1.1 样本空间与随机事件0825+
样本空间、随机事件ppt课件
2. 几点说明
（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在间为 : S 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
S { HHH ,HHT ,HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 S { 0 , 1 , 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间
“骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B
S
6. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
S { H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件.通常以 大写英文字母 A, B, C, 来表示事件。 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A ,B ,A ( k k
A
B
S
2. A等于B
若事件 A 包含事件 B， 而且事件
B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作
样本空间与随机事件
第一讲样本空间与随机事件一研究对象在自然界和社会中存在两类不同的现象，一类是确定性现象确定性现象，另一类是随机现象。
1 确定性现象在一定的条件下，结果唯一确定。
如：水在1p下，在100摄氏度时，必然沸腾。
向上抛一石子，必然下落。
同性电荷相互排斥。
石蕊投入酸性溶液中呈现红色。
这类现象，条件给定后结果明确可知。
2 随机现象给定条件结果不能确定。
如：相同条件下抛掷一枚硬币，结果可能正面朝上也可能正面朝下。
同一枚大炮向同一目标射击，射击之前，无法确定弹着点的位置。
一个电子产品（比如灯泡）不能确定其使用寿命。
这类现象，在给定条件后，结果的发生是不能确定的。
有多于一种的可能结果，但在试验或观察之前不能确定是哪个结果。
此外，购买彩票，可能中奖也可能不中奖，抓阄问题，天气预报问题，某汽车站某天上车人数。
某地的年降雨量，今年的国民经济增长速度等等都是随机现象。
3 随机现象的统计规律性虽然随机现象在一次观察中没什么规律，但是人们在长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察，其结果确呈现某种规律性。
如多次重复抛掷一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，而炮弹弹着点按照一定的规律分布，大量检查电子仪器的寿命，也会呈现某种规律性，比如大部分集中在1000小时附近，寿命很长或很短的占的比例较小。
这种在大量重复观察或试验中所随机现象所呈现的固有规律性称为统计规律性。
概率统计就是研究随机现象统计规律性的数学学科。
因为随机现象广泛存在，随机数学才大有用武之地。
为了对随机现象进行研究，下面我们来建立描述随机现象的一些基本概念。
二样本空间1 随机试验对随机现象进行一次观察或记录就是一次试验。
在这里观察或试验是一个含义广泛的概念，包括物理试验、化学试验、检查记录等一切可能的手段。
下面举一些试验的例子。
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T（Tails）出现的情况。
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情况。
1.1随机事件和样本空间
2．随机事件
1 2 6
5
9 8 3 7 4 0
在随机试验中，有时关心的是带有某 些特征的基本事件是否发生，如在例2中， A={球的标号=5}， B={球的标号是偶数}， C={球的标号<5}． 其中A是基本事件，而B和C是由多个 基本事件所组成的，相对于基本事件，称 为复杂事件． 无论是基本事件还是复杂事件，它们 在试验中发生与否，都带有随机性，所以 都叫做随机事件或简称为事件，习惯上用 A、B、C，…来表示．
共有10个样本点． 现在改变它的试验条件：从中依次不放回地任取2件， 即每次取1件，取后不放回，一共取两次，这时，样本点不 仅与取出的产品有关，而且与抽取产品的先后次序有 关．如 a , a 与 a , a
1 2 2 1
是不同的样本点，不难看出，这一试验共有20个样本点．
例8
向某一目标射击一发子弹，观察弹着点的位置，其结果 可以用某一平面区域内的点（x，y）来表示，其样本空 间为 x, y x , y
则
ABC
C B AB
事件运算有如下的基本性质： （1）否定律 A A, （2）幂等律 AA A, A A A
（3）交换律 AB BA, A B B A
（4）结合律 ABC ABC, A B C A B C （5）分配律 A B C AB AC , A BC A B A C （6）德· 摩根（De Morgan）公式（对偶原则或反演律）
二、教学重点与难点
重点:
各种类型概率的计算
难点:
有关事件概率的计算
§1.1 随机事件和样本空间 一、随机事件和样本空间的概念
1、基本事件和样本空间
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。
一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。
由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。
样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。
[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。
[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。
教案1-随机事件及样本空间
教案1-随机事件及样本空间?1.1 随机事件与样本空间概率论是研究随机现象的规律性的数学分支。
为了对随机现象的有关问题作出明确的数学描述，像其他数学学科一样，概率论具有自己的严格的体系和结构。
本章重点介绍概率论的两个基本概念:随机事件和概率。
概率论研究对象:随机现象的统计规律性。
一、随机现象客观世界中现象大致分为: 三类现象,必然现象:指在一定条件下必然发生的现象。
eg:水在100沸腾C;,不可能现象:指在一定条件下,肯定不会发生的现象。
eg:掷一枚骰子不可能出现8点;,,随机现象:指在一定条件下，可能发生，也可能不发生的现象(也称不确定现象)。
,(必然现象是事前可以预知结果，既在一定条件下某一确定现象必然会发生。
) 先看几个例子:确定现象(必然现象):? 抛一石块，观察结局;(一定下落)? 观察每天太阳升起的方向;(一定从东方升起)? 异性电荷放置一起,观察其关系。
(一定相互吸引)……不确定现象(随机现象):? 掷一枚硬币,观察出现“正面向上”的情况;(结果可能出现，也可能不)2(某人射击一次,考察命中环数;(结果可能命中，也可能不命中)3(从一批产品中抽取一件，考察其情况。
(结果可能合格，也可能不合格) 合格品4(下一个交易日观察股市的指数上升情况。
(结果不能事先预测)……虽然上述随机现象中出现什么样的结果不能事先预言，但是可以假定全部可能结果是已知的。
在上述例子中，抛掷一枚硬币只会有“正面”与“反面”这两种可能结果;射击也只会有“命中”与“不命中”这两种可能结果;产品抽样也同样只有“合格”与“不合格”两种可能结果。
而而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的实数。
1由此可见“全部可能的结果的集合是已知的”这个假定是合理的，而且它会给我们的学习研究带来许多方便。
随机现象有没有规律可言,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性。
偶然性一面:少量实验下体现的不确定性;, ,必然性一面:大量重复实验下呈现出固有的规律性(即:统计规律性)。
§1.1随机事件与样本空间
§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。
例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
§1.1样本空间与随机事件(上)
§1.1 样本空间与随机事件 §1.2 频率与概率 §1.3 古典概型 §1.4 几何概型 §1.5 条件概率与乘法公式 §1.6 全概率公式与贝叶斯公式 §1.7 事件的独立性 §1.8 伯努利概型
【导言】概率这个名词对大多数人来说并不陌生。常听 人们说买一注体育彩票中头奖的概率很小；A球队和 B球队相遇，B球队胜的概率更大等。但要给概率一个 准确的定义，却不是几句话就能解释清楚的。 本章就来解决这个问题，并讨论有关概率论的基础知 识。 首先，在人类社会的生产实践和科学实验中，我们可 以观察到的客观现象形形色色。但仔细观察，这些客 观现象可分为两类：
比如朝上掷一枚硬币，由于地心引力的作用，这枚硬 币必然会下落。这种一定条件下必定会出现唯一客观 结果的现象叫确定性现象。 又如朝上掷一枚硬币，考察落地后哪面朝上，这时有 两个可能结果，但不知哪一个结果会出现，待硬币落 地后，哪面朝上才能清楚。 再如一射手向一靶面射击，其成绩可能是1~10环中的 某一环，也可能脱靶，这时有11种可能的客观结果出 现。但射击之前不知道其成绩，射击之后成绩即确定。
例如 E1：将一枚硬币上抛二次，观察正面、反面出现情况。 E2：将一枚硬币上抛二次，观察正面出现的次数。 E3：记录某网站晚9:00-10:00的来访人数。 E4：记录某水文站每天早7:00河流的水位。 E5：在单位圆内任取一点，记录其坐标。 上述E1~E5都是随机试验。
【评】我们正是通过随机试验来研究随机现象的。
={(a, b, பைடு நூலகம்), (b, a, 0), (a, 0, b), (b, 0, a), (0, a, b), (0, b, a), (ab, 0, 0), (0, ab, 0), (0, 0, ab)}。
1.1随机事件与样本空间
例1.1 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件, 事件A 出现偶数 出现偶数, 事件B 出现奇数 事件A—出现偶数, 事件B—出现奇数 解：用 ω i 表示掷骰子出现的点数, ω 3 , ω 4 , ω 5 , ω 6 }
A ∪ B = A ∩ B, 可 推 广 ∪ Ak =
k =1
AB = A ∪ B
∩A
k =1
k
,
∩A
k =1
k
=
∪A
k =1
k
.
丙三人各向目标射击一发子弹， 例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 分别表示甲、 丙命中目标，试用A B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的 运算关系表示下列事件： 运算关系表示下列事件：
5.互斥的事件：AB＝ φ 互斥的事件： ＝
6. 互逆的事件 ⇔ A∪B＝ Ω, 且AB＝ φ 互逆的事件 ∪ ＝ ＝
记作B = A ，称为A的对立事件 易见A − B = AB ;
五、事件的运算
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA 、交换律： 2、结合律 、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律 、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)， (AB)∪C＝(A∪C)(B∪C) ∪ ∪ ∪ 4、对偶 、对偶(De Morgan)律： 律
随机试验、 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 每一个随机试验相应地有一个样本空间 样 本空间的子集就是随机事件. 本空间的子集就是随机事件 随机试验 样本空间 子集 随机事件
必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件
实例2 “用同一门炮向同 实例 一目标发射同一种炮弹多 观察弹落点的情况” 发 , 观察弹落点的情况”. 结果: 弹落点会各不相同” 结果 “弹落点会各不相同”. 实例3 “抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数” 察出现的点数”. 结果有可能为: 结果有可能为 “1”, “2”, “3”, ” ” ” “4”, “5” 或 “6” ” ” ”
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今后为讨论问题方便，将必然事件、不可能事件 视为随机事件的两个极端情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。 习题1：同时抛掷两枚硬币,观察正反面出现情况,事件A 表示掷出同一面,事件B表示其中一枚掷出正面。 习题2：将一枚骰子连续抛掷两次,记录骰子点数出现 情况,事件A表示点数之和等于7,事件B表示两枚骰子 点数之差等于1。 习题3：从一批产品中抽取2件零件,观察正次品情况, 事件A1表示第一个零件是正品,A2表示第二个零件 是正品。
(5)从一批灯泡中任意抽取一只, 测试其使用寿命.
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
一、样本空间
定义1：E的所有可能基本结果组成的集合 称为E的样本空间，记作S。
定义2：样本空间中每一个可能的基本结果 称为样本点(Sampling point) ，记作e。
S3 {ABC, ABD, ACD, BCD}.
讨论题：袋中装有6个球4白(a,b,c,d),2红(x,y)， 试确定试验中样本空间含的样本点个数。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出 现情况.
将四件产品标记为:A,B,C,D, 可能结果为: “ABC,ABD,ACD,BCD”
S3 {ABC, ABD, ACD, BCD}.
(4)记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
可能结果为: “0,1,2,„” S4 {0,1, 2,...}.
E2(不放回抽样)：取一个，不放回接着再取一个。
{(i1 , i2 )
E3:一次性取出两个球(同时取出2个球)。
{(i j ) 1 i j 6}
定义3：随机试验E的样本空间S的子集称为试验E的 随机事件，简称事件，通常用A,B,..,Ak,…表示。
引例2：将一枚硬币抛掷两次，事件A表示“第一次出 现正面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示 “至少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。
练习：同时抛掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出 现 的点数之差的绝对值小于2”。
1.1 样本空间与随机事件
一、样本空间 二、随机事件※
引例1. 试写出下列试验的样本空间
(1)抛掷一枚硬币,观察正反面出现的情况.
可能结果为：“正面，反面”.
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
注 1.试验不同, 对应的样本空间一般不同. e.g．S={Ｈ,Ｔ} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间，
或是开关闭合试验的样本空间，或是射击问题中击中与 否的样本空间。
※2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空 间
也不同.
eg 将一枚硬币连续抛掷两次 Case1:若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
S {HH , HT , TH , TT }.
Case2:若观察出现正面的总次数 , 则样本空间为
S { 0, 1, 2}.
试用列举法写出下列试验的样本空间
练习1：某商场五层共有60间餐饮店铺，编号分别为 5001,5002,…,5060，从中任选一间，观察店铺号码。 练习2：用大炮连续5次射击同一目标，观察击中的总 次数。
练习3：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
练习4：手工生产一批陶瓷制品，希望能得到10件正品， 记录需要生产的陶瓷总件数。
二、随机事件(Random Events)
eg
抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子可能出现“1点”,…,“6点”,
“点数不大于4”,“点数为偶数” 等均为随机事件.
2.关于随机事件的几点说明
(1)随机事件表示: 语言描述，集合的列举法表示，Venn图，随机变量等
eg 在掷一枚骰子试验中 事件A 表示“点数不大于3”,
事件B 表示“点数为奇数” A = {1,2,3}, B = {1,3,5}
A2 4 1,3 5 B S
6
(2)随机事件与样本空间、样本点之间的关系。 例3：在投掷一颗骰子试验中，试验结果为出现3个点， A表示“点数不大于3”, B表示“点数为奇数”.问A,B发 生？
本节小结：
• 样本空间：E的所有可能基本结果组成的集合,记作S。 • 随机事件：E的某些基本结果组成的集合，记作A,B 等，随机事件是样本空间S的子集。
同一试验中，样本空间与随机事件的关系？
同一个试验中，根据观察的内容都有唯一确定的样 本空间, 任何随机事件都是样本空间的子集。
课前提问：写出下列随机试验的样本空间
(3)事件A发生
定义4：事件A发生是指试验结果中A的某个样本点出现。
试验中，事件A可能发生也可能不发生。
(4)几个特殊的事件
基本事件：含一个样本点的单点集。 复合事件：含两个或两个以上样本点的集合。
不可能事件不含任何样本点的集合，记为 必然事件含有所有样本点的集合，记为S
eg. 掷骰子试验中 “点数大于6” 就是不可能事件， “点数不大于6” 就是必然事件。
习题1：将一枚硬币连续抛三次，观察正反面出现情况。
习题2：某投篮运动员投篮时，连续5次都命中，观察 其投篮次数。
习题3：甲乙二人各自对目标射出一发子弹，观察命中 目标情况，
习题4：记录一段时间内，某城市110报警的次数。
习题5：从装有3个白球2个黑球的袋中任取两球，观察 两个球温和最低气温（假 设最低气温不低于T1，最高气温不高于T2）