(完整版)北京大学2018年博雅计划数学真题
博雅计划试题
博雅计划试题博雅计划试题"博雅计划”是北京大学2015年推出的高考自主招生改革计划，很多人都会需要试题，这是小编找的试题，希望能对你有所帮助。
博雅计划试题选择题共20小题.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线y=-x+2与曲线y=-ex+a相切，则a的值为（）A.-3B.-2C.-1D.前三个答案都不对2.已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，则下面四个结论中正确的个数为（）（1）以a，b，c为边长的三角形一定存在（2）以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在（3）以a+b2，b+c2，c+a2为边长的三角形一定存在（4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1为边长的三角形一定存在A.2B.3C.4D.前三个答案都不对3.设AB，CD是⊙O的两条垂直直径，弦DF交AB于点E，DE=24，EF=18，则OE等于（）A.46B.53C.62D.前三个答案都不对4.函数f（x）=1p，若x为有理数qp，p与q互素，0，若x为无理数，则满足x∈（0，1）且f（x）>17的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（）A.-13B.-9C.-5D.前三个答案都不对6.已知k≠1，则等比数列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公比为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值为（）A.-116B.-132C.-164D.前三个答案都不对8.设a，b，c为实数，a，c≠0，方程ax2+bx+c=0的'两个虚数根为x1，x2满足x21x2为实数，则∑2015k=0x1x2k等于（）A.1B.0C.3iD.前三个答案都不对9.将12个不同物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（）A.34650B.5940C.495D.前三个答案都不对10.设A是以BC为直径的圆上的一点，D，E是线段BC上的点，F是CB延长线上的点，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，则BC的长为（）A.11B.12C.13D.前三个答案都不对11.两个圆内切于K，大圆的弦AB与小圆切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，则BL的长为（）A.24B.25C.26D.前三个答案都不对12.f（x）是定义在实数集R上的函数，满足2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，则f（-2）等于（）A.0B.12C.13D.前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法是（）A.30B.36C.42D.前三个答案都不对14.已知正整数a，b，c，d满足ab=cd，则a+b+c+d有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对15.三个不同的实数x，y，z满足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，则x+y+z等于（）A.-1B.0C.1D.前三个答案都不对16.已知a+b+c=1，则4a+1+4b+1+4c+1的最大值与最小值的乘积属于区间（）A.[10，11）B. [11，12）C. [12，13）D.前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，则四边形ABCD的面积等于（）A.83B.93C.123D.前三个答案都不对18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余数为（）A.3B. 13C.27D.前三个答案都不对19.方程组x+y2=z3，x2+y3=z4，x3+y4=z5，的实数解组数为（）A.5B.6C.7D.前三个答案都不对20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有实根的平方和等于（）A.0B.2C.4D.前三个答案都不对参考答案1.A.由切点在切线y=-x+2上，可设切点坐标为（x0，2-x0）.又切点（x0，2-x0）在曲线y=-ex+a上，可得2-x0=-ex0+a.再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲线y=-ex+a在切点（x0，2-x0）处切线的斜率为-ex0+a.又切线y=-x+2的斜率为-1，所以-ex0+a=-1.进而可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3.2.B.可不妨设0c.结论（1）正确：因为可得a+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c.结论（2）错误：2，3，4是一个三角形的三边长，但22，32，42不会是某个三角形的三边长.结论（3）正确：因为可得a+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2.结论（4）正确：因为|a-b|+1=b-a+1，|b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1，所以|a-b|+1≤|c-a|+1，|b-c|+1≤|c-a|+1，（|a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1.3.解法1C.如图1所示，设⊙O的半径为r，由相交弦定理和勾股定理，可得24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2，242=r2+OE2，把它们相加后，可求得OE=62.4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨设p，q∈N，p>q，（p，q）=1.由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，进而可得x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56所以满足题设的x的个数为11.5.A.解法1D.因为x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由题意，得方程x2-3x-1=0的两个根3+132，3-132均是方程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13.解法2D.由题设，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.又注意到x4+ax2+bx+c不含x3项，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c.8.B.因为实系数一元二次方程的两个虚数根是一对共轭复数，所以可设x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）.得x21x2=r（cos3θ+isin3θ），因为x21x2为实数，所以θ=kπ3（k∈Z），再得x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016=cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1，所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.9.D.这是均匀分组问题，不同的分法种类为C412C48C443！=5775.10.A.如图3所示，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°.又因为∠BAD=∠ACD，所以AD⊥BC.得DE·DF=AD2=BD·DC，（5-2）（4+2）=2DC，DC=9，BC=BD+DC=2+9=11.图3图411.B.如图4所示，设BK与小圆交于点M，连结ML，设CD为两圆在公共点K处的公切线.由弦切角定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM.又因为∠KLA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL.再由三角形角平分线性质，可得ALBL=AKBK，可求得BL=25.12.C.在题设所给的等式中分别令x=0，1，-1，得2f（0）+f（-1）=1，2f（1）+f（0）=1，2f（-1）+f（0）=1，可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13.再在题设所给的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f （-2）=13.图513.A.在图5所示的正9边形ABCDEFGHI中，以A为顶角的顶点的等腰三角形有且仅有4个（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且仅有△ADG是正三角形.所以所求答案是3·9+93=30.14.B.考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要选a+b+c+d是合数即可.而101，401都是质数，且301=7·43=（1+6）（1+42），所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本题选B.15.D.可设x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是关于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三个实数根.由韦达定理，得x+y+z=3.16.解法1C.设f（x）=4x+1，得f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，。
2018年北京大学自主招生数学试题含解析
一、选择题（选对得10分，不选得0分，选错扣5分）1、整数z y x ,,满足1=++zx yz xy ，则()()()222111z y x+++可能取到的值为（）A．16900B．17900C．18900D．前三个答案都不对2、在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数，已知这50个数中任两个的和都不等于99，也不等于100．这50个数的和可能等于（）A．3524B．3624C．3724D．前三个答案都不对3、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0 x ，对任意实数a ，函数1cos 2cos 2+-=x a x y 的最小值记为()a g ，则当a 取遍所有实数时，()a g 的最大值为（）A．1B．2C．3D．前三个答案都不对4、已知2020210-是n 2的整数倍，则正整数n 的最大值为（）A．21B．22C．23D．前三个答案都不对5、在凸四边形ABCD 中，4=BC ，60=∠ADC ，90=∠BAD ，四边形ABCD 的面积等于2ADBC CD AB ⋅+⋅，则CD 的长（精确到小数点后1位）为（）A．6.9B．7.1C．7.3D．前三个答案都不对二、填空题（填空题共5小题；请把每小题的正确答案填在横线上，每题10分）6、满足等式2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++x x 的整数x 的个数是_______．7、已知[]4,2,,,∈d c b a ，则()()()22222cbdacd ab +++的最大值与最小值的和为_______．8、已知对于任意的实数[]5,1∈x ，22≤++q px x ，不超过22q p +的最大整数是_______．9、设bc a c b x 2222-+=，ca b a c y 2222-+=,ab c b a z 2222-+=,且1=++z y x ，则201520152015z y x ++的值为_______．10、设n A A A ,,,21 都是9元集合{}9,,2,1 的子集，已知i A 为奇数，n i ≤≤1，j i A A 为偶数，n j i ≤≠≤1，则n 的最大值为_______．2018年北京大学自主招生选拔录取考试数学部分参考答案一、选择题1、A解析：()()()()()()()2222111x z z y y x z y x+++=+++.令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,13,5,2x z z y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.8,3,5z y x 经检验，这组解满足题意，此时()()()16900111222=+++z y x ．2、D解析：考虑将1,2,⋯,99这99个正整数分成如下50组：(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的50个不同的正整数中没有50，则必有2个数位于(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意．所以这50个不同的正整数中必有50，而(1,99),(2,98),⋯,(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选中．因为50+49=99，所以(49,51)中选51；因为51+48=99，所以(48,52)中选52；以此类推，可得50,51,52,⋯,98,99是唯一可能的选法．经检验，选50,51,52,⋯,98,99满足题意，此时50+51+⋯+98+99=3725，故选D．3、A解析：令[]1,0cos ∈=x t ，令()122+-=at t t h ，[]1,0∈t 则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-<=1,2210,1012a a a a a a g ，故()a g 的最大值为1（0≤a 时等号成立）．4、D解析：1()()()()()1555515151521522102345102020202020++++-++=-=-，而1510+模4余2，155+模4余2，15555234++++为奇数，故正整数n 的最大值为24．5、A解析：设四边形ABCD 的面积为S ，直线AC ,BD 的夹角为θ，则2sin 22sin ADBC CD AB AD BC CD AB BD AC S ⋅+⋅≤⋅⋅+⋅≤⋅⋅=θθ,由题意，2ADBC CD AB S ⋅+⋅=，所以D C B A ,,,四点共圆，且BD AC ⊥．故9.634≈=CD ，选A．二、填空题6、11解析：若x 为正整数，则2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+>>⎪⎭⎫⎝⎛++e x x ,若x 为负整数，令()2,≥∈-=*n N n n x ，则1111111-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x n x .因为数列()2,1111≥∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+*-n Nn n n 关于n 单调递增，故当且仅当2016-=x 时，有2015120151111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x .7、2541解析：注意到()()()()222222bd ac cd ab c bda -++=++,于是()()()()()()22222222211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++++=+++cd ab bd ac bd ac cd ab cd ab c b d a cd ab ,显然当0=-bd ac 时，原式取得最大值为1．接下来考虑cdab bdac +-的最大值．由于1+⋅-=+-cb d ac bd a cd ab bd ac ,令αtan =d a ，βtan =c b ，则问题等价于当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2arctan ,21arctan ,βα时，求βα-tan 的最大值，显然为4321arctan2arctan tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此原式的最小值为2516．注：可以看做向量()d a ,和()c b ,夹角余弦的平方．8、9解析：注意到q px x y ++=2，[]5,1∈x 满足22≤≤-y ，因此符合题意的二次函数只有两个：762+-=x x y ，762-+-=x x y9、1解析：由1=++z y x ，可得()()()()()()()()()()22222223223322322322322=-------=-+-++-+-=-++-++--+=--++-++-+b a c a c b c b a b a c c b a c b a b a abc c b c a c bc ac b a b a ab abc c c b c a b b a bc a ac ab 所以c b a +=或a c b +=或b a c +=，故1201520152015=++z y x ．10、9解析：构造是容易的，取{}i A i =，9,,2,1 =i 即可．用0,1表示集合中的元素是否在子集中，如{}9,5,4,3,11=A ，则记()1,0,0,0,1,1,1,0,11=A ,那么j i j i A A A A =⋅.显然，如果当10≥n 时，必然存在m 个向量线性相关，不妨设()0,,0,02211 =+++m m A A A λλλ,其中()m i Z i ,,2,1 =∈λ，11=λ．此时考虑()m m A A A A λλλ+++⋅ 22111,那么根据题意有11A A ⋅为奇数，而()m i A A i ,,3,21 =⋅为偶数，这样就推出了矛盾．因此所求n 的最大值为9．注：用这个方法，可以得出n 元集合至多有n 个包含奇数个元素的子集，使得这些子集中任意两个的交集均包含偶数个元素．。
14-18年北清自招博雅领军数学真题-数论基础与整除
北大博雅15.1.已知n为不超过2015的正整数，且1234n n n n+++的个位数字为0，则满足条件的正整数n的个数为（）A.1511B.1512C.1513D.前三个答案都不对清华领军2015.18.已知存在实数r，使得圆周222x y r+=上恰好有n个整点，则n可以等于（）A.4B.6C.8D.12分类存疑北大博雅2016.4.函数1,,(,)1,,(),0,qx p q p q NP pf xQ+⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩则满足(0,1)x∈且1()7f x>的x的个数为（）A.12B.13C.14D.前三个答案都不对4.【解答】D满足(0,1)x∈，且1()7f x>的x的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
北大博雅2016.14.已知正整数,,,a b c d满足ab cd=，则a b c d+++有可能等于（）A.101B.301C.401D.前三个答案都不对14.【解答】B考虑a=mn，b=pq，c=mp，d=nq则a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=(m+q)(n+p)，于是a+b+c+d不是质数即可。
如301=7×43=(1+6)×(1+42)，于是a=1，b=252，c=42，d=6即得正确答案是B。
【评析】数论不定方程问题，其中的换元方法是数论中的经典。
北大博雅2017.1.若正整数,,a b c满足402a b c++=，则使得10n| abc的最大正整数n是（）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。
(完整)北京大学2018年博雅人才培养计划试题
北京大学2018年博雅人才培养计划试题一、选择题1．以下带点的汉字读音相同的一组是（）A．薄．田薄．地B．干劲．劲．旅C．不胜．枚举胜．利D．溃．烂溃．脓2．下列各组词语中加点的字读音相同的一组是（ )A．中．药大黄山中．大王B．埋．怨埋．藏C．伐木丁丁．．丁丁．．漏水夜何长D．曝．晒曝．光3．下列词语中用字正确的一组是（）A．自暴自弃针贬时弊比比皆是寥若晨星B．含辛茹苦拭目以待穿流不息绿树成荫C．书画精萃浮想联翩迥然不同跌宕起伏D．英雄气概美轮美奂变本加厉眼花缭乱4．以下有三个错别字的一组词是（）A．编篡床第之私沉湎渲泄B．灸手可热饮鸩止渴世外桃源大拇指C．趋之若骛追溯额手称庆发韧D．磬竹难书青睐痉挛一幅对联5．以下句子中,没有错别字的是( ）A．西亚国家以色列开源截流，技术用水，使水资源得以充分合理地利用，其经验值得各国借鉴。
B．他执着地追求自己的理想，不为世俗嘲笑所动，将伤痕变成自己的勋章,将旁观者的垢骂作为自己的踏脚石，一步步地向梦想进发。
C．而斯巴达却完全相反，那是一个贫瘠而且了无生趣的国家.D．那些人正虎视耽耽地积极搜寻这批“宝藏”。
6．以下繁简对应不正确的一组是( ）A．简体：干细胞繁体：乾細胞B．简体：姜太公繁体：姜太公C．简体：瞭望繁体:瞭望D．简体：肤色繁体：膚色7．以下各组中带点的字在繁体字中没有共同偏旁的一组是（）A．喜欢．参观．权．力灌．溉鹳．鸟B．挑拣．练．习锤炼．楝．树阑．干C．遥远．花园．猿．猴轩辕．袁．氏D．了．解明了．瞭．望官僚．了．结8．以下对“陈留,天下之衝"中“衝”字解析有误的是（）A．“衝"是形声字B．“衝”的意符是彳C．“衝”的本义为交通要道D．“衝"字简化后写作“冲”9．以下四个字按笔画多少排列的一组是（）A．谀象鼎溪B．象谀溪鼎C．谀鼎象溪D．溪鼎谀象10．以下各组汉字，按字形结构“象形→指事→会意→形声"排列的是（）A．虎、夕、朝、大B．眉、中、取、遘C．鼎、亦、伐、莫D．车、问、甘、和二、阅读下文，回答下列问题孔子的洒脱周国平我喜欢读闲书,即使是正经书，（1）当闲书读.譬如说《论语》，林语堂把它当作孔子的闲谈读,读出了许多幽默，这种读法就很对我的胃口。
北京大学2018年博雅计划数学真题
二3牛日刚叼北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1.设〃为正整数，C：=,“，为组合数,则30*8 + 50^+...+ 4037黑等于( )k\(n-K)\A. 2018-22018B. 2018!C. C：黑D.前三个答案都不对【答案】D解析：2k + 1)C：= 2，kC： + £c：= 2±nC^ += 2n±C^ +，k=0Jt=0 k=0Jt=l £=0 Jt=l £=02018 201S 2018「•+ 3c短 + 5c短 + …+ 4037C；黑=£(2八1)C*§ = 2 x 2018 x £ C/ + £ C机A=0 £=1 jt=0=4036x22017 + 22018 = 2019x22O1S,故选Do2.设o, b, c为非负实数，满足o+b+c=3,则。
+ob+obc的最大值为( )A. 3B.4C. 372D.前三个答案都不对【答案】B解析：a + ab + abc = a(l + b(l + c))<a[ 1+ + c) =。
i + __—,对其求导得至= 2时取I 4 J I 4 J最大值为4。
3. 一个正整数〃称为具有3-因数积性质若〃的所有正因数的乘积等于/,则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为()A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C解析：设〃的所有正因数的乘积为八即T = 〃、〃显然符合题意；下面证明当〃之2时，正整数〃的质因数的个数最多为2：假设〃的质因数的个数大于或等于3,即〃的全部质因数为P]，P”...，P A.伏之3),并设〃= pfpj...p『，则〃的所有正因数的乘积中，p：(i = L2,…公至少在,p：p],有p?,,p：p,T,p；，p：p k,p：p2...p k这些因子中出现，即R%出现的次数大于或等于4,这样7"之(p;p/...pf*)4=〃>这与题意r = 〃3 矛盾，所以假设不成立，即〃的质因数的个数最多为2。
2018北京大学博雅计划真题解析版 w - 数学
数学【真题1】已知!C !()!k m m k m k =-0123201820182018201820182018C +3C +5C +7C ++4037C L 的值为.A.201820192⨯B.2018!C.20184036CD.前三个答案都不对【真题2】已知△ABC 面积为1,D,E 分别是边BC 、AC 上的点,且13BD BC =,13CE CA =,AD,BE 交于点P ,则四边形CDPE 的面积是. A.12 B.23 C.17D.前三个答案都不对 【真题3】[x ]为不超过x 的最大正整数,a n 为满足:x ∈[0,n ),[x [x ]]可能取到的所有值的个数,则2018n a n+取到最小值时n 的取值 . A.63B.1009C.2018D.前三个答案都不对【真题4】已知n 为不超过400的正整数,n 的所有正因数的乘积为n 3,则满足条件的n 有____个A.50B.51C.55D.前三个答案都不对 【真题5】三边长均为正整数的三角形,周长为n ,S n 表示符合该条件的三角形的个数,则20182015S S -=. A.-3 B.0C.3D.前三个答案都不对【真题6】已知a,b,c 为非负实数,a+b+c =3,求a+ab+abc 的最大值.A.3B.4C.D.前三个都不对【真题7】设a,b,c 为公差不为0的等差数列,点(3,2)P -,(2,3)Q ,过点P 作PM 垂直于直线ax+by+c =0,垂足为M ,则|MQ |的最小与最大值乘积为 .A.10B.C.D.前三个都不对 【真题8】15个人圆成一圈,选4人,两两不相邻,有多少种选法？A.1560B.450C.0D.前三个都不对【真题9】_____A.(6,7]B.(7,8]C.(8,9]D.前三个答案都不对【真题10】 设()123,,,,1,2,3i a a a a i =L L 是一组从小到大的非完全平方数(正整数)例如122,3a a ==则2018a 等于 . A.2061B.2062C.2063D.前三个都不对【真题11】 在立方体1111ABCD A B C D -中,1AD 中点为M ,1B C 中点为N ,CM 与1D N所成角的余弦值.A.12B.23C.34D.前三个答案都不对【真题12】4的根的个数共有_____个A.0B.1C.3D.前三个答案都不对【真题13】 P 是椭圆22154x y +=上的一点,则是 .A.B.C.D.前三个答案都不对【真题14】 方程222|1|0x x a a x -++-=三个根,则a 的取值范围为.A.(,1]-∞-B.[1,)∞C.[1,0)(0,1]-UD.前三个都不对【真题15】 122018122018,,,,,,,a a a b b b L L 互异对任意(1,2,,2018)i a i =L 满足122018()()()=2018i i i a b a b a b +++L ,求任意i b 则122018()()()i i i a b a b a b +++L A.2018 B.2018- C.0 D.前三个都不对【真题16】 在2018个正整数任取3个数不相邻的取法种数为_____________。
2017年北大博雅计划数学试题及答案
【5】C
1471013…20142017 的数值即
lx1Cf1 +4xl<f4 +7xl<f'1 代.+2014xl俨14 +2017xl庐17
其中 a1, a4, a1,…， ll2014,ll2011是对应数宇出现的数位数，比如 2017 出现在原数字的笫 0 位，
2014 出现在第 4 位等。 注意到 10 的方幕除以 9 的余 数一定是 1' 1471013...20142017 =1+4+7+…+2014+2017 = 673 X1009 三 7(mod9)
＝－9 ， s
即
SMoD=— 92x．
故 liDOA 的内切圆半径是？雾 2
答案为 A.
【评析】此题导向非常明确：通过周长和内切圆半径来求得三角形面积。有了面积之后，再 通过共边定理获得另一个三角形的面积值。 较为容易。
【8】C.
9 +95+995+… +99 …95=(10-1)+(100 -5)+(1000-5)+… +(102017 -5)
故n的最大可能值 不大于5 .我们设法构造取到 5 的情形。 a,b,c 所含 5 的幕次和 不小于 5 。 幕次和为6的情形上已排除， 故幕次和为 5 。 由于a,b,c
中至少有一个不是 5 的倍数，故 a,b,c必有一个被 2 5 整除，一个被 125 整除。我们尽力使这
两数所含 2 的幕次更大。为此， 取a==IOO, b=250 , 那么 C == 52 。此时 a,b,c 所含 2 的幕
小于n。而由于2,4,8... 的倍数在正整数集中分布比5,25,125的倍数密，即2的幕次不小于 n更容易达到。 故我们考虑 5 的幕次。 不大 于 402 的 5 的正 整 数幕最 大是 125, 故 a,b,c 各自所 含 5 的 幕 次最 高 是 3 . 而
2021北京大学博雅计划笔试数学试题及答案
ab a b c O EF北京大学博雅计划数学试题选择题(单选题，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分) 1.直线 y = -x + 2 与曲线 y = -e x +a 相切，则a 的值为A. -3【答案】 A B. -2C. -1 D . 前三个答案都不对【解析】由 y '= -ex +a= -1 得 x = -a ，再将 x = -a 代入原函数得 y = -1 = a + 2 ， 故选 A2.已知 ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，则下面4 个结论中正确的个数为 （1）以 a 、b 、c 为边长的三角形一定存在；（2）以a 2、b 2、c 2为边长的三角形一定存在；a +b b +c a + c（3）以 、 、 为边长的三角形一定存在； 2 2 2（4）以| a - b | +1、| b - c | +1、| c - a | +1 为边长的三角形一定存在；A. 2【答案】 BB. 3C. 4 D . 前三个答案都不对【解析】不妨设a ≤ b ≤ c ，则需满足a + b > c 故 a + b + 2 > c ⇒ + > ，故（1）对；不妨设a = b = 1, c = 2 ，显然（2）错；显然b +c < a + c + a + b 成立，故（3）对； 2 2 2显然c - a +1 < b - a +1+ c - b +1成立，故（4）对. 故选 B3.设 AB 、CD 是 O 的两条垂直直径，弦 DF 交 AB 于点 E ，DE = 24, EF = 18 ，则OE等于A. 4 【答案】CB. 5C. 6D . 前三个答案都不对D【解析】设圆半径为 R ， OE = x ，则由圆幂定理得AE ⋅ EB = DE ⋅ EF ⇒ (R + x )(R - x ) = 24⋅18AB 由勾股定理得OE 2 + OD 2 = DE 2 ⇒ R 2 + x 2 = 2426 3 2f (x ) = ⎪pp 解得 x = 6 4.函数，故选C⎧ 1, 若x 为有理数 q , p 与q 互素; ⎨ ⎪⎩0, 若x 为无理数. 则满足 x ∈ (0,1) 且 f (x ) > 1的 x 的个数为7 A. 12 【答案】 DB. 13C. 14 D . 前三个答案都不对【解析】满足条件的有 x 有 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 5，总共11个，故选 D2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 65.若方程 x 2- 3x -1 = 0 的根也是方程 x 4+ ax 2+ bx + c = 0 的根，则a + b - 2c 的值为A . -13【答案】 AB. -9C. -5D . 前三个答案都不对【解析】依题 x 2- 3x -1为多项式 f (x ) = x 4+ ax 2+ bx + c 的因式，不妨设x 4 + ax 2 + bx + c = (x 2 - 3x -1)(x 2 + px - c )则展开得 p - 3 = 0, -1- c - 3 p = a ,3c - p = b ⇒ a + c - 2b = -13 ，故选 A6.已知k ≠ 1，则等比数列a + log 2 k , a + log 4 k , a + log 8 k 的公比为A. 1 2【答案】 BB.1 3C. 14D . 前三个答案都不对【解析】设log k = x ，则即a + x , a + 1x , a + 1x 成等比数列，22 3(a + 1 x )2 = (a + x )(a + 1x ) 得 x = -4a 或 x = 0 （舍）2 3 进而得到 B 正确.7. cos π cos 2π的值为11 11 A. - 1 16【答案】 DB. - 1 32C. - 1 64 D . 前三个答案都不对【解析】cos 1 π cos 2 π cos 10 π = -(cos 1 π cos 2 π cos 5 )211 11 11 11 11 11 = -(cos 1 π cos 2 π cos 4 π cos 8 π cos 16π )211 11 11 11 112 cos 10π 11ABD E Oz A 325 cos 1 π cos 2 π cos 4 π cos 8 π cos 16 π= ( 11 11 11 11 11 )225 sin 1π11=- 11024，故选 Dz 28.设a 、b 、c 为实数，a , c ≠ 0 ，方程ax 2 + bx + c = 0 的两个虚数根为 z , z 满足1 为实数，2015z k1 22则 ∑ ( 1) 等于 k =0 z 2A. 1【答案】 BB. 0 D . 前三个答案都不对【解析】两个虚数根 z 1 , z 2 一定共轭，不妨设 z 1 = r (cos α + i sin α ), z 2 = r (cos α - i sin α )2则 1= r (cos α + isin 3α ) ，又其为实数，故sin 3α = 0 ，不妨设α = z 2 3zz k2015 z k 1= cos 2α + i sin 2α ⇒ ( 1) = cos 2k α + i sin 2k α ，故 ∑( 1 ) = 0 ，故选 B z 2 z 2 k =0 z 29. 将 12 个不同物体分为 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为A . 34650【答案】 DB .5940C 4 C 4C4C . 495D . 前三个答案都不对【解析】平均分组问题12 8 4 = 5775 ，故选 D 310.设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，D , E 是线段 BC 上的点，F 是BC 延长线上的点， 已知 BF = 4, BD = 2, BE = 5, ∠BAD = ∠ACD , ∠BAF = ∠CAE , 则 BC 的长为A .11【答案】 AB .12C .13D . 前三个答案都不对【解析】因为∠BAD = ∠ACD ，所以 AD ⊥ BC 又因为∠BAF = ∠CAE ，所以∠FAE = ∠BAC =FC故由射影定理知： AD 2= FD ⋅ DE = BD ⋅CD 解得CD = 9 ，故 BC = 11，故选 AC . 3i z π11.两个圆内切于 K ,大圆的弦 AB 与小圆切于 L ，已知 AK : BK = 2 : 5, AL = 10, 则 BL 的长为A .24【答案】 BB .25C .26D . 前三个答案都不对【解析】由弦切角定理得∠EKB = ∠CLK = ∠KAB∠ALK = ∠LCK 故∠CKL = ∠AKL再由角平分线定理得 AK : BK = AL : BL故 BL = 25 ，故选 B12. f (x ) 是一个定义在实数 R 上的函数，满足 2f (x )+f (x 2 -1) = 1, ∀x ∈ R ，则 f (-2) 等于A .0【答案】CB . 12C . 1 3D . 前三个答案都不对【解析】代入 x = 0 得2 f (0) + f (-1) = 1代入 x = -1 得2 f (-1) + f (0) = 1 两式解方程得 f (-1) = 13再代入 x = 得2 f (- 2) + f (-1) = 1 ，解得 f (-2) = 1 ，故选C 313.从一个正9 边形的9 个顶点中选3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是 A .30 【答案】 AB .36C .42D . 前三个答案都不对 【解析】过每个顶点可做4 个等腰三角形，但其中等边三角形只有 3 个， 故4⨯ 9 - 6 = 30 ，故选 A14.已知正整数a ,b , c , d 满足ab = cd , 则a + b + c + d 有可能等于A .101【答案】 BB .301C .401D . 前三个答案都不对【解析】先证明a + b + c + d 为素数 由 ab = cd 得b =cd ，因此aa +b +c +d = a + cd + c + d = (a + c )(a + d )a a因 a + b + c + d 是整数，故 (a + c )(a + d )为整数.若它是一个素数，不妨设为 pa- 2 AKML COm n p m + n + p m n 21 m n p 7 则(a + c )(a + d ) = ap ，可见 p 整除(a + c )(a + d ) ，从而素数 p 整除 a + c 或a + d .不妨设p | (a + c ) ，则a + d ≤a ，这与a ,b ,c ,d 为正整数矛盾，故 p 不为素数. 所有选项中， 301 = 7 ⨯ 43不是素数，故选 B15.三个不同的实数 x , y , z 满足 x 3- 3x 2= y 3- 3y 2= z 3- 3z 2，则 x + y + z 等于A . -1【答案】 DB .0C .1D . 前三个答案都不对【解析】不妨设 x 3- 3x 2= y 3- 3y 2= z 3- 3z 2= m ， 即 x , y , z 为方程x 3 - 3x 2 - m = 0的三个解，由三次函数的韦达定理得 x + y + z = 3 故选 D16.已知a + b + c = 1, 则 + 4b +1+的最大值与最小值的乘积属于区间A .[10，11)【答案】CB .[11，12)C .[12，13)D . 前三个答案都不对【解析】设m = 4a +1, n = 4b +1, p = 4c +1 ，则原题即已知三个非复数m , n , p 满足 m + n + p = 7 ，求 + + 的最大值与最小值由均值不等式得( )2 ≤ m + n + p =7即 + + 3 3 3p ≤ ，当且仅当m = n = p 时等号成立。
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北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析：111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。
2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。
3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。
1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。
若n 只有一个质因数，设n p α=，则(1)2332...5T p p p p n p ααααα+=⋅⋅⋅===⇒=，此时只有质数23p =或满足400n ≤；若n 有两个质因数，设(,)n p q p q αβαβ=≠≥，此时(1)(1)(1)(1)33322T pqn p q ααβββααβ++++===，解得2,1αβ==，即2n p q =：p 取2时q 有24个取值，p 取3时q 有13个取值，p 取5时q 有5个取值，p 取7时q 有3个取值，p 取11时q 有2个取值，p 取13时q 有1个取值； 综上，所求总个数=1+2+24+13+5+3+2+1=51个。
4. 已知复数i z 2sin 1+=θ，θcos 12i z +=，则21221-14iz z iz z -+的最小值为（ ）A. 2B. 22C. 32D. 前三个答案都不对【答案】B解析：21212sin cos 3||10sin 2z iz i z iz θθθ+=-+⇒+=-，1212sin cos ||2sin 2z iz i z iz θθθ-=++⇒-=+，2121214-2sin 2222sin 22sin 22sin 2z iz z iz θθθθ+∴===+≥-+++，取等条件为：2sin 2sin 202sin 2θθθ=+=+。
5. 设A 是不超过2018的正整数组成的集合，对于正整数k ，用k a 表示所有可能的A 中k 个数乘积的倒数之和，则201842...a a a +++的值为（ ）A. 1B.22019 C. 22017D. 前三个答案都不对【答案】C解析：12320181111232019...(1)(1)(1)...(1)1...120181232018122018a a a a ++++=++++-=⋅⋅⋅-=，123201720181111...(1)(1)(1)...(1)111232018a a a a a -+-+-+=-----=-，两式相加即得242018201812017...22a a a -+++==。
6. 已知实数a ,b ,c 成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（-3，2），点N 的坐标为（2，3），过点P 作直线ax +by +c =0的垂线，垂足为点M ，则M,N 间的距离的最大值与最小值的乘积是（ ）A. 10B. 26C. 24D. 前三个答案都不对【答案】A解析：由等差中项性质得2a c b +=，可见直线ax +by +c =0过定点(1,2)Q -，设垂足00(,)M x y ，则22000(1)8PM QM PM QM x y ⊥⇔⋅=⇒++=，即点M 在圆T ：22(1)8x y ++=上，点N 到圆心T 的距离||32NT =max min ||||(||22)(||22)10MN MN NT NT ⋅=+-=。
7. 设2018212018,21,...,,...,,b b b a a a 是4036个实数，201821,...,,a a a 互异，满足对任意的i ）（20181≤≤i 都有122018()()...()i i i a b a b a b +++=2018，则对任意的j ）（20181≤≤j))...()((201821j j j b a b a b a +++的值为（ ）A. 2018B. -2018C. 不能确定D. 前三个答案都不对【答案】B解析：由12201812018,()()...()2018i i i i a b a b a b ∀≤≤+++=恒成立可得：122018122018()()()...()2018()()...()f x x b x b x b x a x a x a =+++-=---，上式两边令j x b =-即得122018()()...()2018j j j a b a b a b +++=-。
8. 用[x]表示不超过实数x 的最大整数，例如[π]=3,[-π]= -4. 设n 为正整数，用n a 表示当[)n x ,0∈时，函数]][[)(x x x f =的值域中的元素的个数，则使得n a n 2018+最小的n 的取值为（ ） A. 63 B. 1009 C. 2018D. 前三个答案都不对【答案】A解析：令(01,01)x k r k Z k n r =+∈≤≤-≤<且，当0k =时[]0x x =；1k ≥时，则22[]()k x x k r k k k ≤=+<+，[]x x 有k 个取值；(1)112 (112)n n n a n -∴=++++-=+， 所以220184038140381(1)(240381)222n a n n n n n n +-+==+-≥-，当[4038][4038]1n =+或时n a n 2018+最小，而[4038]63=，6364201820186364a a ++>，故n =64时最小，选D 。
9. 已知ABC ∆的面积为1，D,E 分别为边BC,CA 上的点，且BC BD 31=,CA CE 31=,AD 和BE 交于点P ，则四边形PDCE 的面积是（ ）A.92B.72 C. 218 D. 前三个答案都不对【答案】B 解析：12()()(1)33AP AB BP AB BE AB BC CE AB AC AB AC AB AC λλλλλ=+=+=++=+--=-+，又1121()3333AP AD AB AC AB AB AC μμμμ==+-=+。
比较两式得37λ=，所以316612737737PDCE BCE BDP BCE BCE BCE ABC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=-=-⋅⋅==⋅=。
10. 设实数x ,y 满足14522=+y x ，则12122222+-+++-+x y x y y x 的最小值为（ ） A. 52 B. 2-52 C. 2-52 D. 前三个答案都不对【答案】C解析：22222121x y y x y x +-++-+14522=+y x 上动点(,)M x y 到定点(0,1)N 与定点(1,0)F 的距离之和，F 为椭圆右焦点，设左焦点为'(1,0)F -，则22222121||||2|'|||x y y x y x MF MN a MF MN +-++-+=+=-+2|'|252a F N ≥-=11. 设关于x 的方程01222=+---ax a x a x 有3个互不相同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)∞+，1 B. (]1--，∞ C. [)(]1,00,1⋃- D. 前三个答案都不对 【答案】D解析：222222210()210()21x a x a ax x a a x a a x a a a ---+=⇔---+-=⇔--=-，2221021a x a a a ⎧-≥⎪∴⎨-=-⎪⎩，要使原方程有三个互不相等实根，则222210210210a a a a a ⎧->⎪⎪+->⎨⎪--=⎪⎩或222210210210a a a a a ⎧->⎪⎪+-=⎨⎪->⎪⎩，解得1a =，故选D 。
12. 把正整数中的非完全平方数从小到大排成一个数列{}(1)n a n ≥，例如，21=a ，32=a ，53=a ，64=a ，…，则2018a 的值为（ ）A. 2061B. 2062C. 2063D. 前三个答案都不对【答案】C解析：222441936,452025,462116===，即小于2018的数中共有44个完全平方数，所以20184419742018a a -==，201820184412063a ∴=++=（2025是完全平方数，不在该数列中）。
13. 15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（ ）A. 1820B. 450C. 360D. 前三个答案都不对【答案】B解析：从15人中任选4人的方法总数为415C ：若选出的4个人刚好顺序相邻，情况种数=15；若选出的4人中有3人顺序相邻，其余1人与他们隔开，情况种数=1510150⨯=；若选出的4人可分成两两一组，其中每组内部两人相邻，但整体两组不相邻，情况种数=1015752⨯=；若选出的4人中只有两人相邻，其他两人跟他们彼此不相邻，情况种数=15(987...1)675⨯++++=。