坐标为___________，F 的坐标为 ___________ ；(均用t 来表示)(2)是否存在某一时刻t ，使∠EPF 为直角?若存在，请求出此时刻t 的值：若不存在，请说明理由．应用5、如图，已知点A 是双曲线y =在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长2x 交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y =(k <0)上运动，则k 的值是 .k x4、课堂小结感悟：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________5、练习与作业：1．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（ ）A．B．C．D．2．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）A． B． C． D．OABC O A x3.如图，将一张矩形纸片放在平面直角坐标系中，为原点，点在轴的正半轴C y OCD BD C OA上，点在轴的正半轴上.在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处.若=10,=5，则点的坐标为___________ .E OA CD E4. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．。
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相似三角形的判定---“一线三等角”
一、教学目标
1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。
2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。
3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。
二、教学重点、难点
1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明
2、难点：在不同背景中识别基本图形
三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。
四、教学过程
四知识巩固： 1已知，如图，在矩形ABCE 中，
D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点
E 落在BC 上，若BC=12,BE ∶EC=2∶1.求AB 的长
A
B
C
D
E
借助此题，让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角的特点，容易和“一线三直角”基本图形建立联系。
本题融入了轴对称的变换，让题目更鲜活
教师引导学生观察图形，
找基本图形。
师生共同完成 2. 在平面直角坐标系中，A(0,1),B （2,0），AC ⊥AB,AC=3.
求点C 的坐标。
B
A
C
在坐标系中感受基本图形的作用。
引导学生分析如果要求出点c 的坐标应求那条线段的长？鼓励学生添加辅助线，构造
基本图形。
学生到黑板上完成。
五课堂小结：
知识：（1）判断相似三角形的方法（2）“一线三等角”的基本特征（3）“一线三等角”在不同背景中的应用 思想方法：转化思想。
通过小结让学生可以梳理一
下本节课所学知识。
学生及时的小结为下一阶段的学习打下基础。
教师提问、补充。
学生回答。