第17章 一元二次方程
第17章 一元二次方程(知识清单+典型例题)(原卷版)
第17章 一元二次方程（知识清单+典型例题）【知识导图】【知识清单】1.一元二次方程的概念一元二次方程2(0)0a x bx c a ìïíï=¹î++一个未知数2整式方概念：只含有，且未知数的一程最高次数是的.般式：C ．()()513x x -+=D ．()212y x =-+【变式】方程25610x x --=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）A ．5，6-，1-B ．5，6，1C ．1，6-，1D ．1，6，1-2.一元二次方程的解法解法2212,0(0)0,0a c x ax c a x x c c x a a c ì=ïïï+=¹Þ=íï===ïïîìíî-开平方法无实数根因式分解法一次因式积零异号时，：形如：的方程同号公时，；时，：把一元二次方程分解成两个等于的形式，分别令两个一次因式为零求解。
把常数项移到方程右边；把二次项系数化为；方程两边都加上：半；左边配成配方法一次项系数一的平方完程全平方式①②1③④.24b ac x ìïïïïïïïïïíïïïïìïïD ==ïíïïîïïî-式：化成一般式；计算判别式法；①②③【例2】解下列方程：(1)22(1)18x -=．(2)2450x x --=．【变式】解下列方程：(1)()()273273x x +=+；(2)2640x x --=．3.一元二次方程的判别式000.D >ÛìïD ÛíïD <Ûî两个不相等两个方程有的实数根；＝方程有的实数根；方实数根没有程相等【例3】（2023上·上海金山·八年级校考期中）下列方程是关于x 的一元二次方程，一定有实数解的是（ ）A ．220x x ++=B ．220x x m ++=C ．2230x x -+-=D ．2240x x --=4.二次三项式的因式分解：步骤：21212220(0),()()40ax bx c a a x x a x x x c x b ac x bx ì-³ïí++=ï++=¹--î如果，先求出方程，再写出分解式：的两根①②5.一元二次方程的应用题一般步骤：ìíî找出题中的；设；列出，即根据找出的等量等量关系未知数方程含有未知数的等关系列出；解方作式检程；。
17章一元二次方程的解法专题复习
程用直接开平方法求解
1. 方程4x2－25＝0的解为C ( )
A．x＝ 2
B．x＝ 5
5
2
C．x＝5
2
D．x＝2
5
2. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其
中无实数解的方程为( C )
A．x2－5＝5
B．－3x2＝0
C．x2＋4＝0
D．(x＋1)2＝0
类型2 当二次项系数为 1 ，且一次 项系数为偶数时，用配方法求解.
解：经验证 x 0不是方程的根，原方程 两边同除以 x2 得6x2 35x 62 35 x
设 y＝x＋1x，则 x2＋x12＝y2－2， 原方程可变为 6(y2－2)－35y＋62＝0. 解得 y1＝52，y2＝130. 当 x＋1x＝52时，解得 x1＝2，x2＝12； 当 x＋1x＝130时，解得 x3＝3，x4＝13. 经检验，均符合题意． 原方程的解为 x1＝2，x2＝12，x3＝3，x4＝31.
(3)x2 2x 339 0; 配方法
(4)(2x 1)2 3(2x 1). 因式分解法
(5)5x2 17 x 0 因式分解法
(6)(2x 1)2 4(3x 2)2 0 因式分解法
(7)40 x 2
600 x
640
0 化去系数的最大公因 数,再用因式分解法
(8)(x 8)2 16(x 8) 64 0 用整体完全 平方公式
(6) x2 1 0 7
2、若关于x的方程
(m 1)xm21 (m 2)x 3 0
（1）是一元二次方程, 则m的取值范围是什么
（２）是一元一次方程, 则m的取值范围是什么?
一般地，任何一个一元二次方程经过整理，____b_x____c_____0______（其中____≠0 ）
第17章 一元二次方程(整理与复习)
ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0）
二次项 常数项
判别一个方程是 一元二次方程的 重要条件！
a为二次项系数 一次项 b为一次项系数
3、一元二次方程的解法
直 接 开 平 方 法 配 方 0) 当b 2 4ac 0时，它的根是 b b 2 4ac x 2a
解法
因式分解法 最常用的方法是因式分解法； 比较
最通用的方法是公式法；
最具有局限性的方法是直接开平方法； 最繁琐的方法是配方法.
4、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax
2
bx c 0a 0 根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程 判别式的情况
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
(400 x)(8 4 x) 4800 50
2
2.若关于x的方程 (a 2) x a 则a= -2 。
2
2
2 x 5 0 是一元二次方程，
点拨：由题意知a2-2=2且a-2≠0.解得：a=-2
类型二：解法类问题（解方程）
例3 用配方法解方程： 2x2-3X=2
解：化二次项系数为1 3 x2 x 1 2 3 3 3 x 2 x ( ) 2 1 ( ) 2 2 4 4 3 25 (x )2 4 16 3 5 x 4 4 1 x1 2, x 2 2
2
的两个实数根的平方和为23，求m的值。
类型五：应用类问题（面积问题）
例7 用7m长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD的面积） 为2 m2的“日”型窗框（2AB>3BC)，求窗框的宽度？（铝 合金的宽度忽略不计）
《第17章 一元二次方程》测试题
第17章 一元二次方程测试题姓名：__________ 得分：________一、选择题（每题3分，共30分）1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ）A ．a ＞0B ．a ≠0C ．a ＝0D ．a ≥02．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）A ．522=-x xB ．5422=-x xC ．542=+x xD ．522=+x x3．方程x x x =-)1(的根是（ ）A.2=xB. 2-=xC. 0,221=-=x xD. 0,221==x x4．下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ）A ：2210x y --=B ：2230x x --=C ：0)7(2=+-x x xD ：02=++c bx ax5．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是( )A 、有两个不相等实数根B 、没有实数根C 、有两个相等的实数根D 、不能确定6．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．225003600x =B ．22500(1)3600x +=C ．22500(1%)3600x +=D ．22500(1)2500(1)3600x x +++=7．等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的两个根，则这个三角形的周长是（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ． 不能确定8．一元二次方程22(32)(1)0x x x --++=化为一般形式为（ ）A ：2550x x -+=B ：2550x x +-=C ：2550x x ++=D ：250x +=9、当c a 、异号时，一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根 D. 不确定10.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6二、填空题（每空3分，共30分）11．已知关于x 一元二次方程02=++c bx ax 有一个根为1，则=++c b a12．当代数式532++x x 的值等于7时，代数式4932-+x x 的值是 ；13．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．14．若一三角形的两边长满足方程2680x x -+=，则其周长c 的取值范围是________．15．某工厂计划从2008年到2010年间，把某种产品的利润由100元提高到121元，设平均每年提高的百分率是x ，则x =_________________．16．若(2)1(1)210m m m x mx +--+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．17. 如果二次三项式432++x ax 在实数范围内不能分解因式，那么a 的取值范围是 .18. 若方程052=++ax x 的两根均是整数，则a = _____________（写出所有情况）19. 若多项式223x ax a -+-是一个完全平方式，则a =20. 把一元二次方程23230x x --=化成23()x m n +=的形式是 ；三、解答题21．解方程（每题5分，共20分）（1）0342=--x x （2）062=--x x3）0)3(2)3(2=-+-x x x （4）2299990x x --=22．解关于x 的方程：ax 2+c=0(a ≠0)．（8分）23.已知：关于x 的方程2210x kx +-=，求证：方程有两个不相等的实数根.（5分）24. 在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中5a=，若关于x的方程()2260+++-=有两个相等的实数根x b x b．．．．．．．．．，求△ABC的周长．（8分）25.如图，某农户发展养禽业，准备利用现有的34米长的篱笆靠墙AB（墙长为25米）围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，这个养鸡场的长和宽各是多少？（10分）AB26、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（8分）27、在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/m2下降到5月分的12600元/ m2。
第十七章_一元二次方程知识点
第十七章 一元二次方程知识点第一节 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节 一元二次方程的解法知识点1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±mx+n ）2=p（p ≥0），那么mx+n=±因式分解法知识点2 一般的一元二次方程的解法1． 配方法：解方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的一般步骤是：2.一元二次方程的求根公式问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．3 .一元二次方程根的判别式求根公式：b 2-4ac>0以一元一次方程的x 1=2b a -x 1=2b a-，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -，x 2=2b a -．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．第三节一元二次方程的应用知识点1二次三项式的因式分解1、二次三项式形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则．从而得到二次三项式因式分解公式：ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)条件对于二次三项式当△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)即可．说明：(1)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．(2)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．(3)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．1、二次三项式的因式分解例1、；(2)－4y2＋8y－1．分析：这两个二次三项式都需要用公式法分解因式．解：(1)方程的根是(2)方程－4y2＋8y－1=0的两根是点拨：(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“－4”．(3)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化，要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变．2、形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解例2、分解因式5x2－2xy－y2分析：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式Ax2＋Bxy＋Cy2看作二次三项式来分解，如本题可看作关于x的二次三项式，其中a=5，b=－2y，c=－y2．解：关于x的方程5x2－2xy－y2=0的根是．．点拨：本题将y视为常数，是利用公式法分解因式的需要，即把x视为主元，称为“主元法”，这样便于用公式解题．例3、分解因式3x2y2－10xy＋4；分析：将3x2y2－10xy＋4转化为关于xy为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解．解：关于xy的方程3(xy)2－10xy＋4=0的根是，．3、二次三项式因式分解的灵活运用例4、二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？分析：(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根，即△=b2－4ac≥0；(2)不能分解的条件是△＜0；(3)△=0时，二次三项式是完全平方式．解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k(1)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；(3)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．当时，例5、已知二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式，试求m的值．分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式△=0．解：对于二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2，其中a=9，b=－(m＋6)，c=m－2，∴△=b2－4ac=[－(m＋6)]2－4×9×(m－2)=m2－24m＋108．∵原二次三项式是一个完全平方式，∴△=0，即m2－24m＋108=0，解得m1=6，m2=18．故当m=6或m=18时，二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式．点悟：解题规律是：若b2－4ac=0，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)是完全平方式；反之，若ax2＋bx ＋c(a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0．知识点2 实际应用。
沪科版2018八年级(下册)数学第十七章一元二次方程 全章课件
第17章 一元二次方程
你学过的方程类型有哪些？试举例说明。 1.一元一次方程 5 2.二元一次方程
4
3.三元一次方程
（1）某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为 100t，计划2011年无公害蔬菜产量比2009年翻一 番（即200t），要实现这一目标，2010年和2011 年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 分析：设这个增长率为x，根据题意得
(1)5 x 10; (3) x 160;
2
(2)9 x 4 x 6 1 2 (4) y 0 y
2
(5)3 x y 6; (7)ax 4 x 0
2
(6)4 x 6 x 3x 4 x
2
2
提示：（1）都是整式方程， （2）只含有一个 未知数 ， （3）未知数的最高次数是 2。
20 32
x
若设小路的宽是xm， 那么横向小路的面积为 32x 2，纵向小路的面积 ____m 是 2×20x m2,两者重叠的 面积是 2x2 m2.由于花坛 的总面积是570m2， 根据题意，列出方程
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 整理以上方程可得： x2-36x＋35=0 （4 ）
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0
4.将下列方程写成一般形式，并分别指出它们的二次 项系数、一次项系数和常数项：
(1) x 5 x 7
2
(2)6 y 6 y
2
(3)( x 2)( x 3) 1
x 4 ( x 2)
2 2
2
2）（x-2）(x+3)=8
第17章 一元二次方程单元练习题(含答案)
第17章一元二次方程练习题1 一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( )A ．(x －3)2＝14B ．(x －3)2＝4C ．(x ＋3)2＝14D ．(x ＋3)2＝42一元二次方程x 2＋2x ＋1＝0的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根3下列一元二次方程没有实数根的是( )A ．x 2＋2x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋2＝0C ．x 2－1＝0D ．x 2－2x －1＝04. 若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋k ＝0有两个相等的实根，则k 的值为( )A ．k ＝－4B ．k ＝4C ．k ≥－4D ．k ≥45 若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－43D .436 已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx －8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m 的值分别为( )A ．4，－2B ．－4，－2C ．4，2D ．－4，27 有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A .12x (x －1)＝45B .12x (x ＋1)＝45 C ．x (x －1)＝45 D ．x (x ＋1)＝458 若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或49若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，则x 12－x 1＋x 2的值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．310 已知M ＝29a －1，N ＝a 2－79a (a 为任意实数)，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M ＜N B ．M ＝N C ．M ＞N D ．不能确定11 若x 0是方程ax 2＋2x ＋c ＝0(a ≠0)的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝(ax 0＋1)2，则M 与N 的大小关系正确的为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定12 方程x 2－3＝0的根是________．13若方程2x －4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为________．14 某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x ，根据题意可列方程为________________．15 已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________．16] 若一个三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x 2－13x ＋40＝0的根，则该三角形的周长为________．17 若关于x 的一元二次方程x 2＋6x ＋k ＝0有两个相等的实数根，则k ＝________．18若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________．19．如果关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________．20] 某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．21设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________．22解方程：x2－2x＝4.23定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程2x2－bx＋a＝0的根的情况．24已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．25.已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果方程的两个实数根为x 1，x 2，且2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，求m 的取值范围．26 一幅长20 cm 、宽12 cm 的图案，如图17－Y －1，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm ，图案中三条彩条所占面积为y cm 2.(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．图17－Y －127某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品的进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件．为使两次降价销售的总利润不少于3210元，则第一次降价后至少要售出该种商品多少件？参考答案1．A2．B3．B [解析] A ．Δ＝22－4×1×1＝0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B ．Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C ．Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D ．Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误．4．B 5.D 6.D 7.A8．C [解析] 将x ＝－2代入方程x 2＋32ax －a 2＝0，得4－3a －a 2＝0，即a 2＋3a －4＝0，左边分解因式得(a －1)(a ＋4)＝0，∴a －1＝0，或a ＋4＝0，解得a ＝1或－4.9．D [解析] ∵x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－b a＝2，x 1x 2＝c a＝－1.x 12－x 1＋x 2＝x 12－2x 1－1＋x 1＋1＋x 2＝1＋x 1＋x 2＝1＋2＝3. 10．A [解析] ∵M ＝29a －1，N ＝a 2－79a (a 为任意实数)，∴N －M ＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34，N －M >0，∴N ＞M ，即M ＜N . 11．B [解析] ∵x 0是方程ax 2＋2x ＋c ＝0(a ≠0)的一个根，∴ax 02＋2x 0＋c ＝0，即ax 02＋2x 0＝－c ，则N －M ＝(ax 0＋1)2－(1－ac )＝a 2x 02＋2ax 0＋1－1＋ac ＝a (ax 02＋2x 0)＋ac ＝－ac ＋ac ＝0，∴M ＝N .12．x 1＝3，x 2＝－ 313．－314．10(1＋x )2＝1315．616．1217．918．m ＞1219．k ＞－94且k ≠0 20．10%21．2016 [解析] ∵m 为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的实数根，∴m 2＋2m －2018＝0，即m 2＝－2m ＋2018，∴m 2＋3m ＋n ＝－2m ＋2018＋3m ＋n ＝2018＋m ＋n ，∵m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，∴m ＋n ＝－2，∴m 2＋3m ＋n ＝2018－2＝2016.22．解：配方x 2－2x ＋1＝4＋1，∴(x －1)2＝5，∴x ＝1±5，∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.23．解：∵2☆a 的值小于0，∴22a ＋a ＝5a ＜0，解得a ＜0.在方程2x 2－bx ＋a ＝0中，Δ＝(－b )2－8a ≥－8a ＞0，∴方程2x 2－bx ＋a ＝0有两个不相等的实数根．24．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m ＋1)2－4×1×(m 2－1)＝4m ＋5＞0，解得m ＞－54. (2)m ＝1，此时原方程为x 2＋3x ＝0，即x (x ＋3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.(答案不唯一，正确即可)25．解：(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m ＋1)≥0，解得m ≤4.(2)根据题意得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝2m ＋1，而2x 1x 2＋x 1＋x 2≥20，所以2(2m ＋1)＋6≥20，解得m ≥3，由(1)可得m ≤4，所以m 的范围为3≤m ≤4.26．解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为32x cm ， ∴y ＝20×32x ＋2×12x －2×32x ·x ＝－3x 2＋54x ， 即y 与x 之间的函数表达式为y ＝－3x 2＋54x .(2)根据题意，得－3x 2＋54x ＝25×20×12， 整理，得x 2－18x ＋32＝0，解得：x 1＝2，x 2＝16(舍去)，∴32x ＝3， 答：横彩条的宽度为3 cm ，竖彩条的宽度为2 cm .27．解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x %，依题意得400×(1－x %)2＝324，解得x ＝10或x ＝190(舍去)．答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m )件， 第一次降价后的单件利润为400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为324－300＝24(元/件)．依题意得60m ＋24×(100－m )＝36m ＋2400≥3210.解得m ≥22.5.∴m ≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．。
沪科版八年级下册数学第17章 一元二次方程含答案
沪科版八年级下册数学第17章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（）A.18元B.36元C.64元D.80元2、关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A.k≤1B.k＞1C.k=1D.k≥13、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（）A.-1B.0.5C.-1或-2D.-1或0.54、关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A.a＜0B.a＞0C.a＜D.a＞5、已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1， x2，则代数式的值是（）A.2011B.2012C.2013D.20146、将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B. C. D.7、方程2x（x+6）=5（x+6）的解为（）A.x=﹣6B.x=C.x1=﹣6，x2= D.x1=6，x2=﹣8、用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0，下列配方结果正确的是（）A.（x﹣6）2＝41B.（x﹣3）2＝14C.（x+3）2＝14D.（x﹣3）2＝49、一元二次方程x2﹣3x=﹣2的解是（）A.x1=1，x2=2 B.x1=﹣1，x2=2 C.x1=﹣1，x2=﹣2 D.方程无实数解10、下列各式的变形中，正确的是( )A.(－x－y)(－x＋y)＝x 2－y 2B. －x＝C.x 2－4x＋3＝(x－2) 2＋1D.x÷(x 2＋x)＝＋111、使得关于x的一元二次方程x2+3x+k=0无实数根的最小整数k的值为（）A.4B.5C.6D.712、一元二次方程4x2－45＝31x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.4、－45、31B.4、31、－45C.4、－31、－45D.4、－45、－3113、方程3x2－x+ =0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）A.3B.－C.D.－914、把方程x2﹣4x﹣6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）A.（x﹣4）2=6B.（x﹣2）2=4C.（x﹣2）2=0D.（x﹣2）2=1015、关于x的一元二次方程（a≠0），下列命题：①若a、c异号，则方程必有两个不相等的实数根；②若，则方程有一个根为-2；③若方程的两根互为相反数，则；④若，则方程有两个不相等的实数根.其中真命题为（）A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④二、填空题(共10题，共计30分)16、设α、β是方程x2-x-2018=0的两根，则α3+2019β-2018的值为________．17、若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．18、设x1， x2是方程5x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则的值为________．19、若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．20、已知，方程的两根，那么的值是________.21、某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为________．22、如果(x-4)2=9，那么________。
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知识点 列一元二次方程解应用题
1.平均增长率(降低率)问题; 2.销售利润问题; 3.几何问题; 4.动点问题 .
知识点 可化为一元二次方程的分式方程的应用
《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,其第四章“少广”说 的是已知正方形的面积反求边长等知识,在运算中,要把算筹摆放几 层,相当于用分离系数法列出与解出二次方程等,开辟了求高次方程 的途径.
学科素养课件
新课标沪科版·数学 八年级下
第17章 一元二次方程
17.1 一元二次方程
知识点 一元二次方程的概念
我国是世界上最早研究一元二次方程的国家之一,在《九章算术》 “勾股”章里就有求方程x2+34x-71000=0的正根才能解答的题目.
知识点 一元二次方程的一般形式
在阿尔·花剌子模的《代数学》中讨论到方程的解法,解出 了一次、二次方程,其中涉及六种不同的形式,令a,b,c为正 数,重点论述怎样解方程.这本书的拉丁译本取名为《对消 与还原》.对消:顾名思义,就是将方程中各项成对消除的意 思,相当于现代解方程中的“合并同类项”.还原:就是把方程 转换成左边各项都含有未知数,右边各项都不含未知数的形 式,相当于现代解方程中的“移项”.
(1)当系数a,c异号时,一元二次方程一定有两个不相等的实数根. (2)Δ=0时,一元二次方程一定可以化成左边完全平方、右边等于0 的形式.
第17章 一元二次方程
*17.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识点 一元二次方程根与系数的关系
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系.法国数学家弗 朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程 根与系数的关系,提出了这条定理.由于韦达最早发现代数方程的根 与系数之间有这种关系,故人们把这个关系称为韦达定理.
相似.
知识点 公式法解一元二次方程
这个成果比印度数学家婆罗摩笈多在公元七世纪提出的一元二次方程求根 公式要早许多年.我国在《九章算术》的“勾股章”中,也涉及一元二次方程的 普遍解法.在欧洲,过了一千多年才由法国数学家获得类似的结果.
知识点 因式分解法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程的根据:若a·b =0,则 a=0或b=0.如:要剪一块面 积为150 cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5 cm,求长方形的长x,可列方程 x(x-5)=150,即x2-5x-150=0,则(x-15)(x+10)=0,解得x=15.这正是运用了因式分 解法解方程,可看出利用因式分解可以简化很多计算过程.
知识点 配方法解一元二次方程
最早的“配方法”很可能是由古希腊数学家海伦给出的,与古希腊的
“传统”的几何法不同,海伦使用了“纯代数”的方法解形如ax2+bx=c
的方程.按现代表述方式,其过程如下:第一步,方程两边同时乘a,得
a2x2+abx=ac;第二步,方程两边同时加上
,得a2x2+abx+
=ac+ ;第三步,把方程两边都写成完全平方的形式;第四步,对
第17章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
知识点 直接开平方法解一元二次方程
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸莎草文书. 这是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作,它于 公元前1700年左右写成,这本书中记载了许多有关数学的问题, 也涉及最简单的一元二次方程,例如:ax2=b.
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1.已知方程的一个根,求另一个根和未知系数. 2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值. 3.已知方程的两个根求原来的方程.
第17章 一元二次方程
17.5 一元二次方程的应用
知识点 列一元二次方程解应用题
读诗词解题: 大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英才两位数.十 位恰小个位三,个位平方与寿符.哪位学子算得快,多少年华属周瑜? 我们可以通过列方程,算出周瑜去世时的年龄.
方程两边开方.(当时只取了正数)
知识点 公式法解一元二次方程
一元二次方程的求根公式是中国最早得出的.中国古代数学家赵爽,在对中国
古典天文著作《周髀算经》做注释时,写了一篇有很高科学价值的《勾股圆
方图》的注文,在此文中,赵爽在讨论一元二次方程
时,用到
了以下的求根公式:
这个公式与我们今天采用的求根公式很
知识点 因式分解法解一元二次方程
分解因式常用的方法有提公因式法和公式法.
知识点 根据方程的特征灵活运用一元二次方程的各种解法
在公元前4,5世纪时,古中国已掌握了一元二次方程的求根公式.韦达 (1540~1603)除已知一元方程在复数范围内恒有解外,还给出根与系数 的关系.我国数学家还在方程的研究中应用了内插法.如公元前1世纪 左右的《九章算术》中的“盈不足术”即相当于一次差内插。
知识点 一元二次方程的根
在公元前两千年左右,一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人 的泥板文书中:求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.
知识点 根据实际问题列一元二次方程
《九章算术》采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实 践有联系的应用问题.这些问题依照性质和解法分别隶属于方 田、粟米、衰(音cuī )分、少广、商功、均输、盈不足、方程 及勾股.
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
知识点 一元二次方程根的判别式
英国著名科学家牛顿(1642~1727)在其《普遍的算术》中指出,判别 式等于0、大Байду номын сангаас0及小于0分别表示该方程具有相等实根、不等实根 和无实根.
知识点 一元二次方程根的判别式
不解方程判定一元二次方程根的情况.
知识点 一元二次方程根的判别式