chapter 8-土坡稳定分析
第八章 土坡稳定性分析与计算
O
R
Vi+1
MR
(c l N tan ) T R R
i i i i i
H
i
Wi
Ti
Fs
Ms MR
(c l N tan ) R W sin R
i i i i i i
O i 2 1 -1 -2 0
R b B 3 4 5 6
C
7
计 算 程 序 流 程
计算 mi
Fs Fs
计算
Fs
No
Fs Fs Fs
A
变化圆心 O 和半径 R
Fs 最小
END
3.简化毕肖普法的特点
★假设滑裂面为圆弧； ★假设条块间作用力只有法向力没有切向力 （Vi=0）； ★满足整体力矩平衡条件； ★满足各条块力的多边形闭合条件，但不满足条块的 力矩平衡条件； ★满足滑动面上的极限平衡条件。
i
f 土坡稳定 安全系数
(一) 瑞典条分法的基本原理
1、假设圆弧滑动面 确定圆心和半径
2、把滑动土体分成若干条（条分法） 3、取第i条土条进行受力分析
O
R
Vi+1 Hi hi Vi Wi Hi+1 hi+1
i
Ti Ni
瑞典条分法
静定化条件：假设条块两侧的作用 力合力Si，Si+1 大小相等、方向相 反且作用于同一直线上——不考虑 条块间的作用力。 1）根据径向力的静力平衡条件 得
表层滑动
砂土
概述 表层滑动的边 坡稳定分析
天然休止角
无粘性土
第八章 同济土力学土坡稳定分析2013
土坡滑动失稳的实质是土坡内滑动面上各点作用的 滑动力超过了土体的抗剪强度。 土坡的稳定程度通常用稳定安全系数来衡量，它表 明土坡在预计的最不利条件下具有的安全保障。 土坡的稳定安全系数可定义为滑动面上抗滑力矩与 滑动力矩之比(抗滑力与滑动力之比)，或实有的抗 剪强度与土坡中最危险滑动面上产生的剪应力之比。
第八章
土坡稳定分析
主要内容 主要内容
§8.1概述 §8.2砂性土土坡的稳定分析 §8.3粘性土土坡稳定分析 §8.4土坡稳定分析问题的进一步讨论
§8.1
由于地质作用而自 然形成的土坡 在天然土体中开挖 或填筑而成的土坡 滑坡：边坡因丧失稳 定性而滑动的现象
概述
天然土坡 人工土坡 坡顶 山坡、江 河岸坡 路基、堤坝
Wi tg ϕ + ci li cos β i ∑ ms i =1
n
∑ W sin β
i =1 i
n
i
例题分析 【例】某土坡如图所示。已知土坡高度H=6m，坡角 β=55°，土的重度γ =18.6kN/m3，内摩擦角ϕ =12°，粘
聚力c =16.7kPa。试用费伦纽斯条分法验算土坡的稳定安 全系数
一、圆弧滑动整体稳定分析法
d
O
R
C
D
假定滑动面为圆柱 面，截面为圆弧，利 用土体极限平衡条件 下的受力情况：
K = M M
f s
A
) ) τ f LR τ f LR ) = = τ LR Wd
f
W
N
饱和软粘土，不排 水剪条件下，ϕu＝ 0，τf＝cu
F
s
滑动面上的最 大抗滑力矩与 滑动力矩之比
) cu L R = Wd
i
b
土坡稳定 安全系数
第八章+土坡稳定性分析
土力学与地基基础
• 由于计算上述安全系数时，滑动面为任意 假定，并不是最危险的滑动面，因此所求 结果并非最小的安全系数。通常在计算时 需要假定一系列滑动面，进行多次试算， 计算工作量很大。 • W.费伦纽斯（Fellenius,1927）通过大量计 算分析，提出了以下所介绍的确定最危险 滑动面圆心的经验方法。
土力学与地基基础
瑞典条分法和毕肖普法的比较
• 瑞典条分法忽略各条间力对Ni的影响，i土 条上只有Gi,Ni,Ti三种力作用，低估安全系 数5~20%。 • 毕肖普法忽略土条竖向剪切力的作用，考 虑了土条两侧的作用力，比瑞典条分法更 合理，低估安全系数约为2~7%。
土力学与地基基础
li
K
1 m cb Gi ui b X i tan i
G sin
i
i
土力学与地基基础
• 毕肖普条分法考虑了土条两侧的作用力， 计算结果比较合理。 • 分析时先后利用每一土条竖向力的平衡及 整个滑动土体的力矩平衡条件，避开了Ei 及其作用点的位置，并假定所有的 X i 均等 于零，使分析过程得到了简化。 • 但该方法同样不能满足所有的平衡条件， 还不是一个严格的方法，由此产生的误差 约为2%～7%。另外，毕肖普条分法也可以 用于总应力分析，即在上述公式中采用总 应力强度指标c、φ计算即可。
土力学与地基基础
土坡形态及各部分名称
坡肩 坡顶
坡高 坡脚
坡面
坡角
土力学与地基基础
土力学与地基基础
土力学与地基基础
土力学与地基基础
4.土坡由于其表面倾斜，在自重或外部荷 载的作用下，存在着向下移动的趋势， 一旦潜在滑动面上的剪应力超过了该面 上的抗剪强度，稳定平衡遭到破坏, 就可 能造成土坡中一部分土体相对于另一部 分的向下滑动，该滑动现象称为滑坡。 5.天然的斜坡、填筑的堤坝以及基坑放坡 开挖等问题，都要演算土坡的稳定性。 亦即比较可能滑动面上的剪应力与抗剪 强度，这种工作称为稳定性分析。
西交大本科《土力学》NO8
泰勒认为圆弧滑动面的三种形式同土的内摩擦 角φ、坡角β及硬土层的埋置深度等因素有关。泰勒 经过大量的计算分析后得出以下几点结论：
8.3 黏性土坡稳定性分析
8.1 土坡稳定性概述
图8-1 简单土坡
8.1 土坡稳定性概述
2. 土坡失稳破坏的原因
由于坡面倾斜，土坡在自重作用下有向下移动的趋势。由于设计、 施工和管理不当，或者不可预估的外来因素（如地震、暴雨及水流冲刷 等）的影响都可能诱发土坡中的一部分土体相对于另一部分土体产生向 下的滑动而丧失原有稳定性，这种现象称为滑坡。土坡在滑动到来之前， 一般先在坡顶出现裂缝和下陷，在坡脚附近的地面出现较明显的侧向位 移、向上隆起等现象，这时若不及时采取措施而任其继续发展，则土坡 中的一部分土体相对于另一部分土体会突然沿着某一滑动面产生向下的 滑动而造成滑坡现象，如图8-2所示。
值得注意的是，由于计算上述稳定安全系数时，滑动面是任意假定 的，并不是最危险滑动面，因而所求的结果并非是最小稳定安全系数。 因此，通常在计算时需假定一系列的滑动面，进行多次试算，其中，稳 定安全系数最小的滑动面才是所求的最危险滑动面。
8.3 黏性土坡稳定性分析
2. 摩擦圆法
摩擦圆法由泰勒提出，他认为滑动面AD上的抵抗力包括土的 摩阻力和黏聚力，它们的合力分别为F和C，如图8-7所示。假定滑 动面上的摩阻力首先充分发挥作用，然后才由土的黏聚力补充。 下面分别讨论作用在滑动土体ABCDA上的三个力。
土力学
第8章 土坡稳定性分析
学习目标
理解土坡失稳破坏的原因。 理解土坡稳定安全系数的概念。 掌握无黏性土坡稳定性的分析方法。 掌握黏性土坡稳定性的分析方法。
土坡稳定分析
ai
d H 6 R 8.35m 2 sin 2 sin sin 2 sin 40 cos 34
是否安全与合理，边坡过陡可能发生坍塌，过缓
则使土方量增加。 土坡的稳定安全度用稳定安全系数K表示，它是 指土的抗剪强度 f 与土坡中可能滑动面上产生的 剪应力 间的比值，
f K
2016年12月19日
砂性土的土坡稳定分析
砂性土中，一般均假定其滑动面为平面。 已知：土坡高度H，坡角β，土的容重γ，土的抗剪强度
稳定力矩 M r K 滑动力矩 M s Wa
f LR
泰勒的分析方法仅适用于均质简单土坡，对非均质、复 杂坡形以及有水渗流等情况均不适用。而费伦纽斯提出
的条分法很好地解决了这一问题，至今得到广泛应用。
2016年12月19日
基本原理
为了尽量减小计算τf 时的法向应力的误差，怎么办？
——化整为零 基本原理：将滑动土体分成若干块竖直土条，分别考虑 其法向应力和抗剪强度τf ，求各土条对滑动圆心的抗滑 力矩和滑动力矩，最后取其总和，计算安全系数。
2016年12月19日
泰勒的分析方法
泰勒提出了确定均质简单土坡稳定安全系数的图表法。他 认为圆弧滑动面的3种形式是同土的内摩擦角φ值、坡角β
以及硬层埋深等因素有关，经过大量计算分析后提出：
当φ＞3°或当φ＝0且 β＞53°时，滑动面均
为坡脚圆，其最危险滑
动面圆心位臵，可根据 φ及β角值，从右图中的 曲线中查得θ及α值作图 求得。
c=16.7kPa。试用条分法验算土坡的稳定安全系数。
解：1）按比例绘出土 坡的剖面图。按泰勒 的经验方法确定最危 险滑动面圆心的位臵。
当φ=12°、β=55°
9.土坡稳定分析
第八章土坡稳定分析由于边坡表面倾斜，在岩土体自重及其外力作用下，整个岩土体都有从高处向地处滑动的趋势，当边坡丧失其原有的稳定性，一部分岩土体相对于另一部分岩土体发生滑坡现象。
引起滑坡的根本原因在于土体内部某个面上的剪应力达到它的抗剪强度，稳定平衡遭到破坏。
剪应力达到抗剪强度的原因在于两个方面：一是由于剪应力的增加，使土体内部剪应力加大；二是由于土体本身抗剪强度的减小，导致剪应力达到其抗剪强度。
一、无粘性土坡稳定分析1、一般情况下的无粘性土土坡对于均质的无粘性土土坡，土颗粒之间无粘结力，对于土坡而言，只要位于坡面上的土颗粒能够保持稳定，那么整个土坡就是稳定的。
最大抗剪力与下滑力之比为无粘性土土坡稳定安全系数。
2、有渗流作用时的无粘性土坡当土坡中存在渗流作用时，土体内部的渗流作用会使土体受到渗流力的作用，导致土坡稳定安全系数降低。
顺坡出流时，安全系数为二、粘性土土坡稳定分析粘性土由于颗粒之间存在粘结力，发生滑坡时是整块土体向下滑动的，坡面上任一单元体的稳定条件不能用来代表整个土坡的稳定条件，因此要考虑对土坡整体进行稳定性分析。
1、瑞典圆弧法对于均质粘性土土坡，实际的滑动面与圆柱面接近，安全系数采用滑动面上的最大抗滑力矩与滑动力矩之比来确定。
2、条分法对于大于零的粘性土土坡，滑动面上各点的抗剪强度与该点的法向应力有关，在假定整个滑动面各点安全系数相同的前提下，首先要求设法求出滑动面上法向应力的分布，才能求得安全系数值。
常见的方法是将滑动土体分成若干条块，分析每一条块上的作用力，然后利用每一土条上的力和力矩的静力平衡条件，求出安全系数表达式。
3、泰勒图表法泰勒通过上述土坡稳定分析，通过分析归纳出影响土坡稳定性的五个参数，分别是土的抗剪强度指标C 和，土的重度，坡角，极限坡高H cr 。
通过定义稳定数按不同的绘出与N S 的关系曲线，采用泰勒图表法可以解决简单土坡稳定分析中的问题。
三、土坡稳定分析中的一些问题1、挖方边坡与天然边坡2、土的抗剪强度指标的选取3、圆弧滑动条分法的讨论4、安全系数的采用 第一节 无粘性土坡稳定分析提示：双击自动滚屏一、一般情况下的无粘性土土坡对于均质的无粘性土土坡，土颗粒之间无粘结力，对于土坡而言，只要位于坡面上的土颗粒能够保持稳定，那么整个土坡就是稳定的。
土力学 第8章 土坡稳定分析
四、坡率法确定边坡坡度
谢
谢！
u
4) 振动：地震、爆破
土坡滑动的预防措施
（1）改善排水条件 （2）种植适当的植被，避免土壤侵蚀 （3）减轻土坡上部的重量，增加坡脚土体的 重量 （4）减小坡高或坡角 （5）避免在坡顶堆放荷载，避免人、畜对坡 面的践踏 （6）对陡坡采用一定的坡面或坡体保护措施 （7）修复坡顶裂缝 （8）危险评估和预警
第 8 章 土坡稳定分析
第八章 土坡稳定分析
一、概述
二、无黏性土土坡的稳定性分析 三、黏性土土坡的稳定性分析 四、坡率法确定边坡坡度
一. 概述
1、土坡：是指具有一定倾斜坡面的土体。
各部分名称 坡肩 坡 高 坡趾 坡角 坡顶
一. 概述
2、分类：
天然土坡 人工土坡 天然土坡：是指自然界在成土过程中形成的山坡和河道岸 坡。多存在于山区或丘陵地区。
地震引发的滑坡
暴雨与地震引发泥石流-菲律宾
2006年2月17日菲律宾中东部莱特省因连日暴雨和南部 地区里氏2.6级轻微地震，爆发泥石流致近3000人遇难
云南徐村水电站溢洪道土坡滑坡－开挖
江岸崩塌滑坡－渗流
三峡库区滑坡问题－蓄水造成的滑坡
2001年，重庆市云阳县发生两次大型滑坡，其中武隆边坡失稳 造成79人死亡。国务院拨款40亿元用于三峡库区地质灾害治理
《建筑边坡工程技术规范》(GB50330-2013)规定：
如何分析、判断？
无黏性土土坡—相对简单 黏性土土坡—复杂
二、无黏性土土坡的稳定性分析
右下图表示坡角为β的无黏性土土坡，不考虑 渗流的影响。 纯净的干砂颗粒间无黏聚力c，其抗剪强度只有 摩擦力(内摩擦角φ )，颗粒的自重W在垂直和平行于 坡面方向的分力分别为
土力学 第八章
Fs
Mf M
(c l W cos tan ) W sin
i i i i i i
名词解释
天然休止角，土坡稳定安全系数，圆弧滑动法
简答题 1. 有渗流时对无粘性土坡的稳定性安全系数有何 影响？ 2. 简述瑞典圆弧滑动法计算的基本原理 简单计算题 一无粘性土坡，坡角β=23°，水流沿着坡而下， 则坡面土体中的动水力是多少？（3.9kN/m3）
多项选择题 以下是针对瑞典条分法的描述，正确的是 A.对每一土条力的平衡条件是不满足的 B.对每一土条本身的力矩平衡不满足 C.能满足整个滑动土体的整体力矩平衡 D.对每一土条力的平衡条件和力矩平衡条件都能 满足
有渗流 sin L 滑动力
T
β β N
G
T V sat sin
T G sin J G sin wiV 抗滑力 V sin wV sin T’=N tanφ=Vγ’ tanφ cosβ T V tan cos tan Ks T V sat sin sat tan 1 t an Ks 2 t an 由于 / 1 / 2
sat
二、粘性土坡的稳定性分析 1. 条分法的基本概念 ◆假定一个圆弧滑动面 分为若干土条 ◆对每个土条受力分析
6 7
5 3 2 1
4
◆求出在极限平衡状态下土坡稳定安全系数 ◆改变圆弧半径或圆形位置，重复上述过程。 →其中最小的安全系 Kf min数对应最危险滑动面 Kf min>1 稳定
2. 瑞典圆弧滑动法（瑞典条分法） i 7 6 ■假定条块两侧的作用力大小相等 i 方向相反且左右在同一条直线上。 4 3 ■安全系数定义为每一土条在滑动 2 面上所能提供的抗滑力矩之和与外 1 Ti 荷载及滑动土体自重在滑裂面上所 Ni 产生的滑动力矩之和的比值。 Wi Ti R RWi sin i 滑动力矩 Ni Wi cos i 抗滑力矩
第八章 土坡稳定性分析
n个土条，n-1个分界面，Pi 、Hi、hi共3(n-1)个未知数； 个土条， 个分界面 个分界面， 个未知数； 个土条 个未知数 、 Ni 、Ti共2n个未知数；Fs一个未知数。 个未知数； 一个未知数 一个未知数。 共 个未知数 若把滑动土体分成n个条块，则共有未知数5n-2个，可 若把滑动土体分成 个条块，则共有未知数 个 个条块 建方程4n个 为超静定问题。 建方程 个，为超静定问题。
顺坡出流情况 T′ J T N 干坡或完全浸水情况 T′ T N
W tan ϕ tan β = = 0.481 Fs β = 25 .7 o
W γ ′ tanϕ tan β = = 0.241 γ sat Fs
β = 13 .5 o
渗流作用的土坡稳定比无渗流作 用的土坡稳定， 用的土坡稳定，坡角要小得多
d i = R ⋅ sin θ i 将（2）（4）代入（3）式得
(3) (4)
∑Wi ⋅ R ⋅ sin θ i − ∑
ci ⋅ li + Wi ⋅ cos θ i ⋅ tgφi ⋅R =0 Fs
39
3.方法的特点： 方法的特点： 方法的特点 (1)忽略条间力的作用 忽略条间力的作用 (2)满足滑动土体整体力矩平衡条件 满足滑动土体整体力矩平衡条件 (3)不满足条块的静力平衡条件 不满足条块的静力平衡条件 (4)满足极限平衡条件 满足极限平衡条件 (5)得到的安全系数偏低，误差偏于安全 得到的安全系数偏低， 得到的安全系数偏低
第八章 土坡稳定性分析
第一节 概述 第二节 无粘性土坡的稳定分析 第三节 粘性土坡的稳定分析
1
第一节 概述
一、土坡
土坡： 天然土坡 土石坝等） 人工土坡 （土石坝等） 土坡几何形态：
第八章-土坡稳定性分析(改)
W
cu L R Fs Wd
d
O B A C W
粘性土土坡滑动前，坡 顶常常出现竖向裂缝
A
z0
深度近似采 用土压力临 界深度
z 0 2c / K a
裂缝的出现将使滑弧长度由 AC减小到AC，如果裂缝中 积水，还要考虑静水压力对 土坡稳定的不利影响
Fs是任意假定某个滑动面 的抗滑安全系数，实际要 求的是与最危险滑动面相 对应的最小安全系数
由于极限平衡法具有模型简单、计算公式简 捷、可以解决各种复杂剖面形状、能考虑各种 加载形式的优点,因此得到广泛的应用。 但是极限平衡法存在着一定的局限性: 其一,需要事先假设边坡中存在的滑动面(圆 弧法或折线法); 其二,无法考虑土体与支护结构之间的作用及 其变形协调关系; 其三,不能计算边坡及支护结构的位移情况。
三、毕肖普法(1955)
毕肖普法提出的土坡稳定系数的含义是整 个滑动面上土的抗剪强度τf与实际产生剪应力τ 的比，即K= τf/ τ， 假定滑动面是圆弧，任一土条i受力为：土 条重Wi引起的切向力Ti和法向力Ni，并分别作 用于底面中心处；土条侧面作用法向力 Ei 、 Ei+1 和切向力Xi、 Xi+1。但是毕肖普忽略了条间 切向力，即Xi+1-Xi =0，这样就得出了国内外广 泛使用的毕肖普简化公式：
1 [ci' bi (Wi ui bi )tgi' ] m i 简化后得： K Wi sin i
力矩分析 为什么没 考虑条间 力?
tgi' mi cos i sin i K
土坡稳定分析中有关问题＊
一、土的抗剪强度指标及安全系数的选用
* 指标值过高，有发生滑坡的可能
一、土坡圆弧滑动面的整体稳定分析 假定滑动面为圆柱面， 截面为圆弧，利用土 体极限平衡条件下的 受力情况： Mf f LR f LR Fs M LR Wd 饱和粘土，不排水 剪条件下，u＝0， τf ＝cu 滑动面上的最 大抗滑力矩与 滑动力矩之比
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Chapter 8 Slope stability analysis第八章 土坡稳定分析土坡稳定分析无粘性土土坡的稳定性分析粘性土土坡的稳定性分析本章主要内容8.1 土坡稳定分析1. 基本概念2. 影响土坡稳定性的因素土的类型，剖面几何形状，荷载，水，强度参数坡高H坡面坡肩坡顶坡角坡脚滑动面3. 滑动破坏的类型旋转型滑动——粘性土Fig. 7-2 (a): 坡面圆Fig. 7-2 (b): 坡角圆Fig. 7-2 (c): 中点圆平面滑动——无粘性土Fig. 7-2(d)复合滑动Fig. 7-2(e)Fig.7-28.2 无粘性土土坡的稳定性分析1. 一般情况下的无粘性土土坡(干土坡，水下土坡)重力 (W )，反作用力( )，抗滑力 (T f )WNTT fα图8-3sin T W α=f tan 'cos tan 'T N W ϕαϕ==⋅αN N(8-2)f s cos tan 'tan 'sin tan T W F T W αϕϕαα⋅====最大抗滑力下滑力s s ':1,stable':1,limit stateF F αϕαϕ<>==s tan 'tan F ϕα=2. 有渗流作用时的无粘性土土坡可见：当坡面有顺坡渗流逸出时， F s 比无渗流时将近降低一半。
Note: ∵N 'WNT T fαJ ∴f s cos tan 'sin T W F T J W Jαϕα⋅===++最大抗滑力下滑力'W γ=ww w sin hlJ i γγγα∆==∆=s w sat'cos tan ''tan ''sin +sin tan F γαϕγϕγαγαγα==⋅sat '12γγ≈例1一均质无粘性土土坡， c '=0, ϕ '=30º, γsat =19.5kN/m 3, 若要求F s =1.25，求下列情况下的坡角：1）干坡或完全浸水时，2）坡面有顺坡渗流时。
求解s sat osat s o'tan ' tan 'tan '(19.59.8)tan 30 tan 0.23019.5 1.2512.9F F γϕγαγϕαγα=⋅−×∴=⋅==×∴=∵2) 坡面有顺坡渗流时解：1) 干坡os s otan 'tan 'tan 30 tan 0.462tan 1.2524.8F F ϕϕααα=∴===∴=∵8.3 粘性土土坡的稳定性分析fs shear strength shear stress required for equilibrium F ττ==∵⌢LR Wd τ=由力矩平衡条件可得：∴⌢f sLR Wd F τ=⌢⌢u f s c LR LR F Wd Wdτ==当 ϕu =0时：fsF ττ∴=ORCBANW dT Lτ=⌢(8-5)Fig. 8-51. 总应力分析法 (ϕu =0)Note :f s Resisting momentDriving momentM F M ==For circular slip surface, F s may also be defined as follows:So:⌢⌢u f s c LR LR F Wd Wdτ==ORC BANWdT(8-5)Fig. 8-52. 最危险滑动面的确定需假定一系列滑动面、多次试算费伦纽斯法确定最危险滑动面圆心O 的位置：对于均质粘性土坡，最危险滑动面常通过坡脚。
•ϕ =0时，可由图8.7及表8-1确定圆心O (两线的交点)•ϕ >0时，圆心O '在EO 的延长线上对于非均质粘性土土坡，圆心O “在过O '且垂直于EO 的直线上当土坡外形和土层分布都比较复杂时，最危险滑动面不一定通过坡脚，其位置应由圆心坐标和滑弧弧脚确定。
试算Fig.8-7 Locating the center of the most critical circleOR ABEβ2β1H2H4.5HO 'O "CDFig.8-73. 简化图表法(泰勒分析法)8.4 瑞典条分法1. 条分法的基本概念 (极限平衡法)l iX iX i +1E iE i +1W ib iθiRCABOiT iNW ii N iT 受力分析Forces of each slices:Body weight W iNormal reacting force Mobilized shear force Interslice forces E i , X i and the position of the resultant z if s s s('tan '')'tan ''i i i i i i ii i i i c l N c l T l l F F F τσϕϕτ++====∵∴ Under the assumption of the position of the resultantof W i and N i : a i =l i /2, the numbers of unknown parameters are as follows:F s (1)N i ' (n )E i (n -1)X i (n-1)z i : (n -1)i N i T l i X iX i +1E iE i +1W i b ii N i T Analysis of forces (cont.)∴ 未知数总数：4n -2 已知的平衡条件：3n∴ 未知参数的个数：(4n -2)-3n =n -2.∴ 是超静定问题求解方法：增加假设条件假定E i 或X i 的大小：瑞典条分法、简化的Bishop 法 假定E i 与X i 的合力的方向：Spencer 、Morgenstern-Price 、Sarma 法假定E i 与X i 的合力的作用点的位置：Janbu 法2. 瑞典条分法1) 假设：circular or cylindrical slip surface; rigid body; no interslices forces 2) 受力分析Body weight: W i ↓. It can be resolved into two parts:•Normal acting force: N i =W i cos θi •Shear force: T i =W i sin θi•Homogeneous slope: W i = γi b i h i•Non-homogeneous slope: W i = (γi 1h i 1＋γi2h i 2 ＋…)b iNormal reacting force: Mobilized shear force:iT i N Fig.8-13 Swedish method of slicesiT θiRCABT i N iOb ih il iW iiN iN iT W i3) 求解F s (总应力法)f s s ssAccording to sin (tan )tan and cos cos tan we can get sin i i ii i i i i i ii i i i i i i i i i i ii iT R W R c l N c l T l l F F F N W W c l R W R F θτσϕϕτθθϕθ=++=====+=∑∑∑∑Thens cos tan sin iiii iiiW c lF W θϕθ+=∑∑∑(8-12)4) 求解F s (有效应力法)=cos i i i i iN l W u θ−If there is pore water pressure u , thenThen''(cos )tan sin iii i ii isiiW u l c l F W θϕθ−+=∑∑∑where u can be evaluated by the following formula:u u r hγ=⋅r u — the ratio of pore water (孔压系数),(7-10)u u r hγ=b ih il iW iiN iT u i l i3. 瑞典条分法的计算步骤1) 绘土坡剖面图, 选圆心和滑弧, 定半径2) 土条的划分与编号(b =0.1R or b =0.2R )以圆心O 通过的垂线为第0条的中心线，逆滑动方向依次为1、2、…，顺滑动方向依次为-1，-2，…。
优点：编号的正负与θi 的正负一致。
各土条的宽度取等宽，一般为b =0.1R 或b =0.2R取等宽时，滑体两端的土条宽度不一定恰好等于b ，此时需将两端土条的实际高度按面积相等的原则折算成相应于b 的高度，但对θi 仍应按实际宽度计算3) 量出各土条中心处的高度h i 及倾角θi4) 由图中量出或计算出滑弧的中心角θ，计算滑弧弧长L : L = (π/180)θR 5) 求解F s6) 另选滑弧，重复2)~5)步，从而求得F ssmin例2A slope of an embankment with a height of H =20m is inclined at 1:2. The properties of the soil are c =10kPa, ϕ =20º, γ =18kN/m 3. Calculate F s using Swedish method of total stress.Fig.7-10Solution1) Select a center and a slip surface ∵ The slope is inclined at 1:2 ∴ From Table 7-1: β1=25º，β2=35ºThen, according to Fig.7-10 and H =20m, select a slip surface with R =40m.2) Divide the sliding body into slices, and number them. Taking b = 0.2R = 8m.3) Find h i , and calculate sin θi , cos θi , h i sin θi , h i cos θi (see Table 7-2).4) Find θ =98º, and calculate L = (π/180)θ R =68.4m 5) Calculate F s :F s = ∑(W i cos θi tan ϕi ＋c i l i ) /∑W i sin θi= [γ b tan ϕ∑(h i cos θi )＋cL ]/(γ b ∑h i sin θi )= [18×8×tg20º×80.51＋10×68.4]/(18×8× 25.4) =1.346) Calculate F sminTable 8-2: Calculation of the factor of factor using Swedish method80.5125.34∑5.407.200.6000.89.0413.6010.200.8000.617.9317.407.600.9160.419.0217.153.50.9800.217.5114.6001014.609.31−1.900.980−0.29.5− 1For slice −2:1. h 2=4.0×6.6/8 =3.3m 2. sin θ-2= −(1.5b +0.5b -2)/R = −0.3833.05−1.260.924−0.3833.3− 2note h i cos θi h i sin θi cos θi sin θi h i /m No.8.5 简化的Bishop 法1. 特点：考虑了土条两侧面上的作用力E i 及 X i2. 计算 F s第i 土条竖直方向力的平衡条件：'sin cos cos 0i i i i i i i i i W X T N u l θθθ+∆−−−='cos sin cos i i i i i i i i iN W X T u l θθθ=+∆−−hence '''f s s s('tan '')tan i i i i i i ii i i i c l N c l T l l F F F τσϕϕτ++====∵∴(8-14)''s1(sin )i i i i i i i i i c l N W X u b m F θθ=+∆−−'stan cos sin i i i i m F θϕθθ=+其中：(8-15)(8-16)(8-20)2. 计算 F s (续)根据力矩平衡条件：i iiW x T R −=∑∑当∆X i =0时：因此：''s 1[()tan ]sin i i i i i i i ii iW u b X c b m F W θϕθ−+∆+=∑∑''s 1[()tan ]sin i i i i i i iiiW u b c b mF W θϕθ−+=∑∑ (8-19)3. 讨论1) The calculation of F s is a iterative processbecause F s appears in both sides of the equation. It is found that F s converges rapidly.2) If θi <0o , m θ i may approaches to 0. And if m θ i →0,then N i ' →∞, which is unreasonable. Therefore, m θ i >0.2 is needed in Bishop’s simplified method.3) If θi is large enough for slices near the top ofslope, N i ' may be negative. In this case, N i ' =0 should be used.Example 7-4Fig.7-10. γ =18kN/m 3, c'=10kPa, ϕ'=36º, u i =r u γ h i , r u =0.60. Compute F s using Bishop’s simplified method.Fig.7-10Solution1) Calculate F s of one slip surfaceu u ''''u u s 11[()tan ][(1)tan ]sin sin i i i i i i i i i i i i iiiiiiu b r h b r W W r W c b r W c b mmF W W θθγϕϕθθ==−+−+∴==∑∑∑∑∵See Table 7-3 for detail. From Table 7-3:1st iteration: F s =1→ F s =4057.3/3648.4=1.112nd iteration: F s =1.11→ F s =4105.2/3648.4=1.133rd iteration: F s =1.13→ F s =4113.7/3648.4=1.132) Calculate F sminTable 7-3: Calculation of F s using Bishop’s simplified method1.1821.2361.2071.12510.8350.6468m θi (F s =1)4057.3386.7641.1725.9722.9691.8572.6316.39((6)+(7))/(8)1.1241.1931.1781.11110.8490.67310m θ(F s =1.11)4105.2406.7664.2743.8732.0691.8563.1303.611((6)+(7))/(10) 1.1141.1861.1731.10910.88510.67812m θ(F s =1.13)4113.7410.3668.1747.0733.4691.8561.8301.313((6)+(7))/(12)Sum43210-1-2No No 9.017.019.017.514.69.53.31h 1296.02448.02736.02525.02102.41368.0475.22W 0.80.60.40.20-0.2-0.3833sin θ0.6000.8000.9160.98010.9800.9244cos θ3648.41036.81468.81094.4504.00-273.6-182.05W sin θ337.1712.4396.2733.3611.8398.1138.36(1-r u ) W tan φ808080808080667c b 8.6 土坡稳定分析的几个问题1. 土的抗剪强度指标及安全系数的选用应结合土坡的实际加载情况、填土性质、排水条件，选用合适的抗剪强度指标。