图形相互位置关系(线和三角形)
小学数学技巧认识坐标系与形位置
小学数学技巧认识坐标系与形位置小学数学技巧-认识坐标系与形位置在小学数学中，认识坐标系和形位置是非常重要的基础知识。
通过学习和掌握这些技巧，学生们可以更好地理解和解决数学问题。
本文将为您介绍一些小学数学中关于坐标系和形位置的技巧。
一、认识坐标系坐标系是用来表示和定位平面上点的工具。
它由两条相互垂直的线段组成，一条是水平方向的x轴，一条是垂直方向的y轴。
这两条轴称为坐标轴，它们的交点称为原点O。
1. 坐标坐标是用来表示一个点在坐标系中位置的数对，通常用(x, y)表示。
其中，x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。
例如，点A的坐标可以表示为(2, 3)，表示它在x轴上的位置是2，在y轴上的位置是3。
2. 四象限根据坐标系的两个轴将平面分成四个部分，这四个部分分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
在第一象限中，x轴和y轴的坐标值都是正数；在第二象限中，x轴的坐标值是负数，y轴的坐标值是正数；在第三象限中，x轴和y轴的坐标值都是负数；在第四象限中，x轴的坐标值是正数，y轴的坐标值是负数。
二、形位置形位置是指图形在平面上的相对位置关系。
通过学习形位置的技巧，学生们可以更好地理解和描述图形之间的关系。
1. 直角、钝角和锐角当两条线段相互垂直时，我们称其为直角。
直角通常用一个框住的小方块表示。
当两条线段的夹角大于90度但小于180度时，称其为钝角。
钝角通常用一个小圆角表示。
当两条线段的夹角小于90度时，称其为锐角。
锐角通常用一个小尖角表示。
2. 平行和垂直当两条线段在平面上没有交点且始终保持相同的间隔时，我们称这两条线段为平行线段。
平行线段通常用双竖线“||”表示。
当两条线段相互垂直时，我们称其为垂直线段。
垂直线段通常用一个小正方形表示。
3. 内角和外角对于一个多边形而言，内角是指任意两条边所夹的角。
外角是指一个内角的补角，即与内角相邻且不共线的角。
三、实例运用通过以下实例，我们可以更好地理解和应用坐标系和形位置的技巧。
高考数学中的空间立体几何问题解析
高考数学中的空间立体几何问题解析在高考数学中，空间立体几何是考试中出现频率比较高的一类题型。
空间立体几何的基础是空间坐标系和三维图形的构造，主要包括点、线、面、体及其相互关系的研究，其中点之间的位置关系是空间立体几何的核心。
在考场上要想熟练地解决这些问题，需要掌握一定的思维方法和解题技巧。
一、空间立体几何的基础1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是立体坐标系的一种，它把三维空间分成了三个相互垂直的坐标轴：x轴、y轴和z轴。
在立体坐标系中，一个点的位置用三个有序实数来表示，这三个实数分别代表这个点到三条坐标轴的距离。
2. 点、线、面、体：点是空间最基本的要素，它是一个没有大小的点。
线是两个点间最短距离的轨迹，其长度可以用两点间的距离表示。
面是三个或三个以上不共线的点所决定的平面。
体是由若干个平面围成的空间几何图形，常见的体有球、立方体、棱锥等。
3. 空间几何图形的构造：空间几何图形的构造是解决空间立体几何问题的第一步，这需要我们根据题目所描述的条件，构造出相应的点、线、面、体。
二、重要的空间直线和平面1. 方向余弦：空间直线的方向可以用方向余弦来表示。
方向余弦是指由一条直线的方向向量在坐标轴上的投影所组成的数列。
如一条直线的方向向量为(a,b,c)，则它在x轴、y轴、z轴上的方向余弦分别为a、b、c。
2. 平面的解析式：平面方程的解析式就是由平面上的一点和该平面的法向量所组成的方程。
常见的平面方程包括一般式、点法式、两点式和截距式。
3. 空间直线的位置关系：空间直线有共面、平行和相交等三种位置关系。
两条直线共面的条件是它们的方向向量能够表示出一个平面。
三、空间几何图形的计算1. 空间几何图形的面积和体积：空间几何图形的面积和体积是解决空间立体几何问题的关键。
求一些固定图形的面积和体积可以用公式解决，如正方体的面积和体积、正三角形的面积、球体的表面积和体积等等。
2. 点到线段的距离：点到线段的距离是解决空间立体几何问题的常见问题，它可以用勾股定理和向量相乘来求解。
三角形的三边关系(基础)知识讲解
三角形的三边关系（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解并会应用三角形三边间的关系．3. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】1.按角分类：要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：要点五、三角形的稳定性??? 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．?（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．??（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来； (2)线段AE 是哪些三角形的边?(3)∠B 是哪些三角形的角?【思路点拨】对比三角形的相关概念分析和思考． 【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD ，△ABE ，△ABC ，△ADE ，△ADC ，△AEC ． (2)线段AE 分别为△ABE ，△ADE ，△ACE 的边． (3)∠B 分别为△ABD ，△ABE ，△ABC 的角．【总结升华】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重复、不遗漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A 、E 再找一个第三点，使这点不在AE 上，便可得到以AE 为边的三角形；(3)问的突破口是∠B 一定在以B 为一个顶点组成的三角形中．举一反三：【变式】如图，以A 为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形． 【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD. 类型二、三角形的三边关系2. (四川南充)三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形． 【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即 5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】(浙江金华)已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可)【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对． 类型三、三角形中重要线段4. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ． 【答案】C【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部． 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC ，试画出△ABC 各边上的高． 【答案】解：所画三角形的高如图所示．5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比 △ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD -(AC+CD+AD )＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC -AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________． 【答案】1类型四、三角形的稳定性6.如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．。
初中等腰三角形综合知识归纳
初中等腰三角形综合知识归纳几何是数学学习中的一道难题，想要学好初中等腰三角形，没有那么容易。
为了帮助大家更好的学习初中等腰三角形。
以下是店铺分享给大家的初中等腰三角形综合知识，希望可以帮到你!初中等腰三角形综合知识1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
等腰三角形问题的求解误区一、腰和底不分例1、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为_______.误区警示在等腰三角形中，一边长为4，周长为14，设底边长为x，则x+4×2=14，，∴x=6，所以底边长为6.思路分析等腰三角形的一边长为4，这条边可能是腰，也可能是底，应分两种情况进行讨论：(1)当腰是4时，另两边是4，6，且4+4>6，6-4 <4，满足三角形三边关系定理;(2)当底是4时，另两边长是5，5，又5+4>5，5-4 <5，满足三角形三边关系定理.所以等腰三角形的底边为4或6.二、顶角和底角不分例2、已知等腰三角形的一个内角为700，则另外两个内角的度数是( )(A)55°，55°(B)70°，40°(C)55°，55°或70°，40°(D)以上都不对误区警示在等腰三角形中，一个内角为70°，设底角的度数为x，则2x+70=180，∴x=55，所以另外两个内角的度数是55°、55°.思路分析等腰三角形的一个内角为70°，这个角可能是顶角，也可能是底角，应分两种情况进行讨论：(1)当70°角为顶角时，设底角的度数为x，2x+70=180，∴x=55，所以另外两个内角的度数是55°、55°;(2)当70°角为底角时，设顶角的度数为y，y+70×2=180，∴y=40，所以另外两个内角的度数是70°、40°.故选C点拨根据等腰三角形的性质求角的度数时，要分是顶角还是底角两种情况进行讨论.另外，若角度改变时还要考虑利用三角形的内角和定理验证三角形是否存在.三、顶角顶点和底角顶点不分例3、如图2，坐标平面内一点A(2，-1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5误区警示若三角形是等腰三角形，则OP=OA，所以符合符合条件的动点P有两个.思路分析根据题意，结合图形，分三种情况讨论：(1)若点P为顶角顶点，O、A为底角顶点，则PO=OA，符合条件的动点P有一个;(2)若点O为顶角顶点，P、A为底角顶点，则OP=OA，符合条件的动点P有两个;(3)若点A为顶角顶点，O、P为底角顶点，则AP=AO，符合条件的动点P有一个;综上所述，符合条件的动点P的个数共4个.故选C.点拨判定一个三角形是否为等腰三角形，关键是将三角形的三个顶点分别作为顶角顶点进行讨论，把情况考虑完整.四、锐角三角形和钝角三角形不分例4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角为_______.误区警示不少学生想当然地误解为：如图所示，图3(1)中顶角为50°.思路分析根据题意，应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论：(1)如图3(1)所示，等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内，此时顶角为50°;(2)如图3(2)所示，等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高是在三角形外，此时顶角为130°.故顶角为50°或130°.点拨等腰三角形为锐角三角形或钝角三角形时，一腰上的高可能在三角形内，也可能在三角形外，要注意分两种情况讨论.初中数学解题方法总结一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。
【初中数学】中考数学压轴题解题技巧+题型汇总
【初中数学】中考数学压轴题解题技巧+题型汇总2022中考数学压轴题题型思路数学压轴题9种题型1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2.图形位置关系中考数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
4.一元二次方程与二次函数在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。
几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。
相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。
中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。
一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。
但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合5.多种函数交叉综合问题中考数学所涉及的函数就一次函数，反比例函数以及二次函数。
作为福建中考，近年，反比例函数连续四年作为填空压轴出现，一次函数与二次函数作为解答题压轴题出现，特别是第三问区分度大，难度大，在中考中面对这类问题，有步骤有分，对优生而言尽量多得分。
平面几何的基本图形
平面几何的基本图形平面几何是几何学中的一个分支，研究平面上的点、线、面及其相互关系。
在平面几何中，有一些基本图形是我们常见且重要的，它们是点、线、线段、射线、角、多边形、圆和曲线。
本文将会逐一介绍这些基本图形及其特征。
一、点（Point）点是平面上最基本的图形，用一个大写字母表示，如A、B、C。
点没有长度、面积和方向，只有位置。
点只有一个，不同的点可以有不同的位置。
在平面几何中，点是构成其他几何图形的基础。
二、线（Line）线由无数个点组成，无限延伸，没有宽度。
线段是有限的线，有两个端点。
线用两个大写字母表示，如AB、CD。
在平面几何中，线是连接两个点的直线路径。
三、线段（Line Segment）线段是两个点之间的有限线，有固定的长度。
线段用两个大写字母表示，并在两个字母之间加一条横线，如AB。
与线相比，线段具有确定的长度。
四、射线（Ray）射线起始于一个点，无限延伸，只有一个端点。
射线用一个大写字母及一个端点所在的小写字母表示，如OA，其中O为起点。
五、角（Angle）角是由两条射线共同起点组成的图形。
角用三个字母表示，中间的字母代表角的顶点，两边的字母分别代表两条射线。
例如∠ABC表示以点B为顶点，射线BA和射线BC所夹的角。
角可以根据其大小分为锐角、直角、钝角和平角。
六、多边形（Polygon）多边形是由多条线段连接而成的封闭图形。
多边形由至少三条线段组成，每个线段称为边，相邻边之间的交点称为顶点。
根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。
最常见的多边形是三角形、四边形和五边形。
七、圆（Circle）圆是由一条曲线和平面上的一个点组成的图形，其中曲线称为圆周，点称为圆心。
圆周上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离称为半径。
用一个大写字母表示圆心，用圆心字母上方加一个小写字母表示圆周，如O、OA。
八、曲线（Curve）曲线在平面上呈现出曲折或弯曲的形状，没有直线的性质。
曲线可以是闭合的，也可以是不闭合的。
数学中的图形与几何关系
数学中的图形与几何关系在我们的日常生活和数学学习中，图形与几何关系是一个非常重要的领域。
从我们身边的建筑、家具，到地图、设计图纸，图形与几何无处不在。
那么，究竟什么是图形与几何关系？它们又有着怎样的奥秘和应用呢？图形，简单来说，就是我们能看到的各种形状，比如圆形、三角形、正方形等等。
而几何，则是研究这些图形的性质、大小、位置关系等的学科。
图形与几何关系，就是研究这些图形之间的相互联系和规律。
让我们先从最基本的图形说起。
点、线、面、体是构成图形的基本元素。
一个点没有大小和形状，只是一个位置的标识。
无数个点连成线，线有直线和曲线之分。
线的移动形成面，面有平面和曲面。
面的移动就形成了体，像我们常见的立方体、球体、圆柱体等。
在平面图形中，三角形是一个非常重要的角色。
三角形具有稳定性，这一特性在建筑和工程中被广泛应用。
比如，很多桥梁的结构中就会使用三角形来增加稳定性。
而四边形则相对不稳定，但也有其独特的性质。
比如平行四边形，它的对边平行且相等。
圆形也是我们常见的图形之一。
圆的周长和面积的计算，是数学中的重要知识点。
圆的周长公式是2πr（其中 r 是半径，π 是圆周率），面积公式是πr² 。
圆在生活中的应用也很多，比如车轮、井盖等都是圆形的，这是因为圆形在滚动时能够保持平稳，而且从各个方向看都是对称的。
再来说说几何关系。
几何关系包括图形的位置关系和度量关系。
位置关系有平行、垂直、相交等。
平行的两条直线永远不会相交，而垂直的两条直线相交的角度是 90 度。
相交的直线又分为锐角相交和钝角相交。
度量关系则包括长度、角度、面积、体积等的测量和计算。
比如，在计算三角形的面积时，我们可以使用公式：面积＝底×高÷2 。
对于矩形，面积＝长×宽。
而在计算立体图形的体积时，立方体的体积＝边长³，圆柱体的体积＝底面积×高。
图形与几何关系在实际生活中的应用非常广泛。
在建筑设计中，设计师需要考虑房屋的结构和形状，运用几何知识来确保建筑物的稳定性和美观性。
数学中的几何与三角
数学中的几何与三角在数学中，几何与三角是两个重要且紧密相关的领域。
几何研究空间形状和其性质，而三角则探索角度和三角形的关系。
本文将介绍数学中的几何和三角的基本概念、性质及其应用。
一、几何基础1.1 点、直线和平面在几何中，点是最基本的图形元素，它没有大小和形状。
直线是通过两个点确定的，它具有无限延伸性。
平面是由多个点和直线组成，是一个无限的二维空间。
1.2 角度的概念角度是由两条射线共同确定的，包含一个起始点和两个端点。
通常用度数或弧度来度量角度的大小。
二、平面几何2.1 三角形三角形是一个具有三条边和三个内角的多边形。
根据边的长度和角的大小，可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
三角形有许多重要的性质，如角内和等于180度、三角形的周长和面积的计算等。
2.2 直角三角形直角三角形是其中一个角度为90度的三角形。
直角三角形的三边之间有特殊的关系，如勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。
2.3 圆和圆的性质圆是一个平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。
圆的重要性质有：圆心、半径、直径、弧长和扇形等。
2.4 多边形多边形是一个有多个边和角的封闭图形。
根据边的个数，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。
不同类型的多边形具有不同的性质，如正多边形的边长和角度的计算等。
三、空间几何3.1 空间几何的坐标表示在空间几何中，坐标系用来表示点的位置。
三维坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，通常用(x, y, z)表示一个点的位置。
3.2 空间几何中的直线和平面空间中的直线由点和方向确定，而平面由点和法向量确定。
直线和平面有许多重要的性质，如直线的斜率和截距的计算、平面与线段的交点等。
3.3 空间几何中的立体图形立体图形是空间几何中的三维图形。
常见的立体图形包括立方体、圆柱体、锥体和球体等。
这些图形有各自的体积和表面积公式。
四、三角学基础4.1 三角函数的定义三角函数是角度的函数，包括正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。
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图形相互位置关系
相交线和三角形
A 组
1、有三组线段4cm ，7cm ，7.5cm ，（2）3cm ，2cm ，5cm ，（3）7cm ，7cm ，15cm ，其中能组成三角形的是第几组？
2、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数。
3、如图，在已知△ABC 中，画边AB 上的高线，AC 边上的中线及∠C 的平分线。
4、画一个底边是3cm ，底边长的高线为2cm ，的等腰三角形，并算出这个三角形的面积。
B 组
5、如图，在已知△ABC 中，画边AB 上的高线，∠B 的平分线，BC 边上的中线。
6、如图，在△ABC 中，∠ACB=900，CD 是AB 边上的高线，CE 平分∠ACB ，∠ECD=150，求∠BCD 、∠B 的度数。
7、如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数。
8、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=α，且AE=AD ，求∠EDC 的度数。
9、若点D 、E 、F 在△ABC 的边AB 、AC 、BC 上，且DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∠B=500，∠ADE ：
∠CDF=3：1，试求∠A 的度数，若无法确定其度数，请写出∠A
的取值范围。
A B C
D E F A B C A B C A B C D E 21534A B C D
E
平行线
A 组
1、判断下列说法是否正确：
（1）在同一平面内，过直线外一点，能画并一条且只能画一条直线和这条直线平行；
（2）在同一平面内，经过直线上一点，能画一条且只能画一条直线和这条直线垂直；
（3）过直线外一点，有一条且只有一条直线和这条直线平行；
（4）过直线上一点，有一条且只有一条直线和之条直线垂直。
2、如图，在∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6中同位角有几对？内错角有几对？同旁内角有几对？
3、如图，（1）过点P 画EF ∥OA ；（2）量出EF 与OA 的距离。
B 组
4、如图，AB ∥CD ，∠1，∠2，∠3的度数分别为a ，b ，c ，那么下列四个等式中正确的是哪一个？请说明理由。
（1）a+b+c=1800；（2）a+b –c=1800；（3）b+c –a=1800；（4）a –b+c=1800
5、平面上有两两相交的四条直线，请证明其中必有两个交角不大于450。
6、已知：∠ABC=∠BCD ，EB 、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD ，请根据这些已知条件画出可能有的示意图，并判断BE 与CF 的位置关系。
7、如图，直线MN ∥PQ ，直线GH 交MN 、PQ 于点C 、A ，CD 、AB 分别平分∠GCN 、∠QAH ，证明：直线CD ⊥直线AB 。
2165A B C D
E 3
4A O
21A B C D 3Q A B C D P M N G H
A
B p 空间里的垂直和平行关系
A 组
1、举出平常生活只能感见到的线面垂直、面面垂直、面面平行四种关系的例子。
2、画一个水平放置，边长3cm 的正方形的直观图。
3、长方体的6条棱、6个面中，线面平行的有几对？面面垂直的有几对？
B 组
4、三个两两相交的平面把空间分成几部分？
5、画一个水平放置，棱长3cm 的立方体的直观图。
6、如图，菱形ABCD 的对角线交于O ，把菱形沿对角线BD 折成一个三棱椎。
（1）证明直线BD 和平面AOC 垂直；
（2）证明平面AOC 和BCD 垂直。
基本图形
A 组
1、判断下列说法是否正确：
（1）如图，点P 在线段AB 的反向延长线上；
（2）若N 是线段AB 中点，M 是线段BN 上任意一点，则MN=AM –BN 。
2、填空：
（1）数轴上A 、B 两点所表示的数分别是–4，2，那么线段AB 的长是________个单位长度，线段AB 中点所表示的数是__________；
（2）一个角的余角和它的补角的度数的比是2：5，则这个角是__________度。
3、任意画一个角，用直尺和圆规把它四等分。
B 组
4、小明在线段AB 上画了若干个点后指出其中共有10条线段，请问小明在线段AB 上画了几个点？
5、若P 是线段AB 中点，点Q 在PB 上，求证：
（1）PQ= 21
（AQ –BQ ）
（2）AQ 2–BQ 2=2AB ·PQ 。
6、如图，D 、E 、F 是三角形ABC 三边上的点，且AE=AF=a ，BF=BD ，
CE=CD ，三角形的周长为2s ，请用含a 、s 的一次式表示BC 。
A B
C D O A
B C D
O
A B C
D。