2.1极限与连续

第一章极限与连续（18学时）§1.1 函数§1.2数列的极限§1.3函数的极限§1.3无穷小（量）和无穷大（量）§1.4 函数的连续性与间断点第二节数列的极限一、概念的引入二、数列极限的定义三、数列极限的性质教学要求：1.理解数列极限的定义。

2. 了解收敛数列的性质，并会加以应用。

一、数列极限的定义例如2,4,8,,2,;n1111,,,,(),;2482n−−− }2{n})21{(n −,n n n x x 序列从小到大排列得到一个按照下标这些实数实数}.{,,,,21n n x x x x 作称这个序列为数列，记 N n ，对应着一个确定的每个如果按照某一法则，对+∈1. 数列注: 1.在几何上，数列可看作数轴上的一个动点.1x 2x 3x 4x nx 2.数列可看作自变量为正整数n 的函数+∈=Nn n f x n ),(11,1,1,,(1),;n +−− })1{(1−−n 114(1)2,,,,,;23n n n−+− })1({1nn n −−+越大，A n n 。

就越接近圆的面积S R正六边形的面积1A 正十二边形的面积2A正形的面积126−×n nA,,,,,321n A A A A S 2. 概念的引入(1) 割圆术：（圆的面积）,n A n 就无限的接近于S 。

无限增大时当但无论n 有多大，A n ≠S（2）截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211=X 第一天截下的杖长为;212122+=X 为第二天截下的杖长总和;2121212n n X n +++= 天截下的杖长总和为第nn X 211−=1•x•••43•871x 2x 3x ⋅⋅⋅12如果当n 无限地增大时，x n 无限地接近于常数a ，.1211X ,n n n 就无限地接近于无限增大时当−=越大，.11X n n 但达不到，就越接近与112n nX =−1则说，当n 趋于无穷大时，以为a 极限，记成{}n x ).( lim ∞→→=∞→n a x a x n n n 或记为n →∞，读作n 趋于无穷大记为x n →a ，读作x n 趋于a极限的直观说法:.1))1(1(lim ,021lim :=−+=∞→∞→nnn n n 直观上可以看出但是，数列3. 数列极限的定义1(1),n n x n =+210nn nx =1sin ,n x n n=当n 越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？问题1:当无限增大时, 是否无限接近于某一n x n 问题2:如何用数学语言刻化“无限接近”?确定的数值? 如果是, 如何确定?|1|−n x 所谓x n 无限接近1，就是说可以任意小.以为例来讨论数列极限的含义.(1){}{1}nn x n−=+如何用数学语言刻划上面这个变化趋势,即“无限接近于1”这个趋势？=−1n x ∵nn n 11)1(1=−−当n 越来越大时，1/n 越来越小，从而x n 越来越接近于1。

只要n 足够大，1/n 就可以小于任意给定的正数，所以说当n 无限增大时，x n 无限接近于1。

如：,1001给定,10011<n 欲使,100时只要>n ,10011<−n x 有,10001给定,1000时只要>n ,1000011<−n x 有,100001给定,10000时只要>n ,100011<−n x 有要使,<111000n 要使,<1110000n这样，就定量地刻画了当时，以1为极限的这一事实.下面给出数列极限的精确定义.∞→n }{n x 一般, 任给ε>0, 不论多么小, ε<=−nx n 1|1|只须ε1>n . 因此, 从第11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε项开始, 以后各项都有ε<−|1|n x . 因ε是任意的, 这就说明了当n 越来越大时,x n 会越来越接近于1.要使注1：;.的无限接近与刻划了不等式a x a x n n ε<−.有关与任意给定的正数εN 数列有极限，也称该数列是收敛的.否则，称数列是发散的.}{n x 成立.则称数列当n 趋于无穷大时以a 为极限，记作}{n x ε<−a x n ε定义：设有，a 是常数，如果对于任意给定的正数，总存在一个正整数N ，使当n>N 时，都有}{n x ).( lim ∞→→=∞→n a x a x n n n 或.}{}{a x a x n n 收敛于为极限也说以注2：−a|<ε”的意思是说, 注3：定义中“当n>N时, 有| xn−a|<ε, 至于从第N+1项开始,以后各项都有|xn以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关.而与前面的有限多项无关. 改变, 去掉数列的前有限项, 不改变数列收敛或发散的性质.:N 定义−ε其中lim 0,,,.n n n x A N N n N x A εε→∞+=⇔∀>∃∈>−<使恒有时;:每一个或任给的∀.:至少有一个或存在∃lim n n x A →∞=4. 数列极限定义的几何意义•A ε+A ε−A •x1x •2x •3x N x ••1N x +•2N x +••••()>n X n N ).,A (U x ,N n ,N N ,0n ε∈>∀∈∃>ε∀⇔+恒有使得.)N (,)A ,A (x ,N n n 落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当ε+ε−>,成立|0)1(sin |2ε<−+n n ]1[时，就有，当取正整数ε>=N n N .0)1(sin lim 2=+∞→n n n 从而知1、唯一性性质1 如果数列收敛，则数列的极限只有一个.证由定义,()()n n a b x b x a −=−−−n n x b x a ≤−+−2.εεε<+=, 故收敛数列极限唯一.三、收敛数列的基本性质;2ε<−>b x N n n 时恒有当时有则当N n >时才能成立上式仅当b a =,lim ,lim b x a x n n n n ==∞→∞→又设;1ε<−>a x N n n 时恒有当{},,max 21N N 0,ε∀>∃正整数12,N N ，使得a b=⇒取N =2、有界性例如,有界无界定义:对数列{n x },若存在正数M ,使得一切自然数n ,恒有M x n ≤成立,则称数列{n x }有界,否则,称为无界.;1+=n n x n 数列.2n n x =数列性质2 (收敛数列的有界性)收敛数列必有界.证设数列收敛，并且以a 为极限.}{n x 根据数列极限的定义，对于，存在着正整数N ，1=ε使得当n>N 时，都有成立.1||<−a x n ||1||||||||a a a x a a x x n n n +<+−≤+−=于是，有.||M x n n ≤有对于一切},1,,,max{1+=a x x M N 设{}.有界故n x注1：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.注2：有界数列也可能发散.})1{(}{1是有界数列，且发散例如数列+−=n n x3.收敛数列的保号性存在正整数N ＞0，当n ＞N 时，都有x n ＞0（或x n ＜0）那么）（或且如果性质,00,lim <>=∞→a a a x n n 3{}0(0),lim ,0(0).n n n n n x x x x a a a →∞≥≤=≥≤论：如果数列从某项起有或且那么或推110, lim 0n n x n n →∞=>=但比如,注:在推论中, 即使x n >0, 也只能推出a ≥0,lim ,≥∞→n n x 即4、子数列的收敛性{}{}{}n n n x x x 义：在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列（或子列）．定 ,,,,,21n i x x x x ,,,,21k n n n x x x 注：例如，是数列的一个子数列。

{}.k n n x x k k n n k≥项，显然，中却是第在原数列k x n k 项，而是第中，一般项在子数列{}k n x定理收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．注：由此定理，若{ x n } 的两个子列一个收敛于a ,而另一个收敛于b ，且a ≠b , 则{x n }发散；或者，{x n }中有一个子列发散，则{x n }发散.,2)1(1,nn x −+=例0, 1, 0, 1, 发散.,2sin ,πn x n =例1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 发散.推论.).(,,,}{lim 122+∞→→→=++∞→k a x a x a x a x k k n n n 即和偶数项子列都收敛于的奇数项子列的充要条件是。