高二下学期文科数学周测答案
陕西省西安市周至县重点中学2022-2023学年高二下学期4月月考文科数学试题及参考答案
高二数学（文科）一､单选题（共12题，每题5分）1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”的正确假设为（ ）A.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a ，b ，c 都是奇数D.自然数a ，b ，c 都是偶数2.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A.56千瓦·时B.62千瓦·时C.64千瓦·时D.68千瓦·时3.抛掷一枚均匀骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是（ ）A.第二次得到6点B.第二次的点数不超过3C.第二次的点数是奇数D.两次得到的点数和是124.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到如下22⨯列联表：附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.P （K 2≥k ） 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”5.已知事件A ，B 相互独立，P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，给出下列四个式子：①P （AB ）=0.12；②P （A B ）=0.18；③P （A B ）=0.28；④P （A B ）=0.42.其中正确的有（ ） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个6.已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ）A.0.5B.0.6C.0.4D.0.27.甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6，0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 8.证明不等式112(2)a a a a a +-<---≥所用的最适合的方法是（ ） A.综合法 B.分析法 C.间接证法 D.合情推理法9.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）A.8B.6C.5D.310.一份数学单元试卷中有4个填空题，某同学答对每个题的概率都是45，那么，4个题中答对2个题的概率是（ ） A.16625 B.96625 C.192625 D.25662511.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（ ）A.811B.809C.807D.80512.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2二､填空题（共4题，每题5分）13.复数i(12i)z =-（i 是虚数单位）的实部为__________.14.如图，EFGH 是以O 为圆心､半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）()P A =___________（2）()P B A =__________.15.“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是___________. 16.现有A ，B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分.A 队中每人答对的概率均为23，B 队中3人答对的概率分别为221,,332，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件M 表示A 队得2分“，事件N 表示”B 队得1分“，则P （MN ）=___________. 三､解答题（共6题）17.（10分）已知m R ∈，复数()()22231i z m m m =--+-. （1）实数m 取什么值时，复数z 为实数､纯虚数；（2）实数m 取值范围是什么时，复数z 对应的点在第三象限.18.（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A 类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B 类同学），现用分层抽样方法（按A 类､B 类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学.如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（2K 的观测值精确到0.001）.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参考数据：19.（12分）（1）若,x y 都是正实数，且2x y +>，求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.（2）求证：()n N *>∈20.（12分）甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； 21.（12分）求证：（1）222a b c ab ac bc ++≥++；（2）>22.（12分）某单位为了了解用电量y 度与气温C x 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温. C 量(度)（1）求线性回归方程；（参考数据：442111120,440i ii i i x yx ====∑∑）（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10C ︒时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅.高二数学（文科）答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】A 10.【答案】B11.【答案】B 12.【答案】A13.【答案】2 14.【答案】（1）.2π（2）.1415.【答案】13216.【答案】108117.【答案】（1）3m =（2）(1,1)m ∈-【解析】（1）由虚部为0求得使z 为实数的m 值，再由实部为0且虚部不为0求得使z 为纯虚数的m 值； （2）由实部与虚部均小于0求解. 解：（1）当210m -=，即1m =±时，复数()()22231z m m m i =--+-为实数；当2223010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即3m =时， 复数()()22231z m m m i =--+-是纯虚数；（2）由题意，2223010m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得11m -<<. ∴当(1,1)m ∈-时，复数z 对应的点在第三象限.本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题.18.【答案】（1）（2）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.【解析】（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出2K，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.（1）填写列联表如下：（2）K2的观测值为22100(40153510)75255050K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出2K，注意保留三位小数，注意观测值与概率之间的大小关系与趋势.19.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立.（2）采用分析法从要证的结果入手去证明不等式即可.解析：（1）假设1x y +<2和1y x +<2都不成立，即1x y +≥2和1yx+≥2同时成立.∵x >0且y >0，∴1+x ≥2y ，且1+y ≥2x .两式相加得2+x +y ≥2x +2y ，∴x +y ≤2.这与已知条件x +y >2矛盾，∴1x y +<2和1yx+<2中至少有一个成立.（2）原式子等价于)*n N >∈，两边平方得到()4122221n n n n +>+++>+>22212n n n n -++>+，得证.20.【答案】（1）0.72（2）0.26（3）0.0221.【解析】分析：（1）利用基本不等式，即可证得222a b c ab bc ac ++≥++； （2）根据题意，利用分析法证明，寻找使不等式成立的充分条件即可. 详解：（1）2222222,2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥，222a b c ab bc ac ∴++≥++；（2）要证>，只要证22>，只要证1313+>+只要证>只要证4240>，显然成立，故>点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 22.【答案】（1）250y x =-+. （2）30度.【解析】分析：（1）求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10C 时的用电量.详解：（1）4421110,30,1120,440,2i ii i i x y x yx b ======∴=-∑∑把(10,30)代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =.∴回归方程为250y x =-+；（2）当10x =时，30y =，估计当气温为10C 时的用电量为30度.点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。
2018-2019学年吉林省白城市通榆县第一中学高二下学期第二次月考数学(文)试题Word版含答案
2018—2019学年度通榆一中高二下学期第二次质量检测数 学 试 卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则它的直角坐标为( )A ．(3，1)B ．(－1，3)C ．(1，3)D ．(－3，－1) 3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除 4．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0，1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2 5．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化成直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝46．已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝ ( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A.a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜08．点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6 9．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．项目 嗜酒 不嗜酒 总计 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 总计90092992其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3 10．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②④11．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 12．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A.在区间)1,1(e ，（1,e)内均有零点B.在区间)1,1(e内有零点，在区间（1,e)内无零点C.在区间)1,1(e 内无零点，在区间（1,e)内有零点D.在区间)1,1(e，（1,e)内均无零点二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．14．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为__________． 15．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______． 16．在极坐标系中，若过点A (4,0)的直线l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.18．(本小题满分12分) )极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？19．(本小题满分12分) 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：xyOA BM分类 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 总计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．P (K 2≥k ) 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.828K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）20．(本小题满分12分)直线l 与抛物线x y =2交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,与x 轴相交于点M , 且121-=y y .(I) 求证:M 点的坐标为)0,1(; (II) 求AOB ∆的面积的最小值.21．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．22．(本小题满分12分) 已知函数21()()2x f x e x ax a =-+∈R . (I)当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；(II)若1a e <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12.1A 2C 3B 4A 5B 6D 7B 8A 9C 10C 11 D 12C二 、填空题 （每题5分，共20分）13． -2 14．θ＝π2＋α 15.y ^＝x ＋14 16．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 17.（10分）解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， 因为a ，b 都是实数，所以⎩⎨⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18.（12分）解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，半径为12的圆． 将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0到直线的距离为|－12－2|1＋3＝54＞1，∴直线与圆相离．19. （12分）解：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人， 所以抽到积极参加班级工作的学生的概率P 1＝2450＝1225，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人， 所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生概率P 2＝1950.(2)由列联表知，K 2的观测值 k ＝50×（18×19－6×7）225×25×24×26≈11.538，由11.538＞10.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．20.（12分）解：(I)设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=,代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根， ∴1210=-=y y x ,即M 点的坐标为(1, 0).(II)由方程①,m y y =+21,121-=y y ,且 1||0==x OM , 于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1, ∴当0=m 时,AOB ∆的面积取最小值1.1212121=⋅=∆PF PF S DF F 21.（12分）解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．22. （12分）解：(I)由题可得()xf x e x a '=-+， 设()()xg x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a>-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.………………6分(II)由(I)知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-， 所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0te t a -+=，即ta t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増， 所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+，令()()2111,2xh x e x x x =-+>，则()1()0xx x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122te t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. (12)分。
陕西省汉中市兴华学校与镇巴中学联考2022-2023学年高二下学期期中文科数学试题(含答案解析)
陕西省汉中市兴华学校与镇巴中学联考2022-2023学年高二下学期期中文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．1B ．212．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为2221(0)y x a a-=>上支的一部分，与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（A ．7B ．6二、填空题13．抛物线24y x =的准线方程为______.14．已知函数()e xf x -=，则函数()f x 在1x =处的切线方程是____________．三、解答题17．已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3．（1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值．18．已知直线20x y m -+=与圆225x y +=.(1)若直线和圆无公共点，求m 的取值范围；(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m 的值.19．随着新课程新高考改革的推进，越来越多的普通高中认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观，某校高一年级1200名学生参加生涯规划知识大赛初赛，学校将初赛成绩分成6组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，成绩大于等于80分评为“优秀”等级.(1)求a 的值；(2)在评为“优秀”等级的学生中采用分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人进行下一步的能力测试，求这3人中恰有1人成绩在[]90,100的概率.20．某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：参考答案：根据图形的对称性，不妨取渐近线为又点P 为双曲线上支上的动点，则过点P 作PQ l ⊥，垂足为Q 则4PF PQ PF PQ +=++'所以PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为故选：C ．13．116y =-【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14．e 20x y +-=【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．【详解】由()e x f x -=，则所以()11ef =，()e 11f '=-，所以函数()f x 在1x =处的切线方程为故答案为：e 20x y +-=．15．x ＝4或3x +4y ＝0【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为两条半径OA 、OB 互相垂直，几何关系可知为d ，22d r ∴=，即||2525m =⨯，解得19．(1)0.025a =(2)12P =【分析】（1）由频率分布直方图矩形面积之和为（2）易知采用分层抽样的方式，成绩在列举出所有的基本事件数，再找出符合条件的基本事件数即可求得其概率为【详解】（1）根据频率分布直方图矩形面积代表对应区间的概率可得面积之和为所以(0.010.01520.030.005a +⨯+++即a 的值为0.025.（2）由图可知，成绩在[)80,90和[所以，采用分层抽样抽取6人，则成绩在求导得，解可得单调增区间，解不等式过程在则在即即,求出）若，则，此时的单调增区间为若，令，得此时的单调增区间为）在上单调递增，则在即恒成立即，因为当时，所以。
2021年高二下学期4月段考数学试卷(文科)含解析
2021年高二下学期4月段考数学试卷（文科）含解析一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“若x≥0，则x2≥0”的否命题是．2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5}，则∁（A∪B）= ．U3．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域为．4．已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为．5．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．7．函数f（x）=+lnx的单调减区间为．8．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”，“q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，若¬p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．9．已知函数f（x）=|x|+2|x|，且满足f（a﹣1）＜f（2），则实数a的取值范围是．10．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）= ．11．若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是．12．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．13．已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=．14．已知函数f（x）=x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是．二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）若函数y=f（x）图象上点（1，f（1））处的切线方程y=x+b（b∈R），求实数a，b的值；（2）若y=f（x）在x=2处取得极值，求函数f（x）在区间[，e]上的最大值．17．已知二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）﹣kx，且函数g（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设函数h（x）=f（2x），求当x∈[﹣1，2]时，函数h（x）的值域．18．该试题已被管理员删除19．设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=lnx﹣ax2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣3x，g（x）=2x2ln|x|．（1）若函数f（x）在R上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并写出g（x）的单调区间；（3）若对一切x∈（0，+∞），函数f（x）的图象恒在g（x）图象的下方，求实数a的取值范围．xx学年江苏省南通市如皋中学高二（下）4月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“若x≥0，则x2≥0”的否命题是若x＜0，则x2＜0．【考点】四种命题．【分析】利用“否命题”的定义即可得出．【解答】解：命题“若x≥0，则x2≥0”的否命题是：“若x＜0，则x2＜0”．故答案为：若x＜0，则x2＜0．2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5}，则∁U（A∪B）={6} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出A∪B，可得∁U（A∪B）．【解答】解：A∪B={1，2，3，4，5}，∴∁U（A∪B）={6}．故答案为：{6}．3．函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域为（1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得1＜x＜2．∴函数f（x）=lg（x﹣1）+的定义域为（1，2）．故答案为：（1，2）．4．已知函数f（x）=，若f（a）=，则实数a的值为﹣1或．【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【分析】直接利用分段函数列出方程，化简求解即可．【解答】解：当a≤0时，f（a）=，即2a=，解得a=﹣1．当a＞0时，f（a）=，即﹣a2+1=，解得a=故答案为：﹣1或；5．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=06．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是[﹣1，3] ．【考点】特称命题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，∴△=（1﹣a）2﹣4≤0∴﹣1≤a≤3故答案为：[﹣1，3]．7．函数f（x）=+lnx的单调减区间为（9，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数y′，再解不等式y′＜0，即可解得函数的单调递减区间．【解答】解：∵函数f（x）=+lnx，∴y′=﹣+= （x＞0）由y′＜0，得，解得0＜x＜1，∴函数f（x）=+lnx的单调减区间为（0，1]故答案为：（0，1]．8．“p：x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”，“q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，若¬p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别化简命题p，q，可得￢p，再利用¬p是q的充分不必要条件，即可得出．【解答】解：∵命题P：{x|x≤﹣1或x≥2}，∴￢p：{x|﹣1＜x＜2}，q：x∈{x|2a﹣1≤x≤a+3}”，∵¬p是q的充分不必要条件，∴，解得﹣1≤a≤0．∴a的取值范围是[﹣1，0]；故答案为：[﹣1，0]9．已知函数f（x）=|x|+2|x|，且满足f（a﹣1）＜f（2），则实数a的取值范围是（﹣1，3）．【考点】函数的值．【分析】由已知得|a﹣1|+2|a﹣1|＜2+22=6，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=|x|+2|x|，∴f（﹣x）=|﹣x|+2|﹣x|=|x|+2|x|=f（x），∴f（x）是偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=|x|+2|x|是增函数，∵f（x）满足f（a﹣1）＜f（2），∴|a﹣1|+2|a﹣1|＜2+22=6，解得|a﹣1|＜2，解得﹣1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．10．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）=﹣2．【考点】奇偶函数图象的对称性；函数的值．【分析】先由图象关于直线x=﹣2对称得f（﹣4﹣x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f（x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（﹣9）=﹣f（1），从而求出所求．【解答】解；∵图象关于直线x=﹣2对称∴f（﹣4﹣x）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴f（﹣4﹣x）=﹣f（﹣x），即﹣f（﹣4+x）=f（x），故f（x﹣8）=f[（x﹣4）﹣4]=﹣f（x﹣4）=f（x），进而f（x+8）=f（x）∴f（x）是以8为周期的周期函数．f（﹣9）=﹣f（1）=﹣2故答案为：﹣211．若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是（e2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R等价于ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，由此能求出实数a的范围．【解答】解：∵f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，∴ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，即a＞恒成立．设g（x）=，则g'（x）=，当x＜﹣2时g'（x）＞0，当x＞﹣2时g'（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣2）是增函数，在（﹣2，+∞）上是减函数，故当x=﹣2时，g（x）取得最大值g（﹣2）=e2，∴a＞e2．故答案为：（e2，+∞）．12．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣4，0] ．【考点】二次函数的性质．【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解：f（x）=x2+a|x﹣2|=，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，解得﹣4≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．故答案为：[﹣4，0]．13．已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．当f′（x）=0时，，此时x=﹣m，如果m≥0，则无解．所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；当m＜0时，若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1为极小值，也是最小值；①当﹣m＜1，即﹣1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；②当﹣m＞e，即m＜﹣e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=1﹣=4．所以m=﹣3e．③当﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此时m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．综上m=﹣3e．14．已知函数f（x）=x2+m的图象与函数g（x）=ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围是（﹣∞，）．【考点】函数的图象．【分析】g（x）=ln|x|的图象经过点（1，0），数形结合可得f（1）=•12+m＜0，由此解得m的值．【解答】解：∵函数f（x）=x2+m的图象（图中黑色部分）与函数g（x）=ln|x|的图象（图中红色部分）有四个交点，再根据这两个函数都是偶函数，它们的图象关于y轴对称，故它们的图象在（0，+∞）上有两个交点．又g（x）=ln|x|的图象经过点（1，0），数形结合可得f（1）=•12+m＜0，解得m＜，故答案为：（﹣∞，）．二．解答题：（本大题共6小题，共90分.请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．【分析】（1）由于命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p 与命题q必然一真一假，解出即可．【解答】解：（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，当命题p为假，命题q为真时，，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．16．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）若函数y=f（x）图象上点（1，f（1））处的切线方程y=x+b（b∈R），求实数a，b的值；（2）若y=f（x）在x=2处取得极值，求函数f（x）在区间[，e]上的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线方程，根据对应关系求出a，b的值即可；（2）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．【解答】解：（1）f（x）=ax2﹣lnx，f′（x）=2ax﹣，f（1）=a，f′（1）=2a﹣1，故切线方程是：y﹣a=（2a﹣1）（x﹣1），即y=（2a﹣1）x﹣a+1=x+b，故2a﹣1=1，b=﹣a+1，解得：a=1，b=0；（2）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2ax﹣，f′（2）=4a﹣=0，解得：a=，∴f（x）=x2﹣lnx，f′（x）=x﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，故f（x）在[，2]递减，在[2，e]递增，故f（x）的最大值是f（）或f（e），而f（）=﹣1＜f（e）=﹣1，故函数的最大值是f（e）=﹣1．17．已知二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）﹣kx，且函数g（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设函数h（x）=f（2x），求当x∈[﹣1，2]时，函数h（x）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据题意，得出f（x）的对称轴，顶点坐标，从而求出解析式；（2）求出函数的对称轴，函数g（x）在区间[1，2]上是单调函数，得到关于k的不等式解得即可；（3）利用换元法求出h（x）的解析式，根据函数的单调性即可求出函数的值域．【解答】解：（1）∵f（0）=f（2）=6，∴对称轴为x=1，设f（x）=a（x﹣1）2+4，∴f（0）=a（0﹣1）2+4，∴a=2，∴f（x）=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6；（2）函数g（x）=2x2﹣（k+4）x+6，其对称轴方程为：∵函数g（x）在区间[1，2]上是单调函数，∴∴k≤0或k≥4；（3）令，则h（x）=H（t）=2t2﹣4t+6=2（t﹣1）2+4当时，H（t）单调递减，当t∈[1，4]时，H（t）单调递增，H（t）min=H（1）=4又，所以H（t）max=H（4）=22，∴当x∈[﹣1，2]时，函数h（x）的值域[4，22]．18．该试题已被管理员删除19．设f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=lnx﹣ax2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性．【分析】（1）先利用函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称得：f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（﹣x，y）在g（x）的图象上；然后再利用x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（x）=g（﹣x）求出一段解析式，再利用定义域内有0，可得f （0）=0；最后利用其为奇函数可求x∈（0，1]时对应的解析式，综合即可求函数f（x）的解析式；（2）先求出f（x）在（0，1]上的导函数，利用其导函数求出其在（0，1]上的单调性，进而求出其最大值，只须让起最大值与1相比即可求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（﹣x，y）在g（x）的图象上．当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，则f（x）=g（﹣x）=ln（﹣x）﹣ax2．∵f（x）为[﹣1，1]上的奇函数，则f（0）=0．当x∈（0，1]时，﹣x∈[﹣1，0），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lnx+ax2．∴f（x）=（2）由（1）知，f'（x）=﹣+2ax．①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则﹣0⇒a．此时，a，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=a，∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．②当a时，令f'（x）=﹣⇒x=∈（0，1]，∴当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（）=﹣ln+a=ln2a+．由|f（x）|≥1，得ln2a+≥1⇒．综上所述，实数a的取值范围为a．20．已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣3x，g（x）=2x2ln|x|．（1）若函数f（x）在R上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并写出g（x）的单调区间；（3）若对一切x∈（0，+∞），函数f（x）的图象恒在g（x）图象的下方，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据判别式△≤0，求出a的范围即可；（2）求出g（x）是偶函数，求出x＞0时，函数的单调性，从而求出函数g（x）的单调区间；（3）问题转化为在x∈（0，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+ax2﹣3x，得f'（x）=﹣3x2+2ax﹣3，因为函数f（x）在R上是单调函数，所以f'（x）≤0在R上恒成立，所以△=4a2﹣4×9≤0，解得﹣3≤a≤3．…（2）由g（x）=2x2ln|x|，知定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）所以定义域关于原点对称…当g（﹣x）=2（﹣x）2ln|﹣x|=2x2ln|x|=g（x）所以函数g（x）是偶函数．…当x＞0时，g（x）=2x2lnx，，令g′（x）=0，得，…且时，结合偶函数的对称性，知函数g（x）的单调增区间是：单调减区间是：．…（3）题意即为f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立．…令，则，令，得x=1，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0 所以h（x）min=h（1）=4，所以a＜4．…精品文档xx年11月22日31802 7C3A 簺029847 7497 璗M28954 711A 焚31356 7A7C 穼V?20555 504B 偋l|633057 8121 脡27784 6C88 沈38777 9779 靹实用文档。
江苏省横林高级中学 度第二学期阶段性测验高二数学试题文科含答案
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
河南名校联盟2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题(解析版)
A. 都小于 1 4
C. 都大于 1 4
【答案】B
B. 至少有一个不小于 1 4
D. 至少有一个不大于 1 4
【解析】
【分析】先求出 x y z 3 ，通过反证法证得 x, y, z 都小于 1 不成立，即可得出结果.
4
4
【详解】
x
y
z
a2
b
b2
c
c2
a
a
1 2
2
b
1 2
2
质：过圆
C 上一点 M (x0,
y0 ) 的圆的切线方程是 x0x
y0 y
r2 .类比上述结论，过椭圆 E : x2 12
y2 4
1 的点
P 3, 1 的切线方程为______.
【答案】 x y 4 0
【解析】
【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1上一点 P(x0,
【详解】∵ f x 2 a ln x ax ，
x
∴
f
x
2 x2
a x
a
，
∵曲线 y f x 在 x 1处的切线与直线 y 2 平行，
∴ f 1 0 2 a a 0 a 1．
故选：A﹒
5. 已知 a,b, c R ，且 x a2 b ， y b2 c ， z c2 a ，则 x, y, z 三个数（ ）
由不等式得性质，D 正确． 故选：D．
2. 已知 k R ，则“ 2 k 3 ”是“方程 x2 y2 1表示双曲线”的（ ） 6k k2
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
2023—2024学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学(文科)试题(含答案)
2023-2024学年陕西省咸阳市高二下册期中数学（文）试题一、单选题1．复数23i z =-的虚部为（）A ．3B ．3-C ．3iD ．i3-【正确答案】B【分析】直接求出虚部即可.【详解】虚部为3-.故选：B.2．为了调查中学生近视情况，某校160名男生中有90名近视，150名女生中有75名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（）A ．平均数B ．方差C ．回归分析D ．独立性检验【正确答案】D【分析】近视与性别时两类变量，根据分类变量的研究方法即可确定答案.【详解】解：近视与性别时两类变量，在检验两个随机事件是否相关时，最有说服力的方法时独立性检验.故选：D.3．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A ．14320r r r r <<<<B ．41320r r r r <<<<C ．42310r r r r <<<<D ．24130r r r r <<<<【正确答案】A【分析】根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小【详解】解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以1r 接近于1-，2r 接近1，所以14320r r r r <<<<，故选：A4．下列的三句话，若按照演绎推理的“三段论”模式，排列顺序正确的应是（）①()cos y x x R =∈是周期函数；②()cos y x x R =∈是三角函数；③三角函数是周期函数；A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【正确答案】D【分析】本题可根据“三段论”的相关性质得出结果.【详解】由“三段论”易知：三角函数是周期函数，()cos y x x R =∈是三角函数，()cos y x x R =∈是周期函数，故选：D.5．用反证法证明命题“a ，b ，R c ∈，若0a b c ++>，则a ，b ，c 中至少有一个正数”时，假设应为（）A ．a ，b ，c 均为负数B ．a ，b ，c 中至多一个是正数C ．a ，b ，c 均为正数D ．a ，b ，c 中没有正数【正确答案】D【分析】由反证法的概念判断即可.【详解】由题，“至少有一个”相对的情况就是“一个都没有”，故应假设a ，b ，c 中没有正数，故选：D6．已知x ，y 的取值如下表所示：x234y546如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为72y bx =+，则b 等于（）A ．12-B ．12C ．110-D ．110【正确答案】B【分析】求出x 、y 的值，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程，即可求得实数b 的值.【详解】由表格中的数据可得23433x ++==，54653y ++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得7352b +=，解得12b =.故选：B.7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A ．35B ．59C ．15D ．110【正确答案】B【分析】根据给定条件，以第一次摸到正品的事件为样本空间，利用古典概率公式计算作答.【详解】用A 表示事件“第一次摸到正品”，B 表示“第二次摸到正品”，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，相当于以A 为样本空间，事件B 就是积事件AB ，显然()9n A =，()5n AB =，所以在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是()5(|)()9n AB P B A n A ==.故选：B8．设,R a b ∈，“复数i a b +是纯虚数”是“0a =”的（）A ．充分而不必要条件；B ．必要不充分条件；C ．充分必要条件；D ．既不充分也不必要条件.【正确答案】A【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当i a b +是纯虚数时，一定有0a =，但是当0a =时，只有当0b ≠时，i a b +才能是纯虚数，所以“复数i a b +是纯虚数”是“0a =”的充分而不必要条件，故选：A9．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,2A ，()1,3B -，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】由123,12i 1i =+=-+z z ，代入复数12z z ，利用复数的除法运算和几何意义可得答案.【详解】因为复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,2A ，()1,3B -，所以123,12i 1i =+=-+z z ，则复数()()()()1212i 13i 12ii 3111213i 1i 23i +--+-+-+-=-==-z z ，在复平面内对应的点1122，⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D.10．若实数,a b满足12a b+=ab 的最小值为AB ．2C．D ．4【正确答案】C【详解】121200a b ab a b a b +=∴=+≥=∴≥ ＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab的最小值为 C.基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．11．如图所示的是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴， ，按此规律，则第2022个图形用的火柴根数为（）A ．20192022⨯B ．20192023⨯C ．30332021⨯D ．30332023⨯【正确答案】D【分析】根据已知条件，进行归纳推理即可求解.【详解】由图可知第1个图形用了31(11)32⨯⨯+=根火柴第2个图形用了32(21)92⨯⨯+=根火柴，第3个图形用了33(31)182⨯⨯+=根火柴，……归纳得，第n 个图形用了3(1)3(123)2n n n +++++= 根火柴，当2022n =时，3(1)303320232n n +=⨯.故选：D.12．学校开设了多种体有类的校本选修课程，以更好的满足学生加强体有锻炼的需要.该校学生小明选择确定后，有三位同学根据小明的兴趣爱好，对他选择的体育类的校本课程进行猜测.甲说“小明选的不是游泳，选的是武术”，乙说“小明选的不是武术，选的是体操”，丙说“小明选的不是武术，也不是排球”，已知这三人中有两个人说的全对，有一个人只说对了一半，则由此推断小明选择的体育类的校本课程是（）A ．游泳B ．武术C ．体操D ．排球【正确答案】C【分析】根据题意，分别分析甲乙说的全对，甲丙全对，乙丙全对三种情况，分析即可得答案.【详解】若甲说的全对，则小明选的是武术，若乙说的全对，则小明选的是体操，矛盾，若甲说的全对，则小明选的是武术，若丙说的全对，则小明选的不是武术，矛盾，若乙说的全对，则小明选的是体操，若丙说的全对，不是武术也不是排球，满足题意，此时甲说的不是游泳正确，是武术错误，所以甲说的半对，满足题意，所以小明选择的是体操，故选：C 二、填空题13．若复数21iz =+，z 是其共轭复数，则z =_______.【正确答案】1i +/1i +【分析】根据复数的四则运算法则化简计算z ，再由共轭复数的概念写出z .【详解】化简()()()21i 222i 1i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以1i z =+.故1i+14．在等差数列{}n a 中，若50a =，则有1290a a a +++= 成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在的等式为______．【正确答案】12171b b b = 【分析】由29117n n b b b +-=⋅，利用类比推理即可得出.【详解】利用类比推理，借助等比数列的性质可知29117n n b b b +-=⋅，即291172168101b b b b b b b ===== ，可知存在的等式为12171b b b = .故12171b b b = 15．执行下面的程序框图，若输入的0k =，0a =，则输出的k 为_______.【正确答案】4【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】输入0k =，0a =，则第一次循环：1a =，1k =，不符合判断框条件，继续循环；第二次循环：3a =，2k =，不符合判断框条件，继续循环；第三次循环：7a =，3k =，不符合判断框条件，继续循环；第四次循环：15a =，4k =，此时满足判断框条件10a >，退出循环，输出4k =.故416．在复平面内，平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D 对应的复数为_________【正确答案】3+5i【详解】试题分析：,,A B C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，(1,3),(0,1),(2,1)A B C ∴-，设(,)D x y ，则：(1,4),(2,1)AB DC x y =--=--，在平行四边形ABCD 中，有AB DC =，即(1,4)(2,1)x y --=--，213{{145x x y y -=-=∴⇒-=-=，即(3,5)D 对应的复数为.35i +故答案应填：35i +．复的几何意义．三、解答题17．计算：（1）(1)(1)(1)i i i +-+-+；（2）2020121()341i i i i+++--【正确答案】（1）1i +（2）4255i +【分析】（1）根据复数的运算法则可得结果；（2）根据复数的除法运算和乘法运算可得结果.【详解】（1）原式2111111i i i i =--+=+-+=+.（2）原式()()()()()()()2020212341343411i i i i i i i ⎛⎫+++ ⎪=+ ⎪-+-+⎝⎭()505451025ii -+=+12155i =-++4255i =+.18．当实数m 取何值时，在复平面内复数()()222334i z m m m m =--+--对应的点满足下列条件：(1)在实轴上；(2)z 是纯虚数.【正确答案】(1)1m =-或4m =(2)3m =【分析】（1）由虚部为0得出m 的值；（2）由纯虚数的定义得出m 的值.【详解】（1）复数z 在复平面内的坐标为22(23,34)m m m m ----因为复数z 对应的点在实轴上，所以2340m m --=，解得1m =-或4m =即1m =-或4m =（2）因为z 是纯虚数，所以2230m m --=且2340m m --≠，解得1m =-（舍）或3m =故3m =19．某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.9，乙机床的次品率是0.2，现从它们制造的产品中各任意抽取一件.(1)求两件产品都是正品的概率；(2)求恰好有一件是正品的概率；(3)求至少有一件是正品的概率.【正确答案】(1)0.72(2)0.26(3)0.98【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据相互独立事件、互斥事件概率计算公式，计算出所求概率.（3）由（1）（2）求得至少有一件是正品的概率.【详解】（1）两件产品都是正品的概率为()0.910.20.72⨯-=.（2）恰好有一件是正品的概率为()()0.90.210.910.20.26⨯+-⨯-=.（3）由（1）（2）得至少有一件是正品的概率为0.720.260.98+=20．证明：(1)>(2)如果0,0,a b >>则ln ln ln22a b a b++≥.【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的性质结合分析法证明即可；（2）由基本不等式结合ln y x =的单调性证明即可.【详解】（1>只需证22>即证1414+>+即证即证126>因为126>（2）当0,0a b >>时，a b +≥2a b+≥a b =时，等号成立ln y x = 在(0,)+∞上单调递增ln2a b+∴≥即11ln ln (ln ln )222a b ab a b +≥=+ln ln ln22a b a b ++∴≥21．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别抽查了两台机床生产的产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床30乙机床40合计90200(1)请将上述22⨯列联表补充完整；(2)能否有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828【正确答案】(1)列联表见解析(2)有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异【分析】（1）直接计算补充列联表即可；（2）先计算2K ，再和10.828比较作出判断即可.【详解】（1）补充完整的22⨯列联表如下：一级品二级品合计甲机床3070100乙机床6040100合计90110200（2）∵()222003040706018.1810.82890110100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99.9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．22．“俯卧撑”是日常体能训练的一项基本训练，坚持做可以锻炼上肢､腰部及腹部的肌肉.某同学对其“俯卧撑”情况作了记录，得到如表数据.分析发现他能完成“俯卧撑”的个数y (个)与坚持的时间x (周)线性相关.x1245y5152535（1）求y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）预测该同学坚持10周后能完成的“俯卧撑”个数.参考公式：121()()()niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑，a y b x ∧∧=-，其中x ，y 表示样本平均值.【正确答案】（1）71y x ∧=-；（2）69个.【分析】（1）根据数据求得均值，代入公式求得回归方程；（2）令10x =代入预测出函数值.【详解】（1）由所给数据计算得1(1245)34x =⨯+++=，1(5152535)204y =⨯+++=，44211()()70,()10,i i i i i x x yy x x ==--=-=∑∑所以，41421()()70710()i i i i i x x y y b x x ∧==--===-∑∑1a yb x ∧∧=-=-故y 关于x 的线性回归方程是71y x ∧=-（2）令10x =，得710169,y ∧=⨯-=故预测该同学坚持10周后能完成69个“俯卧撑”.23．已知函数()ln 3f x a x x =+-．(1)若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()f x 的最小值为2-，求a 的值．【正确答案】(1)240x y --=(2)1a =-【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案.（2）利用函数的导数判断函数的单调性，求得函数的最小值并令其等于-2，得到()1ln 10a a---=，构造函数()1ln 1x g x x =+-,利用导数确定a 的值.【详解】（1）∵()ln 3f x a x x =+-，∴()1a x a f x x x +'=+=,∴当1a =时，()12f =-，()12f '=,∴()221y x +=-,∴所求切线方程为240x y --=．（2）由（1）知，()x a f x x+'=，0x >．当0a ≥时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，此时无最小值；当a<0时，令()0f x '=，得x a =-，当()0,x a ∈-时，()0f x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0f x ¢>,∴()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()()ln 32f a a a a -=---=-，则()1ln 10a a---=．令()1ln 1x g x x =+-，则()21x g x x -'=，∴当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>．∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∵()10g =，∴()0g x =有一个根1x =，∴1a -=，即1a =-．。
四川省仁寿县文宫中学2022-2023学年高二下学期5月月考(文科)数学试题
四川省仁寿县文宫中学2022-2023学年高二下学期5月月考（文科）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．32B ．89．已知函数()2sin f x x x =-，(1,1)x Î-，如的取值范围为（ ）．(0,1)B ．(2,1)-10．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则(f x 是（ ）．1,6a æöÎ-¥ç÷èø．1,2a æöÎ+¥ç÷èø11．已知()22ln f x x x ax =+-在()0,¥+上单调A ．[]1010,1010-B ．[)1010,+¥C ．(],1010-¥-D ．(][),10101010,-¥-+¥U三、解答题17．函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，曲线y ＝f （x ）上点P （1，f （1））处的切线方程为y ＝3x +1（1）若y ＝f （x ）在x ＝﹣2时有极值，求函数y ＝f （x ）在[﹣3，1]上的最大值；（2）若函数y ＝f （x ）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b 的取值范围．18．为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．（1）完成22´列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120，130)内的概率. 21．已知函数()()2=+++，ln21f x x ax a x（1）当1x=处的切线方程；a=时，求()y f x=曲线在1（2）讨论()f x的单调性．22．某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，.收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值新函数m（x），利用基本不等式求出m（x）的最大值，令b大于等于m（x）的最大值即可．【详解】解：（1）由f（x）＝x3+ax2+bx+c，求导数得f′（x）＝3x2+2ax+b，过y＝f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1）即y﹣（a+b+c+1）＝（3+2a+b）（x﹣1）故32321a ba b c++=ìí++-=î，即203a ba b c+=ìí++=î，∵有y＝f（x）在x＝﹣2时有极值，故f′（﹣2）＝0，∴﹣4a+b＝﹣12，则203412a ba b ca b+=ìï++=íï-+=-î，解得a＝2，b＝﹣4，c＝5，f（x）＝x3+2x2﹣4x+5．f′（x）＝3x2+2ax+b＝3x2+4x﹣4＝（3x﹣2）（x+2）男生2名，女生4名，列出所有的基本事件，再利用古典概型公式即可求出结果.【详解】（1）补全2×2列联表如表所示．。
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高二下学期文科数学周测(3)
命题人： 审核人：
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；单项选择题)
1. 在复平面内，复数i
i 1
-对应的点位于(*)
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2. 若复数2
1i z -=
，则50z 等于(*)
(A)i (B)i - (C)1 (D)-1
3. 在十进制中数码01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯.在7进制中数码
3210727070742004⨯+⨯+⨯+⨯=，转换成十进制等于690；那么在5进制中数码2004转换成十进制等于(*)
(A)29 (B)254 (C) 602 (D) 2004 4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已
知直线b ⊆/平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为(*)
(A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)非以上错误
5. 设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +==== ,,n N *∈则
2012()f x =(*)
(A)sin x - (B)cos x - (C)sin x (D)cos x 6. 如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。
一只
青蛙按逆时针方向绕圆从一个点跳到另一点。
若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。
该青蛙从5这点跳起，经2010次跳后它将停在
的点是(*)
(A)1 (B)2 (C) 4 (D)5
7. 已知2()
(1),(1)1()2f x f x f f x +=
=+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为(*)
(A)4()22x f x =+ (B)2()1f x x =+ (C)1()1f x x =+ (D)2
()21
f x x =+
8. 右图是一个三角形数阵，按照这个规律，第十行的所有数的和为(*) (A)900 (B)1000 (C)1100 (D)1200
2
1
2 4 2
3 6 9 6 3
4 8 12 16 12 8 4 … … … … … … … …
姓名： 座号 组别 分数
9. 设R c b a ∈,,，i 是虚数单位，且
i bi
a i
+=++121，则b a +的值等于 2 解：i i i i i i bi a 212321111121+=++=++=++=
+，所以23=a ，21
=b
10. 三角形面积为三边长，p 为半周长),又三角
形可以看作是四边形的极端情形(即四边形的一边长退化为零)．受其启发,
请你写出圆内接四边形的面积公式：S =
d c b a ,,,为圆内接四边形的边长，且)(2
1
d c b a p +++=
11. 平面几何中“周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大。
”类比到空间可
得结论 “表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大。
”
12. 第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，图(1)、
(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = 41 ；()(1)f n f n --= 4（n-1） ．(答案用数字或n 的解析式表示)
三、解答题(本大题4小题，共50分)
13. （12分）已知0>a ，0>b ，且2>+b a ，求证：
a b +1，b
a
+1中至少有一个小于2.
证明：假设
a b +1，b
a +1都大于或等于2，即21≥+a
b ，21≥+b a
，于是a b 21≥+，b a 21≥+，则b a a b 2211+≥+++，所以2≤+b a ，这与2>+b a 相矛盾，所以假设不成立，即原题得证。
（反证法）
14. （12分）已知复数ω满足i )23(4ωω-=-（i 为虚数单位）.|2|5
-+=ωω
z ，
求|z |.
解：设),(R b a bi a ∈+=ω，则i a b i bi a bi a )23(2)223(4-+=--=-+，所以
⎩⎨⎧-==-a b b a 2324，解得⎩⎨
⎧-==12b a ，则i i i i z +=++=-+-=312||25
，1019||=+=z 15. （13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，DB
平分A D C ∠，E 为的PC 中点
，
1,AD CD DB ===（1）证明：//PA 平面BDE （2）证明：AC ⊥平面PBD
（1）证明：设AC 与DB 相交于O ，连结EO ∵AD=CD ，BD 平分∠ADC ， ∴O 是AC 的中点 又∵E 是PC 的中点 ∴EO 是△CPA 的中位线 ∴EO ∥PO
∵⊂OE 平面DEB ，⊄PA 平面DEB ，∴//PA 平面BDE （2）证明：
∵AD=CD ，BD 平分∠ADC ， ∴DB ⊥AC ，
∵PD ⊥平面ABCD ，ABCD AC 平面⊂ ∴PD ⊥AC 又∵PD ∩DB=D ∴AC ⊥平面PBD
16. （13分）在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，
A
B
C
D
P
E O
且55sin =
A ，10
10sin =B .（1）求A+B 的值；（2）若12-=-b a ，求a ，b ，c 的值。
解：(1)∵A 、B 都是锐角，55sin =
A ，10
10
sin =B ∴552sin 1cos 2=
-=A A ，10
10
3cos =B ∴2
2
sin sin cos cos )cos(=-=+B A B A B A ，∵0<A+B<π,∴A+B=4π
(2)设A R a sin 2=，B R b sin 2=，则
12)101055(
2-=-=-R b a ，得2
10
=
R ，所以2=a ，1=b ∵2
2
)cos()](cos[cos -
=+-=+-=B A B A C π ∴5)2
2
(2212=-
⨯-+=c。