大学物理矢量运算共19页文档
《大学物理学》矢量课堂ppt
矢
一、矢量和标量
量
1.矢量：有大小和方向的物理量。 A A 大小：A 或 A A A 方向：用单位矢量 e A表示。即：
A eA A
eA 1
2.标量：只有大小的物理量。
在直角坐标系中， , j , k 是恒矢量，则 i
A(t ) Ax (t )i Ay (t ) j Az (t )k dA dAx dAy dAz 导数 i j k dt dt dt dt
2.导数的运算规则 （1）恒矢量的导数为零。
dC 0 dt
2.矢量的标积
设 A, B 为任意两个矢量，它们的夹角为
则它们的标积定义为
A B AB cos
B
B cos
A
根据标积的定义，可以得出下列结论：
（1）当
0 时，cos 1,
A B AB
A B 0
2
所以
时，即 （2）当
3.矢量的性质： 只要矢量的大小，方向不变，则 这个矢量不变。这是矢量平移不变性。 A 是 A的负矢量。大小相等方向相反。
二、矢量的模和单位矢量
在直角坐标系，单位矢量为：i , j , k
A Ae A
三、矢量的加法和减法
1.矢量的加法：满足平行四边形法则，或 三角形法则。 B C B sin
2.积分运算规则
f ( x)dx f ( x) C kf ( x)dx k f ( x)dx C A B dx Adx Bdx
大学物理矢量
cos y r
cos z r
y P r P
o
x
z
1-2 运动的描述
运动方程
如果质点是运动的，则位矢 r
随时间不断变化，记为：
y
y(t)
P
r(t)
r (t) x(t)i y(t) j z(t)k
o
x(t)
x x(t)
z(t)
z
x
或分量式 y y(t)
时间增加到 t t时刻。
当改变量为无限小量，如t 0时，符号“ ” 通常会改写，记为“ dt ”。
（三）积分的含义 一、问题的提出
1 求平面图形的面积
会求梯形的面积，曲边梯形的面积怎样求？若 会，则可求出各平面图形的面积。
考虑如下曲边梯形面积的求法。
y
y f (x)
Sab ?
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
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1 位置矢量 确定质点P某一时刻在
坐位标置系矢里 量的, 简位称置位的矢物r理.量称
y
y j
r
*P
r xi yj zk
式中i 、j 、k 分别为x、y、z
z
o
k
x
i
z
x
方向的单位矢量.
1-2 运动的描述
《工程力学课件》-力的矢量运算
力矩是一个力在某一点作用时，产生转动效果 的能力。
力矩 = 力的大小 × 力臂
一个人推开门时，门的铰链即受到力矩，向外 打开门。
力矩的平衡条件
受力情况
沿同一方向的多个力同时对一个物体产生作用， 并且两侧力矩相等。
常见应用
力矩平衡条件经常应用于机械设计和结构平衡 问题的求解。
实际工程中力的应用与讲解示例
3
实际应用
这些技术在机械和土木工程中经常使用，如求解大桥支撑结构或车辆行驶方向等 问题。
力的平衡条件与分波作用
平衡条件
力的平衡条件指物体所受外力的合力为0， 物体处于静止或匀速直线运动状态。
分波作用
分波作用是指一个力的作用在不同的物体 区域上产生不同的效果。
力矩的概念与计算方法
定义 计算公式 常见实例
工程力学课件：力的矢量 运算
本次课程将介绍力的矢量运算，包括表示方法、加减法、乘法和离散线性向 量的运算等内容。
力的矢量及其表示方法
1 定义与特征
矢量是一个有大小、方 向和作用点的物理量。
2 表示方式
3
矢量可用单个箭头表示， 箭头方向表示矢量的方 向，箭头长度表示矢量 的大小。
常见实例
速度、加速度、力、位 移、电场和磁场等物理 量都可以表示为矢量。
矢量的加法、减法和乘法
加法原理
矢量加法是指将两个矢量相 加，求出它们的合成矢量。
减法原理
矢量减法是指将一个矢量从 另一个矢量中减去，求出它 们的差矢量。
乘法原理
矢量乘法是指将一个矢量乘 以一个标量，得到一个新的 矢量。
离开线性矢量的运算
非线性矢量
非线性矢量，也称曲线矢量， 是指它们的端点无法通过平移 使其与起点重合。
矢量及矢量的运算
结论4 若矢量 a, b, c 满足关系 c k1a k2b （ k1 , k2 为实 数），则 a, b, c 三矢量共面（由矢量加法可证）。
结论5 三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是存在不全 为零的实数 k1 , k2 , k3 , 使得 k1a k2b k3c 0 成立。
定理3
三个矢量 a, b, c 共面的充分必要条件是 a, b, c 0.
证明 必要性。若 矢量 a, b, c 共面 ，则 a b 与 c 垂直。 所以
2 充分性。若 a, b, c 0. 即 a b c cos t 0, 则 a b 0 或 c 0 或 cos t 0（ t 为 c 与 a b 的夹角）， 若 a b 0 ，则 a b 0, a 与 b 平行，所以 a, b, c 共面； 若 c 0 ，则 c 0, 零向量与 a, b 共面；若 cos t 0 ，则 t ， a b 与 c 垂直，所以 a, b, c 共面。综上所述，
a b a b cos .
式中， a, b , 为 a 与 b 的夹角。即平移两矢量使始端重合 为角的顶点，以两矢量为边所成的角，规定 0 .
数量积满足以下规律： (1) a b b a （交换律） (2) (a b) c a c b c （分配律）; (3) ka b a kb k a b ; 2 2 a a a a . (4)
向量 AB 在轴 u上的投影记为 Pr ju AB .
关于向量的投影定理（1）
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以 轴与向量的夹角的余弦： Pr j AB | AB | cos
《大学物理矢量》课件
《大学物理矢量》课件1. 引言矢量是描述物体运动状态和相互作用的重要物理量。
在大学物理课程中，矢量理论是基础且核心的内容，对于深入理解物理现象和解决实际问题具有重要意义。
本课件旨在介绍矢量的基本概念、性质和运算规则，并通过实例分析，帮助学生掌握矢量在物理学中的应用。
2. 矢量的基本概念2.1 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量。
在物理学中，矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
例如，位移、速度、加速度、力等都是矢量。
2.2 矢量的表示矢量的表示方法有多种，如符号表示、坐标表示和分量表示等。
符号表示是用箭头和字母表示矢量的方法，如箭头表示速度v。
坐标表示是用坐标系表示矢量的方法，如直角坐标系中的矢量可以表示为(r, θ)。
分量表示是将矢量分解为各个坐标轴方向上的分量，如直角坐标系中的矢量可以表示为(vx, vy, vz)。
2.3 矢量的性质（1）可加性：两个矢量相加，遵循平行四边形法则或三角形法则。
（2）标量乘法：矢量与标量相乘，结果仍为矢量。
（3）数乘：数乘矢量，结果仍为矢量。
（4）方向：矢量的方向由其分量决定。
（5）单位矢量：单位矢量是大小为1的矢量，方向与所表示的矢量相同。
3. 矢量的运算规则3.1 矢量加法矢量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。
平行四边形法则指的是，两个矢量的和等于以这两个矢量为邻边的平行四边形的对角线。
三角形法则指的是，两个矢量的和等于以这两个矢量为邻边的三角形的第三边。
3.2 矢量减法矢量减法可以看作是矢量加法的逆运算。
即a b = a + (-b)，其中(-b)表示与b大小相等、方向相反的矢量。
3.3 矢量数乘矢量数乘是指将矢量与标量相乘。
数乘矢量的结果仍为矢量，其大小为原矢量的大小与标量的乘积，方向与原矢量相同。
3.4 矢量的点积和叉积矢量的点积（又称内积、标积）定义为a·b = -a--b-cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
大学物理矢量运算
chap0 矢量代数0.1矢量与标量一．标量定义：只有大小，没有方向的量。
表示：数字（可带正负号）。
加法：代数和。
二．矢量定义：既有大小，又有方向的量。
表示：0A v v 矢量的模）矢量的大小A v (:1）A A = 方向的单位矢量沿A A v:0 2）有向线段 矢量的方向方向矢量的模）矢量的大小长度:(:加法：平行四边形法则或三角形法则。
0.2矢量的合成与分解一．矢量的合成Av Av v C v B v Bv Cv Av Bv Cv Dv Ev 说明：)(B A B A vv v v −+=−BA C v v v +=BA C v v +=DC B A E v v v v v +++=A v Bv Cv Bv −Av Cv Bv二．矢量的分解把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。
1．矢量的分解Ø一般一个矢量有无穷多种分解法Av Cv B v A v xA v yA v CB A v v v +→yx A A A v v v +→2．矢量的正交分解z三．矢量和（差）的正交分量表示k A j A i A A z y x v vv v ++=v vv v k B j B i B B z y x ++=k B A j B A i B A B A z z y y x x v vv v v )()()(±+±+±=±0.3矢量的乘积定义：一.矢量乘以标量Am B v v=二.矢量的标积定义：性质：1）A B B A v v v v ⋅=⋅v θψcos AB B A =⋅=vv )],([B A v v =θ2）C A B A C B A v v v v v v ⋅+⋅=+⋅)(3）B A B A v v v v ⊥⇔=⋅0 4）2A A A =⋅v v 矢量的标积的正交分量表示：zz y y x x B A B A B A B A ++=⋅vv 1=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k k j j i i i k k j j i v v v v v v v v v v v v三.矢量的矢积定义：==×=大小：)],([sin B A AB S BA S vv v v v θθ性质：⊥⊥满足右螺旋定则方向：,,B S A S v v v v 1）A B B A v v v v ×−=×2）C A B A C B A v v v v v v v ×+×=+×)(3）B A B A v v v v //0↔=×4）0=×A A v v矢量的标积的正交分量表示：0.4矢量函数的导数与积分一.矢量函数矢量A v与变量t 之间存在一定的关系，如果当变量t 取定某个值后，矢量A v有唯一确定的值（大小和方向）与之对应，则A v称为t 的矢量函数，即：)(t A A v v =二.矢量函数的导数定义tt A t t A t Adt A d t t ∆∆∆∆∆∆)()(lim lim 00v v vv −+==→→zv xy)(t A A v v =)('t t A A ∆+=v)()(t A t t A A v v v −+=∆∆O1）dtBd dt A d B A dt d vv v v ±=±)(2）dtAd m A dt dm A m dt d vv v +=)(B d A d d v v v v v v 性质三.矢量函数的积分定义v v v v B d v v，若)(t A A =，)(t B B =，且A dt=则B v称为A v 的积分，记为：∫=dt A B v v性质1）dt B dt A dt B A ∫∫∫±=±v v v v )(2）dt A m dt A m ∫∫=vv )( 常量）=m (3）dt A C dt A C ∫∫⋅=⋅vv v v )(常量）=C r (r 矢量函数积分的正交分量表示k dt A j dt A i dt A dt A z y x v v v v )()()(∫∫∫∫++=4）dt A C dt A C ∫∫×=×vv v v )(常量）=C (例题0-1 两矢量：k j i a v v v v−+=34，k j i b v v v v 543+−=，通过矢量运算求：求：（1）以a v 、b v为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度；例0-2 两矢量函数：j i t a v v v2)12(+−=，j t i b v v v )32(−+−=。
大学物理第一章矢量分析 ppt课件
6
（2）标量乘矢量
（3）矢量的标积（点积）
两矢量的标量积也称为点积(本书称为标积)。
定义一个矢量在另一矢量上的投影与另一矢 B
量模的乘积，结果为标量。
θ
A
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（4）矢量的矢积（叉积）
亦称叉积，结果仍为一个矢量，用矢量C表示，C的大小 为A和B组成的平行四边形的面积，方向垂直与矢量A和B构成 的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法则。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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4. 坐标单位矢量之间的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
梯度在该方向上的投影。 • 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
梯度运算的基本公式：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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例1.3.1 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量
场。试求：
(1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向
的单位矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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散度的表达式： 直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
矢量的定义和加减法运算法则
A=AaA=Ad y yy z zz
矢量表示为：冒=4A + Ayay + "
在直角坐标系下的矢量表示:
矢量：冒=4,+4句+AZ（：I z
+模的计算：1冒1= M+A； + A；
令单位矢量:
a=
A Ax .
4八 &八
a* + 0,
+
a
Z
Ml Ml Ml J Ml
=cos a a + cos pay + cosEz
第1章电磁学的数学基= 础
矢量分析
—,矢量的定义和表示
矢量的基_=|— 本运算'- 法则
h
F
—
三,矢量微分元：线11 = 元，面元，体元
111 标量场的梯度
五,矢量场的散度 六■矢量场的旋度
—■矢量的定义和表示
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度T、长度L等
2. 矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
例: 已知^点和因点对于原点的位置矢量为刁和方,
求：通过4点和3点的直线方程。 解:
在通过力点和3点的直线上，任取
一 点G对于原点的位置矢量为c, 则：
c — a = k (b — 1)
c = (1 — k)a + kb 其中：k为任意实数。
小结:
、矢量的定义和表示 、矢量的加减法运算法则
如：重力电场强度E、磁场强度可 等
3-矢量表示
—个矢量可以表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 矢量 表示为： A=\A\a
其中：| A |为矢量的模，表示该矢量的大小。 a为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
三个向量连续叉乘如何计算,大学物理矢量叉乘运算公式二
三个向量连续叉乘如何计算，大学物理矢量叉乘运算公式二矢量叉乘法则？矢量当中的运算要遵守特殊的法则。
矢量加法大多数情况下可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
a-b=a+(-b)。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可以构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积1、矢量的叉乘是向量积；2、矢量的叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直；3、叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。
向量叉乘公式是什么？向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘是一种在向量空间中向量的二元运算。
与点积不一样，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。
并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
其应用也十分广泛，一般应用于物理学光学和电脑图形学中。
两个向量a和b的叉积写作a×b。
模长：（在这里θ表示两向量当中的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。
）方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵循右手定则。
（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方式是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不能超出180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。
）向量积|c|=|a×b|=|a||b|sina，b即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果c是一个伪向量。
这是因为在不一样的坐标系中c 可能不一样。
期望我能帮你解疑释惑。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。
大学物理旋转矢量
极坐标表示法
极坐标与平面角
旋转矢量在极坐标系中由一个起点、一个长度和一个平面角唯一确定。平面角表示矢量旋转的方向和角度。
旋转矢量的运算
在极坐标系中，可以通过加减、数乘等运算得到新的旋转矢量。
直角坐标表示法
直角坐标与平面矢量
旋转矢量在直角坐标系中由三个分量唯一确定，这三个分量表示矢量在x、y、z轴上的投影。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并指出实验的局限性和未来改进的方向 。
THANKS
感谢观看
旋转矢量的积分
当一个旋转矢量在某区间内进行积分时，其 结果为该区间内所有点处的切线方向与该区 间内所有点处的速度方向一致的点所组成的
线段。
04
旋转矢量在物理中的应用
角动量守恒定律
角动量定义
物体的转动惯量和转动半径的乘积称为角动量。
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，物体的角动量保持不变。
旋转矢量表示
旋转矢量的应用领域
物理学
旋转矢量在物理学中广泛应用于描述物体的 旋转运动，如刚体的转动、电磁场的旋涡等 。
工程学
在机械工程、航空航天等领域，旋转矢量可以用于 分析物体的动态平衡、稳定性等问题。
电子技术
在电子技术中，旋转矢量可以用于描述信号 的相位、频率等参数，以及进行数字信号处 理。
02
旋转矢量的表示方法
03
旋转矢量的运算规则
加法运算规则
平行四边形法则
当两个旋转矢量相加时，以两个矢量的末端 为起点，分别画出平行四边形的两个相邻边 ，连接对角线，得到的结果是两个旋转矢量 相加后的矢量。
三角形法则
当两个旋转矢量相加时，以一个矢量的起点 为起点，画另一个矢量的平行线，得到的结 果是两个旋转矢量相加后的矢量。