新教材高中数学一元二次函数方程和不等式 第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式第1课时 基本不等式[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．[重点] 基本不等式的内容及证明． [难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．知识点 两个不等式[填一填]1．重要不等式：∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．下面是基本不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释,请你补充完整． 如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC ＝a ,CB ＝b ,过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ,连接OD ,AD ,BD .(1)由射影定理可知,CD ＝ab ,而OD ＝a ＋b2；(2)因为OD ≥CD ,所以a ＋b2≥ab 当且仅当C 与O 重合,即a ＝b 时,等号成立；(3)基本不等式ab ≤a ＋b2的几何意义是半径不小于半弦．2．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．3．(1)基本不等式中的a ,b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数,否则不成立． (2)不等价,前者条件是a >0,b >0,后者是a ,b ∈R .类型一 用基本不等式比较大小[例1] 若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,试找出a ＋b ,a 2＋b 2,2ab ,2ab 中的最大者． [解] ∵0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,∴a ＋b >2ab ,a 2＋b 2>2ab ,∴四个数中最大的应从a ＋b ,a 2＋b 2中选择． 而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1), ∵0<a <1,0<b <1,∴a (a －1)<0,b (b －1)<0, ∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0,即a 2＋b 2<a ＋b , ∴a ＋b 最大．利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质.(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a >0,b >0.[变式训练1] (1)已知a ,b ∈R ,且ab >0,则下列结论恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：对于A,当a ＝b 时,a 2＋b 2＝2ab ,所以A 错误；对于B,C,ab >0只能说明a ,b 同号,当a ,b 都小于0时,B,C 错误；对于D,因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ,即b a ＋ab≥2成立．(2)已知a ,b 是不相等的正数,x ＝a ＋b2,y ＝a ＋b ,试比较x ,y 的大小．解：a ,b 是不相等的正数,由x ＝a ＋b 2得x 2＝a ＋b ＋2ab 2<a ＋b ＋a ＋b2＝a ＋b ,又∵y ＝a ＋b ,即y 2＝a ＋b ,∴x 2<y 2,即x <y . 类型二 用基本不等式证明不等式[例2] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1．利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．3．解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式．[变式训练2] 已知a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝1,证明：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab ≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①③④均可以．2．已知x >0,y >0,且2x ＋1y ＝1,若x ＋2y >m 恒成立,则实数m 的取值范围是( D )A ．{m |m <6}B ．{m |m ≤6}C ．{m |m ≤8}D ．{m |m <8}解析：本题考查基本不等式的应用．x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24＝8(当且仅当4y x ＝xy ,即x ＝4,y ＝2时等号成立),所以x ＋2y >m 恒成立,只需(x ＋2y )min >m .所以m <8.故选D.3．设b >a >0,且a ＋b ＝1,则四个数12,2ab ,a 2＋b 2,b 中最大的是( A )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2abD.12解析：因为b >a >0,所以a 2＋b 2>2ab .又因为a ＋b ＝1,所以b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2,所以b 最大,故选A.4．若a >0,b >0,a ＋b ＝2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：因为a >0,b >0,a ＋b ＝2,所以ab ≤(a ＋b 2)2＝1,所以①恒成立； a ＋b ≤2(a )2＋(b )22＝2,所以②不恒成立； a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2,所以③恒成立；当a ＝b ＝1时,a 3＋b 3＝2<3,所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝12(a ＋b )(1a ＋1b )＝12(2＋a b ＋ba )≥2, 所以⑤恒成立． 5．已知x ,y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明：(1)∵x ,y 都是正数,∴x y >0,yx >0,∴y x ＋x y≥2y x ·x y ＝2,即y x ＋x y≥2, 当且仅当x ＝y 时,等号成立． (2)∵x ,y 都是正数,∴x ＋y ≥2xy >0, x 2＋y 2≥2x 2y 2>0,x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3,即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3, 当且仅当x ＝y 时,等号成立．——本课须掌握的两大问题1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时,a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时,也有a ＝b .2．在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式．。
高中数学新人教版A版精品教案《一元二次不等式及其解法》
3.2.1一元二次不等式及其解法（第一课时）一、教材分析本节课是人民教育出版社数学（必修5）第三章第二节第一部分内容，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。
从内容上看，二次不等式、二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。
从思想层次上看，它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。
一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它可渗透到中学数学的几乎所有领域中，对今后的学习起着十分重要的作用。
二、学情分析本节内容对学生来说不算陌生，由于一元二次不等式的解法与二次函数联系紧密，而二次函数又是学生在初中学习的薄弱环节，因此很多学生对此学习表现出困惑，对达成所规定的要求带来影响。
三、教学目标知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图像法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
过程与方法：通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。
情感与价值观：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
四、重点与难点重点：一元二次不等式的解法难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系要点：运用数形结合的思想方法，帮助学生将所学知识有机联系五、教法与学法1.教学方法的选择：创设问题情境，采用启发诱导式的教学模式引导学生探索讨论，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。
2.教学方法的选择：为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： ①.让学生自己发现问题，自己通过观察图像归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力。
②.分组竞赛。
人教A版高中学案数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质、不等式性质、基本不等式
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5
C. + 的最小值是6D.2 + 2 的最小值为
[解析]对于A选项, = ⋅ ⋅ ≤
+
⋅(
) =
A选项正确.对于B选项,( + )( + ) = +
由 =
,
=
,解得
对于C选项, + =
− ≥ ,当且仅当 = −, = 时取等号,故选C.
3.下列说法中，正确的个数是() B
①2 + 2 ≥ 2 成立的条件是 ≥ 0, ≥ 0②2 + 2 ≥ 2 成立的条件是, ∈
③ + ≥ 2 成立的条件是 > 0, > 0④ + ≥ 2 成立的条件是 > 0
等号成立,故有最大值−.故选C.
−
− = −,当且仅当− =
,即
−
= −时,
5.[2024扬州期末]对于实数,,,下列命题正确的是()
C
A.若 > ,则 2 > 2 B.若 > ,则2 > 2
−
C.若 > ,则|| > ||D.若 > > > 0,则
又 < ,∴ − < < ,− > ,∴ > − > > −.
2.已知 = 2 + 4 + 1, = − 2 + 2 − 4,则() C
A. > B. < C. ≥ D. ≤
新教材人教A版高中数学必修第一册2.3.1二次函数与一元二次方程不等式精品学案
第1课时二次函数与一元二次方程、不等式冏课前自主预习・__________________________________ __ _ _______ E］学习目标-M BM I a^^Bi !^^B I1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法.E］要点梳理1.一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2 + bx+ c>0或ax2 + bx + c<0,其中a, b, c均为常数，a乒0.2.二次函数的零点一般地，对于二次函数y= ax2 + bx+ c,我们把使ax2 + bx+ c= 0的实数x叫做二次函数y= ax2+ bx+ c的零点.温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标.(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系温馨提示：（1）对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间.（2）对于二次项系数是负数（即a<0）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解.思考诊断I IBM1.二次方程x2— x-6 = 0的根与二次函数y= x2— x-6的零点有怎样的关系？［答案］方程x2— x— 6= 0的判别式△ = 1 — 4 - 1 • （— 6） = 25>0,可知这个方程有两个不相等的实数根，解此方程得x1 = —2, x = 3.所以二次函数有两个零点：x1=—2, x2= 3.所以二次方程的根就是二次函数的零点2.画出二次函数y = x2—x —6的图象，你能通过观察图象，获得不等式x2— x—6>0及x2— x — 6<0的解集吗？［答案］二次函数y = x2— x- 6的图象如图，观察函数图象可知：当x<—2,或x>3时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即x2—x — 6>0的解集为{x|x<—2或x>3};当一2<x<3 时，函数图象位于x轴下方，此时y<0,即x2—x- 6<0;所以，不等式x2—x —6<0的解集是{x| — 2<x<3}3.判断正误(正确的打“挪，错误的打“X”)(1)mX —5x<0是一元二次不等式.( )(2)若a>0,则一元二次不等式ax2 +1>0无解.( )(3)若一元二次方程ax2 + bx+ c= 0的两根为x i, X2(x i<X2)，则一元二次不等式ax2 + bx + c<0 的解集为{x| x i<x<x2}.( )⑷ 不等式x2—2x+ 3>0的解集为R.( )［答案］(1) X (2) X (3) X (4) V题型一一元二次不等式的解法【典例1】解不等式：(1)2 x2-3x- 2>0;(2)— 3x2 + 6x— 2>0;一、 2 ，一(3)4 x — 4x + 1V 0;…2⑷ x — 2x+ 2>0.［思路导引］先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集.2 1［解］(1)万程2x — 3x— 2= 0 的解是XI=—x2= 2.因为函数是开口向上的抛物线, 所以不等式的解集是x x <— 2或x >2⑵不等式可化为3x 2— 6x+ 2<0.-2x + 2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为 R解一元二次不等式的一般步骤(1) 通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2) 计算对应方程的判别式；⑶求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集.［针对训练］1.解下列不等式：因为3x 2- 6x + 2= 0的判别式 △ = 36-4X 3X 2= 12>0,所以方程23x — 6x + 2= 0 的解是 xi = 1 —季,x2= 1 + 半.因为函数y = 3x 2— 6x + 2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是x1-奈x <1 + 乎212⑶方程4x — 4x+ 1 = 0的解是x1 = x2=板，函数y= 4x — 4x+ 1是开口向上的抛物线,1所以原不等式的解集是x x = 2... 2 2 2(4)因为x — 2x+ 2= 0的判别式 △ <0,所以万程x — 2x + 2= 0无解.又因为函数y = x，八 2 . _ 一(1)—x + 7x>6;(2)(2 —x)( x + 3)<0;2(3)4(2 x — 2x+ 1)>x(4 —x).［解］(1)原不等式可化为x2- 7x+ 6<0.解方程x2—7x + 6= 0 得，xi= 1, x2= 6.结合二次函数y= x2—7x + 6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}.⑵ 原不等式可化为(x — 2)( x + 3)>0.方程(x— 2)( x + 3) = 0两根为2和一3.结合二次函数y= (x —2)( x + 3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<—3或x>2}.⑶ 由原不等式得8x2—8x+4>4x — x2...•原不等式等价于9x2 - 12x+ 4>0.......2―一 (2)解方程9x — 12x + 4= 0,碍X I = x2 =—.3…，― 2 2结合二次函数y= 9x—12x+ 4的图象知，原不等式的解集为x x乒三3 题型二三个“二次”关系的应用【典例2】已知关于x的不等式x2+ ax+ b<0的解集为｛x|1<x<2｝,求关于x的不等式bx2 + ax+ 1>0 的解集.［思路导引］由x2 + ax+ b<0的解集为｛x|1<x<2｝，可知1,2是方程x2+ ax + b= 0的两根，可求出a, b的值，从而得解.［解］x2+ ax+ b<0 的解集为｛x|1<x<2｝,... 1,2 是x2+ ax+ b= 0 的两根.—a = 1 + 2, a= — 3,由韦达定理有得b= 1x 2, b= 2,代入所求不等式bx2 + ax+1>0,得2x2— 3x + 1>0.,-2 - ___ 1,、.由2x — 3x + 1>0? (2x — 1)( x —1)>0? x<2或x>1.•■- bx2 + ax+ 1>0 的解集为x x<2或x>1(1)一元二次不等式ax2 + bx+ c>0(a乒0)的解集的端点值是一元二次方程ax2 + bx+ c = 0的根，也是函数y= ax2 + bx+ c的图象与x轴交点的横坐标.(2)二次函数y = ax2 + bx+ c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2+ bx+ c>0的x ........ .__ , , …、…、… 一. …. 2 ……、的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax + bx+ c<0的x的值构成的，二者之间相互依存、相互转化.［针对训练］2.不等式ax 2+ bx+ 2>0的解集是x | — 1<x <1，贝U a- b 的值为()23A. 14 B . — 14 C . 10 D . — 10［解析］不等式ax 2+ bx+ 2>0的解集是x | 一 ；<x <3，可得一2, 3是一元二次方程 ax 2+ bx +2=0的两个实数根，.1.1 b 1,1 2 ..—2+ 3=—a -2x 3=a解得 a=— 12, b=— 2,a-b=- 12-( -2) =— 10,所以D 选项是正确的.［答案］D题型三含参数的一元二次不等式的解法【典例3】 解关于x 的不等式x 2— ax — 2a 2<0(a£ F).［思路导引］ 先求出方程x 2— ax — 2a 2 = 0的两根x 1 = 2a, x2= — a,再通过比较2a 与一 a 的大小写出不等式的解集.［解］原不等式转化为(x — 2a )( x+ a )<0，对应的一元二次方程的根为 a .① 当2a >— a,即a >0时，不等式的解集为 {x | — a <x <2a }； ② 当2a=— a,即a= 0时，原不等式化为 x 2<0,无解；③ 当2a <一 a,即a <0时，不等式的解集为 {x |2 a <x <— a }.；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a <x < — a }.解含参数的一元二次不等式时(1) 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论;(2) 若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 △进行讨论；(3) 若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.［针对训练］3.解关于x 的不等式ax 2—(a+ 1)x+ 1<0.［解］①当a= 0时，原不等式即为一x+ 1<0,解得x >1.x1= 2a, x2=—综上所述，当a >0时，原不等式的解集为 {x | — a <x <2a }；当a= 0时，原不等式的解集②当a<0时，原不等式化为x-- （x— 1）>0，解得a1x<-或x>1.a③当a>0时，原不等式化为x—1（x- 1）<0.a若a= 1,即1时，不等式无解；a若a>1,即1<1时，解得1<x<1;a a若0<a<1,即->1 时，解得1<x<1.a a1 ,、综上，当a<0时，不等式的解集为x xy或x>1 ；a当a = 0时，不等式的解集为{x| x>1}；…―,…、,1当0<a< 1时，不等式的解集为x 1<XL；a当a= 1时，不等式的解集为？；1当a>1时，不等式的解集为x a<x<1 .课堂归纳小结1.解一元二次不等式的一般步骤是：（1）化为标准形式；（2）确定判别式△= b2—4ac的符号；（3）若0,则求出该不等式对应的二次方程的根；若△ <0,则对应的二次方程无根；（4）联系二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，1 .不等式一x2—5x + 6<0的解集为（）A. {x|xA6 或x< - 1}B. {x| — K x<6}C. {x| — 6< x< 1}D. {x|xv— 6 或x> 1}［解析］由一x2—5x + 6V0 得x2 + 5x — 6>0,即（x + 6）（ x— 1） >0,•■- x>l 或x< — 6.则可立即写出不等式的解集（在两根之内或两根之外）.2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用.3.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法，若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免对的讨论.［答案］D2.一元二次方程ax2 + bx+ c = 0的根为2, —1,则当a<0时，不等式ax2+ bx+ c>0 的解集为( )A. {x|x<—1 或x>2}B. {x|xv—1 或x>2}C. {x| — 1<x<2}D. {x| — 1< x< 2}［解析］结合二次函数y= ax2 + bx+ c(a<0)的图象可得{x| -1< x<2},故选D.［答案］D3.若不等式ax2 + 8ax + 21<0的解集是{x| — 7<x<- 1},那么a的值是( )A. 1 B . 2C. 3 D . 4221 ［解析］由题可知一7和一1为ax + 8ax+ 21 = 0的两个根，.••一7X ( — 1) = —, a= 3.［答案］C4.不等式x2— 4x+ 5AO的解集为 .［解析］I，△ = ( — 4) 2 — 4X 5= — 4<0, 不等式x2- 4x + 5>0的解集为R.［答案］R5.当a>- 1时，关于x的不等式x2 + (a- 1)x-a>0的解集是.［解析］原不等式可化为(x+ a)( x — 1)>0 ,方程(x+ a)( x — 1) = 0的两根为一a, 1,.• a>-1,•■- - a<1,故不等式的解集为{x|x<—a或x>1}.［答案］{x|x<—a 或x>1}课后作业(十三)复习巩固一、选择题1.已知集合岬{x| —4<x<2} , N= {x|x2—x-6<0}，则"N=( )A. {x| — 4<x<3} B . {x| —4<x<- 2}C. {x| — 2<x<2} D . {x|2<x<3}［解析］由题意得N= {x| x2- x-6<0} = {x| — 2<x<3},所以"N= {x| — 2<x<2},选C.［答案］C2.已知集合M= {x| x2 — 3x— 28V 0}, N^ {x| x2—x — 6>0}，贝U " N为( )A. {x| - 4< x<—2 或3<xv 7}B. （x | — 4<x< - 2 或 3< x <7}C. （x | x< — 2 或 x >3}D. {x |x <— 2 或 x>3}2［解析］岷{x | x — 3x — 28V 0} = {x | — 4< x< 7}, N^ {x | x 3— x — 6>0} = {x | x < — 2 或 x >3},W 4 {x | — 4< x <- 2 或 3<x< 7}. ［答案］A 3.不等式x 2— px-q <0的解集是{x |2< x <3}，则不等式qx 2— px-1>0的解是（）［答案］5.若不等式ax 2— x-c >0的解集为{x | — 2<x <1},则函数B. x - ；<x<-!2 311C. x -<x<-D.{x | x <2或x >3 }［解析］易知方程x 2— px — q= 0的两个根是2,3.2+ 3 = p, p= 5, 由根与系数的关系得解得2x 3= — q,q= — 6,不等式 qx 2— px — 1>0 为—6x 2— 5x — 1>0,11解碍—5<x <一［答案］B4.若 0<a <1,不等式（a —x ） x —1 >0 a的解集是（1A. x a <x <一aB.1_<x <aa1C. x x >a 或x<-aD.1 x <a 或xk a［解析］ 不等式（a — x ） x —l >0 化为（x — a ） x —- a r<0, 一、， ,, 1…… 因为 0<a <1,故a <-,解集是 ay= ax 2— x — c 的图象为（）C D［解析］因为不等式的解集为{x| — 2<x<1},所以a<0,排除G D;又与坐标轴交点的横坐标为一2,1 ,故选B.［答案］B二、填空题6.设集合A= {x|( x — 1) 2<3x + 7, x€ F},则集合An Z中有个元素.［解析］由(x — 1)2<3x + 7,解得一1<x<6,即A= {x| —1<x<6}，则An Z= {0,1,2,3,4,5} ,故AD Z共有6个元素.［答案］67.方程x2+(nv 3)x +咛0的两根都是负数，贝U m的取值范围为 .2△ = mv 3 — 4m^ 0,［解析］x〔 + x2= 3 —m<0,xx = m>0,m>9.［答案］{mm^ 9}8.若关于x的不等式ax2— 6x + a2>0的解集为{x|1<x<n}，则a=,m^［解析］可知1, m是方程ax2—6x + a2= 0的两个根，且a<0,61 + m^- a=— 3 a= 2••- a解得或(舍去).m^- 3 m^21 x m^ a［答案］一3 —3三、解答题9.解不等式：0V x2— x-2< 4.［解］原不等式等价于{x2— x— 2> 0, x2— x — 2< 4.2解x -x— 2>0,得x<- 1 或x>2;解X2—x-2<4,得—2V x< 3.所以原不等式的解集为{x|xV— 1或x>2} A { x| — 2< x< 3} = {x| — 2< x< — 1或2< x< 3}.10.解关于x的不等式x2—3ax- 18a2>0.［解］将x2—3ax- 18a2>0 变形得(x-6a)( x+ 3a)>0 ,方程(x- 6a)( x+ 3a) = 0 的两根为6a, —3a,所以当a>0时，6a>- 3a,原不等式的解集为｛x|x< —3a或x>6a｝；当a = 0时，6a=— 3a= 0,原不等式的解集为｛x|x丰0｝;当a<0时，6a<—3a,原不等式的解集为｛x|x<6a或x> —3a}. 综合运用11.不等式mx— ax—1>0(m>0)的解集可能是( ). —1 A. X I x<- 1 或x>-4 B. RC. x| - 1<x<33 2D. ?［解析］因为△ = a2 + 4m>0,所以函数y= mx- ax—1的图象与x轴有两个交点，又m>0, 所以原不等式的解集不可能是 B C、D,故选A.［答案］A12.关于x的不等式ax— b>0的解集是(1 , +°°),则关于x的不等式(ax+ b)( x—3)>0的解集是( )A.{x| x<- 1 或x>3 }B. {x| —1<x<3}C. {x|1<x<3}D. {x| x<1 或x>3}［解析］由题意，知a>0,且1是ax— b= 0的根，所以a = b>0,所以(ax+ b)( x—3)= a(x+ 1)( x — 3)>0 ,所以x<- 1或x>3,因此原不等式的解集为｛x| x<—1或x>3｝.［答案］A13.关于x的不等式x2— 2ax- 8a2<0(a>0)的解集为{X|X I<X<X2}，且x2 —X I = 15,则a=( )5 A.27 B.215C H 15D.E［解析］由条件知XI,x2为方程x2— 2ax- 8a2= 0 的两根，贝U XI + x2= 2a, xx=— 8a2.2 2 2 2 2 2 5由(x2 —X I) = ( XI + X2)—4X I x2 = (2 a) — 4x ( —8a ) = 36a = 15 ,解得a= ~.［答案］A14.已知 A= {x |x 2— 3x+2<0}, B= {x |x 2— (a+ 1)x + a<0},若 A B,贝U a 的取值范 围是.匚一・ 一 _ _2 _ -一［解析］ A= {x | x — 3x + 2< 0} = {x |1 < x< 2}; 当 avi 时，B= {x | a<x< 1}, A B 不成立； 当 a >1 时，B= {x |1 < x<a},若 A B,须 a >2.［答案］a >215 .若不等式ax 2 + bx + c >0的解集为{x | — 3<x <4},求不等式bx 2 + 2ax — c — 3b <0的解， .__2…， ，、 - __ - 一 一 、 一一2［解］ 因为不等式ax + bx+ c >0的解集为{x | — 3<x <4}，所以a <0,且—3,4是方程ax+ bx + c= 0的两根.c , b —3 + 4= — —, a 由根与系数的关系，得一 .c —3X4= 一，a所以不等式bx 2 + 2ax — c — 3b <0,2即为—ax + 2ax+15 a <0. 因为一a >0,两边同除以一a,所以 x 2— 2x- 15<0，令 x 2— 2x- 15= 0,则△ = 64>0，且XI =— 3,x 2 = 5是方程的两个根，故所求的不等式的解集为 {x | — 3<x <5}.1x a <x <一 a所以b= — a,c= — 12a,。
人教高中数学A版必修一 (二次函数与一元二次方程、不等式)一元二次函数、方程和不等式教学课件(第1课
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
➢ 会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.（难点）
➢ 会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)
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题型1 分式不等式的解集
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
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随堂检测 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时
பைடு நூலகம்
学习目标 教材认知 典例精讲 课堂小结
学习目标
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
➢ 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
➢ 掌握图象法解一元二次不等式（重点） ➢ 通过解一元二次不等式，体会数形结合的思想方法（难点）
a＜0，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c 在x＝α，x＝β时的函数值都大于0.
法二：分离参数，转化为函数的最大(小)值问题．
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课堂小结 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
➢两个题型
解分式不等式 一元二次不等式恒成立求参数范围
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课堂小结 SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
➢ 三个基本知识 一元二次不等式 二次函数的零点 “三个二次”之间的关系
➢ 两个题型 图像法解一元二次不等式 利用“三个二次的关系”求参数
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式.1等式性质与不等式性质第课时不等式性质学案含解析第一册
第2课时不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点不等式的性质性质1a>b⇔__b〈a__；（对称性)性质2a〉b，b〉c⇒__a>c__；（传递性）性质3a>b⇒__a＋c〉b＋c__；(同加保序性）推论：a＋b>c⇒__a〉c－b__;（移项法则）性质4a〉b，c〉0⇒__ac>bc__，(乘正保序性)a〉b,c〈0⇒ac 〈bc；（乘负反序性）性质5a〉b，c〉d⇒__a＋c〉b＋d__；(同向相加保序性）性质6a>b〉0，c〉d>0⇒__ac〉bd__；（正数同向相乘保序性)性质7a>b>0⇒__a n〉b n__（n∈N,n≥2）．（非负乘方保序性）思考：（1）性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗?为什么？（3）使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1）移项法则．（2）不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．（3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√"，错的打“×”)（1)若a〉b,则ac2>bc2。
(×)(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(×)(3）设a，b∈R,且a〉b，则a3>b3。
（√）(4）若a＋c〉b＋d，则a>b，c〉d.（×)［解析］（1)由不等式的性质，ac2>bc2⇒a>b;反之,c＝0时，a>b ac2〉bc2。
(2)相乘需要看是否错误!而相加与正、负和零均无关系．（3)符合不等式的可乘方性．（4)取a＝4，c＝5，b＝6,d＝2,满足a＋c>b＋d，但不满足a〉b，故此说法错误．2．设b<a,d〈c,则下列不等式中一定成立的是（C）A．a－c〉b－d B．ac>bdC．a＋c〉b＋d D．a＋d〉b＋c3．已知a〈0，－1〈b<0，那么下列不等式成立的是(D) A．a〉ab〉ab2B．ab2>ab〉aC．ab>a>ab2D．ab〉ab2>a［解析]由－1〈b〈0，可得b〈b2<1,又a〈0,∴ab>ab2>a，故选D．4．用不等号“〉”或“〈"填空：（1）如果a>b,c〈d，那么a－c__〉__b－d；(2)如果a〉b〉0，c<d〈0，那么ac__〈__bd；(3）如果a>b〉0,那么错误!__〈__错误!；(4)如果a>b>c〉0，那么错误!__<__错误!.[解析］（1)∵c<d，∴－c〉－d，∵a〉b，∴a－c〉b－d. (2）∵c<d〈0，∴－c〉－d〉0.∵a>b〉0，∴－ac〉－bd,∴ac<bd。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式基本不等式基本不等式教案
考点学习目标核心素养基本不等式理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理利用基本不等式求最值能够运用基本不等式求函数或代数式的最值数学运算问题导学预习教材P４４—P４6，并思考以下问题：１．基本不等式的内容是什么？２．基本不等式成立的条件是什么？３．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？１．重要不等式与基本不等式■名师点拨（１）两个不等式a２＋b２≥２ab与错误!≥错误!成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）．（２）两个不等式a２＋b２≥２ab和错误!≥错误!都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”．２．基本不等式与最值已知x＞0，y＞0，则（１）若x＋y＝S（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值错误!．（２）若xy＝P（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值２错误!．记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小．■名师点拨利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：１一正：符合基本不等式错误!≥错误!成立的前提条件，a＞0，b＞0；２二定：化不等式的一边为定值；３三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）对任意a，b∈R，a２＋b２≥２ab均成立．（）（２）若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>２错误!.（）（３）若a>0，b>0，则ab≤错误!错误!.（）（４）a，b同号时，错误!＋错误!≥２．（）（５）函数y＝x＋错误!的最小值为２．（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）√（５）×如果a>0，那么a＋错误!＋２的最小值是（）Ａ．２B．２错误!Ｃ．３Ｄ．４解析：选D.因为a>0，所以a＋错误!＋２≥２错误!＋２＝２＋２＝４，当且仅当a＝１时取等号．不等式（x—２y）＋错误!≥２成立的前提条件为（）Ａ．x≥２yＢ．x>２yＣ．x≤２yＤ．x<２y解析：选Ｂ．因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x—２y>0，即x>２y，故选Ｂ．已知0＜x＜１，则x（１—x）的最大值为________，此时x＝________．解析：因为0＜x＜１，所以１—x＞0，所以x（１—x）≤错误!错误!＝错误!错误!＝错误!，当且仅当x＝１—x，即x＝错误!时“＝”成立，即当x＝错误!时，x（１—x）取得最大值错误!.答案：错误!错误!对基本不等式的理解下列结论正确的是（）Ａ．若x∈R，且x≠0，则错误!＋x≥４Ｂ．当x>0时，错误!＋错误!≥２Ｃ．当x≥２时，x＋错误!的最小值为２Ｄ．当0<x≤２时，x—错误!无最大值【解析】对于选项A，当x<0时，错误!＋x≥４显然不成立；对于选项B，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝错误!，则x＝±１，均不满足x≥２；对于选项D，x—错误!在0<x≤２的范围内单调递增，有最大值２—错误!＝错误!.【答案】B错误!应用基本不等式时的三个关注点给出下列条件：１ab＞0；２ab＜0；３a＞0，b＞0；４a＜0，b＜0．其中能使错误!＋错误!≥２成立的条件有（）Ａ．１个B．２个Ｃ．３个D．４个解析：选Ｃ．当错误!，错误!均为正数时，错误!＋错误!≥２，故只须a，b同号即可，所以１３４均可以．故选Ｃ．利用基本不等式直接求最值（１）已知t＞0，求y＝错误!的最小值；（２）若正实数x，y满足２x＋y＝１，求xy的最大值．【解】（１）依题意得y＝t＋错误!—４≥２错误!—４＝—２，等号成立时t＝１，即函数y＝错误!（t>0）的最小值是—２．（２）因为正数x，y满足２x＋y＝１，所以２x＋y＝１≥２错误!，所以错误!≤错误!，解得xy≤错误!，当且仅当x＝错误!，y＝错误!时取等号．（１）若a＋b＝S（和为定值），当a＝b时，积ab有最大值错误!，可以用基本不等式错误!≤错误!求得．（２）若ab＝P（积为定值），则当a＝b时，和a＋b有最小值２错误!，可以用基本不等式a＋b≥２错误!求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．１．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则（１＋x）（１＋y）的最大值为（）Ａ．１6 Ｂ．２５C．9 Ｄ．３6解析：选Ｂ．因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以（１＋x）（１＋y）＝１＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋错误!错误!＝9＋４２＝２５，因此当且仅当x＝y＝４时，（１＋x）（１＋y）取最大值２５．２．若a，b都是正数，则错误!错误!的最小值为（）Ａ．7 Ｂ．8Ｃ．9 Ｄ．１0解析：选Ｃ．因为a，b都是正数，所以错误!错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!＝9，当且仅当b＝２a时取等号．利用基本不等式求最值（１）已知x>２，则y＝x＋错误!的最小值为________．（２）若0<x<错误!，则函数y＝错误!x（１—２x）的最大值是________．（３）若x，y∈（0，＋∞），且x＋４y＝１，则错误!＋错误!的最小值为________．【解析】（１）因为x>２，所以x—２>0，所以y＝x＋错误!＝x—２＋错误!＋２≥２错误!＋２＝6，当且仅当x—２＝错误!，即x＝４时，等号成立．所以y＝x＋错误!的最小值为6．（２）因为0<x<错误!，所以１—２x>0，所以y＝错误!x（１—２x）＝错误!×２x×（１—２x）≤错误!错误!错误!＝错误!×错误!＝错误!，当且仅当２x＝１—２x，即当x＝错误!时，y max＝错误!.（３）因为x，y∈（0，＋∞），x＋４y＝１，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝５＋错误!＋错误!≥9，当且仅当错误!＝错误!，即x＝错误!，y＝错误!时取等号．【答案】（１）6 （２）错误!（３）9若把本例（１）中的条件“x>２”改为“x<２”，求y＝x＋错误!的最大值．解：因为x<２，所以２—x>0，所以f（x）＝x＋错误!＝—错误!＋２≤—２错误!＋２＝—２，当且仅当２—x＝错误!，得x＝0或x＝４（舍去），即x＝0时，等号成立．故f（x）＝x＋错误!的最大值为—２．错误!通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：（１）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．（２）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．（３）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．１．已知0＜x＜１，则x（３—３x）取得最大值时x的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．由x（３—３x）＝错误!×３x（３—３x）≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当３x＝３—３x，即x＝错误!时取等号．２．函数y＝３x２＋错误!的最小值是（）Ａ．３错误!—３B．３Ｃ．6错误!Ｄ．6错误!—３解析：选Ｄ．y＝３（x２＋１）＋错误!—３≥２错误!—３＝２错误!—３＝6错误!—３，当且仅当x２＝错误!—１时等号成立，故选Ｄ．３．已知x>0，y>0，且错误!＋错误!＝１，则x＋y的最小值为________．解析：x＋y＝（x＋y）·错误!＝１0＋错误!＋错误!≥１0＋２错误!＝１0＋6＝１6．即x＝４，y＝１２时等号成立，所以x＋y的最小值为１6．答案：１6１．下列不等式中，正确的是（）Ａ．a＋错误!≥４B．a２＋b２≥４abＣ．错误!≥错误!Ｄ．x２＋错误!≥２错误!解析：选Ｄ．a＜0，则a＋错误!≥４不成立，故A错；a＝１，b＝１，a２＋b２＜４ab，故B错，a ＝４，b＝１6，则错误!＜错误!，故C错；由基本不等式可知D项正确．２．若a>0，b>0，a＋２b＝５，则ab的最大值为（）Ａ．２５Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．a>0，b>0，a＋２b＝５，则ab＝错误!a·２b≤错误!×错误!错误!＝错误!，当且仅当a＝错误!，b＝错误!时取等号，故选Ｄ．３．若a＞１，则a＋错误!的最小值是（）Ａ．２Ｂ．aＣ．错误!Ｄ．３解析：选Ｄ．因为a＞１，所以a—１＞0，所以a＋错误!＝a—１＋错误!＋１≥２错误!＋１＝３．当且仅当a—１＝错误!即a＝２时取等号．４．已知x，y为正实数，且x＋y＝４，求错误!＋错误!的最小值．解：因为x，y为正实数，所以（x＋y）错误!＝４＋错误!≥４＋２错误!.当且仅当错误!＝错误!，即x＝２（错误!—１），y＝２（３—错误!）时取“＝”号．又x＋y＝４，所以错误!＋错误!≥１＋错误!，故错误!＋错误!的最小值为１＋错误!.[A 基础达标]１．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是（）Ａ．a２＋b２>２abＢ．a＋b≥２错误!Ｃ．错误!＋错误!>错误!Ｄ．错误!＋错误!≥２解析：选Ｄ．对于A，当a＝b时，a２＋b２＝２ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以错误!>0，错误!>0，所以错误!＋错误!≥２错误!，即错误!＋错误!≥２成立．２．错误!（—6≤a≤３）的最大值为（）Ａ．9 Ｂ．错误!Ｃ．３Ｄ．错误!解析：选Ｂ．因为—6≤a≤３，所以３—a≥0，a＋6≥0，所以错误!≤错误!＝错误!.即错误!（—6≤a≤３）的最大值为错误!.３．已知实数x，y满足x>0，y>0，且错误!＋错误!＝１，则x＋２y的最小值为（）A．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8解析：选Ｄ．因为x>0，y>0，且错误!＋错误!＝１，所以x＋２y＝（x＋２y）错误!＝４＋错误!＋错误!≥４＋２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!时等号成立．故选Ｄ．４．设x>0，则y＝３—３x—错误!的最大值是（）Ａ．３B．３—２错误!Ｃ．３—２错误!Ｄ．—１解析：选Ｃ．y＝３—３x—错误!＝３—错误!≤３—２错误!＝３—２错误!，当且仅当３x＝错误!，即x＝错误!时取等号．５．设x＞0，则函数y＝x＋错误!—错误!的最小值为（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为x＞0，所以x＋错误!＞0，所以y＝x＋错误!—错误!＝错误!＋错误!—２≥２错误!—２＝0，当且仅当x＋错误!＝错误!，即x＝错误!时等号成立，所以函数的最小值为0．6．已知x＞0，y＞0，２x＋３y＝6，则xy的最大值为________．解析：因为x＞0，y＞0，２x＋３y＝6，所以xy＝错误!（２x·３y）≤错误!·错误!错误!＝错误!·错误!错误!＝错误!.当且仅当２x＝３y，即x＝错误!，y＝１时，xy取到最大值错误!.答案：错误!7．若点A（—２，—１）在直线mx＋ny＋１＝0上，其中mn>0，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：因为点A（—２，—１）在直线mx＋ny＋１＝0上，所以２m＋n＝１，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝４＋错误!≥8．答案：88．给出下列不等式：１x＋错误!≥２；２错误!≥２；３错误!≥２；４错误!>xy；５错误!≥错误!.其中正确的是________（写出序号即可）．解析：当x>0时，x＋错误!≥２；当x<0时，x＋错误!≤—２，１不正确；因为x与错误!同号，所以错误!＝|x|＋错误!≥２，２正确；当x，y异号时，３不正确；当x＝y时，错误!＝xy，４不正确；当x＝１，y＝—１时，５不正确．答案：２9．已知y＝x＋错误!.（１）已知x＞0，求y的最小值；（２）已知x＜0，求y的最大值．解：（１）因为x＞0，所以x＋错误!≥２错误!＝２，当且仅当x＝错误!，即x＝１时等号成立．所以y的最小值为２．（２）因为x＜0，所以—x＞0．所以f（x）＝—错误!≤—２错误!＝—２，当且仅当—x＝错误!，即x＝—１时等号成立．所以y的最大值为—２．１0．（１）若x＜３，求y＝２x＋１＋错误!的最大值；（２）已知x＞0，求y＝错误!的最大值．解：（１）因为x＜３，所以３—x＞0．又因为y＝２（x—３）＋错误!＋7＝—错误!＋7，由基本不等式可得２（３—x）＋错误!≥２错误!＝２错误!，当且仅当２（３—x）＝错误!，即x＝３—错误!时，等号成立，于是—错误!≤—２错误!，—错误!＋7≤7—２错误!，故y的最大值是7—２错误!.（２）y＝错误!＝错误!.因为x＞0，所以x＋错误!≥２错误!＝２，所以0＜y≤错误!＝１，当且仅当x＝错误!，即x＝１时，等号成立．故y的最大值为１．[B 能力提升]１１．若0＜x＜错误!，则函数y＝x错误!的最大值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．因为0＜x＜错误!，所以１—４x２＞0，所以x错误!＝错误!×２x错误!≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当２x＝错误!，即x＝错误!时等号成立，故选Ｃ．１２．已知x≥错误!，则y＝错误!有（）Ａ．最大值错误!Ｂ．最小值错误!Ｃ．最大值１D．最小值１解析：选Ｄ．y＝错误!＝错误!＝错误!错误!，因为x≥错误!，所以x—２＞0，所以错误!错误!≥错误!·２错误!＝１，当且仅当x—２＝错误!，即x＝３时取等号．故y的最小值为１．１３．已知a>0，b>0，且２a＋b＝ab.（１）求ab的最小值；（２）求a＋２b的最小值．解：因为２a＋b＝ab，所以错误!＋错误!＝１；（１）因为a>0，b>0，所以１＝错误!＋错误!≥２错误!，当且仅当错误!＝错误!＝错误!，即a＝２，b＝４时取等号，所以ab≥8，即ab的最小值为8；（２）a＋２b＝（a＋２b）错误!＝５＋错误!＋错误!≥５＋２错误!＝9，当且仅当错误!＝错误!，即a＝b＝３时取等号，所以a＋２b的最小值为9．１４．已知a，b为正实数，且错误!＋错误!＝２错误!.（１）求a２＋b２的最小值；（２）若（a—b）２≥４（ab）３，求ab的值．解：（１）因为a，b为正实数，且错误!＋错误!＝２错误!，所以错误!＋错误!＝２错误!≥２错误!，即ab≥错误!（当且仅当a＝b时等号成立）．因为a２＋b２≥２ab≥２×错误!＝１（当且仅当a＝b时等号成立），所以a２＋b２的最小值为１．（２）因为错误!＋错误!＝２错误!，所以a＋b＝２错误!ab.因为（a—b）２≥４（ab）３，所以（a ＋b）２—４ab≥４（ab）３，即（２错误!ab）２—４ab≥４（ab）３，即（ab）２—２ab＋１≤0，（ab—１）２≤0．因为a，b为正实数，所以ab＝１．[C 拓展探究]１５．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：１a＋b＝１0；２错误!＋错误!＝１（x>0，y>0）且x＋y的最小值为１8，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．解：因为错误!＋错误!＝１，所以x＋y＝（x＋y）错误!＝a＋b＋错误!＋错误!≥a＋b＋２错误!＝（错误!＋错误!）２，又x＋y的最小值为１8，所以（错误!＋错误!）２＝１8．由错误!得错误!或错误!故存在实数a＝２，b＝8或a＝8，b＝２满足条件．。
2023新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2-2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版
B．若 x∈R，y≠0，则x＋4y＝|x|＋|4y|≥2
4 |x|·|y|
C．若 x 为负实数，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4
D．若 x≠0，则 x2＋x12≥2 答案 D
x2·x12＝2
解析 因为当 a 为负数时，ba23与ab32均为负数，故直接用基本不等式是错
误的，A 错误；若 x∈R，y≠0，当 x，y 异号时，x＋4y≠|x|＋|4y|，故不成立， B 错误；C 中，因为 x<0，所以4x<0，故不能直接用基本不等式，正确书写为
答案 B
解析 因为 x>0，y>0，且 x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9 ＋xy≤9＋x＋2 y2＝9＋42＝25，因此当且仅当 x＝y＝4 时，(1＋x)(1＋y)取得 最大值，为 25.
t2－4t＋1 8．当 t>0 时， t 的最小值为________． 答案 －2
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
答案
1 16
解析 因为 0<x<12，所以 1－2x>0，所以12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤14 2x＋21－2x2＝14×14＝116，当且仅当 2x＝1－2x，即当 x＝14时，原式取得最 大值116.
14．若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________． 答案 9
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教A版必修1
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法[目标] 1.知道一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2.会解一元二次不等式．[重点] 解一元二次不等式．[难点] 对一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的理解．1．一元二次不等式一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解集一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．[答一答]1．不等式ax2＋2x－3>0一定表示一个一元二次不等式吗？提示：不一定．当a≠0时表示一个一元二次不等式．当a＝0时表示一个一元一次不等式．2．一元二次不等式有哪些常见的形式？提示：任意一个一元二次不等式,总可以化为以下四种形式中的一种：(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0)．知识点二二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系[填一填][答一答]3．当一个一元二次不等式的解集不是R 或∅时,相应不等式的解集与一元二次方程的根有什么关系？提示：设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－b a，x 1·x 2＝ca，即不等式解集的端点值是相应方程的根．4．函数y ＝x 2－x －6的判别式Δ>0,该图象与x 轴有两个交点,其交点横坐标为－2,3,不等式x2－x－6>0的解集是{x|x<－2或x>3},不等式x2－x－6<0的解集是{x|－2<x<3}．解析：相应的一元二次方程x2－x－6＝0的判别式Δ＝(－1)2＋4×6＝25>0,故函数图象与x轴有两个交点．由x2－x－6＝0,得x1＝－2,x2＝3,故交点横坐标分别为－2,3.故不等式x2－x－6>0的解集为{x|x<－2或x>3}．不等式x2－x－6<0的解集为{x|－2<x<3}．类型一 不含参数的一元二次不等式的解法[例1] 求下列一元二次不等式的解集： (1)x 2－3x ＋5>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0； (3)－4x 2≥1－4x ； (4)2x 2－4x ＋7<0.[解] (1)∵Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0, ∴x 2－3x ＋5>0的解集为R . (2)原不等式可化为6x 2＋x －2≤0, ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0, ∴方程6x 2＋x －2＝0有两个不同实根, 即x 1＝－23,x 2＝12,∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤12. (3)原不等式可化为4x 2－4x ＋1≤0,即(2x －1)2≤0.∴原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝12. (4)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0, ∴不等式2x 2－4x ＋7<0的解集为∅.一元二次不等式的解法可简记为：一看(看二次项系数a 的正负)；二算(计算判别式，判断相应方程根的情况并求根)；三写(根据解的结构，写出不等式的解集).[变式训练1] (1)不等式2－x －x 2>0的解集是( D ) A ．{x |x <－1或x >1} B ．{x |x <－1或x >2} C ．{x |－1<x <2} D ．{x |－2<x <1}(2)不等式4x 2＋4x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12. 解析：(1)不等式2－x －x 2>0可化为x 2＋x －2<0.因式分解可得(x －1)(x ＋2)<0,对应方程的解为x ＝1或x ＝－2,则不等式2－x －x 2>0的解集是{x |－2<x <1}．(2)注意到4x 2＋4x ＋1＝(2x ＋1)2≥0,所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12. 类型二 含参数的一元二次不等式的解法[例2] 解下列关于x 的不等式． (1)(ax －1)(x ＋1)>0； (2)m 2x 2＋2mx －3<0.[解] (1)若a ＝0,则原不等式为一元一次不等式,解集为{x |x <－1}． 当a ≠0时,方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根为x 1＝1a ,x 2＝－1.当a >0时,解集为{x |x <－1或x >1a }；当－1<a <0,即1a <－1时,解集为{x |1a <x <－1}；当a <－1,即0>1a >－1时,解集为{x |－1<x <1a }；当a ＝－1时,解集为∅.(2)当m ＝0时,－3<0恒成立,解集为R .当m ≠0时,二次项系数m 2>0,Δ＝16m 2>0,不等式化为(mx ＋3)(mx －1)<0. 当m >0时,解集为{x |－3m <x <1m }；当m <0时,解集为{x |1m <x <－3m }．解含参数的一元二次不等式的步骤[变式训练2] 解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R )． 解：原不等式转化为(x －2a )(x ＋a )<0. 对应的一元二次方程的根为x 1＝2a ,x 2＝－a . (1)当a >0时,x 1>x 2,不等式的解集为{x |－a <x <2a }； (2)当a ＝0时,原不等式化为x 2<0,无解； (3)当a <0时,x 1<x 2,不等式的解集为{x |2a <x <－a }． 综上所述,原不等式的解集为： a >0时,解集为{x |－a <x <2a }； a ＝0时,解集为∅；a <0时,解集为{x |2a <x <－a }． 类型三 三个“二次”间对应关系的应用[例3] 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2},求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．[分析] 由一元二次不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2},可知1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根,由韦达定理或把方程的根代入方程求出a ,b 的值,从而得解．[解] ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}． ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.代入所求不等式bx 2＋ax ＋1>0,得2x 2－3x ＋1>0.由2x 2－3x ＋1>0⇔(2x －1)(x －1)>0⇔x <12或x >1.∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为{x |x <12或x >1}．三个“二次”关系的实质是数形结合思想：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象上的点(x ,0)；ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象上的点(x ,y )在x 轴上方的x 的取值范围.三者之间相互依存相互转化.[变式训练3] (1)已知二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－2<x <1},则a ,b 的值为( C )A ．a ＝－1,b ＝－2B ．a ＝－2,b ＝－1C ．a ＝b ＝－12D ．a ＝1,b ＝2(2)若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2>0的解集为{x |1<x <m },则a ＝－3,m ＝－3.解析：(1)由题知a <0且－2,1为方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根,由根与系数的关系可求得． (2)由题可知1,m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两个根,且a <0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝6a ，1×m ＝a解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，m ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝2(舍去)．1．不等式x (2－x )>0的解集为( D ) A ．{x |x >0} B ．{x |x <2} C ．{x |x >2或x <0}D ．{x |0<x <2}解析：原不等式化为x (x －2)<0,故0<x <2.2．设m ＋n >0,则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解是( B ) A ．x <－n 或x >m B ．－n <x <m C ．x <－m 或x >nD ．－m <x <n 解析：方程(m －x )(n ＋x )＝0的两根为m ,－n ,因为m ＋n >0,所以m >－n ,结合函数y ＝(m －x )(n ＋x )的图象,得原不等式的解是－n <x <m .故选B.3．若y ＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1},则函数y 的图象为( B )解析：因为不等式的解集为{x |－2<x <1},所以a <0,排除C 、D,又与坐标轴交点的横坐标为－2,1,故选B.4．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <2,则实数a ＝－2,实数b ＝3.解析：由题意可知－12,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根且a <0.由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2,b ＝3.5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－13<x <12},求－cx 2＋2x －a >0的解集．解：由ax 2＋2x ＋c >0的解集为{x |－13<x <12},知a <0,－13,12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ,－13×12＝ca,解得a ＝－12,c ＝2.∴－cx 2＋2x －a >0,即－2x 2＋2x ＋12>0,整理得x 2－x －6<0,其解集为{x |－2<x <3}．——本课须掌握的两大问题1．从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)从函数的角度看(以a >0的二次函数为例)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集,即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的值满足y >0时的自变量x 组成的集合,亦即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合,一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标,要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系．(2)从方程的角度看设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－ba ，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．2．解含有参数的一元二次型的不等式的注意事项(1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后,再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(3)如果判别式大于零,但两实根的大小还不能确定,此时再以两实根的大小作为分类标准进行分类讨论．。
人教A版(2019)高中数学必修第一册2.3一元二次函数、方程和不等式 学案
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学习目标：1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题核心素养：1.通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养2. 一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系得到二次不等式的解培养数学抽象素养学习过程：【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．知识点二．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集知识点三三个“二次”的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R}一元二次不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅【名师点拨】.解一元二次不等式①首先化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②再由图象得出不等式的解集口诀：大于取两边，小于取中间． 【初试身手】（1）（2020·山西太原高一期末）不等式()10x x ->的解集是（ ） A ．()(),01,-∞⋃+∞ B ．()0,1 C ．(),0-∞D ．()1,+∞【答案】A 【解析】解二次不等式()10x x ->，得0x <或1x >， 因此，不等式()10x x ->的解集()(),01,-∞⋃+∞. 故选：A.（2）（2020·福建高一期末）不等式2560x x --<的解集是（ ） A ．{|6x x >或1}x <- B ．{}|16x x -<< C ．{|1x x >或6}x <- D ．{}|61x x -<< 【答案】B 【解析】由2560x x --<可得(6)(1)0x x -+<，16x ∴-<<，故不等式的解集为{}|16x x -<<， 故选：B（3）（2020·全国高一课时练习）解不等式2230x x -+-<________ 【答案】不等式的解集为R【解析】由题意，不等式2230x x -+-<可化为2230x x -+>， 因为2(2)4380∆=--⨯=-<，所以方程2230x x -+=无实数解，又由函数223y x x =-+的图象开口向上，所以原不等式的解集是R . （4）不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为________．【答案】∅【解析】 原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅.]（5）（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）不等式250ax x c -+<的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则a ，c 的值为（ ） A ．6a =，1c = B ．6a =-，1c =- C ．1a =，6c = D ．1a =-，6c =-【答案】A【解析】不等式250ax x c -+<的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 故不等式对应方程的系数满足：115321132ac a⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得6a =，1c =.故选：A.例题讲解：例1． 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0.【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3（2）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94 （3）R . 【解析】 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94.(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . ［方法技巧］解一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. ［变式训练］求下列不等式的解集：(1)x 2－3x ＋1≤0； (2)－9x 2＋6x －1<0；(3)x 2－4x ＋5>0； (4)2x 2＋x ＋1<0. (5)0<x 2－x －2≤4【答案】（1）{|x 3－52≤x ≤3＋52. }（2）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R （3）R （4）∅.（5）{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}【解析】(1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为{|x 3－52≤x ≤3＋52. }(2)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(3)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (4)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. (5)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．例2（1）（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））解关于x 的不等式:22(2)20().ax a x a a R -++>∈ (2)2x 2＋ax ＋2>0；【答案】（1）当0a =时，解集为 {}0x x <；当0a <<时，解集为2{|x x a>或}x a <；当a >{|x x a >或2}x a <；当 0a <<时，解集为2{|}x x a a <<；当 a <2{|}x a x a<<； 当a ={|x x ≠；当a =∅；（2）当－4<a <4时不等式的解集为R .，当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为{|x x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1} 【解析】（1）由22(2)20().ax a x a a R -++>∈则(2)()0ax x a --> 因为a R ∈，故对a 分情况讨论当0a =时，则20x ->，所以0x <，不等式的解集为{}0x x <当0a << 时，由(2)()0ax x a -->，不等式的解集2{|x x a>或}x a <当a >{|x x a >或2}x a <当 0a <<时，不等式的解集为2{|}x x a a<<当 a <2{|}x a x a<<当a ={|x x ≠当a =∅(2)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R . ②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为{|x x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}［方法技巧］解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．注意：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并 ［变式训练］（2020·上海高一课时练习）解关于x 的不等式：()2230x a a x a-++>．【答案】见解析 【解析】将不等式()2230x a ax a-++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时，有a < a 2，所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >； 当a =0或1a =时，a = a 2=0，所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >；【例3】 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12 【解析】法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12. ［方法技巧］已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时， (1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. ［变式训练］（2020·上海高三专题练习）已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}x x αβ<<,且0αβ<<,求不等式20cx bx a ++<的解集. 【答案】1{x x α>或1}x β<【解析】因为不等式20ax bx c ++>(0a ≠)的解为x αβ<<,其中0βα>>,所以有b a αβ+=-,caαβ=且0a <,0c <.设方程20cx bx a ++=的两根为m ,n ,且m n <.则11b m n c αβαβαβ++=-==+,111a mn c αβαβ===⋅所以可得1n α=,1m β=且11αβ>又因为0c <,∴不等式20cx bx a ++<的解集1{x x α>或1}x β<.课堂小结：1.一元二次方程、一元二次不等式及二次函数图像密切相关，解一元二次不等式的一般步骤如下：①化不等式为标准形式：ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)或ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；②求方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． 2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a ＞0，a ＜0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1＞x 2，x 1＝x 2，x 1＜x 2. 3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x 轴的交点坐标.课堂达标检测：（1）（2020·上海高一开学考试）不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为（ ）A ．11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 【答案】A 【解析】∵11023x x ⎛⎫⎛⎫-->⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴11023x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ 解得：1132x <<，即不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭故选：A（2）已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--,则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞【答案】A【解析】∵不等式210ax bx --≥的解集是1123⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，， ∴1123x x =-=-，是方程210ax bx --=的两根，∴1152361111236b a a⎧⎛⎫=-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-⨯-=⎪⎪⎝⎭⎩，解得65a b =-⎧⎨=⎩．∴不等式20x bx a --<为2560x x -+<， 解得23x <<，∴不等式的解集为()23，．故选A ． （3）（2020·全国高一课时练习）若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭>0的解集是（ ） A ．1xx t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B ．1x x t ⎧>⎨⎩或}x t < C ．1x x t⎧<⎨⎩或}x t > D ．1x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t .∴(t －x )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ >0⇔(x －t )1x t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ <0⇔t <x <1t .故选：D（4）（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）解关于x 的不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈．【答案】分类讨论，答案见解析. 【解析】当0a =时，不等式240x -+>的解为2x <；当0a ≠时，不等式对应方程的根为2ax =或2， ①当0a <时，不等式22(1)40()ax a x a R -++>∈即()()220ax x --+<的解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②当01a <<时，不等式()()220ax x -->的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； ③当1a =时，不等式()220x +>的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞； ④当1a >时，不等式()()220ax x -->的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a =时，不等式解集为(),2-∞；当0a <时，不等式的解集为2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当01a <<时，不等式的解集为2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当1a =时，不等式的解集为(,2)(2,)-∞⋃+∞；当1a >时，不等式的解集为2,(2,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.。