江西省六校2015届高三上学期第一次联考数学(文)试题及答案

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数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足1i z z ⋅=+,则z =（ ） A. 1+i B.1i - C.122
i
-
- D.122i +
2．已知集合{}a
2,1A
=,B={},a b ，若⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=21B A ，则B A 为
A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧b ,1,21
B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21,1
C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,21
D.⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
-1,21,1
3.已知1
sin(
)23π
α+=,则cos 2α的值为( )
A ．79-
B ．79
C ．29
D ．2
3
-
4. 某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A ． 有最小值2 B ． 有最大值2 C ． 有最大值6 D ． 有最大值4
5.已知向量)3,2(=→
a ，)2,1(-=→
b ，若→
→
+b n a m 与 →
→
-b a 2共线，则
n
m
=（ ） A ．2 B ．3 C ．±2 D ．－2 6．将函数sin(4)6
y x π
=-
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，
所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）
A.12
x π
=
B.6
x π
=
C.3
x π
=
D.12x π=-
7．下列叙述中正确的是（ ）
A ．命题“若6
π
=
x ，则2
1
sin =
x ”的逆命题为真命题． B ．设a ，b 是实数，则“a ＞b”是“a 2＞b 2”的充分而不必要条件
C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“2
,10x R x x ∀∈++>都有”． D ．函数2
3
ln )(-+=x x x f 在区间（1，2）上有且仅有一个零点。

8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a n n N *+=∈，则下列数列中一定是等比数列的是
（ ）
江西省
六校2015届高三第一次联考
俯视图
（第4题）
A {}n a B. {}1n a - C. {}2n a - D. {}2n a +
9.定义域为R 的函数2()||=++f x ax b x c （0≠a ）仅有两个单调区间，则实数a ，b ，
c 满足（ ） A.240b ac -≥且0>a B.240b ac -≥ C.02b a -
≥ D.02b
a
-≤ 10. 已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，MA ⊥平面ABCD ，2,MA =动点P 在正方形的边上从点A 出发经过点B 运动到点C .设点P 走过的路程为,x △MAP 的面积为()S x ，则函数
2()y S x =的图像是（ ）
第Ⅱ卷（非选择题，共 100分）
二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,满足201520152015
==S a ,则1a =
12.执行如下程序，输出S 的值为
13.直线
1
+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点A （1，3），则2a+b 的值为
14．如图AB 是半圆O 的直径，D C ,是弧AB 的三等分点，N M ,是线段AB 的三等分点，若6=OA ，
则MC ND ⋅= ．
15．已知函数2211,2
()31ln(),22
x x x f x x x +⎧<-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩≥-，2()44g x x x =--.若存在a R ∈使
得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
某班优秀生16人，中等生24人，学困生8人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生做学习习惯调查，
（Ⅰ）求应从优秀生、中等生、学困生中分别抽取的学生人数； （Ⅱ）若从抽取的6名学生中随机抽取2名学生做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的2名学生均为中等生的概率.
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知sin tan 2cos -C
A=C
，c =3.
（Ⅰ）求
b a
； （Ⅱ）若三角形△ABC 的面积为3，求cos C .
18.（本小题满分12分）
已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且3242a a a +是与的等差中项.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()121+n-1...2n
n n T na a a a -=+++，求n T .
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是
AB
第15题
的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2.
(1)求证：CF ∥平面AB 1E ； (2)点C 到平面AB 1E 上的距离．
20.（本小题满分13分）
已知抛物线px y 22
=)0(>p 上点),3(m M 到焦点F 的距离为4.（Ⅰ）求抛物线方程； （Ⅱ）点P 为准线上任意一点，AB 为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA ，PB ，PF 的斜率为1k ，2k ，3k ，问是否存在实数λ，使得321k k k λ=+恒成立.若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）
已知函数2
()()x
f x ax e a R =-∈
（Ⅰ）当1a =时，令()'()h x f x =，求()h x 的单调区间； （Ⅱ）若0x >时,()f x 有两个极值点1212,()x x x x <. (ⅰ)求实数a 的取值范围 (ⅱ)证明：1()12
e
f x -<<-. (注：e 是自然对数的底数)
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高三第一次联考数学（文）试题参考答案及评分标准
17.解：（Ⅰ）由题，
sin sin cos 2cos -A C
=
A C
，………………………2分 即有2sin sin cos sin cos A=A C +C A=sinB ………………………4分
由正弦定理得，
2=b
a
； ……………………………………………………6分
（Ⅱ）有
2
22
2
sin3
49
cos
4
⎧=
⎪
⎨+-
=
⎪
⎩
a C
a a
C
a
，……………………………8分
利用22
sin cos1
c c
+=，解得25
a=…………………………………11分
解得
4
cos
5
C=. …………………………………12分。