“人船模型”的四个变例
人船模型
动量守恒定律的应用2——人船模型一、“人船模型”问题模型：如图所示，质量为M的小船长L，静止于水面，质量为m 的人从船右端走到船左端，不计水对船的运动阻力，则:该过程中船将移动多远？(1)人匀速行走过程(2)人变速行走过程二、“人船模型”的力学特征人和船构成一个相互作用的系统；人和船在相互作用下各自运动；系统所受的合外力为零，从而系统在运动过程中总动量守恒。
三、“人船模型”的分析思路①系统总动量始终为②系统任一时刻，均有：，所以即使人做变速运动，也有：由此可得：人走船，人停船；人匀速则船，人变速则船。
③上式两端同乘以时间t：④由于人相对船相对的距离为L，所以S1+S2 = L⑤人、船相对于地面移动的距离分别为:思考：若有质量不等的甲乙两人分别站在船头和船尾，他们分别朝船尾和船头行走后互换位置，则船最终会在何处？结论与两人行走的时间长短，行走的运动性质等有关吗？四、“人船模型”变例1、变“人船模型”为“人车模型”例1：如图所示，质量为M，长为L的平板小车静止于光滑水平面上，质量为m的人从车右端走到车左端的过程中，车将后退多少？2、变“水平运动”为“竖直运动”例2：如图，总质量为M的气球下端悬着质量为m的人而静止于高度为h的空中，欲使人能沿着绳安全着地，人下方的绳至少应为多长？3、变“直线运动”为“曲线运动”例3：如图所示，质量为M的滑块静止于光滑水平面上，其上有一个半径为R的光滑半球形凹面轨道，今把质量为m且可视为质点的小球自轨道右测与球心等高处静止释放，求滑块向右运动的最大距离。
4、变“质点模型”为“刚体模型”例4：题与例3相同，只是题中的小球不可视为质点，其半径为r，则仍求滑块向右运动的最大距离。
5、变“两体问题”为“多体问题”例5：某人在船上练习射击，人在船的一端，靶在船的另一端，相距为L，人、船、枪、靶的总质量为M，枪膛里另有质量为m的子弹n发。
当人把所有的子弹全部射入枪靶后（子弹打完后留在靶中），船将会后退多远?6、变“通常情况”为“极端情况”例6：光滑水平面上有个斜面体，其质量为M，底面宽度为b。
“人船”模型全解
站 在船 头 。若 不 计水 的粘滞 阻 力 ， 人 从 船 的右端 走 到左 端 ． 此过 程 中船 求 的位移 。
系统 总 动 船 尾 的 过 程 中 ． 和人 的平 均 速度 之 比也 与它 们 船
的质 量 之 比成 反 比， ： 。而人 的
船 模 型本质相 同 ． 于是 直接得
ｓ ： 。
／
图 ５
●—一 —— —◆
ｍ ＋
图 ４
【 解析 】小球和物块组成的系统
２ 把 水 平 方 向变 为 竖 直 方 向 ．
在水 平 方 向上 不受 外力 作 用 ． 因此 水 平方 向 动量守 恒 。 因为 系统初 动量 为 零 ． 以在 小 球 下 滑过 程 中 ． 块 与 所 物 小球 运 动方 向相反 。 只要小球 速度 不
中 ． 明 系统 所 受合 力 为 零 ． 人下 说 故 滑 过程 中系统 动量 守恒 。人 着地 时 ． 软绳 至少 应触 及地 面 ． 设 软绳 长为 若
，
如 图７ 所示 ．质 量 为ｍ、 半
径 为Ｒ的小 球 ， 在 半 径 为 、 量 放 质
为２ ｍ的大 空心 球 内 。大球 开 始静 止 在光 滑 的水 平 面上 ． 当小球从 图示 位 置 无初 速 度 沿 大球 内壁 滚 到最 低 点
特 别策 划 ｌ Ｂ Ｈ １ Ｅｕ ＴＥ Ａ Ｅ ｃ
漱
“ 人船 ＂ 型 全解 模
。 四川 省仁 寿县 钟祥 中学 梁 勇
ｓ，选 人 的运动 方 向为 正方 向。则 有 模 型 ： 图 ｌ 长 为 、 如 ， 质量 为 的 小 船停 在 静水 中 ． 个 质量 为ｍ的 人 一
上． 质量 为ｍ的人 从 车左 端走 到车 右 端 的过 程 中． 车将 后退 多远 ？
人船模型问题
x
5、如图所示，质量为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、半径为r的小球，放在内 半径为R，质量为3m的大空心球内，大球开始静 止在光滑水平面上，当小球由图中位置无初速度 释放沿内壁滚到最低点时，大球移动的距离为多 少？
x大球 +x小球 =R-r mx小球 =3mx大球
Rr x大球 = 4
1、如图，长为l ,质量为M的船停在静水中， 一个质量为m的人（可视为质点）从静止开 始从船头走向船尾，不计水的阻力，求船和 人相对地面的位移各是多少？
取人和小船为对象，它们所受合外力为零
mv 1 Mv 2 0
取人的走向为正方向 设任一 时刻人与船相对地面的速度大 结论： 船变速后退 小分别为v1 、 v2
人船模型（平均动量守恒模型）
1、“人船模型”问题
两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外 力的矢量和为零，则动量守恒．在相互作用的过 程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量 的反比．这样的问题归为“人船模型”问题.
解决“人船模型”应注意两 点 (1)适用条件： ①系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统 初总动量（或某方向初总动量）为零；
4、在平静的湖面上，一人持枪站在静止小船的 一端，向竖立在船另一端的靶子练习射击。已 知船、人、枪（不包括子弹）及靶的总质量为 M，子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子 弹射出枪口时相对于地的速度为v，子弹最终陷 入靶中，不计水的阻力，求小船后退的距离x是 多少？
md=Mx
d+x= L mL
M m
m v2 v1 M
人相对船运动中一直有：
mv1 Mv2 0
v1
v2
mv1t Mv2 t 0
ms 1 Ms 2 0
“人船模型”及其应用
“人船模型”及其应用一、“人船模型”如图所示，设人、船的质量分别为，任一时刻人与船速度大小分别为，作用前都静止。
不考虑水的粘滞阻力，人和船组成的系统在水平方向不受外力，系统在水平方向动量守恒，则①人进船退，人停船停，人由船头走向船尾的这个过程中，始终满足①式，则全过程有：②又③由②③得：二、“人船模型”的变形1.“两人一船”型：例 1.一长为，质量为的船上两端分别站有甲、乙两人，质量分别为和．当两人交换位置后，船移动距离多大？（其中）解：（方法一）先作出如右草图，解法同“人船模型”：①②③④由②③④得，（方法二）等效法：把（）等效为一个人，把（）看成船，用“人船模型”的结论，即得到：。
在此题中，无论甲、乙谁先走还是同时走，无论在运动过程中谁的速度大谁的速度小，也无论谁先到达船的另一头，最终的结果，船移动的方向和距离都是唯一确定的。
2.“多人一船”型：例2.小车静置在光滑水平面上，站在车上的人练习打靶，靶装在车上的另一端。
已知车、人、枪和靶的总质量为（不含子弹），每颗子弹质量为，共发。
打靶时，每发子弹打入靶中，就留在靶里，且待前一发打入靶中后，再打下一发。
若枪口到靶的距离为，待打完发子弹后，小车移动的距离为多少？解：等效为“船模型”总质量为的子弹，运动到小车的另一端，则小车移动的距离可直接由“人船模型”结论得到：。
3.“竖直人船”型：例3.如图所示，质量为的气球下挂着长为的绳梯，一质量为的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？解：由于开始人和气球组成的系统静止在空中，竖直方向系统所受外力之和为零，即系统竖直方向系统总动量守恒。
得：解得：4.“倾斜人船”型：例4.如图所示，在光滑水平地面上，有两个光滑的直角三形木块和，底边长分别为，质量分别为，若，且不计任何摩擦力，当滑到底部时，向后移了多少距离？解：选定木块和整体作为研究对象，在沿斜面下滑的过程中，与“人船模型”类同，该系统在水平方向上所受的合外力为零，所以，在水平方向上动量守恒。
关于人船模型的几个实例
关于人船模型的几个实例关于人船模型的几个实例在中学物理各知识章节中，都有典型的物理模型。
人船模型就是动量守恒定律一章中的理想模型。
一.人船模型适用条件是由两个物体组成的系统，在水平方向动量守恒，在人与船相互作用前，都是静止的。
例1.如图（一）长为L 、质量为M 的小船停在静水中，一个质量为m 的人站在船头，若不计水的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地的位移各是多少解析：以人和船组成的系统为研究对象，在人从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向上不受外力，所以在水平方向上动量守恒。
人起步前系统的总动量为零。
当人加速前进时，船同时向后加速运动，当人匀速前进时，船同时向后匀速运动，当人停下来时，船也停下来。
设某一时刻人对地的速度为v 2，船对地的速度为v 1，以人前进的方向为正方向，根据动量守恒定律有：mv 2-Mv 1=0，大小关系可以写成mv 2=Mv 1，在人从船头走到穿尾的过程中的每一时刻都满足动量守恒，因此每时每刻人和船的速度之比都与它们的质量成反比。
我们知道若系统在全过程中动量守恒（或在某一方向动量守恒），那系统在全过程中的平均动量也守恒。
在相互作用的过程中人和船所用时间是相等的，可以得出人的位移s 2与船的位移s 1之比，也等于它们的质量比，即ms 2=Ms 1.由图可以看出s 1+s 2=L 解之得s 1=mL/（m+M ），s 2=ML/（m+M ）。
在习题中，不乏出现人船模型的变形习题。
二.人船模型的变形.例2.如图（二）气球的质量为M ，下面拖一条质量不计的软梯，质量为m 的人站在软梯上端距地面为H ，气球保持静止状态，求：1）人安全到地面软梯的最小长度。
2）若软梯的长为H ，则人从软梯上端到下端时，人距地面多高。
解：1）令气球上升的距离为h ，而人对地下降H ，根据人船模型的结论有mH=Mh ，L=H+h ，L=（M+m ）H/M 2）令气球上移S 1，人下降S 2，根据人船模型的结论有：MS1=mS 2，S 1+S 2=H ，h 1=H-S 2，解之得h 1=mH/（m+M ）例3.如图（三）一个质量为M ，底边边长为b 的劈静止在光滑的水平面上，有一质量为m 的小球由斜面顶部无初速滑到底部时，劈移动的距离是多少解析：劈和小球组成的系统在水平面不受外力，故在水平方向动量守恒，令s 1和s 2为m 和M 对地的位移。
3-5碰撞与人船模型
碰撞一、弹性碰撞在理想情况下，物体碰撞后，形变能够恢复，不发热、发声，没有动能损失，这种碰撞称为弹性碰撞真正的弹性碰撞只在分子、原子以及更小的微粒之间才会出现①对于一维弹性碰撞,若两个物体质量相等,则碰撞后两个物体互换速度②弹性碰撞：动量守恒, ；动能守恒,两个质量相等的物体相撞速度交换的三个条件：1.质量相等,2.发生的是正碰,3.碰撞是完全弹性碰撞.性质1、v1' −v2' =v2 −v1物件在碰撞前后的平均动量相同；质心的速度不变。
在两个物体发生的弹性碰撞问题中，由于同时满足系统（两物体组成）总动量守恒、总机械能守恒（即碰前总动能等于刚碰后总动能），所以可得两个方程，能求得结果。
若两个物体质量分别是m1、m2，碰前速度分别是V1、V2（含方向），碰后速度分别是V1`、V2`。
则m1* V1＋m2*V2＝m1* V1`＋m2*V2` －－－动量守恒（m1* V1^2 / 2）＋（m2*V2^2 / 2）＝（m1* V1`^2 / 2）＋（m2*V2`^2 / 2）－－－机械能守恒简化一下，得m1* V1＋m2*V2＝m1* V1`＋m2*V2`m1* V1^2 ＋m2*V2^2 ＝m1* V1`^2 ＋m2*V2`^2如果是在一条直线上的弹性碰撞（对心正碰），那么上面二式可写成m1* V1－m1* V1`＝m2*V2`－m2*V2m1* V1^2 －m1* V1`^2 ＝m2*V2`^2－m2*V2^2即m1* （V1－V1`）＝m2*（V2`－V2）－－－－－－－－－－－－方程1m1* （V1^2 －V1`^2 ）＝m2*（V2`^2－V2^2）两式相除，得V1＋V1`＝V2＋V2`－－－－－－－－－－－－－－－－－－－方程2通过以上处理后，得到两个一次幂的方程，很容易求得碰后的速度V1`和V2`。
（解方程组过程略）2、若v1大而两个碰撞物的质量相近，根据上式，v1'将会减少。
“人船”模型及应用
“人船”模型及应用重庆市 垫江中学（408300） 张 雄“人船”模型，不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一。
利用“人船”模型及其典型变形，通过类比和等效方法，可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷，有时甚至一眼就看出结果。
一、“人船”模型原理——质心运动守恒 一个质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度之积，方向与质心速度方向一致。
所以，当系统不受外力或所受合外力为零时，质心的动量守恒——质心将保持原来的匀速直线运动状态或静止状态，即当0F =或0F =∑时0υ=或υ=恒量二、“人船”模型的基本公式和适用条件 如图1所示，长为L 、质量为M 的船停在静水中，一个质量为m 的人站立在船头。
设船的质心在O 处，距船头、船尾分别为1L 和2L 。
当人在船头时，人、船系统的质心在1O 处，距离O 为1l ；当人走到船尾时，人、船系统的质心在2O 处，距离O 为2l 。
若不计水的粘滞阻力，在人丛船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，动量守恒，即水平方向的总动量始终为零——系统的质心位置不变。
所以，当人向右相对船移动距离L ，引起系统的质心向右移动（12l l +）时，船将向左移动同样的距离，即12l l l =+船根据人和船的质量与到质心距离之积相等，有111()m L l Ml -=222()m L l Ml -=将两式相加，可得1212()m m l l L L L M m M m +=+=++所以，当人对船的位移为L 时，船对地的位移为m l L M m=+船 ①人对地的位移为Ml L l L M m=-=+人船 ②若人相对船以水平初速度υ跳出，可以认为在极短的时间t 内，人相对于船的位移为L 。
根据①②式和速度的定义Ltυ=，所以船和人对地的速度分别为mM m υυ=+船 ③MM mυυ=+人 ④这就是“人船”模型的四个基本公式，其物理意义和适用条件如下1、人、船对地的位移与其相对位移和对方的质量之积成正比，与系统的总质量成反比，而与运动性质无关。
高中物理“人船模型” 题型解析
高中物理“人船模型” 题型解析作者：安永娟来源：《学周刊·C》2014年第03期摘要：每年高考都牵动了广大师生的心，而高考命题和高考试题则始终是关注的焦点。
就物理这门学科而言，几十年来考查的知识方法范畴几乎没有太大的变化，所以大家都会发现近年来高考物理试卷中真正有新意的题不多，绝大部分是陈题翻新。
本文重点将“人船模型”的题型进行归类解答，为以后遇到此类问题提供解答基础。
关键词：人船模型解答习题高考试题命题组和命题专家们为了突出重围，必然要“标新立意”“挖空心思”和“绞尽脑汁”。
在动量守恒定律一章中最常见的题型就是“人船模型”，下面我对此类问题进行分析解答。
一、人船模型适用条件是由两个物体组成的系统，在水平方向动量守恒例1：载人气球原静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m，若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？解析：气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒，人着地时，绳梯至少应触及地面。
因为人下滑过程中，人和气球任意时刻的动量大小都相等，所以整个过程中系统平均动量守恒。
若设绳梯长为l，人沿绳梯滑至地面的时间为 t，气球对地移动的平均速度为（l-h）/t，人对地移动的平均速度为-h/t（以向上为正方向）。
根据动量守恒定律，有M（l-h）/t-m h/t=0.解得 l= h. 答案： h说明：（1）当问题符合动量守恒定律的条件，而又仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用平均动量求解。
（2）画出反映位移关系的草图，对求解此类题目会有很大的帮助。
（3）解此类的题目，注意速度必须相对同一参照物。
二、人船模型的变形例2：如图（一）气球的质量为M，下面拖一条质量不计的软梯，质量为m的人站在软梯上端距地面为H，气球保持静止状态，求：（1）人安全到地面软梯的最小长度。
（2）若软梯的长为H，则人从软梯上端到下端时，人距地面多高。
解：（1）令气球上升的距离为h，而人对地下降H，根据人船模型的结论有mH=Mh，L=H+h，L=（M+m）H/M（2）令气球上移S1，人下降S2，根据人船模型的结论有：MS1=mS2，S1+S2=H，h1=H-S2，解之得h1=mH/（m+M）例3：如图（二）一个质量为M，底边边长为b的斜形物体静止在光滑的水平面上，有一质量为m的小球由斜面顶部无初速滑到底部时，斜形物体移动的距离是多少？解析：斜形物体和小球组成的系统在水平面不受外力，故在水平方向动量守恒，令S1和S2为m和M对地的位移。
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“人船模型”的四个变例
（1） 关于“人船模型”
典型的力学过程通常是典型的模型所参与和经历的，而参与和经历力学过程的模型所具备问题：如图—1所示，质量为M 质量为M 的小船长为L 将移动多远？
m υ=Mu
②由于运动过程中任一时刻人，船平均速度大小，υ和u 也应满足相似的关系。
即：
m υ=M u
mS 1=MS 2
S 1+S 2=L
S 1=
M m M +L
S 2=M
m m +L
人船模型”的几种变例
变例1：如图—2的人从车左端走到车右端的过程中，车将后退多远？
解答：变例1中的“人车模型”与“人船模型”本质相同，于是直接得： S 2=
M
m m +L
变例2：如图—3m 的人而静止于高度为h 方的强至少应为多长？
解答：变例2中的h 长则是人与气球的相对位移L 可解得绳长至少为：变例3：如图—4平面上，其上有一个半径为R 质量为m 右运动的最大距离。
解答：变例3船模型”相同， S 2=
M
m m +·2R
④把模型双方的质量比变为极端情况.
变例：如图—5环上下，另一端连着质量为M 球沿水平方向的移动距离 解答：变例4。