5探索与表达规律
北师大版七年级数学上册《探索与表达规律》课件
联系拓广 ＊3.一个三位数能不能被 3 整除，只要看这个数的各位数字 的和能不能被 3 整除，这是为什么？四位数能否被 3 整除是 否也有这样的规律？你还能得到哪些结论？
3.5 探索与表达规律
方法归纳 用代数式表示数的变化的规律： （1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规 律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; （2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； （3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然 后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律.
做一做 设计类似的数字游戏，并解释其中的道理。
课本第 100 页
随堂练习
3.5 探索与表达规律
课本精讲
有三堆棋子，数目相等，每堆至少有 4 枚．从左堆中取出 3 枚放
入中堆，从右堆中取出 4 枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩
余棋子数相同的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？请
做一做，并解释其中的道理。
课本第 99 页
3.5 探索与表达规律
习题 3.8
课本精讲
问题解决
1.(1)按图（1)方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排
列餐桌，摆 4 张桌子可坐多少人？摆 5 张桌子呢？摆 n 张桌
子呢？
课本第 99 页
3.5 探索与表达规律
课本精讲
（2)按图（2)方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列 餐桌，摆 4 张桌子可坐多少人？摆 5 张桌子呢？摆 n 张桌子 呢？
课本第 98 页
3.5 探索与表达规律
课本精讲
（1)日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间
的数有什么关系？
（2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式
3.5 探索与表达规律 课件-北师大版数学七年级上册
星期
三
星期
四
星期
五
星期
六
2
5
7
11
12
13
14
16
3
a-6
10
a+1
17
a+8
4
6
1
a-8
8
a-1
15
a+6
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
9
a
五个数之和=a+(a-8)+(a+8)+(a-1)+(a+1)+(a-6)+(a+6)=7a
规律: “H”形中七数之和=7×中间数
4 9 16 25
C)
2n－1
n2－4
2n－1
2n＋1
A.
B. 2
C. 2
D. 2
n
n
n
n
2．如图所示，第①个图形中共有1个小平行四边形，第②个图形中共有
5个小平行四边形，第③个图形中共有11个小平行四边形……则第⑩个
图形中小平行四边形的个数是( D )
A．54
B．110
C．19
D．109
四、当堂练习
利用本章所学知识，我们可以进一步探索和表达规律。
二、新知探究
探究一：数字和数式中的规律
星期
日
星期
一
请同学们认真观察月历表，回答下列问题：
(1)日历图的套色方框中的 9 个数之和与该
方框正中间的数有什么关系?你有什么猜想？
图中蓝色方框中九个数之和=90=9×10.
3.5探索与表达规律(第1课时探索规律)课件北师大版数学七年级上册
随堂训练
21
随堂训练
随堂训练
课后提升
1.某种数字游戏规律如下表所示：
A行
2
3
4
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
…
2 009
B行
1
2
3
4
5
…
2 008
C行
1
4
7
10
13
…
x
按此规律，则表格中最右一栏中的x的值等于 6 022 .
随堂训练
解析：根据题意，观察可得A，B两行每一行的数字变化规律及 数字个数，类比可得C行的变化规律，进而可得最后的一个数 字.观察可得：A行，第一个数为2，每一个比下一个小1，最后 一个数为2 009，共2 008个数；B行，第一个数为1，每一个比 下一个小1，最后一个数为2 008，共2 008个数；C行，第一个 数为1，每一个比下一个小3，第n个数为3×n-2，则最后一个 数为2 008×3-x的值等于6 022.
解：第(5)个图形需1＋(1＋2)＋(1＋2 ＋3)＋(1＋2＋3＋4)＋(1＋2＋3＋4＋5) ＝35(个)正方体．
同理，第(6)个图形需56个正方体．
随堂训练
1.如图所示，填在各方框中的三个数之 间均具有相同的规律，根据此规律，n
的值是（ C ）
随堂训练
2.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案， 按照这样的规律摆下去，第10个这样的
例1 观察下列等式，找出规律填空：
用代数式表示数的变化的规律： （1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符 号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面 的规律; （2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及 它们之间的联系； （3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每 个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关 系，从而找出规律.
探索与表达规律
5 探索与表达规律1．规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来．规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性．探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证．在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果．【例1】观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为__________，第n 行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为________．解析：通过观察、分析、比较可知，第1行与第1列的交叉点上的数是1，第2行与第2列的交叉点上的数是3，第3行与第3列的交叉点上的数是5，第4行与第4列的交叉点上的数是7，…，所以可猜想第6行与第6列的交叉点上的数是11，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为2n－1.答案：11 2n－12．探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：①②(2)新运算的规律 新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算． 新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序． (3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律．【例2－1】 符号“§”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)§(1)＝0，§(2)＝1，§(3)＝2，§(4)＝3，…(2)§⎝⎛⎭⎫12＝2，§⎝⎛⎭⎫13＝3，§⎝⎛⎭⎫14＝4，§⎝⎛⎭⎫15＝5，… 利用上面的规律计算：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)．分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去1，所以§(2 012)＝2 011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是1的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以§⎝⎛⎭⎫12 013＝2 013. 解：§⎝⎛⎭⎫12 013－§(2 012)＝2 013－2 011＝2.【例2－2】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1＋8＋16＋24＋…＋8n (n 是正整数)的结果为( )． A ．(2n ＋1)2 B ．(2n －1)2 C ．(n ＋2)2 D ．n 2解析：观察图形和下面的式子可以知道，1＋8＝1＋8×1＝9＝32,1＋8＋16＝1＋8×1＋8×2＝52,1＋8＋16＋24＝1＋8×1＋8×2＋8×3＝72，…，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以1＋8＋16＋24＋…＋8n ＝(2n ＋1)2.故选A.答案：A3．探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律．(1)探索日历中的规律在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索．①横行：相邻两数相差1.如左下图所示：②竖列：相邻两数相差7.如右上图所示．③斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差8；从右上到左下的斜列相邻两数相差6.④日历中的3×3方框内的规律：在这9个方格中的数的和是中间方框中的数的9倍．若将中间数设为a，则其余8个数可按规律如上图所示，则这9个数的和即为(a－8)＋(a－7)＋(a－6)＋(a－1)＋a＋(a＋1)＋(a＋6)＋(a＋7)＋(a＋8)＝9a，正好是中间数a的9倍．(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数．折叠次数：1,2,3,4,5，…，n.层数：2,4,8,16,32，…，2n.平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，…，2n－1.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例3－1】2013年的元宵节是阳历2月24日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2月__________日，除夕：2月__________日．解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出．如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差7，可知春节比元宵节少14，即24－14＝10，春节是10日，根据横列中相邻相差1的规律，可知除夕是9日．答案：10 9【例3－2】将连续的偶数2,4,6,8，…排列成如右图所示的数表．(1)“十”字框内5个数的和，与框内中间的数18有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外5个数，这5个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内5个数之和．分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差2，上下相邻两数相差12.再换另一组数，同样有这样的规律．解：(1)6＋16＋18＋20＋30＝90，而90÷18＝5，所以框内5个数的和是框内中间的数18的5倍．(2)将框上、下、左、右平移，任意框住5个数，同样有这样的规律．(3)若中间的数为a，则框住的5个数分别为a－12，a－2，a，a＋2，a＋12，其中a为偶数，故它们的和为(a－12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a＋12)＝5a.【例3－3】如果将一张长方形的纸，平行对折7次，展开后，会有__________条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成__________个小长方形．解析：根据折叠中的规律：对折7次，即当n＝7时，平行折痕数为2n－1＝27－1＝127(条),1条折痕能把长方形分成2个小长方形，2条能分成3个，…，127条折痕则分成128个小长方形．答案：127 128。
探索与表达规律课件 2024-2025学年北师大版数学七年级上册
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数字游戏题 阅读课本第97页“随堂练习”之后和第98页“随堂练习”之前 的内容,思考下列问题. 1.设该游戏中心里想的两位数的十位数字是a,个位数字是b, 请你表示出这个两位数,并计算这个两位数经过游戏中的运算 之后的结果. 10a+b,(2a+3)×5+b=10a+b+15.
解:心里想的那个数分别是5,12,18,告诉老师的结果是 心里想的那个数的2倍.
单击此处编辑母版文本样式数字规律例1 Nhomakorabea观
察
式:12+1=1×2,22+2=2×3,32+3=3×4,
写出第4个等式,并写出第n个等式.
下
列
各
……按此规律
解:42+4=4×5;第n个等式是n2+n=n(n+1).
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2.若将日历图中的方框改为十字形,你能发现哪些规律?如 果改成“H”形框呢?
在十字形框中,设框正中间的数为a,则这5个数之和为5a;在 “H”形框中,设框正中间的数为a,则这7个数之和为7a.
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3.仿照上面的方法,请你在日历图中设计一个其他形状的方 框,你能发现什么规律?
合作探究 单击此处编辑母版文本样式
探索、表达规律 阅读课本第96页至第97页“随堂练习”之前的内容,思考下列 问题. 1.在日历图中,若方框中有9个数,你认为设哪个数为a时求这 9个数之和最简便呢?根据你所设的未知数,你能求出这9个数之 和吗?
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设方框正中间的数为a最简便,这9个数之和:(a-8)+(a7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8)=9a.
新北师大版七年级数学上册课件第三章5 探索与表达规律 (共31张PPT)
探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，
认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规
律，并取特殊值代入验证.
以偏概全，把部分数字的规律作为整组数字的变 化规律 例2 某推理小说里出现一串神秘排列的数字，将这串 令人费解的数字按从小到大的顺序排列为1，1，2，3， 5，8，… .求这串数字的第7个数字和第8个数字.
三个图形是一个7×2的长方形，最多可分成(3×4+2)个小正方形，
方法点拨 图形变化规律的解题方法：
（1）数图形，先将图形转化为数字问题，再
利用数字规律解决问题；
（2）通过直观观察，从图形中直接寻找规律.
解读中考：
本节知识是中考命题的热点，主要考点是探索与 表述规律，其目的是考查学生的创新意识与实践 能力，题型有选择题和填空题，难度中等.
考点一 寻找数（或式子）的规律
例6 （ 山东日照中考）一个整数的所有正因数之和可以按如
下方法求得，如 6=2×3，则6的所有正因数之和为（1+3） +(2+6)=(1+2)×(1+3)=12; 12=22×3，则12的所有正因数之和为
(1+3)+(2+6)+(4+12)=(1+2+22)×(1+3)=28;
解：观察发现，这串数字的排列规律为从第3个 数字开始，每一项的数值都是它之前与它相邻的
两个数字之和.所以这串数字的第7个数字和第8
个数字分别是13，21.
观察发现“1，2，3”只是这串数字的一部分，它 的变化规律不是整串数字的变化规律，不能以偏 概全.
北师大版初中数学七年级上册《5 探索与表达规律 探索数字与图形规律》 优质课教案_5
七年级数学上册第三章第五节 探索与表达规律（1）数学教学案【课 题】3.5探索规律（1） 【总课时】2课时 【备课时间】2016.12. 一． 学习目标知识目标： 通过问题情境，学会用代数式表示简单问题中的数量关系，利用法则验证探索得到的规律.能力目标： 建立符号感，能有条理地、清晰地用代数式运算解释具体问题中蕴含的一般规律或现象. 与求知欲.二. 教学重点难点教学重点 : 从实际情境中探索并发现规律、能够利用代数式表示规律.教学难点 : 寻找不同规律，感受规律的多样性，并验证所得规律. 三. 温故知新：１、假期快到了，有的同学要乘火车回家，发现这条火车路线上共有7个站，且任意两站之间的票价都不相同，（1）有多少种不同的票价？（2）有多少种不同的车票？３、小明过生日时有10个朋友参加，那这块蛋糕小明至少要切几刀才够他们分享的？ 四. 预习检测：１.三个连续整数中，n 是中间的一个，则其它的两数可以表示为其和为_________。
2．找规律填空: 1，4，9，16，25 ，______ ，______ … … 第n 个数可以表示为_________ 。
４、如图，图１中有＿＿个角，图２中有＿＿个角，图３中有＿＿个角，以此类推，若一个顶点出有ｎ条射线，共有＿＿个角。
五. 新知突破模块１：凭你的经验，完成下图2015年1月份的日历表。
日历中的横行、竖列、斜向之间的数字有什么关系？ 探究活动一：请找出同一直线上相邻数之间的关系:（设中间数为ａ）1. 横行三个相邻的日期数的关系：（后者比前者＿＿＿＿）能用字母表示吗?规律一：2．竖列三个相邻的日期数的关系：（下者比上者＿＿＿）能用字母表示吗? 规律二：3.左上右下对角线上相邻的日期数的关系：（右下者比左上者＿＿＿）能用字母表示吗? 规律三：4．右上左下对角线上相邻的日期数的关系。
（左下者比右上者＿＿＿）能用字母表示吗?规律四：探究活动二：同一直线上无论位置怎样的相邻三个数， 首尾两数之和= ×规律五：无论位置怎样的相邻三个数，中间的数是其余两个数的 。
3-5 探索与表达规律 课件 初中数学北师大版七年级级上册(2023~2024学年)
2.下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第 10 个 这样的“小屋子”需要多少枚棋子？摆第 n 个 这样的“小屋子”呢？你是如何得到的？
…
59 4n+（2n-1）=6n-1
3.有三堆棋子，数目相等，每堆至少有 4 枚．从 左堆中取出 3 枚放入中堆，从右堆中取出4枚放 入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同 的棋子数放入左堆，这时中堆的棋子数是多少？ 请做一做，并解释其中的道理．
中间棋子数为10.
理由：假设三堆棋子数都为x（x≥4，且x 为整数）.第一次取出棋子后，左堆数量为 （x-3），中间的为（x+7），第二次取出 棋子后，中堆的数量为（x+7）-(x-3)=10.
课堂小结
【归纳结论】探索规律的一般步骤： （1）观察； （2）归纳； （3）猜想； （4）验证.
对于图形的变化规律一般有多种解法， 注意观察图形，分析其特点，找出解题方法.
我的结 果是27.
你心里想 的数是12.
你知道是怎样算出来的吗？
假设这个两位数十位上的数字为a， 个位上的数字为b. 则这个两位数可表示为(10a+b) (2a+3)×5+b=10a+b+15 新数字比原来的数字大15.
例：如图所示，用火柴棍拼成一排由三角 形组成的图形，如果图形中含有2、3或4个三 角形，分别需要多少根火柴棍，如果图形中含 有n个三角形，需要多少根火柴棍？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18