数值分析考试复习总结

(1)

(2)

(3) 解⑴(3)

对I X

卜：：：：

1 ；

对XMO,|X|« 1.

2x2；(1 x)(1 2x). (2)

1 -cosx _ sin

2 x

x x(1 cosx)

si nx

1 cosx

第一章

1误差

相对误差和绝对误差得概念

例题：

当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时，一般要经历哪几个阶段？在哪些阶段将有哪些误差产生？

答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果

在这个过程中存在一下几种误差：

建立数学模型过程中产生：模型误差参数误差选用数值方法产生：截断误差

计算过程产生：舍入误差传播误差

6 •设a =0.937关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差.对于

f (x) = .1 —x，估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差•

解a的相对误

差: 由于

1 _3l , 、 x — a

|E(x) |

2X

E r(x) <1 2 1 _2

10 =— 10 .(Th1)

2汉18

f(a)对于f(x)的误差和相对误差

|E

⑴冃"―心日^^卜鑒=1。」

| E r(f )^10^ 1-a=4 10‘.□

2有效数字

基本原则：1两个很接近的数字不做减法：

2：不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题：

4 •改变下列表达式使计算结果比较精确：

1

x

1 - COS

x

X 1 X . X - 1 X )

二

P 2(x)二 P i (x) f[X o ，X i ，X 2](X-X °)(X- xj

第二章

拉格朗日插值公式(即公式(1))

n

P n (X )二' y 」i (X )

插值基函数(因子)可简洁表示为

I / \ :(X - X j )

® n

(x)

l i (X):

j

卫(X i - X j ) (X- X i ) n (X i )

jT ：

n

n

其中：n (X )「「(X - X j ),

'n

X i = /

(\ - X j ).

j =0

j =0

例1 n=1时，线性插值公式 例2 n=2时，抛物插值公式

(X -X o )(X -Xj

% -X o )(X 2 - Xj

牛顿(Newton )插值公式

由差商的引入，知

(i )过点x o , x i 的一次插值多项式 为

P i (x) = f (X o ) C i (x -X o )

其中

C i

L^^fix o ’X i]

=

P i (x)二 f(X o ) f[X o ,X i ](X-X o )

X i _Xo

(2)过点x o , x i , x 2的二次插值多项式 为

P 2(X )二 P i (x) C 2(X-X o )(X-X i )

其中

(x - xj R (x) = y o 疋 ------ + y i 汉 (X o —X i )

(x _X o )

(X i - X o )

P 2(x)

(X -X i )(X -X 2)

(X o -旨)％ 讥)

y i

(X -X o )(X -X 2)

(X i -X o )(X i 乜)

f(X2) - f (X i) f (X i) - f (X o)

C2x2 - x i X i X o

X2 _ Xo

二 f [X o,X i,X2]

二

P 2(x)二 P i (x) f[X o ，X i ，X 2](X-X °)(X- xj

=f (X 。) f[X o ,X i ](X-X o ) f[X o ,X i ,X 2](X-X o )(X-X i )

重点是分段插值：

例题：

1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式(结果要简化)：

解⑵：

方法一.由Lagrange 插值公式

L 3(X )=fo l o (x)

f l l i (X )

f 2 12(X ) f 3 13 (X )

可得： L 3(x) =x 2(x-1 2) 方法二•令

L 3(x) = x(x-1 2)( Ax B)

3

1

由L 3(-1)=…，L 3(1)

，定A, B

(称之为待定系数法) □

2

2

15.设f(x) =x 2

，求f (x)在区间［0,1］上的分段线性插值函数f h

(x)，并估计误差, 取

等距节点，且h =1/10. 解 f (x )=X 2，

X i =ih ， i =0,1,

,10， h = .0

设 X i _ x — X i .1 ，贝U:

x 一 N 十 x-x

二 f(X i )

— f(X i 1) — X i —Xi 十 X i +

-X i

*h )2 1)h )2

罕

-h h

i(i 1)

x - 10 100

误差估计:

f h (x) (2i 1)

第三章

最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：

1. 连续意义下

在空间L 2［a,b ］中讨论

2. 离散意义下

在n 维欧氏空间R n 中讨论，只要求提供f 的样本值

1. 最佳逼近多项式的法方程组

设 L 2［a,b ］的 n 1 维子空间 R=span {1,x,x 2 ,x n }, 其中1,X,X 2…，X n 是L 2［a, b ］的线性无关多项式系•

n

对-f • L 2［a,b ］，设其最佳逼近多项式

可表示为： 二a i x i

i=0

由 (f -

)=0,

-pn

n * i

(f - ' a j x ,x

j

) 7 j "(1)n

i=0

即

n

乞(x ,x j )a * =

(f,x j ),

i =0(1)n

(*2)

j=0

其中

b

b b

(x,x j ^ x j

a

x j dx= x j j dx,

a

(f ,x i )

f (x) x i dx

a

称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组) .

由{x ［雋的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 • 11、求f(x) =cos 二X ， ［0,1］的一次和二次最佳平方逼近多项式

解：设 P ；(x) =a 0 a 1x ，

P ；(x)二 b 0 b 1x b 2x 2

|f(x)

-f h (x)「4max 2! ix _x_(i 1)h

(x —ih)(x —(i +1)h).

分别为f(x)的一次、二次最佳平方逼近多项式。

1

内积(f, g)二i0 f (x) g(x)dx

建立法方程组:

2:方法好坏的判断：代数精度 误差分析 1•代数精度的概念

b

n

定义 若求积公式.f （x ）dx 八.W j f （X j ） （*）对所有次数-m 的多项式

a

i=0

是精确的，但对m 1次多项式不精确，则称（*）具有m 次代数精 度。

等价定义

若求积公式（* ）对1,x,x 2，…，x m 是精确的，但对x m 1不精确，则（*） 具有m 次代数精度

计算如下内积:

(1,1) =1 , (1,x)二 12 ,

(1, X 2) = 13

(x, x) = ^3 (x,

x 2) = 14

(x 2,x 2) = 15 (1, f) =0 ,

(x 2, f)八2

2

a o

(1)

,得:

12

a

0 =

2

n

a 1

24

~2

于是 P 1

■: 2 ■: 2 b 0 d 扣=0

1

1

b ° b 1

- 3

1 b ° b 1 3 4 解得: □ ^1-

2 ' 1.

、、

3 - 12

b 0 2

JI

1b 2

24

b 1

2

JI 2

——~2

71

2

~2

b 2 =0, 于是:

P 2(X —

12

24 - 2 x .

n

1为什么要进行数值积分 答：梯形复化求积公式和 第四章

?常用哪些公式，方法？ simps on 复化求积公式.

3:误差

1等距剖分下的数值求积公式:

公式特点：节点预先给定，均匀分布，系数W j ,i二0(1)n待定

利用插值多项式p n(x)近似代替f(x)，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式2给定节点数下的具有最佳逼近性质(具有最高次代数精度)的数值求积公式：Gauss求积公式公式特点：系数W j,i二0(1)n和节点xj二0(1)n均待定3分段插值多项式n(x)近似代替f(x)(分段求积)复化求积公式

复化求积公式

通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值

分而治之：分段+低次求积公式 ------ 称为复化求积法

两类低次(n乞4)求积公式：

1. Newton— Cotes 型：矩形、梯形、Simpson、Cotes 公式

分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式

2. Gauss型：一点、两点、三点Gauss求积公式

称为复化一点、两点、三点Gauss公式

复化梯形公式(T n)

丁厂2

{[5) f(x1)] [f(x1)f(x2)] [f(x」

h n -1

[f (a) 2、f(xQ f (b)],

2 k =1

复化辛甫生公式：(每个e k上用辛甫生公式求

S n 三q{[ f (X o) 4 f (X1) f(X1)] [ f (X1) 4 f (X3) f(X2)] 6 2 2

+ …+[ f(X」+4 f (X n1)+ f (X n)]}

n—2

h n 2

=h[ f (a) 4、f (x k1 ) 2、 f(xQ f(b)]

6 k =1 二2

复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。(X n)]}

其中b 一a, x k T/2为e k的中点n

常采用其等价形式:

b

h

【f(x)dx 迄」f(a)-f(b)+2： [4f(x 「)+2f(X k )]

a

6

辽

n

-32、f (x k _i )

7 f (b)]

k =1

~4

其中，h 二b

7 , X k 」_为［X k_i ,X k ］的中点，

n

2

X kq , X k_|

为［X k_i ,x k ］的四等分的分点

自适应复化求积法

计算时，要预先给定n 或步长h ，在实际中难以把握

因为，h 取得太大则精度难以保证，h 太小则增加计算工作量 自适应复化梯形法的具有计算过程如下： 步 i

n :— i,h :— b - a , Ti ：— h ［ f (a) f (b)］ 2 步2

步3判断|T 2 -T i 卜：；？若是，则转步5； 步 4 n — 2n, h — h/2, T — T 2，转步 2； 步5输出T 2 .

复化柯特斯公式

三 一 {[ 7 f (X 。) 32 f (X i )

12 f (X i )

32 f (X 3 )

7 f (X i )]

90

4

2

4

[(7 f (X i )

32 f (X 5 ) ■ 12 f (X 3 ) 32 f (X 7 )

7 f (x ?)]质…川

4

n_i

)

32 f (X

_2

C n

4 空

)32 f (x n

_3)

12 f (x

~4

n i )

7 f(X ni )]}

_4

n _i n

n

[7 f (a) i4 ' f(X k ) 32 ' f (x k _3) i2' f (X

90

k T

k

二i

_4 k =i

[7 f (Xn J

kJ

2 2

第五章

1:常用方法：

(1) .直接解法：

Gauss逐步(顺序)消去法、

Gauss 主元素法、矩阵分解法等；

(2) .迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解

①•经典迭代法

Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel迭代法、

逐次超松弛(SOR迭代法等；

② .Krolov子空间的迭代法

根据A的对称性，又分为：

A对称正定——共轭梯度法

A非对称 ----- BICG 、GMRes最小残量法)

③ .解一类特定背景问题的迭代法

多重网格法

2:几类迭代法优缺点比较：

3:迭代方法

目标：求解Ax二b 其中，A非奇异。

基本思想：

把线性方程组Ax二b的解x，化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。

构造迭代格式基本步骤：

1. 将A分裂：A:=B-C,其中，B非奇异

2. 构造迭代格式

Ax = b

二Bx = b Cx

-Bx(k― b - Cx(k)

二x(k1)心—g

其中G二B‘ C，称之为迭代矩阵,g =B“b

二x(k—x(k)B^(^Ax(k))

其中，b - Ax(k)为x(k)的残余向量

此时，G = I - B*A, g H B—%

(*2)

常用的迭代方法

将A 二(a j )分裂为

D =diag(a ii ,a 22, ,a nn )

①式可写为分量形式

Gauss — Seidle 迭代方法

若a, = 0，迭代格式

其中,

Gauss-Seidel

迭代矩阵：G G =(D-L)*U

g = (D - L)_1b

其分量形式

i -1

n

(k 1)

1

(k 1)

(k)_

X i

[b j- a j X j - a j X j ],i =1,2, ,n .

a

ii

j =1 j#

即,

在计算新分量x (k -1)时，利用新值x (k 1)，j =1,2「，i-1。

迭代法(*2 )或②称为Gauss-Seidel 迭代方法

x (k — G G

■x (k) - g

其中

Jacobi 若a ii 其中

-0

—a 21

L-

迭代方法

a n1 -°，迭代格式

X (k 1)

Jacobi

■0

「°

G J -x (k)-

迭代矩阵: —a 12

-a n _1 ,n

G j 心(L U)

八十八曲)],

k —0

.

(*1)

方法(*1 )或①称为

Jacobi 迭代方法.

超松弛方法(SOR)方法

定义SOR 方法的迭代格式如下:

「称为松弛因子，「=1即为G-S 方法. 其矩阵形式

x (k — G x (k)

- g

其中，

SOR 法的迭代矩阵：G.. = (D -・丄)一[(仁，)。一U] g »：(D -丄厂町.

第七章

1:解非线性方程与方程组的方法： 1. 准确方法

女口：用求根公式对n 乞4次的代数多项式求根。 但：绝大多数的方程并无准确方法可用。如：

n 一 5次的代数多项式

并无求根公式。

2.

数值方法(实际中大多采用)

基本思想： 设法找到一个能收敛到方程的解的序列。 (1) .区间套法——二分法。 (2) .迭代法：

①•简单迭代法； ②.Newton 迭代法； @.割线法；

④加速算法。

2:收敛条件： 二分法无条件 简单迭代法条件： 定理1如果 (x)满足以下条件：

1) -X [a, b],

(x) [a,b];

2)

日常数L : 0cLc1,使得对任意两点 X 1,x^[a,b],都有

(k 1) z i a H

[b i

i 二 -z

j =1

a j x j k1)

n

-、a j x (k)],

j =i i

(k 1) X

i

.■■z i (

k '1)

- (1—「)X i (k )

i = 1,2, ,n

(*3)

®（X i ）—9（X2）兰LX i — X2 ,

则：方程（*）在［a,b］上的解：.存在唯一,且对任给的初值x o,由迭代过程（* *）所产生的序列；・x「收敛到〉.

例题：

2. 为求方程x‘ —x2一1 =0在X o =1.5附近的一个根，设将方程改写为下列等价形

式，并建立相应的迭代公式：

（1）X =1 1/X2，迭代公式X n d =1 1/X2

（2）X’ =1 X2，迭代公式X n 1 =（1 * X；）"3，

（3）X2 =1/（x-1），迭代公式X

n 1 "（X n"）1/2，

试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？

解：取x0 =1.5的邻域［1.3,1.6］来考察

(1) ®(x)=1+1/x2，卩'(X)=—2/X3] £2/1.33= 0.901 £1，故迭代公式(1)收

敛.

21

⑵：(X^(1 X2) 3,

申(x)| = 2x/[3(1 +x2)2/3] <2 X 1.6/[3(1 +1.32)]2/3冬0.5515，故迭代公式（2）也收敛。

⑶（x） =1心-1）1/2 ,

申（x） = -1/［2（x-1）3/2］>1/2（16 -1）3/2= 1.0758287 a 1 故迭代公式（3）发散.

由于®（X。）越小，越快地收敛于根G，故（2）式收敛最快。□

第八章

解一阶常微分方程的常用方法：Euler 方法Run ge-Kutta 方法

2阶常微分方程边值问题的差分方法

1.三类边值问题

1 )第一类边值问题：

y (x)二f (x, y(x), y (x)), a 乞x 岂b , (3.1)

y(a)「， y(b)二：。(3.2)

2 )第二类边值问题：

y (x)二f (x, y(x), y (x)), a 乞x 乞b , (3.3)

y (a)「， y(b) = :。(3.4)

3 )第三类边值问题：

y (x) = f (x,y(x), y (x)), a 乞x 乞b , (3.5)

y (a) - ：°y(a)」1, y (b) ：°y(b) = ： 1 , (3.6)

其中，〉o「o - 0, :0 0 。

2. 差分格式的建立

针对方程(3.1 )而言.

Step 1取［a,b］的离散节点：

a=x o岂& 一X N=b,第m 步步长h m=X m-x m」，一般可取等步长：h m二h ,

m = 1,2, N.

Step 2 将y(X m)用二阶差商、y(X m)用一阶差商近似：

y (X m) y(X mA2y(X m)y(X mJ佃N，

h ，

以“心/款血),m = 12 N.

2h

理由：由Taylor展开，有

h2 h3 y(X m 1) = y(x m h) = y(x m) hy (X m) — yg) — y (X m)

h

(4)

4!

y ( m

), X

「八

h 2

h 3

y(XmG 二 y(X m - h)二 y(X m ) - hy (X m ) — y (X m ) - 石 y (X m )

厶！

O!

丄

h

(4) /戸

\

戸

4!

y ( m

"

x 」心

两式相加得

两式相减得

其中,

y

m _ 2 y m

y

m J

y

m^ _ y mJ x

= f(x m ,y m ,-^), m®2,

NJ

(3.7)

所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2) 的差分格式：

y

m 1 2 y m

y

m J

y

m 1 y mJ\

= f(X m ,y m , - 一)，m=0,1,2, N-1.…(3.8) 2h

(3.9)

对第二边值条件(3.3),由于

y (冷)

y(xj -y(X 0)

h

y (XN )=

y(X N )

—

y(X

N_1

)

h

y (?N )

其中，

X 。" 2 ” X 1

X N ?N

：：:

X N

X m

y(X mG —2y(X m ) + y(X m 」)丄 h y

(X m )二

h 2

.2 尹)

(m ),

m = 1,2, N - 1

其中,

X

m d m

X

m .

y (x m )

2

y(X m1)-y(XmG h = ------------------------------------------------------ I ------------

6

2h

y (~m ), m = 1,2. N -1

Step 3

2

略去0(h )项,

并记y m ： y(X m ),则由方程(3.1)有:

h 2

h 2

已及

y (X。)二-3y(x°) 4y(xJ - 丫g

2h

O(h2),

y(X N)二3y(X N)-4y(X N_i) y(X N』

2h

O(h2),

所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式：y

m1 - 2y m y m d

(3.10)

f(x m,y m,^^), m®2,

-3y°4% - y?

2h 3y

N - 4y N 二y N 2 _ :

2h

(3.11)

类似可得第三类边值问题(3.5)-(3.6) 的差分格式(略).