难点8 “不规则”几何体的三视图问题
难点8 “不规则”几何体的三视图问题
1.放置方式的“不规则”
典例1 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.48
B.32+8
C.48+8
D.80
答案C
解析由三视图可得该几何体是一个直四棱柱.如图,直四棱柱ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
.因为放置方式
上的“不规则”,把直四棱柱的一个侧面放置在水平面上而不是把底面放置在水平面上,可能在脑海里会形成“不规则”几何体的形象,它实际上是一个常见的规则几何体.由三视图可得该直四棱柱的底面是一个上底边长为2,下底边长为4,高为4的等腰梯形,侧棱长是4,所以计算可得答案是C.
点拨以上两道题的难度虽然不大,但是如果不清楚几何体的放置方式,解决起来有一定的
难度,所以同学们在平时学习中要从放置方式的变化上去认识一些规则几何体对应的三视图.
对点练
某四面体的三视图如图所示,在该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是( )
A.2
B.4
C.2+
D.4+2
答案 C 由三视图可得原几何体如图所示,由三视图知该几何体的高为2,底面ABC 是直角边长为2的等腰直角三角形,平面P AC⊥平面ABC,∠ACB=90°,则BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,
所以直角三角形有△PBC 和△ACB,易求得PC==,又BC=2,所以S △PBC =×2×=,
又S △ABC =×2×2=2,所以该四面体的四个面中,直角三角形的面积和为2+,故选C.
2.“残缺”的几何体
典例2 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是( )
A. B.4 C. D.3
答案 B
解析 由题意和三视图得,该几何体是由如图所示的平面A 1ECF 截正方体所得到的(其中E 、F 分别为BB 1、DD 1的中点).根据对称性知,所求几何体的体积为正方体体积的一半,所以该几何
体的体积为×23=4.故选B.
点拨 “残缺”几何体是一类常见的“不规则”几何体,它是规则几何体被割去一部分几何
体所形成的.对于旋转体形成的“残缺”几何体通常包括半球、球体、半个圆柱、半个圆锥等. 对点练
(2017山西大学附中模拟,8)已知某几何体的三视图如图,其中侧视图是一个正三角形,则该几何体的体积等于( )
A.12
B.16
C.20
D.32
答案 C 由三视图可知该几何体是由一个正三棱柱截去一个三棱锥所得到的,其体积为
×42×6-××42×3=×42×5=20.
3.组合体
典例3 (1)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V 1,V 2,V 3,V 4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( )
A.V 1<V 2<V 4<V 3
B.V 1<V 3<V 2<V 4
C.V 2<V 1<V 3<V 4
D.V 2<V 3<V 1<V 4 (2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16+8π
B.8+8π
C.16+16π
D.8+16π
答案(1)C (2)A
解析(1)V
1
表示一个圆台的体积,底面直径分别为2,4,高为1,故
V 1=×(4π+2π+π)×1=π.V
2
表示圆柱的体积,底面直径为2,高为2,故V
2
=2π.V
3
表示正方
体的体积,棱长为2,故V
3=23=8.V
4
表示一个棱台的体积,上、下底面分别为边长是2、4的正方
形,高为1,故V
4=×(4+16+8)×1=.故V
2
<V
1
<V
3
<V
4
.
(2)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4、2、
2,圆柱的底面半径为2,高为4.所以该几何体的体积为V=4×2×2+π×22×4=16+8π.故选A.
点拨组合体也是一类常见的“不规则”几何体,它大都是由一些规则几何体组合而成的,
对这类“不规则”几何体的还原首先是认清它的组合方式,即认清是左右组合还是上下组合,然后结合三视图分别确定各自对应的几何体.
对点练
某几何体的三视图如图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的表面积为( )
A.16+6+4π
B.16+6+3π
C.10+6+4π
D.10+6+3π
答案 C 根据三视图可知,该几何体由两部分构成,下部为圆柱的一半,其底面半径为1,高为3,上部为三棱柱,其底面是直角边长为2的等腰直角三角形,高为3,故该几何体的表面积
为×2×2×2+2×3+2×3+π×12×2+×2π×1×3=10+6+4π.故选C.。
《几何体的三视图》教学反思
《几何体的三视图》教学反思为了让学生通过体验图形与视角的相互关系，形成三视图概念，进而形成画三视图的技能，我在课前，做了大量的准备工作，通过查找相关书籍、资料，查阅互联网等手段，结合课标和教材的要求，精心组织了一份文图并茂的材料，作为辅助教材，并在教学电脑上，并充分利用学具和多媒体，在教学中创设丰富的情境及层层递进的观察活动吸引学生主动参与，并引导学生采用动手实践与思考体验相结合的学习方法，以自主探索与合作交流的学习方式积极参与学习过程，从中获得知识、形成技能、发展思维、学会学习。
就此针对我的教学实践，以及本节课的得失与收获做深入地反思。
学生不但要学会识读三视图，而且还要学会绘制简单的三视图，并且在今后的设计实践中，能够运用三视图来表达自己的设计构思，与他人交流设计方案，从而获得全面的评价，优化设计方案。
于是针对此教学内容，如何进行有效的教学；以及在教学中常遇到的一些问题，有哪些可供参考的解决办法，我进行了尝试性教学实践。
首先是直接引入课题。
因为这部分内容学生初中已经学过，再以我们熟悉的生活空间为话题，引入三维空间，并且指出我们看一个物体有六个方位：前后、左右、上下。
为了更全面的研究周围的物体，我们通常从三个方位入手：前面、左面、上面，研究其投影，从而获得周围物体的结构特征。
这就是空间几何体的三视图。
这就很自然地介绍了空间几何体三视图的作用。
接着以复习的方式引出三视图的概念，这样一方面帮助学生回忆初中所学相关知识，另一方面也节省了课堂时间。
在教学中设计的实验：从生活中的实物入手创设吸引人的情境，让学生亲身想像、体验、验证以培养学生的空间想像能力并在活动中初步体会从不同方向观察同一物体看到了不同的图形，这样得出的结论更接近学生的生活和经验也更容易被学生所接受。
“判别观察方向”让学生的思维在三维实物与二维图片间不断地进行切换想像，从而完成思维过程的第一次抽象，学生的空间想像能力得到培养训练。
通过数学活动教学，学生接触的情境已经逐步“数学化”（从观察实物到摆放规则的几何体再到相应的图片），目的是让学生借助图形来反映并思考思维的空间形式及位置关系，并用合理、清晰的语言表达出来，这是学生空间想像能力、语言表达能力得到再次培养训练的过程，也是积累数学活动经验的重要过程。
2023年高考数学一轮复习点点练26空间几何体的三视图与直观图表面积与体积含解析理
第八单元立体几何考情分析多以两小一大的形式出现，每年必考，分值为17～22分．重点考查几何体的三视图问题、几何体的表面积与体积、空间线面位置关系，用向量法计算空间角，其中与球有关的接(切)问题是考查的难点．对于空间向量的应用，空间直角坐标系的建立是否合理是解决有关问题的关键，有时所给空间图形不规则——没有三条互相垂直的直线，不利于空间直角坐标系的建立，另外，探索性问题中动点坐标的设法及有关计算是难点．点点练26空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积一基础小题练透篇1．[2022·山东济宁检测]已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A．3B．22C．32D．342．[2021·江西吉安联考]某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体中，最长的棱的长度为( )A．3B．32C．33D．63．[2022·四川成都七中高三期中]已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为( )A ．3πB ．4πC．5πD．6π4．[2021·衡水模拟]已知正三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A ．πB．3πC．6πD．9π5．[2022·云南大理模拟预测]一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．43πB．2πC．πD．83π 6．[2021·江苏海安高级月考]三棱锥A BCD 中，∠ABC ＝∠CBD ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ＝1，△ACD 的面积为114，则此三棱锥外接球的表面积为( ) A ．4πB．16πC．163πD．323π7．[2022·四川省南充市白塔模拟]如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球C 的表面上，则球C 的表面积是( )A ．8πB．12πC．16πD．32π 8.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．9．[2022·湘豫名校联考]在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝13，AC ＝BD ＝10，则此四面体的体积为________．二能力小题提升篇1.[2022·深圳市高三调研]已知圆柱的底面半径为2，侧面展开图为面积为8π的矩形，则该圆柱的体积为( )A ．8πB．4πC．83πD．2π2.[2022·浙江省高三测试]如图是用斜二测画法画出的∠AOB 的直观图∠A ′O ′B ′，则∠AOB 是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．无法判断3．[2022·河南省洛阳市高三调研]大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中，“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”实际是知道了球的体积V ，利用球的体积，求其直径d 的一个近似值的公式：d ＝3169V ，而我们知道，若球的半径为r ，则球的体积V ＝43πr 3，则在上述公式d ＝3169V 中，相当于π的取值为( )A.3B ．227C ．278D ．1694.[2021·云南省曲靖市高三二模]如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P 处，则小虫爬行的最短路程为( )A ．123B ．16C ．24D ．24 35．[2022·江西省兴国县高三月考]已知三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，且三棱锥P ABC 外接球的表面积为36π.则PA ＝________．6．[2022·广东七校第二次联考]在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝2a ，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．三高考小题重现篇1.[2021·山东卷]已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2B.2 2 C ．4D.4 22．[2021·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E ，F ，G .该正方体截去三棱锥A EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )3．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．4．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥OABC的体积为( )A．212B．312C．24D．345．[2020·山东卷]已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．6．[2019·全国卷Ⅱ]中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．四经典大题强化篇1.在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O 为AC的中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积．2．已知点P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝90°，点B 在AC上的射影为D，求三棱锥P－ABD体积的最大值．点点练26 空间几何体的三视图与直观图、表面积与体积一 基础小题练透篇1．答案：A解析：由题图可知原△ABC 的高AO ＝3，BC ＝B ′C ′＝2，∴S △ABC ＝12·BC ·OA ＝12×2×3＝ 3.2．答案：C解析：由三视图还原几何体，可得该几何体可看作如图所示的棱长为3的正方体中，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，其最长的棱为BD ，且BD ＝32＋32＋32＝3 3.3．答案：B解析：由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，底面圆的半径r ＝1，圆锥的母线长l ＝（3）2＋1＝2，记该几何体的表面积为S ，故S ＝12（2πr ）l ＋12×4πr 2＝4π.4．答案：C解析：正三棱锥的外接球即是棱长为2的正方体的外接球，所以外接球的直径2R ＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝6，所以4R 2＝6，外接球的表面积4πR 2＝6π.5．答案：A解析：根据三视图可知几何体是由有公共的底面的圆锥和圆柱体的组合体，由三视图可知，圆锥的底面半径为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1，所以组合体的体积为13π×12×1＋π×12×1＝4π3.6．答案：A解析：∵BC ＝BD ＝1，∠CBD ＝60°，∴CD ＝1，又AB ＝AB ，∠ABC ＝∠DBA ＝60°，BC ＝BD ，∴△ABC ≌△ABD ，则AC ＝AD ，取CD 中点E ，连接AE ，又由△ACD 的面积为114，可得△ACD 的高AE ＝112，则可得AC ＝AD ＝3，在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos60°，∴3＝AB 2＋1－2×AB ×1×12，解得AB ＝2，则AC 2＋BC 2＝AB 2，可得∠ACB ＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为1， 故外接球的表面积为4π×12＝4π.7．答案：A解析：由三视图可还原几何体为从长、宽均为2，高为2的长方体中截得的四棱锥S ABCD ，则四棱锥S ABCD 的外接球即为长方体的外接球， ∴球C 的半径R ＝122＋2＋4＝2，∴球C 的表面积S ＝4πR 2＝8π. 8．答案：2＋22解析：如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22.又四边形AECD 为矩形，AD ＝EC ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1，由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A ′B ′C ′D ′.在梯形A ′B ′C ′D ′中，A ′D ′＝1，B ′C ′＝22＋1，A ′B ′＝2. ∴这块菜地的面积S ＝12（A ′D ′＋B ′C ′）·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.9．答案：2解析：设四面体ABCD 所在的长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a 2＋c 2＝13，b 2＋c 2＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以四面体ABCD 的体积V ＝abc －13×12abc ×4＝13abc ＝2.二 能力小题提升篇1．答案：A解析：设圆柱的高为h ，则2π×2×h ＝8π⇒h ＝2，所以圆柱的体积为π×22×2＝8π.2．答案：C解析：根据斜二测画法规则知，把直观图∠A ′O ′B ′还原为平面图，如图所示：所以∠AOB 是钝角． 3．答案：C解析：由d ＝3169V 得V ＝916·（2r ）3＝43·278r 3，比较V ＝43πr 3，相当于π的取值为278. 4．答案：A解析：如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，则由题可得2π×4＝12θ，则θ＝2π3，在Rt△POP ′中，OP ＝OP ′＝12，则小虫爬行的最短路程为PP ′＝122＋122－2×12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12 3.5．答案：27解析：由PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，∵三棱锥外接球的表面积为36π，设外接球的半径为R ，则4πR 2＝36π，解得R ＝3∴三棱锥外接球的半径为3，直径为6，∵AB ＝AC ＝2，∴22＋22＋PA 2＝62，∴PA ＝27.6．答案：（2－2）a解析：方法一 由题意知，球内切于四棱锥P ABCD 时半径最大．设该四棱锥的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP ，则V P －ABCD ＝V O －ABCD ＋V O －PAD ＋V O －PAB ＋V O －PBC ＋V O －PCD ，即13×2a ×2a ×2a ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋2×12×2a ×2a ＋2×12×2a ×22a ×r ，解得r ＝（2－2）a .方法二 易知当球内切于四棱锥P －ABCD ，即与四棱锥P －ABCD 各个面均相切时，球的半径最大．作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥P －ABCD 内切球的半径为r ，则12×2a ×2a＝12×（2a ＋2a ＋22a ）×r ，解得r ＝（2－2）a . 三 高考小题重现篇1．答案：B解析：设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl ＝2π×2，解得l ＝2 2.2．答案：D解析：根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.3．答案：39π解析：设该圆锥的高为h ，则由已知条件可得13×π×62×h ＝30π，解得h ＝52，则圆锥的母线长为h 2＋62＝254＋36＝132，故该圆锥的侧面积为π×6×132＝39π. 4．答案：A解析：如图所示，因为AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝1，所以AB 为截面圆O 1的直径，且AB ＝ 2.连接OO 1，则OO 1⊥面ABC ，OO 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以三棱锥O ABC 的体积V ＝13S △ABC ×OO 1＝13×12×1×1×22＝212. 5．答案：2π2解析：如图，连接B 1D 1，易知△B 1C 1D 1为正三角形，所以B 1D 1＝C 1D 1＝2.分别取B 1C 1，BB 1，CC 1的中点M ，G ，H ，连接D 1M ，D 1G ，D 1H ，则易得D 1G ＝D 1H ＝22＋12＝5，D 1M ⊥B 1C 1，且D 1M ＝ 3.由题意知G ，H 分别是BB 1，CC 1与球面的交点．在侧面BCC 1B 1内任取一点P ，使MP ＝2，连接D 1P ，则D 1P ＝D 1M 2＋MP 2＝（3）2＋（2）2＝5，连接MG ，MH ，易得MG ＝MH ＝2，故可知以M 为圆心，2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线．由∠B 1MG ＝∠C 1MH ＝45°知∠GMH ＝90°，所以GH 的长为14×2π×2＝2π2. 6．答案：26 2－1 解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 四 经典大题强化篇1．解析：（1）证明：因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABC .（2）∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离．由（1）知A 1O ⊥平面ABC ，且A 1O ＝AA 21 －AO 2＝3，∴VC 1－ABC ＝VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1. 2.解析：设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图，由PA ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，知点P 在平面ABC 上的射影G 为△ABC 的外心，即AC 的中点．设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上．连接OB ，BG ，设PG ＝h ，则OG ＝2－h ，所以OB 2－OG 2＝PB 2－PG 2，即4－（2－h ）2＝4－h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝ 3.设AD ＝x ，则GD ＝x －AG ＝x －3，BG ＝3，所以BD ＝BG 2－GD 2＝－x 2＋23x ，所以S △ABD ＝12AD ·BD ＝12－x 4＋23x 3. 令f （x ）＝－x 4＋23x 3，则f ′（x ）＝－4x 3＋63x 2.由f ′（x ）＝0，得x ＝0或x ＝332，易知当x ＝332时，函数f （x ）取得最大值24316，所以（S △ABD ）max ＝12×934＝938.又PG ＝1，所以三棱锥P －ABD 体积的最大值为13×938×1＝338.。
难点解析青岛版九年级数学下册第8章投影与识图专项训练试题(含解析)
九年级数学下册第8章投影与识图专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图所示的物体，其主视图是（）A．B．C．D．2、如图是由几个小立方体所搭成的几何体从上面看到的平面图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，则这个几何体从正面看到的平面图形为（）A．B．C．D．3、如图所示的几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．4、如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．5、下面四个立体图形中，从正面看是三角形的是（）A．B．C．D．6、如图，下面正三棱柱的左视图是（）A．B．C．D．7、如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．8、一个立体图形由若干个完全相同的正方体构成，如图是分别从正面、左面、上面观察这个图形得到的视图这个立体图形由多少个正方体组成？（）A．8 B．9 C．10 D．无法判断9、如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，从正面看的视图是（）A．B．C．D．10、如图所示的工件中，该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图是从正面、左面、上面看到的几何体的形状图，根据图中所示数据求得这个几何体的全面积是________2、如果某物体的三视图如图所示，那么该物体的形状是__________．3、将7个棱长为1的小立方体摆成如图所示几何体，该几何体的俯视图的面积为_____．4、一个零件的主视图、左视图、俯视图如图所示（尺寸单位：厘米），这个零件的表面积是_______cm2．5、如图，棱长为5cm的正方体，无论从哪一个面看，都有三个穿透的边长为1cm的三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、作图题：如图，是由一些棱长为单位1的相同的小正方体组合成的简单几何体．请在方格中分别画出几何体的主视图、左视图．2、如图是由5块积木搭成的几何体，这几块积木都是相同的正方体.请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．3、一个几何体的三个视图如图所示（单位：cm）．(1)写出这个几何体的名称：；(2)若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．4、如图，这是一个由7个小立方体搭成的几何体，请你画出它的三视图．5、画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形．(1)请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．(2)小立方体的棱长为3cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．(3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，可以有______种添加方法，画出添加正方体后，从上面看这个组合体时看到的一种图形．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】把从正面看到的平面图形画出来即可.【详解】解：从正面可以看到的平面图形是故选A【点睛】本题考查的是三视图，掌握三视图中的主视图是解本题的关键.2、B【解析】【分析】几何体从上面看到的每个数字是该位置小立方体的个数，可得从正面看共有3列，2层，从左往右的每列的小立方体的个数为1，2，1，从上往下的每层的小立方体的个数为1，3，即可求解【详解】解：几何体从上面看到的每个数字是该位置小立方体的个数，可得从正面看共有3列，2层，从左往右每列的小立方体的个数为1，2，1，从上往下每层的小立方体的个数为1，3，所以这个几何体从正面看到的平面图形为故选：B【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）从正面看：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）从侧面看：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）从上面看：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．3、A【解析】【分析】到从上面看所得到的图形即可．【详解】解：从上面看是一个矩形，矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线．故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4、D【解析】【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．5、C【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形为三角形即可．【详解】解：A、主视图为正方形，不符合题意；B、主视图为圆，不符合题意；C、主视图为三角形，符合题意；D、主视图为长方形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6、C【解析】【分析】根据左视图的定义（从左面观察物体所得到的视图）即可得．【详解】解：这个正三棱柱的左视图是，故选：C．【点睛】本题考查了左视图，熟记左视图的定义是解题关键．7、A【解析】【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看，如图：故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上边看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图．8、B【解析】【分析】观察三视图可知这个几何体共有三层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图和左视图可得第二、三层正方体的个数，相加即可．【详解】解：由从上面看到的图形易得最底层有5个正方体，第二层有3个正方体，第三层有1个,那么共有5+3+1=9（个）正方体组成，故选B．【点睛】本题考查由三视图判断小立方体的个数，掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”是关键．9、D【解析】【分析】由6个大小相同的小正方体组成的几何体，从正面看到两层，上层1个正方形，下层3个正方形，再逐一分析各选项即可得到答案.【详解】解：由6个大小相同的小正方体组成的几何体，从正面看到两层，上层1个正方形，下层3个正方形，所有D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是由小正方体组成的堆砌图形的主视图，掌握“从正面看到的平面图形是主视图”是解本题的关键.10、B【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，内圆是虚线，故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是掌握从上边看得到的图形是俯视图．二、填空题1、28【解析】【分析】由三视图可得该几何体是圆柱，再求解底面圆的半径为2，而高为5，再由全面积等于两个底面圆的面积加上侧面积即可.【详解】解：由三视图可得该几何体是圆柱，圆柱的底面半径=14=2,2高为5，∴全面积22222582028,故答案为：28 ．【点睛】本题考查的是由三视图还原几何体，圆柱的全面积的计算，从三视图中得出该几何体是圆柱是解本题的关键.2、三棱柱【解析】【分析】观察物体的三视图主视图和左视图为长方形，可得此图为柱体，再由左视图为两个长方形，且俯视图为三角形，即可求解．【详解】解：主视图和左视图为长方形，则此图为柱体，左视图为两个长方形，且俯视图为三角形，所以该物体的形状是三棱柱．故答案为：三棱柱．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是会从各个面分析确定图形．3、4【解析】【分析】据从上面看得到的图形是俯视图，直接观察，可得答案．【详解】解：从上面看，底层是两个小正方形，上层是两个小正方形，如图所示，所以该几何体的俯视图的面积为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键．4、200π【解析】【分析】根据三视图可得这个零件是圆柱体，根据表面积等于侧面积+上下两个底面的面积，可得答案．【详解】解：由三视图可得这个零件是圆柱体，表面积是：π×52×2+15×π×10＝200π（cm2），故答案为：200π．【点睛】此题主要考查三视图的应用，解题的关键是根据图形特点得到这个零件是圆柱体．5、258【解析】【分析】根据正方体6个外表面的面积、9个内孔内壁的面积和，减去“孔”在外表面的面积即可．解：由正方体的6个外表面的面积为5×5×6﹣1×1×3×6＝132（cm2），9个内孔的内壁的面积为1×1×4×4×9﹣1×1×3×6＝126（cm2），因此这个有孔的正方体的表面积（含孔内各面）为132+126＝258（cm2），故答案为：258．【点睛】本题考查正方体的表面积，求出“内孔”的内壁面积是解决问题的关键．三、解答题1、见解析【解析】【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；据此可画出图形．【详解】解：如图所示：【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是解决问题的关键．2、见解析【解析】从正面看从左往右2列正方形的个数依次为3，1；左视图从左往右2列正方形的个数依次为3，1；俯视图从左往右2列正方形的个数依次为2，1；依此画出图形即可．【详解】解：如图所示．【点睛】本题考查画几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．3、 (1)长方体或四棱柱(2)66cm2【解析】【分析】（1）这个立方体的三视图都是长方形所以这个几何体应该是长方体；（2）长方体一共有6个面，算长方体的表面积应该把这6个面的面积相加即可．(1)∵这个立方体的三视图都是长方形，∴这个立方体是长方体或四棱柱．(2)由三视图知该长方体的表面积：（3）(3×4)×4+（3×3）×2=66(cm2)【点睛】本题考查了由立体图形的三视图确定立体图形的形状；根据边长求表面积大小．解题的关键是要有空间想象能力．长方体有六个面，算表面积时不要遗漏．4、图见解析【解析】【分析】从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2，1，1，依此画出图形即可．【详解】解：如下图所示，【点睛】此题考查三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．5、 (1)见解析；(2)315cm2 ；(3)2【分析】（1）根据三视图的画法，画出这个简单组合体的三视图即可；（2）分别求出最上层，中间层和最下面一层需要涂色的面，即可求解；（3）根据再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，从正面、左面看这个新组合体时，看到的图形与原来相同，进行求解即可．(1)解：如图所示，即为所求：(2)解：由题意可知，几何体的最上层一共有5个面需要涂色，中间一层一共有12个面需要涂色，最小面一层一共有18个面需要涂色，∴一共用12+18+5=35个面需要涂色，∴涂上颜色部分的总面积2⨯⨯=3335=315cm(3)解：如图所示，一共有2种添加方法．【点睛】本题主要考查了画简单几何体的三视图，简单组合体的表面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相。
求解三视图问题的思路
三视图问题的常见命题形式有：由三视图判断原几何体的形状，求原几何体的体积、表面积、侧面积.此类问题侧重于考查简单空间几何体的性质、体积公式、表面积公式.求解三视图问题的步骤为:（1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体；（2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长；（3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体；（4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解.由三视图画几何体时，要注意侧视图的高、正视图的长、俯视图的宽，通常与几何体的边长相对应，口诀为“长对正，高平齐，宽相等”，即正视图的长与俯视图的长相等，正视图的高的长度与侧视图的高的长度相等，侧视图的宽与俯视图的宽相等.例1.若图1是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积等于_______．图1图2解：观察图1中的三视图，可以判断出该几何体是将正方体截去一“角”剩下的部分，如图2所示.由三视图中的数据可知截去的一“角”为三棱锥D -ABC ，其侧棱长为1，且三条侧棱两两互相垂直，所以ΔABC 是边长为2的等边三角形，则S ΔABC=()22=几何体中有三个面被截去一个边长为1的等腰直角三角形，其面积为S 1=22-12=72，而几何体的另外三个面为完整的正方形，其面积为S 2=22=4，所以几何体的表面积为S =3S 1+3S 2+S ΔABC =45+32.解答本题，要先仔细观察三视图，根据口诀确定几何体的形状以及各边长；然后确定几何体的各个面的特点、形状，利用正方形、三角形的面积公式进行求解.例2.某几何体的三视图如图3所示，则其表面积为().A.17π2 B.9πC.19π2D.10π解：由图3中的三视图可知，几何体是个组合体，且其上部分是个球，下部分是一个圆柱．而圆柱底面的半径为1，高为3，半球的半径为1，所以几何体的表面积为π×1+2π×3+4π××14+12π×+12π=9π，故本题选B.解答本题的关键是根据三视图确定几何体的形状，由俯视图和侧视图可以确定原几何体为组合体，且其中一部分为球体；由正视图和侧视图可知，原几何体的下半部分为圆柱；结合三个视图，最终可以确定几何体为下部分是圆柱、上部分是个球的组合体.最后直接根据圆柱、球的表面积公式求解即可.例3.已知图4是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积为______.正视图侧视图俯视图图4解：观察图4中的三视图，可知这个组合体是由一个高为8，底面直径为4的圆柱与一个棱长为6，高为4的三棱柱拼接而成的，由正视图可知圆柱底面的半径为4，由侧视图可知图342圆柱的高为8，所以V 圆柱=S ⋅h =π×42×8=128π，由正视图可知棱柱的底面长方形的边长为3、6，由侧视图可知棱柱的高为4，所以V 棱柱=S ⋅h =12×3×4×6=36，所以组合体的体积为V =V 圆柱+V 棱柱=128π+36.对于组合体，首先要根据三视图判断几何体的结构，可将其进行拆分为几个简单的空间几何体，或将其看作由一个简单空间几何体切掉（挖掉）了其中的一部分；然后再寻找相关数据，如边长、半径、棱长、高等，根据简单空间几何体的性质、体积、表面积公式进行求解.例4.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的表面积等于______.解：由图5中的三视图可以判定该几何体为一个正四棱柱，且几何体的侧面均为矩形，上下两个底面均为全等的直角梯形.由俯视图可知梯形的上、下底分别为1,2，高为1，所以梯形的面积S 1=12()1+2×1=32；四个侧面的底边长分别为2,1,1,2，高为2，所以侧面的面积为S 2=2⋅()2+1+1+2=8+22，所以几何体的表面积S =S 1+S 2=2⋅32+8+22=11+22.解答三视图问题，需熟悉简单空间几何体的三视图，如棱柱的正视图和侧视图为矩形，俯视图为多边形；圆柱的正视图和侧视图为矩形，俯视图为圆；圆锥的正视图和侧视图为三角形，俯视图为圆.这样便能快速判定原几何体的形状.总之，在解答三视图问题的过程中，要注意：（1）灵活运用简单空间几何体的性质、体积、表面积公式；（2）仔细观察三视图，判定几何体的形状以及摆放的位置；（3）通过俯视图求底面的边长、直径，通过正视图（或侧视图）确定几何体的高.（作者单位：甘肃省武山县第一高级中学）证明数列不等式问题经常出现在各类试题中.这类问题侧重于考查同学们的观察、分析和推理能力.下面结合实例，谈一谈下列三种证明数列不等式常用的方法.一、比较法运用比较法证明数列不等式，往往要先将不等式两侧的式子作差、作商；然后将所得的差式和商式化简、变形，并将其与0、1相比较，从而比较出不等式左右两侧式子的大小.例1.已知数列{}a n 是正项数列，a 1=1，且点(a n ,a n +1)(n ∈N *)在函数y =x 2+1的图象上.（1）求{}a n 的通项公式；（2）若数列{}b n 满足b 1=1,b n +1=b n +2a ，证明：b n ⋅b n +2<b 2n +1.解：（1）a n =n ；（过程略）（2）由（1）可知a n =n ，则b n +1-b n =2n ，则b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+⋅⋅⋅+(b 2-b 1)+b 1=2n -1+2n -2+⋅⋅⋅+2+1，=1-2n 1-2=2n -1，所以b n ⋅b n -2-b 2n +1=(2n -1)(2n +2-1)-(2n +1-1)2=(2n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2⋅2n +1+1)=-2n <0.故b n ⋅b n +2<b 2n +1.解答本题，要先根据等差数列的定义，运用累加法求得{}b n 的通项公式；然后将目标不等式左右两侧的式子作差，并将差式化简、变形，使其便于与0相比较，进而证明不等式成立.运用比较法解题的关键在于化简差式、商式，通常可将其分解因式、配成完全平方式，以使所得的结果能直接与0、1相比较.二、放缩法放缩法是证明数列不等式的重要方法.有时在求得数列的通项公式、前n 项和式后，无法得到想要的结果，这是就需将数列的通项公式、前n 项和式放大或缩小，使其逐步与目标式靠拢，以证明结论.在放缩时，要把握放缩的“度”，不可放得过大，也不能缩得过小.例2.T n 是数列{}a n 的前n 项之积，满足T n=1-a n (n ∈N *).图543。
第8讲三视图
第8讲三视图，体积与表面积的计算[知识梳理]1．空间几何体的结构特征2．空间几何体的三视图1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的表面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．柱、锥、台和球的表面积和体积3．常见几何体的侧面展开图及侧面积题型一空间几何体的三视图(高频考点题，多角度突破)考向一已知几何体，识别三视图1．(东北四市联考)如图，在正方体ABCDA1B1C1C1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为()考向二已知三视图，判断几何体的形状2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()考向三已知三视图中的两个视图，判断第三个视图3．(石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该棱锥的侧视图可能为()【针对补偿】1．(济南模拟)如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如图所示，则其正视图和侧视图正确的是()2．(北京)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．32B．2 3 C．22D．23．(南昌一模)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥PBCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2[知识自测]1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π2．(全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π3．正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为______．题型一 空间几何体的表面积与侧面积(基础拿分题，自主练透)(1)(课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______．【针对补偿】1．(全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是( )A．17π B．18π C．20π D．28π2．(黑龙江省大庆中学期中)一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为()A．6 3 B．8 C．8 3 D．12题型二空间几何体的体积(高频考点题，多角突破)考向一求以三视图为背景的几何体的体积1．(课标Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为()A．90π B．63π C．42π D．36π考向二不规则几何体的体积3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()A.23 B.33 C.43 D.32考向三 柱体与锥体的内接问题4．(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为⎝ ⎛⎭⎪⎫材料利用率＝新工件的体积原工件的体积( )A.89πB.827π C.24(2－1)3π D.8(2－1)3π【针对补偿】3．(新课标全国Ⅱ卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.134．(山东)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为______．题型三 球与几何体的切接问题 考向一 正方体(长方体)的外接球1．(天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______．考向二 直三棱柱的外接球2．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【针对补偿】5．(广州市综合测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20π B.205π3C ．5πD.55π6[A 基础巩固练]1．(浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 2．(山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧视图中线段的长度x 的值是( )A.7 B ．27 C ．4D ．53．(课标Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π45．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋125。
空间几何重难点及考点总结精练
立体几何重难点及考点一、 几何体结构与三视图直观图1、有关直观图问题例1、已知ABC D 的直观图'''A B C 是边长为a 的正三角形，则原ABC D 的面积的面积变式、已知正三角形ABC 的边长为a ，那么ABC D 的平面直观图'''A B C D 的面积为面积为例2、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 。
2、三视图例1、用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如下图所示，则几何体体积的最小值与最大值分别为（别为（ ）15101610107139与、与、与、与、D C BA例2、已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是例3、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（的最大值为（ ） A. 22 B. 32C. 4 D. 523、有关截面问题例1、如图，在直棱柱111ABC A B C -中，AC=BC=2，90ACB Ð=°，E 、F 分别为AB 、CB 中点，过直线EF 作棱柱的截面，若截面与平面ABC 所成的二面角的大小为60°，则截面的面积为，则截面的面积为例2、用一个平面截正方体，对于截面的边界，有以下图形：（1）钝角A B C C ’B ’F A ’E C A D x y B 三角形（2）直角三角形（3）菱形（4）正五边形（5）正六边形，则不可能的图形的选项是）正六边形，则不可能的图形的选项是 例3、如图，已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分。
空间几何体的三视图教案
空间几何体的三视图教案空间几何体的三视图教案作为一位不辞辛劳的人民教师，时常会需要准备好教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
教案应该怎么写呢？以下是小编为大家整理的空间几何体的三视图教案，欢迎阅读与收藏。
教学目标（1）了解两种投影方法，中心投影与平行投影。
（2）掌握三视图的画法规则，能画出简单空间几何体的三视图，能由三视图还原成实物图。
过程与方法通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识。
◆情感态度与价值观欣赏空间图形反映的数学美，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
教学重点画出空间几何体的三视图。
教学难点识别三视图所表示的空间几何体。
教学方法问题探索和启发引导式相结合教具准备多媒体教学设备教学过程（一）创设情境，引入新课活动1．（多媒体播放手影表演图片，组织学生欣赏）1．导入：同学们在感受这些形象逼真的图形时，是否思考一下，这些图形是怎样形成的呢？它们形成的原理又是什么呢？这就是我们本节课所要探讨的第一个问题——中心投影和平行投影．设计意图引入生活情境，激发学生的学习欲望，自然导入新课，同时又弘扬了中国传统文化，增强文化意识．活动2．多媒体播放演示中心投影和平行投影的相关知识．1．投影的概念①投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，光线叫做投影线，屏幕叫做投②中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．③平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影．平行投影分为斜投影与正投影．讲解原则：配以多媒体动画，让学生思考，抽象或概括出相应定义，教师加以修正．设计意图通过动画演示投影的形成过程，使学生直观、生动地感悟，使抽象问题具体化，加速学生对概念的理解．2．中心投影和平行投影的区别和用途中心投影的投影线交于一点，形成的投影图能非常逼真地反映原来的物体，主要运用于绘画领域．平行投影的投影线相互平行，形成的投影图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．因此更多应用于工程制图或技术图样．活动3．直观感知形成概念－－三视图①欣赏图片；图片说明从不同的角度看同一物体视觉的'效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这就是本节课我们要探讨的第二个问题——空间几何体的三视图．②欣赏飞机、轿车的三视图图片；设计意图引入生活情境激发学生的学习欲望，自然引入新课，同时与其它学科相联系，拓宽学生思维，发展他们联想、类比能力．（二）动手作图掌握技能在初中，我们已经学习了长方体、正方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），下面我们就以长方体为例，结合刚刚学过的投影知识，进一步了解空间几何体的三视图。
七年级数学上册专题提分精练判断几何体的三视图(解析版)
专题02 判断几何体的三视图1．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（）A．主视图的面积为4B．左视图的面积为2C．俯视图的面积为5D．搭成的几何体的表面积是20【答案】A【解析】【详解】试题解析：A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，故A选项正确；B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，故B选项错误；C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，故C选项错误；D、搭成的几何体的表面积是22，故D错误．故选A．2．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图与左视图如图所示，搭成这个几何体的小正方体的个数不可能为（）A．10B．9C．8D．7【答案】A【解析】【详解】最少时为7个，最多时为9个，故选A.3．如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．故选：A．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．4．如图所示是一个放在水平面上的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．【详解】从正面看是一个上下平行，左右大肚子的图形，故排除A、D；由于几何体中部是空的，主视图需要画虚线．故选：B．【点睛】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】左视图就是从物体的左边往右边看．小正方形应该在右上角，故B错误，看不到的线要用虚线，故A错误，大立方体的边长为3cm，挖去的小立方体边长为1cm，所以小正方形的边长应该是大正方形13，故D错误，所以C正确．故此题选C．6．如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是()A．3个或4个或5个B．4个或5个C．5个或6个D．6个或7个【答案】A【解析】【详解】根据主视图，左视图，画出俯视图可能情况.所以选A.7．在桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的最少个数为m，最多个数为n，下列正确的是（）A．m＝5，n＝13B．m＝8，n＝10C．m＝10，n＝13D．m＝5，n＝10【答案】A【解析】【详解】由主视图和左视图可以确定：正方体堆成的几何体由两层组成，其底面最多有9个相同的正方体组成，恰好构成了边长为3个小正方体棱长的正方形，上面一层最多在这个正方形的4个顶点处各放1个相同的正方体．因此最多有正方体n=9＋4＝13个；底层正方体最少的个数应是3个，第二层正方体最少的个数应该是2个，因此这个几何体最少有m=2+3=5个小正方体组成．故选：A．点睛：当一个几何体已知两个视图时，它的形状不能确定．应分为最多和最少各有多少，来判断，解题关键是利用“主视图”疯狂盖，利用“左视图”拆违章，找到正方体的个数，比较复杂，求最少时容易出错，应该吧中间的向后移一行，最右边向后移2行即可.8．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中左视图相同的是___．【答案】甲和乙【解析】【分析】根据三个俯视图分别判断出几何体的左视图，即可得答案．【详解】解：由已知条件可知，甲的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1．∴左视图相同的是：甲和乙．故答案为：甲和乙．【点睛】本题考查几何体的三视图画法．解题的关键是掌握由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．9．如图，三棱柱的上下底面均为周长为12cm 的等边三角形，现要从中截取一个上下底面均为等边三角形且底面周长为3cm 的小三棱柱．（1）请写出截面的形状______；（2）若小三棱柱的高为6cm ，则截去小三棱柱后，剩下的几何体的棱长总和是多少？【答案】（1）长方形；（2）46【解析】【分析】（1）依据大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱，即可得到截面的形状；（2）依据△ADE 是周长为3的等边三角形，△ABC 是周长为10的等边三角形，即可得到四边形DECB 的周长，再计算棱长总和．【详解】解：（1）由题意可知，截面是长方形，故填：长方形；（2）1cm DE =，3cm BD CE ==，4cm BC =()1334246222446+++⨯+⨯=+=（cm ）． 【点睛】本题主要考查了截一个几何体，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形．10．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称；（2）根据两种视图中尺寸（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积．（π取3.14）【答案】（1）主，俯；（2）207.36cm2【解析】【分析】（1）根据三视图的定义解答即可；（2）所求组合几何体的表面积=长方体的表面积+圆柱的侧面积，据此代入数据计算即可．【详解】解：（1）如图所示：；故答案为：主，俯；（2）组合几何体的表面积=2×（8×5+8×2+5×2）+4×π×6=2×66+24×3.14=207.36（cm2）．【点睛】本题考查了几何体的三视图和几何体表面积的计算，正确理解题意、熟练掌握基本知识是关键．11．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图．(1)当组成这个几何体的小正方体的个数为8个时，几何体有多种形状．请画出其中两种几何体的左视图；(2)若组成这个几何体的小正方体的个数为n，请写出n的最小值和最大值；(3)主视图和俯视图为下面两图的几何体有若干个，请你画出其中一个几何体．【答案】(1)画图见解析；(2) n最小为8，最大为11；(3)画图见解析．【解析】【分析】（1）由俯视图可得该几何体有2行，则左视图应有2列，由主视图可得共有3层，那么其中一列必为3个正方形，另一列最少是1个，最多是3个；（2）由俯视图可得该组合几何体有3列，2行，以及最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合俯视图可得从左边数第二列第二层最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3列第2层，最少有1个正方体，最多有2个正方体，第3层最少有1个正方体，最多有2个正方体，分别相加得到组成组合几何体的最少个数及最多个数即可得到n的可能的值．（3）根据三视图画出符合条件的一个几何体即可．【详解】(1)如图所示；下图中的任意两个即可．（2）∵俯视图有5个正方形，∴最底层有5个正方体，由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体；由主视图可得第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体；∴该组合几何体最少有5+2+1=8个正方体，最多有5+4+2=11个正方体，∴n的最小值为8，最大值为11．(3)如图所示．【点睛】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．12．下图是一个机器零件的毛坯，请将这个机器零件的三视图补充完整．【答案】图形见解析.【解析】【详解】试题分析：根据三视图的定义补全视图即可.试题解析：如图所示．13．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从上面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示．请你画出从正面看到的几何体的形状图.（画出两种即可）【答案】作图见解析【解析】【分析】结合左视图和俯视图即可画出主视图．【详解】解：作图如下：【点睛】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．14．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方形中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题．(1) x ，z 各表示多少?(2) y 可能是多少?这个几何体最少由几个小立方块搭成?最多呢?【答案】（1）1x =AB 2AC =，3z =AB 2AC =；（2）y 可能是1 或 2.【解析】【详解】 试题分析：（1）利用从正面看得到的形状图，可以得到小正方体的层数，也就可以得到相应值.(2)因为y 在中间，所以小于2层，值是1,或者2,然后分类讨论.试题解析：（1）1x =，3z =．（2） y 可能是 1 或 2，321121111++++++=，321221112++++++= .这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由12 个立方体搭成．点睛：一般先由各视图想象从各方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体（或实物原型）的形状，再根据三个视图“长对正”，“高平齐”，“宽相等”确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸.15．用小立方块搭一个几何体，主视图与左视图如下图，它最少要多少个立方块？最多要多少个立方块？画出这个几何体最多、最少两种情况下的俯视图，并用数字表示在该位置的小立方体的个数．【答案】3，5【解析】【详解】试题分析：根据几何体的主视图和左视图，判断出高度，然后确定俯视图中显示的正方体的个数，计算最多和最少的个数即可.试题解析：根据题意可知：俯视图，最少的情况：3块；俯视图，最多的情况：5块16．用小立方体搭一个几何体，使它从正面、从上面看到的形状图如图所示．（1）它最多需要多少个小立方体？它最少需要多少个小立方体？（2）请你画出这两种情况下的从左面看到的形状图．【答案】（1）10；8（2）图形见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用左视图以及主视图可以得出这几个几何体最多的块数，以及最少块数；（2）画出这两种情况下从左面看到的形状.试题解析：（1）它最多需要2×5=10个小立方体，它最少需要2×3+2=8个小立方体．（2）小立方体最多时的左视图有2列，从左往右依次为2，2个正方形；小立方体最少时的左视图有2种情况：①有2列，从左往右依次为1，2个正方形；②有2列，从左往右依次为2，2个正方形；如图所示：17．如图，在平整地面上，若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体．（1）这个几何体由______个小正方体组成.（2）在下面网格中画出左视图和俯视图.（3）如果在这个几何体的表面（不含底面）喷上黄色的漆，则这个几何体喷漆的面积是多少cm2.【答案】（1）10；（2）作图见解析；（3）3200cm2.【解析】【详解】试题分析：（1）从左往右三列小正方体的个数依次为：6，2，2，相加即可；（2）由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形；（3）根据露出的小正方体的面数，可得几何体的表面积．试题解析：解：（1）这个几何体由6+2+2=10个小正方体组成，故答案为10；（2）如图所示：（3）露出表面的面一共有32个，则这个几何体喷漆的面积为3200cm2．。
高中三视图的解题技巧
People who have never failed may not have succeeded either.（页眉可删）高中三视图的解题技巧空间立体几何的三视图是高中数学新课程的新增内容之一，也是近几年全国各地高考的热点内容，那你知道高中三视图有什么解题技巧吗?下面是整理的高中三视图的解题技巧的相关内容，仅供参考。
高中三视图的解题技巧【1】一、简单几何体的三视图还原规律复杂的几何体是由简单几何体组合而成的,简单几何的分类:柱体(圆柱和棱柱);椎体(圆锥和棱锥);台体(圆台和棱台);球体.要掌握复杂几何体的三视图还原,先要搞清楚简单几何体的三视图还原规律,一般情况下简单几何体的三视图还原有如下规律：1. 三视图中如果其中两个视图是矩形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为矩形)那么该空间几何体为柱体.当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆柱，否则为棱柱.2. 三视图中如果其中两个视图是三角形(不要管内部的细节,只要外轮廓线为矩形就称该视图为三角形)那么该空间几何体为锥体,当第三个试图为圆时,该空间几何体为圆锥,否则为棱锥.3. 三视图中如果其中两个视图是梯形(不要管内部的细节，只要外轮廓线为矩形就称该视图为梯形)那么该空间几何体为台体.当第三个试图两个同心圆时,该空间几何体为圆台,否则为棱台.二、叠加式组合体的三视图还原方法组合体的组合形式可分为三种:叠加式、切割式、综合式.切割式与综合式在高中阶段见到的不是很多,这里只对高中阶段出现较多的叠加式组合体的三视图还原方法进行论述.既然组合体是由简单几何体组合而成的,那么就可以“化整为零”,把组合体的三视图划分为一个个简单几何体的三视图,再分别根据这些简单几何体的三视图按照上面论述的简单几何体三视图的还原规律把它们还原成简单几何体,再“积零为整"，把这些简单几何体组合在一起就得了组合体的三视图.这样就将复杂的三视图问题转化成最基本的'简单几何体的三视图还原问题来解决了,大大降低了对空间想象能力的要求,这一方法的难点在于如何把组合体的三视图划分为一个个简单几何体的三试图,该方法的具体过程如下：1. 分线框.一般从主视图入手,将主视图划分成一个个线框(一般是封闭的线框，但有时也可不完全封闭),这些线框就是组成组合体的一个个简单几何体的主视图.2. 对投影.在俯视图和左视图上把主视图中每个线框对应的投影找出来,主要是根据“长对正,高平齐,宽相等”和"三视图所反映的组合体各部分的方位”来找.3. 识形体.根据每一部分的三视图,逐个想象出每一部分所对应的几何体4. 合起来,想整体. 每一部分的形状确定后,再根据各部分的相对位置关系组合成整个组合体的形状.相关阅读-高中三视图规则【2】主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等即:主视图和俯视图的长要相等主视图和左视图的高要相等左视图和俯视图的宽要相等。
08三视图【教师版】
三视图这节课我们学什么1.三视图的概念及其画法；2.根据三视图求几何体的体积；3.根据三视图求几何体的表面积．知识框图知识点梳理1、物体的视图：当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图．由前向后观察物体的视图，叫做主视图；由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；由左向右观察物体的视图，叫做左视图．说明：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象．2、画三视图的要求：(1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图．(2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等．(3)画法的规定：看得见的用实线，看不见的用虚线．说明：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽．典型例题分析1、三视图的概念及其画法；例1、画出图中各几何体的三视图：【答案：主视图是通过正面观察物体的形状，左视图是从左面去观察物体的形状，俯视图是从上往下观察物体的形状．(1)是三棱柱，从正面和左面看是矩形，从上面看是三角形；(2)是圆锥，从正面和左面看都是三角形，从上面看都是圆和圆心；(3)是圆台，从正面和左面看都是梯形，从上面看是两个同心圆；(4)是一个圆柱和一个长方体组合而成的图形，从正面看是两个矩形，从左面看是两个矩形(但大小不同)，从上面看是一个圆和一个矩形．如图说明：画三视图时要注意(1)位置的规定和长度的规定；(2)分别用点和线段来描述几何体的尖端和交界处．】例2、图中几何体的主视图是( )．【答案：C．】例3、由一些大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，那么该几何体的左视图是( )．【答案：根据几何体的俯视图及相关数据，还原它的原貌，再找它的左视图．选A．说明：正确理解俯视图与左视图的位置关系是解题的关键．】例4、如图是一个立体图形的三视图，这个立体图形的名称是．【答案：由三视图可以知道该立体图形是一个圆柱体】例5、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）【答案：本题考查的是几何体的三视图，在判断时要结合三种视图进行判断，特别要注意虚线的标注．根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致，并且俯视图是两个圆，可知只有选项D 合适，故选D ． 】例6、小明和小龙观察同一个物体，俯视图都是一个等腰梯形，但小明所看到的主视图如图 (1)所示，小龙看到的主视图如图 (2)所示．你知道这是一个什么样的物体吗?小明和小龙分别是从哪个方向观察它的呢?可以画图说明．【答案：两人看到分别如答图所示：画法的规定：看得见的用实线，看不见的用虚线】2、利用三视图求表面积和体积；例7、如图是一个立体图形的三视图，请计算这个立体图形的体积．【答案：由三视图可以知道该立体图形是一个圆柱体，且母线和地面的直径都是10，所以这个圆柱的体积是.π25010)210(π2=⋅=V 】 例8、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是 ．【答案：由图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，3822231=⨯⨯⨯=V ,侧面积需要计算侧面三角形的高51222=+=h ，5452214=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=侧S 】 例9、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．【答案：本题考查空间想象能力，要能由三视图还原出几何体的形状．由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2， 则111=112=323V ⨯⨯⨯⨯．】 例10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积为 ．【答案：直接根据三视图还原成原来的几何体,然后再根据体积公式求解．由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,底面为梯形,由三视图可知该四棱柱的底面积为()2048221=⨯+⨯．高为10．故体积为.2001020=⨯ 由三视图知,梯形的腰为54322=+,梯形的周长为205528=+++,所以四棱柱的侧面积为2001020=⨯．表面积为240．】例11、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 ．【答案：根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积．由三视图可知原几何体如图所示,所以111111ABCD A B C D M A D N V V V −−=−1166334410032=⨯⨯−⨯⨯⨯⨯=．】 例12、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ．【答案：由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为21242241682⨯π⨯⨯+⨯⨯=+π．】课后练习练1． 在下列几何体中，俯视图是圆的有______．(填序号)．【答案：（2）（4）】练2． 如图是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数为 ．【答案：4】练3． 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 ．【答案：πππ342122=+⋅r r 】 练4． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_______．【答案：1616π−】练5． 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的取值区间是 ．【答案：1,2⎡⎤⎣⎦】 练6． 一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，求能得到的最大球的半径．【答案：由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，18,6,12AB BC BB ===．若要得到半径最大的球，则此球与平面111111,,A B BA BCC B ACC A 相切，故此时球的半径与ABC ∆内切圆的半径相等，故半径r ＝6＋8－102＝2．】练7． 如图是一个奖杯的三视图，请你根据图中的数据，求出这个奖杯的底面边长．【答案：奖杯由上至下依次是球、长方体和长方体三个几何体构成，由主视图知球的直径为10cm ；由俯视图知两个长方体的底面都是正方形，而下面的正方形边长等于中间正方形的对角线长，中间正方形边长等于球的直径10cm ．所以所求底面边长为cm.210．】练8． 一个多面体的三视图如图所示，求该多面体的表面积．．【答案：由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则S ＝S 正方体－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝()2132423112221324−⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+．】练9． 下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图．(1)请在正(主)视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程)．(2)求该多面体的体积(尺寸如图)．【答案：(1)作出俯视图如图所示．(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABCD －A 1B 1C 1D 1)截去一个三棱锥(E －A 1B 1D 1)得到的，所以截去的三棱锥体积VE －A 1B 1D 1＝13·S △A 1B 1D 1·A 1E ＝112221323⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 正方体体积V 正方体AC 1＝23＝8，所以所求多面体的体积V ＝8－23＝223．】练10． 如图,在四棱柱P ABCD −中, PD ABCD ⊥,//AB DC ,AB AD ⊥,5,3,4,60BC DC AD PAD ===∠=．当正视方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD −的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程)．【答案：(1)在梯形ABCD 中,过点C 作CE ⊥AB ,垂足为E ,由已知得,四边形ADCE 为矩形,3AE CD ==,在Rt BEC ∆中,由5,4BC CE ==,依勾股定理得:3BE =,从而6AB =．又由PD ⊥平面ABCD 得,PD ⊥AD ,从而在Rt PDA ∆中,由4,60AD PAD =∠=，得43PD =:】。