运筹学胡运权第五版课件
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运筹学胡运权第五版课件
V5 12 7
5
4
3
2
0
1 3
1
0 4
3
4 0
v7 ∞ 10 10 8
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达 的最短距离矩阵 D（2）= dij（2） 其中 dij（2）= min { dir（1）+ drj（1）}
r
i
dir
（1）
r
drj（1）
j
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
• • •
悬挂边 孤立点 偶点 奇点
悬挂点的关联边，如 e8 次为0的点 次为偶数的点，如 v2 次为奇数的点, 如 v5
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。 路：点不能重复的链。 圈：起点和终点重合的链。 回路：起点和终点重合的路。 连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。 完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。 n(n 1) 2 n阶完全图用Kn表示，边数= C n
狄克斯屈拉算法
既可以求两点之间的最短 距离，又可以确定最短路
求某两点之间的最短距离
（0）= V2 D
5
2
∞ ∞ ∞ ∞
5
0
∞ 2
7 0 2 7
7
6
∞ ∞
∞ ∞ 2
V3 2
∞ 0
∞ 4
V4 ∞ 2
V5 ∞ 7
∞ 6
0
1
1
0 6
3
6 0
V6 ∞ ∞ 4
v7 ∞ ∞ ∞ ∞ 3
注意：D(0)是一个对称矩阵，且对角线上的元素全是0.
⑵ 构造任意两点间直接到达、或者最多经过1 个中间点到达的最短距离矩阵D（1）= dij（1） 其中
运筹学PPT完整版胡运权
C
m n
基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可
行解。
可行基：对应于基可行解的基称为可行基。
可 行 解
非可行解
基解
基可行解
线性规划问题的数学模型
例1.4 求线性规划问题的所有基矩阵。
Page 30
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵 r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
运筹学的历史
“运作研究(Operational Research)小组”:解决复 杂的战略和战术问题。例如：
1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭 2. 对商船如何进行编队护航，使船队遭受德国潜
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为松弛变量
aij x j bi
aij x j xni bi
xni 0 称为剩余变量
变量 x j 的变0换 可令 xj x，j 显x然j 0
Page 23
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
线性规划问题的数学模型
Page 25
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
x
v a 2x2 x a dv 0 dx
2(a 2 x) x (2) (a 2 x)2 0
运筹学胡运权PPT课件
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§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
2.多阶段决策问题举例
属于多阶段决策类的问题很多， 例如：
1)工厂生产过程：由于市场需 求是一随着时间而变化的因素，因此， 为了取得全年最佳经济效益，就要在 全年的生产过程中，逐月或者逐季度 地根据库存和需求情况决定生产计划 安排。
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§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
(1) 阶 段 指 标 函 数 （ 也 称 阶 段 效 应 ） 。 用
gk(sk,uk)表示第k段处于sk状态且所作决策 为uk(sk)时的指标，则它就是第k段指标函 数，简记为gk 。图7-1的gk值就是从状态 sk到状 态 sk+1的 距离。 譬如， gk(A,B1)=4, 即A到B1的距离为3。
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§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
（三）决策、决策变量和允许决策集合
所谓决策，就是确定系统过程发展的方 案。决策的实质是关于状态的选择，是决策者 从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选 择。
用以描述决策变化的量称之决策变量和 状态变量一样，决策变量可以用一个数，一组 数或一向量来描述，也可以是状态变量的函数，
状态
x1
阶段1状x态 2
阶段2状x3态...状x态k
阶段k状x态k+1...状态
阶段n
状 态
T1
T2
Tk
xn
Tn xn+1
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§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
1.多阶段决策过程的最优化
动态规划方法与“时间”关系很密 切，随着时间过程的发展而决定各时段的 决策，产生一个决策序列，这就是“动态” 的意思。然而它也可以处理与时间无关的 静态问题，只要在问题中人为地引入“时 段”因素，就可以将其转化为一个多阶段 决策问题。在本章中将介绍这种处理方法。
运筹学胡运权第五版课件(第二章)分析
2 x3 4 x4 4 x2 x3 x4 6
x1 0, x2，x3 0, x4无约束
对偶问题：max w 5 y1 4 y2 6 y3
y1 2 y2
2
s.t.
y1 3 y1
2 y2
y3 y3
3 5
y1 4 y2 y3 1
y1 0, y2 0, y3无约束
zmax=wmin .
证： 设X*是原问题的最优解，则所有检验数都非正。
即 = C- CB B-1 A 0 ∴ CB B-1 A C 令 CBB-1 = Y* T，有 Y*T A C, 转置得A TY* CT -----------------------① 又因为 S′ = -CBB-1 = -Y * T 0，所以Y* = -（ S′）T 0------②
4x1 2x2 6x3 24
s.t.
3x1 6x2 4x3 15
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
解：第一步 改写为 min 的基本形式
令x1 x1，x2 x2 x2
min z 7x1 （4 x2 x2） 3x3
4
x1
（2 x2
x2）
6 x3
24
证明： 由弱对偶性： 当X 和Y 分别是P和D的可行解时，CX bTY 若CX ，则不存在Y 使得CX bTY； 若bTY ，则不存在X 使得CX bTY。
注：逆定理不成立。 即“如果原问题无可行解，那么对偶问题有无界解”不成立。 此时，对偶问题可能有无界解，也可能无可行解。
4、强对偶性（对偶定理） 若原问题有最优解，则对偶问题一定有最优解，且
由①②知Y*是对偶问题的可行解，
而 CX* = CB b ′，其满足: CX* =CB (B-1 b) = CB B-1b = Y*T b= b TY* 由最优性(性质2)，∴ Y*是对偶问题的最优解。
运筹学基础及应用第五版 胡运权第三章
例3
设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假
定等量的化肥在这些地区使用效果相同，已知各化肥厂 年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区单位化 肥的运价表如下，试决定使总的运费最节省的化肥调拨 方案。
解：这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为
160万t，四个地区最低需求为110万t ，最高需求为无限。 当其它地区都是满足最低需求时，第Ⅳ地区每年最多能 分配到60万t ，这样最高需求就是210万t，大于产量。 为建立产销平衡表，在表中增加一假想化肥厂D ， 其年产量为50万t 。并把各地区的最低需求和额外需求 区分开来，建立产销平衡表。
例1
现在把问题概括一下，在线性规划中我们研究这样 一类运输问题：有某种物资需要调运，这种物资的计量
单位可以是重量、包装单位或其他。已知有m个地点可以
供应该种物资（以后通称产地，用 i 1,, m 表示），有 n个地点需要该种物资（以后通称销地，用 j 1,, n 表示），又知这m个产地的可供量（以后通称产量）为 （可通写为 a i ），n个销地的需要量（以后 a1 , a2 ,, am
第三章 运输问题
§1．运输问题的典例和数学模型
§ 2．表上作业法
§ 3．产销不平衡的运输问题及其应用
§1．运输问题的典例和数学模型
某食品公司经销主要产品之一是糖果，它下面 设有三个加工厂，每天的糖果生产量分别为： A1 7t ， A3 9t。该公司把这些糖果分别运往四个地区 A2 4t ， 的门市部销售，各地区每天的销售量： B1 3t ， B2 6t， B4 6t 。已知从每个加工厂到各销售门市部每 B3 5t， 吨糖果的运价如下表： 单位：元/t
产 销 平 衡 表
当一个产地的产量不能运往某一个销地的时候，认为 运价为M(表示任意大正数)。额外需求部分的销量，由于 是否满足都可以，所以假想厂运往这些销地的运价定为 0。
运筹学胡运权第五版课件(第3章)分析
B3
B4
ai
11 ④
3 ③
10 7
1
9
2
③
①
7
4
⑥
10 ③
84 59
3
6
5
6 20
24 (8 3) (2 10) 1
表示新方案的费用要减少1元
综上，得到检验数表如下： B1 B2 B3 B4
A1 1 2 0 0 A2 0 1 0 －1 A3 10 0 12 0 注意：有数字格（基变量）的检验数为0。
则总费用为：
34
min z = cijxij i=1 j=1
x11+x12+x13+x14=7
产
x21+x22+x23+x24=4
量 限
制
x31+x32+x33+x34=9
x11+x21+x31=3
s.t.
x12+x22+x32=6
销 量
限
x13+x23+x33=5
制
x14+x24+x34=6 xij0,(i=1,2, 3；j=1,2,3,4)
最优性判别准则： 当所有ij 0时，运输问题达到最优解。
（1）若有负检验数，则该方案需要改进；
（2）若空格的检验数全为正数，则该问题有唯 一最优方案；
（3）若检验数全非负，且有空格的检验数为0， 则该问题有无穷多最优解。
4、改进方案的方法------闭回路法
在检验数表中，确定绝对值最大的负检验 数对应的空格，利用该空格的闭回路在满足供 需关系下调整各顶点的运量，得到费用更小的 调运方案。
5、运输问题解的情况
运筹学基础及应用第五版 胡运权第四章
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
a x
j 1 ij
n
j
bi
(i 1,, m)
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用 又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
其最优解为：
x1 3.25 , x2 2.5
最优值为：
z 14.75
（2）定界
目前最优值为 z=14.75 ，令
z =14.75；
现在还没有任何整数解，可以令（0，0）作为初始整 数解，因此有 z =0 。 （3）分枝 将线性规划问题 L0分为两枝。 在 L0的最优解中，任选一个非整数变量，如 x2=2.5 ； 因 x2 的最优整数解只可能是 x2≤2 或 x2≥3 ，故在 L0中分 别增加约束条件： L0加上约束条件 x2≤2 ，记为 L1； L0加 上约束条件 x2≥3 ，记为 L2 。这样，将分解成两个子问题 L1 和 L2（即两枝）。
1. 分配问题中人数和工作任务不相等时 当人数多于工作任务数时，可以添加假想任务使得人 数与工作任务数相同，因为工作任务是假想的，因此完成 这些任务的时间是零。当任务数多于人数时，可添加假想 的人。这样的方法和运输问题中处理的方法类似。 2. 当问题目标变为求极大时
m m i 1 j 1
max z aij xij 可改写为 min z (aij ) xij
r n aij x j bi yi i 1 j 1 y y y 1 2 r 1
3. 两组条件满足其中一组 若 x1≤4，则 x2≥1（第一组条件）；否则当 x1 ≥ 4 时， x2≤3（第二组条件）. 定义逻辑变量：
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
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s.t. （约束于：）
2 x1+2 x2 12
4x1
16
5 x2 15 x10， x2 0
此为有约束极值问题
1-2 线性规划问题的数学模型
1、原型：现实世界中人们关心、研究的实际对象。 模型：将某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 数学模型：对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，
根据内在规律做出必要的简化假设,并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
例：将下列线性规划模型化为标准形式。
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9
s.t.
3x1 3x1 2
x2 x2
2 x3 3x3
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无限制
解：令z z x1 x1 (x1 0) x3 x3 x3 (x3 0, x3 0)
1-3 线性规划问题的标准形式
1、标准形式
或
2、条件
目标函数求极大值 约束条件全是等式（线性方程组） 决策变量全非负 右端常数全非负
3、标准化方法
（1）若目标函数求极小值，即
则令 z z
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
右端列向量
矩阵形式
其中 C (c1,c2,L ,cn) 称为价值行向量；
x1
X
x2
M
xn
决策列向量
b1
b
b2
M
bm
右端列向量
a11 a12 L a1n
A
a21 a22 L M
a2n
P1, P2 ,L
, Pn
am1 am2 L amn
约束矩阵或系数矩阵
第一章 线性规划及单纯形法
Linear Programming and Simplex Method
§1.1 一般线性规划问题的数学模型
1-1 问题的提出
例1 用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容 器，应如何裁剪可使做成的容器的容积最大？
解：如图设四个角上减去的小正方形边
x 长为x，则容器体积为：
四、运筹学研究的基本特点
• 系统的整体优化 • 多学科的配合 • 模型方法的应用
五、运筹学研究的基本步骤
• 分析与表述问题 • 建立数学模型 • 对问题求解 • 对模型和模型导出的解进行检验 • 建立对解的有效控制 • 方案的实施
六、本课程的主要学习内容
第一章 线性规划及单纯形法 第二章 线性规划的对偶理论 第三章 运输问题 第四章 整数规划与分配问题 第六章 图与网络分析
a
V a 2x 2 x (0 x a ) 2
由 dV 0 dx
有 xa 6
时，容积最大
此为无约束的极值问题
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定，生产每件产品的单位利润、消耗三种 设备的工时以及各种设备工时的限额如下表：
原型
提炼
模型
数学工具 数学模型
2、规划问题
即求目标函数在若干约束条件下的最值。
3、规划问题数学模型的三要素
（1）决策变量：决策者为实现规划目标采取的方案、措施， 是问题中要确定的未知量。用x1，x2，…，xn表示。
（2）目标函数：问题要达到的目标要求，表示为决策变量的 函数。用 z=f(x1，x2，…，xn)表示。 （3）约束条件：决策变量取值时受到的各种可用资源的限制， 表示为含决策变量的等式或不等式。
• 国内 –1956年成立第一个运筹学小组 –1957年从“夫运筹策帷幄之中，决胜于千里之外”中 摘取“运筹”二字，将O.R.正式翻译为“运筹学”
三、运筹学的定义
研究对象：复杂系统的组织和管理 研究工具：数学，计算机科学及其他相关科学 研究目的：对有限资源进行合理规划、使用，并提供
优化决策方案。
参考《大英百科全书》、《辞海》、《中国企业管理百科全书》等。
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
x
j
xj
且
x
j
0
（4）若决策变量xj取值无限制，则令
xj
x
j
x
j
其中
x
j，x
j
0
（“一分为二”）
（5）若约束等式的右端常数bi ≤ 0，则等式两边同时乘以“-1”。
并引入松弛变量x4, x5, 则问题化为标准形式：
运筹学
( Operations Research )
绪论
一、古代朴素的运筹学思想
例如：田忌赛马
二、运筹学的起源
• 国外 –英文原名 Operations Research 简称“O.R.” –直译为：运用研究或作业研究 –正式出现于1938年7月英国一份关于防空作战系统运 行的研究报告中 –二战后运筹学的发展经历了三个阶段
4、线性规划问题（Linear Programming）的数学模型
（1）条件：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条 件都是线性的。简记为“L.P.”
（2）一般形式：
max (或 min) z=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤（=，≥）b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤（=，≥） b2
…
am1x1+am2x2+…+amnxn≤（=，≥） bm
x1 , x2, …, xn≥0
（3）其他形式： 连加形式
向量形式
其中 C (c1,c2,L ,cn) 称为价值行向量；
x1
X
x2
M
xn
决策列向量
a1 j
Pj
a2 j
M
amj
系数列向量
b1
b
b2Biblioteka Mbm 单位产品消耗设 I II 设备工时限量
备工时
（小时）
设备A
22
12
设备B
40
16
设备C
05
15
单位利润（元） 2 3
如何安排生产才能使总的利润最大？
解：设计划期内两种产品的数量分别为x1，x2，则总利润为：
z=2 x1+3 x2 在满足限制条件下求z的最大值。
简记为：
max z=2 x1+3 x2