数学建模-城市公交线网问题

进行
比较。假如求得的
已接近理想值
，而
小于理想值
太多。决策
者要求提高 的值，为此决策者提出将 提高到 ，以便使 增大，这是分析者根据决策 者的要求，将原约束条件修改为
:
因为将第二个目标值的要求放宽了，所以权系数 ，于是线性规划问题为
LP(2):
求解 LP(2)得到
相应的目标值
8
模型结果分析
1 没有考虑到一天时间内的人流量变化，在早高峰和晚高峰时段，原有的平均客流量所 计算出的车流量是不能满足需求的，容易造成交通拥堵，所以考虑在高峰时间段增加 A 快速公交：改变原有公交的速度，使得每一个站点间的运输时间减少 B 区间车：只考虑客流量大的起点和终点，路线中间的站点不会作停留，减少车辆停靠 时间 2 只考虑了公交线网优化设计，没有考虑各公交线网的发车频率，每条线路的平均客流 量是不同的，根据客流量的不同，每条公交线路的发车频率应该适当的进行调整。 3 没有考虑乘客的出行费用，不满足公共交通作为城市基础设施便民的目的。 4 交通限流：当原有的线路由于条件限制，但随着城市化的加快客流量的增多无法再进 行扩容的时候，进行高峰期交通限流
符号说明
符号 A aij SM si V µ
δ ρ
T0 L LG Lij
VL
符号意义 O-D 调查所得的 O-D 矩阵 A 中的项，从第 i 小区到第 j 小区的客流量
小区面积集 第 i 小区的面积，且 si ∈SM
乘客步行的平均速度 路网密度有关的系数，取值范围为 2—4
平均发车间隔时间（δ 可取经验常数） 平均留站率（ ρ 可取经验常数） 从下车站到上车站的中转时间
乘客下车后步行到达目的地的最短距离 同一线路中公交两相邻节点 s 至节点 t 的距离
同一线路中相邻节点 s’至节点 t’的距离 可通路网中相邻节点 s 至节点 t 的距离 公交节点 s 到节点 t 的客流量 公交节点 s 到节点 t 的车流量
线路起终点（i,j）之间直达乘客量（人次） 交通小区 i 至交通小区 j 之间的 O-D 量（人次）
用线性模型解决城市公交线网多目标优化问题
摘要
对现有的城市公交线网进行优化，就要有效利用现有交通资源，通过对城市线网 优化的主要内容，优化原则，优化目标和约束条件的分析，从城市公交企业设计角度考 虑线网日均满载程度，线网覆盖的全面程度，线路重复程度从而减少优化资金投入，降 低工作人员工作强度，使公交企业经济效益达到最大化，同时兼顾乘客需求，使出行时 间最少，直达率最大，所需费用最少。以上优化原则成为目标函数的最值求解，通过约 束条件作为阻抗函数，分析线路非直线系数，线路客流量不均匀程度，乘客平均转换次 数，线路负载效率系数，总步行距离限制，线路长度的限制，用定量分析法将城市公交 线网优化目标函数，得到公交线网的优化的线性模型，应用逐步筛选法对所提出的数学 模型进行求解，由最值得到城市公交线网优化的最佳方案。双层规划比单层规划可以同 时分析决策过程中两个不同的，相互矛盾的目标，更加的接近实际情况，明确的表示供 需双方的相互作用，通过构建上述的线性模型，可以发现目标函数和约束条件的变量之 间会发生矛盾，因此采用双层规划模型，描述城市公交系统连续平衡网络设计问题，在 模型中，上层模型是一个标准的网络设计模型，由公交企业设计出发，依据目标函数达 到最优解，用于频率的优化设计，下层模型是一个公交网络平衡配流模型，反映公交用 户的路径选择行为，应用逐步筛选法，设计切实可行的启发式求解算法，然后由公交设 计的社会基础建设目标出发，主要考虑双层模型中的公交用户层，以公交用户利益优先 选择目标函数，给出一个简单的算例加以验证，得到的结果与实际生活较为接近。另外 我们还初步讨论了蜘蛛网模型和棋盘模型，真正的实际问题应该在具体实际数据上的各 种模型的兼容。
4
图一
图二
为了使公交网络更加明确，便于构造数学模型，利用组合路径，将一个 O-D 对间具 有相同起止点和换乘点的路径合并成一条路径的虚拟路径。组合路径由一系列的组合路 段组成，每个组合路段就是一个 O-D 对间的一个旅行区段。组合路径使得公交线路更加 简单化。每一个组合路径都是由不同的组合路段所构成的。
得到最优解
x (1)
=
(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 )T
，及相应的目标值
f11
=
b1 ,
f
1 3
=
b2即f
1 2
=
−b2 ；
x (2)
=
(a1' , a2 ' , a3' , a4 ' , a5 ' , a6 ' )T
，及相应的目标值
f
1 1
= b1' ,
f
1 3
=
b2
'即f
公交企业 线网日均 线路重复 经济效益 满载率 系数
城市公交线网的约束条件 （1）线路长度的限制：线路的最佳长度与平均运距有关。平均运距指平均每一位乘客 出行的乘车距离。为了减少平均换乘次数，路线平均长度应大于平均运距。路线果断， 效益不佳，换乘次数增加，线路过长，车辆班次安排和调度有困难，工作人员容易疲劳。 一般情况下： lmin ≤ lI ≤ lmax , I ∈ R ， lmin ， lmax 分别为线路长度的上下极限（km），其中 lmin
线路重复系数=公交线路总长/有公交的道路总长
∑ ∑ ∑( ) ⎡
⎤
L ÷ ⎢ L - L ∩ L ⎥ R=
S −t
⎢⎣ ⎥⎦ LS−t∈LG
S −t
S-t
LS−t ∈LG
LS-t ,LS,−t, ∈LG ,
S , −t,
优化数学模型 Max f1 = a1X + a2Y + a3Z + a4S Min f2 = a5T + a6R ai 为相关的修正系数，都为正数（i=1,2,3,4,5,6)
∑ 数。ηk = [(Qij + Qji )lij ] /(2Qk Lk )。式中：i,j 分别为第 k 条线路上第 i 个和第 j 个站
1≤i< j≤ Nk
点； Qij 和 Qji 分别为第 k 条线路上第 i 个和第 j 个站点之间两个方向上的客流量； lij 为
第 k 条线路上第 i 个和第 j 个站点之间的线路长度； Qk 为第 k 条线路上的最大流量； Lk
关键字：公交线网 多目标优化 线性模型 双层规划
问题重述
随着城市化进程的推进，城市人口数量增加，使公交客流量增加，城市交通拥堵， 城市范围扩大，居民小区在原有的基础上进行了大量的增加，原有的公交线网已经不能 完全覆盖居民的出行范围，公交站点的缺少，换乘的不方便，增加了乘客出行的时间。 为了方便居民的出行，减少城市交通拥堵的情况，基于城市的发展状况和现有的道路发 展与公交线路，以双层规划的模式，使供求双方的利益达到最大化。
公交线网的线性模型[1] 乘客总出行时间
∑ T=
Tijaij ，
式中： aij ∈A； Tij = λ1T1 + λ2T2 + λ3T3 + λ4T4 + λ5T5 （ λ1λ2λ3λ4λ5 为相关的修正系数）
T1 为每位乘客从出行点到相应车站的步行时间，且T1 = ( si + s j ) /(µV )
T2
为车站的候车时间，
T2
=（ 1 2
+
ρ）δ
T3
为中转换乘时间， T3
=
δ（ 1 2
+
ρ）+
T0
T4
为车辆行驶时间， T4
=
Lij VL
5
T5
为下车后乘客步行到达目的地的时间， T5
=
Ld µV
线网覆盖率（X≧0.5)
X=[有公交的道路总长/可通行路网道路总长]
∑ ∑( ) ∑ ⎡
⎤
⎢ L - L ∩ L ⎥ ÷ l S−t
1 2
=
−b2 '
步骤二 求权系数，见表 1
表 1 权系数
x (1) x (2) M j ( j = 1,2)
f1
f3
b1
b2
b1
b2
b1
b2
表1
7
用表中的数据，可以计算得到
于是求得权系数 步骤三 求解一下线性规划问题，即
min
LP(1)
由此可以解得为
相应的目标值
步骤四 分析者把计算结果告诉决策者，决策者将这结果与理想值 =
3
按运行要求约为 5km， lmax 按运行要求约为 15km。 （2）线路非直线系数的限制：线路拐弯过多，行驶不便，也易引起道路阻塞。一般情 况下：l/d ≤ 1.4, l 为线路 I 的长度（km），d 为线路起，终点站间空间直线距离（km）。
（3）线路的路段客流量不均匀系数的限制：路段不均匀系数是指统计时间内营运线路 某段客流量与平均路段客流量之比值。路段不均匀系数大于 1 的路段称为客流高峰路段， 必要时考虑在规定时间内开辟区间车。一般情况下 QI / qI ≤ 1.5 ，其中 QI 为线路中最大
通行公交车辆的道路网节点数 交通小区总数
第 k 条路线的节点 i 至 j 路段客流量（人次） 第 k 条路线的节点 i 至 j 路段车容量（人次） 第 k 条路线的节点 i 至 j 路段客流量间距离（km）
公交线路数 乘客总出行最短时间
线网覆盖率 公交企业经济效益
乘客直达率 线网日均满载率 线路重复系数
为第 k 条线路的长度； Nk 为第 k 条线路上站点的总数。 （6）线路重叠系数的限制：重叠系数指同一道路路段上通行的公交线路数。线路多了， 车站设置有困难，如果多条线路的车站设在一起，各线路的车辆同时停靠容易造成该路 段的交通紊乱，一般情况下，e ≤ 3，e 为重叠系数。 （7）总步行距离的限制：从出发点到公交车站和从下车站到目的地都要步行一段距离。 步行距离是人们选择出行路线的重要因素。步行距离长了会增加出行者耗费的时间和精 力，降低方便性，所以总步行距离越小越好。一般情况下，乘客平均步行时间应该限制 在 5.14—8.44min.