butterworth滤波器设计
巴特沃斯滤波器求阶数n
巴特沃斯滤波器求阶数n
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目录
一、巴特沃斯滤波器概述
二、巴特沃斯滤波器的阶数选择
三、巴特沃斯滤波器的设计方法
四、应用实例与结论
正文
一、巴特沃斯滤波器概述
巴特沃斯滤波器（Butterworth filter）是一种常用的数字滤波器，以英国数学家巴特沃斯（Butterworth）的名字命名。
其特点是通频带的频率响应曲线最平滑，能够有效地抑制噪声和杂波，广泛应用于信号处理、通信系统等领域。
二、巴特沃斯滤波器的阶数选择
在设计巴特沃斯滤波器时，一个重要的参数是滤波器的阶数 n。
阶数n 决定了滤波器的性能，如通带截止频率、阻带衰减等。
一般来说，阶数n 越大，滤波器的性能越理想，但同时计算复杂度和成本也会增加。
因此，需要在满足性能要求的前提下，选择合适的阶数 n。
三、巴特沃斯滤波器的设计方法
巴特沃斯滤波器的设计方法通常采用拉普拉斯变换或模拟滤波器原
型法。
拉普拉斯变换是一种数学工具，可以将数字滤波器设计问题转化为一个关于 s（复变量）的方程，然后通过求解该方程得到滤波器的传递函数。
而模拟滤波器原型法则是通过构建一个模拟滤波器，然后根据模拟滤波器的特性设计数字滤波器。
四、应用实例与结论
巴特沃斯滤波器在信号处理和通信系统中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，可以使用巴特沃斯滤波器对音频信号进行降噪和音质改善；在通信系统中，可以使用巴特沃斯滤波器对信号进行预处理，以提高信号的可靠性和抗干扰性。
总之，巴特沃斯滤波器是一种优秀的数字滤波器，具有良好的性能和实用性。
数字Butterworth滤波器的设计说明
数字Butterworth滤波器的设计说明1.M ATLAB 相关知识MATLAB 包括拥有数百个部函数的主包和三⼗⼏种⼯具包。
⼯具包⼜可以分为功能性⼯具包和学科⼯具包。
功能⼯具包⽤来扩充MATLAB 的符号计算，可视化建模仿真，⽂字处理及实时控制等功能。
学科⼯具包是专业性⽐较强的⼯具包，控制⼯具包，信号处理⼯具包，通信⼯具包等都属于此类。
本次课设要⽤到的是matlab 的信号处理⼯具箱，它提供了IIR 滤波器设计的完全⼯具函数，⽤户只要调⽤这些⼯具函数即可⼀次性完成设计，⽽不需像上⾯分步实现。
MATLAB 提供的函数有：Butter 、cheby1、cheby2、ellip 等。
这些函数即可⽤于模拟滤波器也适⽤于数字滤波器。
在使⽤这些函数设计数字滤波器时，数字频率采⽤标准化频率（归⼀化频率）。
matlab 的信号处理⼯具箱，它提供了有关巴特沃斯滤波器的函数buttap 、buttord 、buttter 。
利⽤[,,]()z p k bttap n =可设计出 n 阶巴特沃斯低通滤波器原型，burrord 函数可在给定滤波器性能的情况下，选择巴特沃斯滤波器的阶数 n 和截⽌频率 c ω，从⽽可利⽤butter 函数设计巴特沃斯滤波器的传递函数。
利⽤[,](,,,,'')c p s p s n buttord R R s ωωω=可得到满⾜性能的模拟巴特沃斯滤波器的最⼩阶数 n 及截⽌频率c ω， p ω其中为通带的拐⾓频率，s ω为阻带的拐⾓频率，p ω和s ω的单位均为rad/s ； s R 为通带区的最⼤波动系数，p R 为s R 阻带区的最⼩衰减系数，s R 和p R 的单位都为dB 。
利⽤[,](,,'')s b a butter n s ω= 可设计截⽌频率为cω的n 阶低通模拟巴特沃斯滤波器。
2.设计1：低通巴特沃斯模拟滤波器设计。
设计⼀个低通巴特沃斯模拟滤波器：指标如下：通带截⽌频率：p f =3400HZ, 通带最⼤衰减：p R =3dB阻带截⾄频率：s f =4000HZ ，阻带最⼩衰减：S A =40dB2.1数字滤波器的⼯作原理数字滤波器是具有⼀定传输特性的数字信号处理装置。
butterworth滤波器 的matlab实现 -回复
butterworth滤波器的matlab实现-回复[butterworth滤波器的matlab实现]引言：滤波器在信号处理中起着至关重要的作用。
而butterworth滤波器是一种常用的滤波器设计方法，其具有平坦的幅频响应和相位特性。
本文将详细介绍如何使用MATLAB实现butterworth滤波器，并提供完整的代码示例。
第一步：了解butterworth滤波器设计原理butterworth滤波器是一种IIR（无限脉冲响应）滤波器，其特点是在通带具有平坦的幅频响应，同时在阻带具有Monotonic响应。
它的设计方法基于巴特沃斯极点的位置，这些极点分布在圆形轨迹上。
当设计一个butterworth滤波器时，我们需要指定滤波器的阶数和截止频率。
阶数决定了滤波器的陡峭度，而截止频率定义了通带和阻带之间的边界。
第二步：导入MATLAB信号处理工具箱在实现butterworth滤波器之前，我们需要导入MATLAB的信号处理工具箱。
通过执行以下语句，可以载入工具箱：matlab>> toolbox = 'Signal Processing Toolbox';>> if ~license('test', toolbox)>> disp('Signal Processing Toolbox is not available.');>> end如果工具箱已安装并可用，将显示一条消息来确认其可用性。
第三步：设计butterworth滤波器在MATLAB中，我们可以使用`butter`函数来设计butterworth滤波器。
此函数的语法如下：matlab[b, a] = butter(n, Wn, 'ftype')其中，`n`是滤波器的阶数，`Wn`是截止频率（以Nyquist频率标准化），`ftype`是滤波器类型（如`'low'`、`'high'`、`'bandpass'`等）。
Butterworth模拟低通滤波器设计
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB 。
%determine the DF filter [numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h)); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm))); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws]; h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
Ap=1.00dB, As=40dB
模拟高通滤波器的设计
MATLAB实现 [numt,dent] = lp2hp(num,den,W0)
例： 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, Ap1dB, As 40dB。
%高通滤波器的设计 wp=1/(2*pi*5000);ws=1/(2*pi*1000);Ap=1;As=40; [N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [num,den] = butter(N,Wc,'s'); disp('LP 分子多项式'); fprintf('%.4e\n',num); disp('LP 分母多项式'); fprintf('%.4e\n',den); [numt,dent] = lp2hp(num,den,1); disp('HP 分子多项式'); fprintf('%.4e\n',numt); disp('HP 分母多项式'); fprintf(‘%.4e\n’,dent);
数字信号Butterworth滤波器设计方法
一. 设计任务 1. 设计目的：（1）熟悉和巩固模拟滤波器的设计方法和原理（2）掌握Butterworth 滤波器设计方法 （3）实现滤波器设计的有关经典算法（4）熟练掌握使用高级语言程序设计各种要求的数字滤波器 （5）熟练掌握冲激响应不变法。
2.设计技术指标：（1）按要求设计Butterworth 型数字低通滤波器， （2）性能指标如下：① 通带截止频率πω2.0=p ； ② 通带最大衰减αp=3dB ； ③ 阻带起始频率πω3.0=s ； ④ 阻带最小衰减αs=20dB ；二．数字滤波器的设计根据给定技术指标和数字信号处理理论相关知识进行计算；（1）计算模拟低通滤波器的阶次：N=lg )lg(/11011010/10/12c s ΩΩ--δδ 一般情况下计算结果N 为小数，应向上取整数，对于本任务书给出的技术指标，N=6。
（2） 设计模拟低通滤波器：查参考书或教材表格（不同参考书可能形式略有不同）可得归一化原型滤波器系统函数，根据归一化原型滤波器系统函数，得模拟滤波器系统函数如下： csp p G s G Ω==|)()(注：此处也可以不采用查表法，直接求G(S)，即Ha(s)极点，得出模拟滤波器系统函数。
（3） 根据冲激响应不变法，将模拟低通滤波器转化为数字低通滤波器冲激响应不变法原理： 冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应序列()h n 模仿模拟滤波器的单位冲激响应()a h t ，将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样，使()h n 正好等于()a h t 的抽样值，即满足：()()a h n h nT =式中：T 为抽样周期。
冲激不变法把稳定的()a H s 转换为稳定的()H z 。
由此方法可得到一阶系统的最基本的转换关系为：1111aTs s a e z --⇒+-（5）本题设计结果：H(z)=0.0034118*(21212756.00318.110332.10328.21----+-++z z z z*21214127.01427.119996.11----+-++z z z z *21217358.04041.119679.09676.11----+-++z z z z ) 三、实验代码：wp=0.2*pi; %性能指标： 通带截止频率0.2*pi ws=0.3*pi; %阻带起始频率0.3*pi Rp=3; %通带最大衰减3dBAs=20; %阻带最小衰减αs=20dB T=1;Rip=10^(-Rp/20); Atn=10^(-As/20); OmgP=wp*T; OmgS=ws*T;[N,OmgC]=buttord(OmgP,OmgS,Rp,As,'s'); %选取滤波器阶数N=6 [cs,ds]=butter(N,OmgC,'s');[b,a]=impinvar(cs,ds,T); %用冲击不变法进行转换 [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);subplot(2,2,1); plot(w/pi,mag); title('Magnitude Response'); xlabel('w(/pi)'); ylabel('|H(jw)|'); axis([0,1,0,1.1]); subplot(2,2,2); plot(w/pi,db); title('Magnitude in dB'); xlabel('w(/pi)'); ylabel('dB'); axis([0,1,-40,5]);subplot(2,2,3); plot(w/pi,pha/pi); title('Phase Response'); xlabel('w(/pi)'); ylabel('pha(/pi)'); axis([0,1,-1,1]);subplot(2,2,4); plot(w/pi,grd); title('Group delay'); xlabel('w(/pi)'); ylabel('Sample'); axis([0,1,0,12]);function[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a)%滤波器的幅值响应(相对、绝对)、相位响应及群延迟 %Usage:[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a) %a 系统函数 H(z)的分母项(对 FIR ，a=1)[H,w]=freqz(b,a,500); mag=abs(H); db=20*log10(mag/max(mag)); pha=angle(H); grd=grpdelay(b,a,w);matlab 仿真结果Magnitude Responsew(/pi)|H (j w )|Magnitude in dBw(/pi)d BPhase Responsew(/pi)p h a (/p i )Group delayw(/pi)S a m p l e四、激响应不变法的频率混叠失真和优缺点分析数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应间的关系为：12()()j ak H e H j k TTωπ∞=-∞Ω-=∑上式表明，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器的周期延拓，根据奈奎斯特抽样定理，只有当模拟滤波器的频率响应是严格限带的，且带限于折叠频率[/2,/2]s s -ΩΩ以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内，重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失真。
butterworth低通滤波器参数
题目：butterworth低通滤波器参数一、介绍butterworth低通滤波器的背景和原理1. butterworth低通滤波器是一种常见的滤波器，其设计基于butterworth多项式，具有平滑的频率响应曲线和零相移特性。
2. 该滤波器在信号处理、通信系统和控制系统等领域应用广泛，可以有效抑制高频噪声和干扰信号。
二、butterworth低通滤波器的参数1. 截止频率：指滤波器在频率响应曲线上的截止点，通常用于控制滤波器的频率特性。
2. 阶数：指滤波器的阶数，决定了滤波器的频率响应曲线的陡峭度和滚降特性。
3. 通带波纹：指滤波器在通带范围内的振幅波动，直接影响滤波器的频率特性和性能。
4. 零相移特性：指滤波器在通过信号时不引起相位延迟，保持信号的原始相位信息。
三、设计butterworth低通滤波器的步骤1. 确定滤波器的截止频率，根据实际应用需求和信号特性选择适当的截止频率。
2. 确定滤波器的阶数，根据滤波器对信号频率的要求和系统性能要求选择合适的阶数。
3. 计算滤波器的参数，根据截止频率、阶数和通带波纹要求计算出滤波器的传递函数和频率响应特性。
4. 实现滤波器的设计，根据计算得到的参数进行滤波器的设计和实现，通常采用数字滤波器或模拟滤波器。
四、butterworth低通滤波器的应用案例1. 语音信号处理：在语音通信系统中，butterworth低通滤波器可以用于消除背景噪声和提取语音信号。
2. 图像处理：在数字图像处理中，butterworth低通滤波器可以用于去除图像中的高频噪声和平滑图像的细节。
3. 控制系统：在控制系统中，butterworth低通滤波器可以用于滤除控制信号中的高频噪声和干扰。
五、结论butterworth低通滤波器是一种常见且有效的滤波器，通过合理选择参数和设计，可以满足各种信号处理和系统控制的需求。
深入理解butterworth低通滤波器的原理和参数对于工程实践具有重要的意义。
数字Butterworth滤波器的设计
4.1.1.通带截止频率fp=3400Hz，通带最大衰减Wp=3dB，阻带截止频率fs=4000Hz，阻带最小衰减Ws=40dB，设计巴特沃斯低通滤波器。
程序如下：>> Wp=2*pi*3400; %通带截止角频率>> Ws=2*pi*4000; %阻带截止角频率>> Rp=3; %通带最大衰减>> Rs=40; %阻带最小衰减>> [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s'); %求巴特沃斯阶数和3db截止角频率>> [b,a] = butter(n,Wn,'s'); %求传递函数>> [z,p,k] = butter(n,Wn,'s'); %求零极点及增益>> w=linspace(1,15000)*2*pi;>> H =freqs(b,a,w); %频率响应>> magH=abs(H); %频率响应的幅度>> phaH=unwrap(angle(H)); %频率响应的相位(平滑处理) >> plot(w/(2*pi),20*log10(magH)); %频率响应的幅度的曲线图>> title('巴特沃斯低通滤波器的幅频特性');>> xlabel('频率/Hz');>> ylabel('幅度/db')4.1.2已知模拟滤波器的系统函数为Ha(s)=1000/(s+1000) ，分别用冲激响应不变法和双线性变换法将转化为数字滤波器，并画出Ha(s) 和H(Z) 的频率响应曲线。
抽样频率分别为1000Hz和500Hz.程序如下，clear; %清除变量close all %关闭所有窗口b=1000;a=[1,1000]; %模拟滤波器分子分母的系数w=[0:1000*2*pi]; %定义频带宽度[hf,w]=freqs(b,a,w); %把频域转化到复频域subplot(2,3,1) %分割窗口画图plot(w/2/pi,abs(hf)); %画滤波器的幅频特性title('模拟滤波器的幅频特性') %给这个图加个标题grid on %打开网格fs0=[1000,500]; %定义两个变化频率for m=1:2fs=fs0(m)[d,c]=impinvar(b,a,fs) %脉冲响应不变法求滤波器系数[f,e]=bilinear(b,a,fs) %双线性变化法求滤波器系数wd=[0:512]*pi/512; %频率归一化hw1=freqz(d,c,wd); %求脉冲响应不变法的数字滤波器的频率分量hw2=freqz(f,e,wd); %求双线性变化法的数字滤波器的频率分量subplot(2,3,2); %分割窗口画图plot(wd/pi,abs(hw1)/abs(hw1(1))); %画滤波器的幅频特性hold on %保持图形不清除grid on %打开网格title('脉冲响应不变法'); %给这个图加个标题subplot(2,3,3)%分割窗口画图plot(wd/pi,abs(hw2)/abs(hw2(1))) %画滤波器的幅频特性hold on; %保持图形不清除title('双线性变化法'); %给这个图加个标题end4.1.3设计一个10阶的带通butterworth数字滤波器，通带范围是100到250Hz，采样频率1000HZ,并画出它的冲击响应。
Butterworth (巴特沃斯)滤波器设计参考
可以看出 fc@1000Hz 有-3dB 的衰减。
6
3. 1 阶 Butterworth HPF 设计
1 z 1 s C1 1 z 1 1 z 1 1 H ( z) , set G (C1 1) (C1 1) z 1 C1 1 1 H (s) , s 1 G Gz 1 H ( z) 1 G (C1 1) z 1 B0 G, A0 1, B1 B0 , B2 0 A2 0
多项式因子
1 2 3 4 5 6 7 8
(Note: 参考 维基百科 “巴特沃斯滤波器”)
1
由此得到 d0=a0=aN=1 情况下的 Butterworth 多项式展开的系数表：
H (s)
d0 , a0 a N d 0 1 a 0 a1 s a 2 s 2 a N s N
Butterworth （巴特沃斯）滤波器设计参考
-- By Water 在嵌入式音频产品开发过程中经常会到 LPF（Low Pass Filter 低通滤波器）和 HPF（High Pass Filter 高通滤 波器），一般情况下都是离线用工具(如: Matlab）设计好滤波器的参数（Filter Coefficients）再应用到产品中 去。但有些状况下需要用户自己根据需求来实时(Real-time)调整 Filter Frequency Response (滤波器频率响应）, 这种情形下就需要在嵌入式系统中实时根据客户的设定需求来产生相应的 Filter Coefficients。 下文就汇总出了 N 阶 IIR LPF & HPF Butterworth 滤波器系数的设计方法， 具体的算法原理推导可以参考陈佩 青《数字信号处理教程》一书，此处只给出工程上可以应用的结论。
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阻带应达到的最小衰减：
H (e j0 )
As 20 lg
20 lg H (e jws ) (dB)
H (e jwp )
式中均假定：H（e j0） 1，即归一化
四、H(z)如何推导出
•有时根据提出对滤波器的性能要求、频率特 性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z). •有时根据时域波形提出要求来设计-->单位冲 激响应h(n)的形状。 •有时也直接给出H(z).(但要求因果稳定).
通带衰减：Ap
fp1 fs1 wp1 ws1
As
阻带截止频率：上限截止 频率fs2(ws2)，下限截止频
fs2 fp2 f 率fs1(ws1)。
ws2 wp2
w 阻带衰减：As
5、通常具体技术标
通带允许最大衰减：
H (e j0 )
Ap 20 lg
20 lg H (e jwp ) (dB)
H (e jwp )
2.相位响应
H (e jw ) H (e jw ) e j arg H (e jw ) H (e jw ) e j (e jw )
Re[ H (e jw ) j Im H (e jw )]
所以
（1）H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单 位园镜像对称的。
（2）为了使H(z)成为可实现的系统，故取：
单位园内的那些极点作为H(z)的极点
单位园外的那些极点作为H(z-1)的极点
H(z)的零点一般不是唯一确定的，可在z平面 上的任意位置。
（3）如果选H(z)H(z-1)在z平面单位园内的零 点作为H(z)的零点，则所得到的是最小相位 延时滤波器。
fs fp ws wp
通带截止频率：fp(wp)又称 为通带下限频率。
通带衰减：Ap
阻带截止频率：fs(ws)又称 As 阻带上限截止频率。
f 阻带衰减：As
w
3、带通滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f) Ap 1
通带截止频率：上限截止 频率fp2(wp2)，下限截止频 率fp1(wp1)。
第六章 IIR DF的设计方法
第一节 引言
一、滤波器的设计方法
• 因为，DF是一种具有频率选择性的离散线性 系统，即选频滤波器。它在确定信号与随机 信号的数字处理中有着广泛的应用。
• 数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现 的过程。
二、滤波器设计的步骤
1.根据任务，确定性能指标。 2.用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。 3.用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选
H (e jw ) 2 H (e jw )H＊(e jw ) H (e jw )H (e jw ) H (z)H (z 1 ) ze jw 当只需要逼近幅度而不管相位时， 就可根据幅度平方响应来进行设计。
通常我们用的数字滤波器一般属于选频滤波 器，幅频特性表示信号通过该滤波器后频率成 分衰减情况。本章主要研究由幅频特性提出指 标的选频滤波器的设计，即根据幅度平方响应 来设计。
六、本章主要内容
• 1.设计IIR DF两种变换法（模拟频率变换 法，数字频率变换法）。
• 2.利用模拟滤波器来设计数字滤波器的两 种方法（冲激不变法、双线性变换法）。
• 3.（计算机辅助设计）最优化技术设计 （最小均方误差法、最小误差设计法）
第二节 IIR DF 设计方法
一、IIR DF 系统函数
IIR DF 是一个递归型系统，其系统函数：
M
M 1
bi z i
(1 Ci z 1 )
H (z) i0 N
A i1 N
1 ai z i
(1 di z 1)
以系其使统中滤H，(波azi)(器的i i满设11,足计给N定)至确的少定性i有a1 i能,一b要i 个,或求不零，为极并0点.能c稳i , d定i 工作。
由于冲激响应h(n)为实函数，故满足：
H＊(e jw ) H (e jw )
即满足共轭对称条件。若
是H(z)的极点，则： 是H(z-1)的极点.
z re jwi z 1 e jwi
r
又由于H(z)的有理表达式中各系数为实数，因
而，零极点必然都以共轭对形式出现，故必
有：
z
re
jwi
z 1 e jwi 两极点存在 r
1、低通滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f)
1
Ap
1-δ1
δ1:通带的容限
δ2：阻带容限
通带截止频率：fp(wp)又称 为通带上限频率。
δ2 fp fs wp ws
通带衰减：Ap
As f
阻带截止频率：fs(ws)又称 阻带下限截止频率。
w
阻带衰减：As
2、高通滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f) Ap 1
择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理 方法。） 4.用适当的软、硬件技术实现 包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、 或者二者结合。
三、性能指标
• 我们在进行滤波器设计时，需要确定其性 能指标。
• 理想滤波器物理不可实现的。（由于从一 个频带到另一个频带之间的突变）
• 要物理可实现：应从一个带到另一个带之 间设置一个过渡带且在通带和止带内也不 应该严格为1或零。应给以较小容限。
二、IIR DF频率特性
• 它是由二个参量来表征： 1.幅度平方响应（幅频特性） 2.群延时（相位响应、相频特性）
滤波器H (e jw ) H (e jw ) e j arg H (e jw ) 通常DF的设计指标由幅频特性、相频特性决定，
它又等效由H (e jw )、群时延g(w)决定。
1.幅度平方响应
通带衰减：Ap
fs1 fp1 fp2 fs2 ws1 wp1 wp2 ws2
As
阻带截止频率：上限截止 频率fs2(ws2)，下限截止频
f 率fs1(ws1)。
w 阻带衰减：As
4、带阻滤波器的性能指标
|H(ejw)|或|H(f) 1
Ap 通带截止频率：上限截止 频率fp2(wp2)，下限截止频 率fp1(wp1)。
五、确定DF的采用的结构及运 算结构的好坏
• 确定DF的采用的结构将会影响DF的精度、稳定性、 经济性及运算速度等很多重要性质。
• 1.计算复杂性
一个运算结构应含有最少的乘法器和最少的延 时器。乘法器最费时间， 延时器最费存储单元。
2. 存储器长度的有限和运算结构将会有影响。即有 时会希望使用一种运算结构，虽然它的乘法器和 延时器并不是最少的，但它对存储器的有限字长 效应是最不敏感的。