第36-37课时：第四章 三角函数——数学巩固练习(4)

高三数学巩固练习题（四）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的答案填在后面的表格中）1．已知4(,0),cos ,tan 225x x x π∈-==则A ．247B ．247-C ．724D ．724-2．函数R x y 是)0)(sin(πϕϕ≤≤+=上的偶函数，则ϕ= A ．0B ．4πC ．2π D ．π3．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，方程()0f x =的解集为M ，且M 中有有限个元素，则A ．M 可能是∅B ．M 中元素个数是偶数C.M 中元素个数是奇数D.M 中元素个数可以是偶数，也可以是奇数 4．甲、乙两人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车速度均比跑步速度快．若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图①~④中的某一个来表示，则甲、乙两人的图象只可能分别是A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 5．等比数列{}n a 的首项11a =-,前n 项和为,n S 若3231510=S S ，则公比q 等于 A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 6．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C CA ．3B ．31C ．61D ．67．数列{}n a 的通项公式是32(1)(32)2n n n n n n a ----++--=()n N *∈，则12lim()n n a a a →∞+++ 等于A ．1124B ．1724C ．1924D ．25248．给定正数,,,,p q a b c ，其中p q ≠，若,,p a q 成等比数列，,,,p b c q 成等差数列,则一元二次方程220bx ax c -+=A ．无实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的相异的实数根D ．有两个异号的相异的实数根9．已知函数21()()2x x f x e e e-=+(1x <,且e 为大于1的常数），则A ．1113()()22f f --<B ．1113()()22f f -->C ．113()(2)2f f --<D ．113()(2)2f f -->10．若()(),f x f x π+=-且()()f x f x -=,则()f x 可以是 A.sin 2x B.cos x C.sin x D.sin x11．设322cos =θ，则θθ44cos sin +的值是__________________； 12．设正数数列{a n }前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对所有自然数n ，有2nn a t tS +=，则通过归纳猜测可得到S n = n 2t . 13．如果)4(,41)4(,52)(παπββα+=-=+tg tg tg 那么的值是223 ．14．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对某特定型号的彩电降价，现有四种降价方案：方案①：先降价%a ，再降价%b ； 方案②：先降价%b ，再降价%a ；方案③：先降价%2b a +，再降价%2ba +；方案④：一次性降价()%a b +。

其中0a >，0b >，且a b ≠。

上述四种方案中，降价幅度最小的是方案________③_____________.三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分8分）已知)2,0(,πβα∈ 且满足)cos(sin sin βααβ+=. （1）求证αααβ2sin 1cos sin tan +=；（2）求βtan 的最大值，并求当βtan 取得最大值时，)tan(βα+的值.解：（1）βαβααββααβsin sin cos cos sin sin ),cos(sin sin 2-=∴+=2分 βαααβββαααββtan sin cos sin tan ,cos sin sin cos sin cos sin 22-=-=∴即 4分 αααβ2sin 1cos sin tan +=∴5分 （2）1tan 2tan cos sin 2cos sin sin 1cos sin tan 2222+=+=+=αααααααααβ7分0tan ),2,0(>∴∈απα221tan 1tan 21tan ≤+=∴ααβ 9分当且仅当22tan ,tan 1tan 2==ααα即取最大值，最大值为42221=此时2tan tan 1tan tan )tan(=-+=+βαβαβα12分16．（本小题满分8分）已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=。

（Ⅰ）求证：B A tan 2tan =；（Ⅱ）设3AB =，求AB 边上的高。

（Ⅰ）证明：,51)sin(,53)sin(=-=+B A B A.2tan tan 51sin cos ,52cos sin .51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴B A B A B A B A B A B A B A 所以.tan 2tan B A =（Ⅱ）解：ππ<+<B A 2 ，,43)tan(,53)sin(-=+∴=+B A B A 即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ，将B A tan 2tan =代入上式并整理得 .01tan 4tan 22=--B B解得262tan ±=B ，舍去负值得262tan +=B ， .62tan 2tan +==∴B A 设AB 边上的高为CD.则AB=AD+DB=.623tan tan +=+CDB CD A CD 由AB=3，得CD=2+6. 所以AB 边上的高等于2+6.17．（本小题满分10分）对于函数)(x f ，若存在∈0x R ，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点，如果函数∈-+=c b cbx ax x f ,()(2N *)有且只有两个不动点0，2，且21)2(-<-f .（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列}{n a 满足1)1(4=⋅nn a f S ，求数列通项n a ；（3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证当2≥n 时，恒有3<n a 成立.解：（1）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+⇒=++-⇒=-+b ab c a cx x b x c bx a x 1021020)1(22⎪⎩⎪⎨⎧+==∴210c b a c x c x x f -+=∴)21()(2 2分 由32112)2(<⇒-<+-=-c c f 又*∈N c b ,， )1()1(2)(,,22≠-=∴==∴x x x x f c b c 4分 （2）由已知211122,2----=∴-=⇒n n n n n n a a S a a S相减得0)1)((11=+-+--n n n n a a a a 6分 1,11-=--=∴--n n n n a a a a 或当n=1时，1212111-=⇒-=a a a a ，若1,21=-=-a a a n n 则这与1≠n a 矛盾，,11-=-∴-n n a a n a n -=∴ 9分（3）由⇒=+)(1n n a f a 2121)211(21222121≤+--=⇒-=++n n n n n a a a a a ， 2011≥<∴++n n a a 或 11分 若3,011<<++n n a a 则成立； 若0)1(2)2(,211≤---=-≥++n n n n n n a a a a a a 则}{n a ∴在2≥n 时单调递减.3824242221212=-⨯=-=a a a ，可知3382<=≤a a n ，在2≥n 时成立14分18．已知一个数列{}n a 的各项是1或3．首项为1，且在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个3，即1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1，…．记数列的前n 项的和为n S ． （Ⅰ）试问第2004个1为该数列的第几项？ （Ⅱ）求2004a ； （Ⅲ）2004S ；（Ⅳ）是否存在正整数m ，使得2004n S =？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．解：将第k 个1与第k +1个1前的3记为第k 对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（2×2-1）=4项；)3,,3,3,3,1(312个共-k 为第k 对，共1+（2k-1）=2k 项；…．故前k 对共有项数为2+4+6+…+2k =k (k +1)． （Ⅰ）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013（项）．（Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004项在第45对内，从而a 2004=3． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S 2004=45+3×1959=5922．（Ⅳ）前k 对所在全部项的和为 S k (k +1)=k +3[k (k +1)-k ]=3k 2+k ．易得，S 25(25+1)=3×252+25=1900，S 26(26+1)=3×262+26=2054，S 651=1901，且自第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m ，使S m =2004．已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数k ，对任意x ∈D (D 为函数的定义域)，等式f (kx )=2k+f (x )成立．（Ⅰ）一次函数f (x )= ax +b （a ≠0）是否属于集合M ？说明理由；（Ⅱ）设函数f (x )=x a log （a ＞1）的图象与y =x 的图象有公共点，试证明： f (x )=x a log ∈M ．（Ⅰ）若一次函数f (x )∈M ，即存在非零常数k ，使得等式akx +b =2k+ ax +b ，也就是a (k-1)x =2k成立．显然对于任意x ∈D =R ，a (k-1)x =2k不能恒成立，故f (x )= ax +b ∉M ．（Ⅱ）如图，设函数f (x )=x a log （a ＞1）的图象与函数y =x 的图象的公共点为B (t ，t )，则显然t ＞1．在x ∈(1，t )上，函数f (x )=x a log （a ＞1）有定义，故在函数f (x )=x a log （a ＞1，x ∈(1，t )）的图象即弧AB 上，必存在点C （k ，2k ），使等式2log k k a =成立，其中1＜k ＜t ．于是，f (kx )=)(2log 2log log log x f kx k x k kx a a a a +=+=+=，故f (x )=x a log ∈M ．第21题答图。