06--第六章 不等式
人教版高二数学第六章不等式结课教案-第六章-不等式
第六章 不等式小 结学习目标1. 理解不等式的性质，并能证明；2. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单地应用；3. 掌握证明不等式的常用方法，如：比较法、分析法、综合法、反证法等等。
4. 培养我们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
学习过程一、本章的基本内容 1．不等式的性质定理1：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ； 定理2：如果a>b 且b>c ，那么a>c ．定理3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然 推论1：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+（相加法则） 推论2：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-（相减法则）定理4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac <（乘法单调性） 推论1 ： 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则） 推论1：（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么dbc a >（相除法则） 推论2 如果0>>b a , 那么nnb a >)1(>∈n N n 且 定理5：如果0>>b a ，那么nn b a >)1(>∈n N n 且2．几个重要不等式定理1： 如果R b a ∈,，那么（当且仅当时取“=”） 定理2：如果a ，b 是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当时取“=”）定理3：如果+∈R c b a ,,，那么，（当且仅当时取“=”）推论：如果+∈R C b a ,,，那么33abc c b a ≥++（当且仅当时取“=”）推广：（均值不等式）：≥，3．极值定理：已知y x ,都是正数，则（1） 如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；（2） 如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s 。
第六章不等式介绍
第六章“不等式”简介颜其鹏《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》第二册(上)的第六章内容为不等式，是根据《全日制普通高级中学教学大纲(供试验用)》(以下简称新大纲)必修课的不等式部分编写的。
本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，高一学习了一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法的基础上，研究了不等式的性质，不等式的证明和一些不等式的解法。
本章教学约需16课时，具体分配如下(仅供参考)：6．1不等式的性质约3课时6．2算术平均数与几何平均数约2课时6．3不等式的证明约5课时6．4不等式的解法举例约2课时6．5含有绝对值的不等式约2课时小结与复习约2课时一、内容与要求不等式主要研究数的不等关系。
它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系，在解决各类实际问题时也有广泛的应用。
因此，不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具。
(一)本章的主要内容是不等式的基本性质，不等式的证明，一些不等式的解法和含有绝对值不等式的定理等与现行高中教材“不等式”相比，本章的内容有如下的变化。
l.解一元二次不等式，解简单的分式不等式和解简单的绝对值不等式等内容移到高一(上)第一章“集合与简易逻辑”中介绍。
2.删去了三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用。
3.删去了用数学归纳法证明不等式。
4.删去了解指数不等式和对数不等式。
5.增加了一些利用不等式解决实际问题的例习题。
(二)章头引言安排了一个实际问题——求一个长方体无盖贮水池的最低总造价。
这个问题是一个求函数的最小值的问题，可以用函数的知识来解决，但如果用算术平均数与几何平均数的定理，则很容易。
第一小节是“不等式的性质”。
教科书首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。
不等式的其他性质，都可由它们推导出来，另外，本小节还增加了两个利用不等式的性质证明不等式的例题，这一方面有利于学生运用、掌握不等式的性质及其推论，另一方面，也为学生以后学习不等式的证明打下了基础。
不等式的性质与图像
不等式的性质
加法性
不等式两边同时 加（减）一个数， 不等号方向不变
传递性
若a>b且b>c， 则a>c
乘法性
不等式两边同时 乘（除）一个正 数，不等号方向 不变；乘（除） 一个负数，不等
号方向反转
不等式的解法
一元一次不 等式
化简、整理、判 断正负号
含绝对值不 等式
分情况讨论
多元不等式
用最小值或最大 值进行比较
不等式的变形
换元方法
将不等式中的变 量通过代入或替
换等方法转化
合并同类项
将不等式中的同 类型项合并，简
化计算过程
分式化简
将不等式中的分 式部分化简成整
式形式
不等式的证明方法
证明不等式的成立是数学推理的重要体现。通过 数学归纳法、反证法等方法，可以验证不等式在 特定条件下的有效性。掌握不同证明方法对于提 高数学逻辑推理能力至关重要。
不等式的应用拓展
01 数学竞赛
不等式理论在竞赛中常用于解决复杂问题， 提高得分率
02 科学研究
通过不等式推导，可以总结规律、优化方案， 推动科研进展
03 社会政策
应用不等式理论，优化社会分配方案，提高 资源利用效率
不等式的总结
基本性质
不等式性质和等式相似， 但具有更灵活的计算操作
解法方法
变形技巧、证明方法等多 种方式可解决不等式问题
不等式与代数几何
几何形态分 析
空间图像解读
解决问题
多变量关系
应用案例
立体几何问题
不等式在实际问题中的应用
01 生活中的应用
资源分配问题
02 工程案例
最优设计方案
高中数学复习讲义 第六章 不等式
高中数学复习讲义第六章不等式【知识图解】【方法点拨】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1.掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。
2.一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。
3.线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。
同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。
第1课基本不等式【考点导读】1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。
2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。
【基础练习】1.“a >b >0”是“ab <222a b +”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为12-3.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为161 4.已知lg lg 1x y +=，则52x y+的最小值是2 【范例导析】 例1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 分析：由于450x -<，所以首先要调整符号. 解：∵54x <∴540x -> ∴y=4x-2+145x -=154354x x ⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭≤-2+3=1 当且仅当15454x x-=-，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max 1y =. 例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b+=x y，求x+y 的最小值。
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
不等式的基本性质PPT课件
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
第六章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
答案：A
x＋2y≤4， 2．(2010· 陕西高考)设 x，y 满足约束条件x－y≤1， x＋2≥0， 目标函数 z＝3x－y 的最大值为________．
则
x＋2y≤4， 解析：如图，首先画出线性约束条件x－y≤1， x＋2≥0
的可行
域，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数 z ＝3x－y， 当经过 x＋2y＝4 与 x－y＝1 的交点(2,1)时， 目标 函数取得最大值 z＝3×2－1＝5.
4 线 y＝kx＋ 分为面积相等的两部分，则 k 的值是( 3 7 A. 3 4 C. 3 3 B. 7 3 D. 4
)
(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出
△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
解析：(1)由图可知，线性规划区域为△ 4 4 ABC 边界及内部，y＝kx＋ 恰过 A(0， )， 3 3 4 y＝kx＋ 将区域平均分成面积相等 3 1 5 5 1 4 7 两部分，故过 BC 的中点 D( ， )， ＝k× ＋ ，k＝ . 2 2 2 2 3 3 (2)由两点式得直线 AB、BC、CA 的方程并化简为： 直线 AB：x＋2y－2＝0，
答案：5
x＋y－3≥0， 3．已知实数 x，y 满足x－y＋1≥0， x≤2， (1)若 z＝2x＋y，求 z 的最大值和最小值； y (2)若 z＝x，求 z 的最大值和最小值．
x＋y－3≥0， 解：不等式组x－y＋1≥0， x≤2
所示． 中阴影部分即为可行域．
x＋y－3＝0， 由 x－y＋1＝0， x＝1， 得 y＝2，
1 1 y (2)∵kOA＝2，kOB＝ ，∴ ≤x≤2， 2 2 1 所以 z 的最大值为 2，z 的最小值为 . 2
06【数学】高考数学基础知识总结：第六章 不等式
高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.3,3a b c a b c R abc +++∈≥(4)若、、则（当仅当a=b=c 时取等号） 0,2b aab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么222.1122a ba b ab a b ++≤≤≤+（当仅当a=b 时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-==-≥++--②11111(1)121n n n n n n n nn n +-==--≥+++-（2）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则若nn n n n n n n b a b a b ab a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 ○1()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)12423(1)()223279x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x+=+≥与同号，故取等基础训练一、选择题：只有一项是符合题目要求的． 1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是 A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x <1且x ≠－1}2．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③其中假命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．33．如果x ，y 是实数，那么“xy ＜0”是“|x －y |＝|x |＋|y |”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件4．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则 A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c5．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x xa a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)6.二、填空题：．把答案填在横线上．7．对于－1<a <1，使不等式(12)2x ax +<(12)2x +a －1成立的x 的取值范围是_______ ． 8. 9. 10三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1112．已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合．13.⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．14.设函数f (x )＝|x －m |－mx ，其中m 为常数且m <0．⑴解关于x 的不等式f (x )<0；⑵试探求f (x )存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．15．已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2．⑴当b >0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明a ≤2b ；⑵当b >1时，证明对任意x ∈[0，1]，都有|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ； ⑶当0<b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0，1]，都有|f (x )|≤1的充要条件．16。
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年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编第六章《不等式》一、选择题（共15题）1．（安徽卷）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,2)-∞⋃(2,)+∞解：由112x <得：112022x x x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。
2．（江苏卷）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a a a a 1122+≥+（C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
【正确解答】运用排除法，C 选项21≥-+-ba b a ，当a-b<0时不成立。
【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 3．（江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解： 故选D 4．（山东卷）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 (A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞）(C)（1，2）⋃ （10 ，+∞） (D)（1，2）11bx b 001x x b a 11ax x a 00x x1x 0x x bx 1011b x x x 1ax 01b a x x 0a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⇔⇔⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩＋＋－－－或－（＋）－或（－）或解：令12x e ->2（x <2），解得1<x <2。
令23log (1)x ->2（x ≥2）解得x ∈（10，+∞）选C5．(陕西卷)已知不等式(x+y)(1x + a y)≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8解析：不等式(x +y )(1a x y +)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y ax a x y+++≥1a +≥9，∴ ≥24(舍去)，所以正实数a 的最小值为4，选B ．6．(陕西卷)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(0<a<3),若x 1<x 2,x 1+x 2=1－a,则( )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定解析：函数f (x )=ax 2+2ax +4(0<a <3)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，0<a <3，∴ x 1+x 2=1－a ∈(－2，1)，x 1与x 2的中点在(－1，21)之间，x 1<x 2，∴ x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，∴ f (x 1)<f (x 2) ，选A ．7．(陕西卷)已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定解析：函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为1x =-，a >0，∴x 1+x 2=0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴ x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，∴f (x 1)<f (x 2) ，选A ．8．(陕西卷)设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为( ) A. 6 B.9 C.12 D.15解析：x ，y 为正数，(x +y )(14x y+)≥414y x x y +++≥9，选B . 9．(上海卷)若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ ）（A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M ．解：选（A ）方法1：代入判断法，将2,0x x ==分别代入不等式中，判断关于k 的不等式解集是否为R ；方法2：求出不等式的解集：x k )1(2+≤4k ＋4422min 222455(1)2[(1)2]2111kx k x k k k k +⇒≤=++-⇒≤++-=+++； 10．(上海卷)如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）（A ）11a b< （B <（C ）22a b < （D ）||||a b > 解：如果0,0a b <>，那么110,0a b <>，∴ 11a b <，选A.11．（浙江卷）“a ＞b ＞c ”是“ab ＜222b a +”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 【考点分析】本题考查平方不等式和充要条件，基础题。
解析：由0>>b a 能推出222b a ab +<；但反之不然，因此平方不等式的条件是R b a ∈,。
12．（浙江卷）“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件解：由“a ＞0，b ＞0”可推出“ab>0”，反之不一定成立，选A13．(重庆卷)若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2解析：若,,0a b c >且()423,a a b c bc +++=- 所以2423a ab ac bc +++=-，2222211423(44422)(4442)44a ab ac bc a ab ac bc bc a ab ac bc b c -=+++=+++++++++≤∴ 22(232)(2)a b c -++≤，则(2a b c ++)≥232-，选D.14．(重庆卷)若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（A ）23 （B ）3 （C ）2 （D ）3解：（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝12＋（b －c ）2≥12，当且仅当b ＝c 时取等号，故选A15．（上海春）若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )（A ）b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >. 解：应用间接排除法．取a=1,b=0，排除A. 取a=0,b=-1，排除B; 取c=0，排除D ．故应该选C ．显然 ，对不等式a>b 的两边同时乘以 ，立得 成立．二、填空题（共6题）16．（江苏卷）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 【思路点拨】本题考查对数函数单调性和不等式的解法【正确解答】1(6)822log 3log x x ++≤=，0〈168x x ++≤，∴12160x x x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩. 解得{}(322,322)1x ∈---+⋃【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.17．(上海卷)三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．解：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225,112|5|ax x a x x x x≤≤⇒≤++-，而2525210x x x x+≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25[|5|]10a x x x x≤++-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞；18．（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______ 吨．解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x⋅+万元，40044x x ⋅+≥160，当16004x x=即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
19.（浙江卷）不等式102x x +>-的解集是 。
. 解：102x x +>-⇔（x ＋1）（x －2）>0⇔x <－1或x >2. 20.（上海春）不等式0121>+-x x 的解集是 . 解：应用结论： ．不等式 等价于(1-2x)(x+1)>0，也就是，所以 ，从而应填 ．21.（上海春）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .解：设直线 l 为，则有关系 ． 对 应用２元均值不等式，得，即ab ≥8 ．于是，△OAB 面积为．从而应填4． 三、解答题（共1题）22.（湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:1()-污物质量物体质量含污物)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a (1≤a ≤3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81x x ++(1x a >-),用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是y ac y a++,其中(0.80.99)c c <<是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及0.95c =时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(Ⅱ)若采用方案乙,当a 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z,由题设有0.81x x ++=0.99,解得x=19. 由0.95c =得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y 满足方程:0.950.99,y a y a+=+解得y=4a ,故z=4a +3.即两种方案的用水量分别为19与4a +3. 因为当13,4(4)0,a x z a x z ≤≤-=->>时即,故方案乙的用水量较少.（II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得545(1)c x c -=-，(99100)y a c =-（*） 于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1100(1)15(1)a c a c =+---- 当a 为定值时,12100(1)14515(1)x y a c a a a c +≥⨯--=-+-,当且仅当1100(1)5(1)a c c =--时等号成立.此时 1)1(0.8,0.99),c c ==不合题意,舍去或将1c =*）式得11,.x a y a =>-= 故1c =-时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为1a 与, 最少总用水量是()1T a a =-+.当'13,()10a T a≤≤=>时,故T(a )是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.。