模型组合讲解——类平抛运动模型

模型组合讲解——类平抛运动模型
邱爱东
［模型概述］
带电粒子在电场中的偏转是中学物理的重点知识之一，在每年的高考中一般都与磁场综合，分值高，涉及面广，同时相关知识在技术上有典型的应用如示波器等，所以为高考的热点内容。

［模型讲解］
例. （2005年常州调研）示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形，它的工作原理可等效成下列情况：如图1（甲）所示，真空室中电极K发出电子（初速不计），经过电压为U1的加速电场后，由小孔S沿水平金属板A、B间的中心线射入板中。

板长为L，两板间距离为d，在两板间加上如图1（乙）所示的正弦交变电压，周期为T，前半个周期内B板的电势高于A板的电势，电场全部集中在两板之间，且分布均匀。

在每个电子通过极板的极短时间内，电场视作恒定的。

在两极板右侧且与极板右端相距D处有一个与两板中心线（图中虚线）垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交。

当第一个电子到达坐标原点O时，使屏以速度v沿负x方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回到初始位置，然后重新做同样的匀速运动。

（已知电子的质量为m，带电量为e，不计电子重力）求：
（1）电子进入AB板时的初速度；
（2）要使所有的电子都能打在荧光屏上（荧光屏足够大），图1（乙）中电压的最大值U0需满足什么条件？
（3）要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置？
x 坐标系中画出这个波形。

计算这个波形的峰值和长度，在如图1（丙）所示的y
图1（丙）
解析：（1）电子在加速电场中运动，据动能定理，有
m
eU
v
mv
eU1
1
2
1
1
2
2
1
=
=，。

（2）因为每个电子在板A、B间运动时，电场均匀、恒定，故电子在板A、B间做类平抛运动，在两板之外做匀速直线运动打在屏上，在板A、B间沿水平方向的分运动为匀速运动，则有：t
v
L
1
=
竖直方向，有2
2
1
'at
y=，且
md
eU
a=，联立解得：
2
1
2
dv
2
'
m
eUL
y=
只要偏转电压最大时的电子能飞出极板打在屏上，则所有电子都能打在屏上，所以：
2
1
2
2
1
2
2
2
2
'
L
U
d
U
d
mdv
L
eU
y
m
<
<
=，
（3）要保持一个完整波形，需要隔一个周期T时间回到初始位置，设某个电子运动轨
迹如图2所示，有
'
'
tan
2
1
1
L
y
mdv
eUL
v
v
=
=
=⊥
θ又知
2
1
2
2
'
mdv
eUL
y=，联立得
2
'
L
L=
图2
由相似三角形的性质，得：
'
2/
2
y
y
L
D
L
=
+
，则
1
4
)
2
(
dU
LU
D
L
y
+
=
峰值为v
dU
4
LU
)
D
2
L(
y
1
m
+
=
波形长度为vT
x=
1
，波形如图3所示。

图3
［模型要点］
带电粒子的类平抛运动模型其总体思路为运动的分解
（1）电加速：带电粒子质量为m ，带电量为q ，在静电场中静止开始仅在电场力作用下做加速运动，经过电势差U 后所获得的速度v 0可由动能定理来求得。

即202
1mv qU =。

（2）电偏转：垂直电场线方向粒子做匀速t v x v v x 00==，，沿电场线方向粒子做匀加速，有：
20
2
2tan dmv qUL y v v t dm qU v x y y ===，，θ 在交变电场中带电粒子的运动：常见的产生及变电场的电压波形有方行波，锯齿波和正弦波，对方行波我们可以采用上述方法分段处理，对于后两者一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其中运动时电场为恒定电场”。

（3）在电场中移动带电粒子时电场力做功及电势能变化的情况与重力做功即重力势能变化情况类比。

推论：①粒子从偏转电场中射出时，速度的反向延长线与初速度的延长线的交点平分初速度方向的位移，即粒子好像从极板中点处沿直线飞离偏转电场，即2
tan 1
1L y v v x y
==θ ②荷质比不同的正离子，被同一电场加速后进入同一偏转电场，它们离开偏转电场时的速度方向一定相同，因而不会分成三股，而是会聚为一束粒子射出。

［误区点拨］
①因为电场力做功与路径无关，所以利用电场加速粒子时，无所谓电场是匀强电场还是非匀强电场，如果只受电场力作用时都有2022
121mv mv Uq -=。

②由于基本粒子（电子、质子、α粒子等）在电场中受到电场力mg Eq >>，所以基本粒子受到的重力忽略不计，但带电的宏观（由大量分子构成）小颗粒，小球，小液滴所受重力不能忽略。

③不能穿出、恰能穿出、能穿出三种情况下粒子对应的位移与板长L 的区别；侧位移与板间距的d 或2
d 的区别。

④在匀强电场中场强不变，但两点间的电势差要随距离的变化而变化，穿越电场过程的动能增量：Eqy E k =∆（注意，一般来说不等于qU ）
［模型演练］
（2006年模考）喷墨打印机的结构简图如图4所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，其半径约为m 5
10-，此微滴经过带电室时被带上负电，带电的多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号加以控制，带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场，带电微滴经过偏转电场发生偏转后，打到纸上，显示出字体，无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而
注入回流槽流回墨盒。

设偏转板板长l ＝1.6cm ，两板间的距离为0.50cm ，偏转板的右端距纸L ＝3.2cm ，若一个墨汁微滴的质量为kg 1010
6.1-⨯，以20m/s 的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是V 3100.8⨯，若墨汁微滴打到纸上点距原射入方向的距
离是2.0mm 。

图4
（1）求这个墨汁微滴通过带电室带的电量是多少？（不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限在平行板电容器内部，忽略边缘电场的不均匀性）
（2）为了使纸上的字体放大10%，请你提出一个可行的办法。

答案：（1）带电液滴的电量设为q ，设进入偏转电场后做类平抛运动过程中的偏转为y 1，离开电场后沿直线打到纸上过程中的偏转为y 2，则：
2
221222
21L y L y mdv
qUl at y ===， 由微滴打到纸上点距原入射方向的距离为：
2212)2(mdv
L l qUl y y Y +=+= 代入数据可得：C q 131025.1-⨯=
（2）由上式可知，Y 与U 成正比，可以提高偏转板间的电压U 到8800V ，实现字体放大10%；也可以增加偏转极板与纸的距离L ，
1.1)5.0()5.0'(=++l L l L 解得：cm L 6.3'=。