银行复利计算

（方案 1 ） 解：设每期所付款额 x 元，那么到
最 后1次付款时付款金额的本利和为： x (1+1.0084+1.0088 ) 元。 另外，5000元商品在购买后12个月后的本利 和为5000· 1.00812元。 由题意得 x· (1+1.0084+1.0088)＝5000· 1.00812
3
引导探究1
解 ：设每月应付款x元， 1.008-x 购买1个月后的欠款数为 5000· 购买2个月后的欠款数为( 5000· 1.008-x)· 1.008-x 即 5000· 1.0082-1.008x-x 1.0082-1.008x-x)· 1.008-x 购买3个月后的欠款数为 (5000· 即 5000· 1.0083-1.0082x-1.008x –x ……
1
3次
购买后4个月第1次付款， 再过4个月第2次付款， 再过4个月第3次付款。 购买2个月第1次付款， 再过2个月第2次付 款……购买后12个月第6 次付款。
购买后1个月第1次付款， 再过1个月第2次付款…购 买后12个月后12次付款。
1775.8 元
5327元
327元
2
6次
880.8 元
5285元
第5次付款 ( 即最后一次 付款)x元。 ( 由于款已全 部付清，因 此这一期付 款没有利息)
第4次付 款x元后 到款全 部付清 时连同 利息之 和
各次（期）所付的款以及各次（期） 所付款到最后一次付款时所生的利 息之和
商品的售价及从 购买到最后一次 付款时的利息之 和。
分析：利用分期付款的有关规定直接列出方程
引导探究2
1
3次
购买后4个月第1次付款， 再过4个月第2次付款， 再过4个月第3次付款。 购买2个月第1次付款， 再过2个月第2次付 款……购买后12个月第6 次付款。
购买后1个月第1次付款， 再过1个月第2次付款…购 买后12个月后12次付款。
2
6次
3 注
12次
规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。
购买一件售 价为5000元 的商品，采 用分期付款 的办法，每 期付款数相 同，购买后 1 个月第 1 次付 款，再过 1 个 月第 2 次付款， 如此下去， 购买5个月后的欠款数为： 共付款 5 次后 5000· 1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x 还 清 ， 如 果 按 月 利 率 由题意 5000· 1.0085-1.0084x–1.0083x-1.0082x-1.008x –x=0 0 . 8 % ， 每 月 即 x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000· 1.0085 利 息 按 复 利 计算（上月 1.0085 1 利息要计入 于 是, x 5000 1.0085 下月本金）， 1.008 1 那么每期应 5000 1.0085 (1.008 1) 付款多少?(精 x 1024 (元) 确到1元） 1.0085 1
• 1、掌握单利、复利计算 • 2、掌握银行的分期付款问题
独立自学
（ 1 ）按复利计算利息的一种储蓄，本金 为a 元，每期利率为 r ，设本利和为 y ，存期 为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。
（2）如果存入本金a元,每月的利率为 0.8%, 试分别计算 1 月后 ,2 月后 ,3 个月后， ……12个月后的本利和是多少？
解法2：设每月应付款x元 ， 那么到最后1次付款时（即商品购买5个月后） 付款金额的本利和为： （x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x）元； 另外，5000元商品在购买后5个月后的本利和为 5000· 1.0085元。 根据题意， x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000· 1.0085 （以下同解法1）
课题导入
分期付款方式在今天的商业活动 中应用日益广泛，为越来越多的顾客 所接受，这一方面是因为很多人一次 性支付售价较高商品的款额有一定的 困难，另一方面是因为不少商店也在 不断改进营销策略，方便顾客购物和 付款， 可以说分期付款与每个家庭、 每个人的日常生活密切相关。
数列的应用
—分期付款问题
目标引领
（ 1 ）按复利计算利息的一种储蓄，本金 为a 元，每期利率为 r ，设本利和为 y ，存期 为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。 答：x期后的本利和为y=a（1+r）· x （2）如果存入本金a元,每月的利率为 0.8%, 试分别计算 1 月后 ,2 月后 ,3 个月后， ……12个月后的本利和是多少？ 解:已知本金为a元, 1月后的本利和为a(1+0.8%) 2月后的本利和为a(1+0.8%)2 3月后的本利和为a(1+0.8%)3 …… 12月后的本利和为a(1+0.8%)12
顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多 少，这样才便于比较。
（方案3）略解：
x· (1+1.008+1.0082+…+1.00811 )＝5000· 1.00812
x 5000 1.00812(1.008 1) 1.008 1
12
438.6(元)
m n 2m n ( n 1) m n
x x(1 p) x(1 p)
x(1 p)
a(1 p) m
m [(1 p ) n ]n 1 x a (1 p) m m (1 p) n 1
a (1 p ) m [(1 p ) 1] x (1 p ) m 1
各期所付款额连同到最后一次付款所生的利 息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款 时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关 键步骤列方程的依据）。
顾客购买一件售价为 5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部 付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。 方案 类别 分几次 付清 付款方法 每期所 付款额 付款 总额 与一次性 付款差额
(1.008 ) 1 12 x 50001.008 4 1.008 1
1.008 1 每期所付款额为1775.8元，付款总额约为5327元， 与一次性付款差额为327元 x 5000 1.00812(1.0084 1)
12
1775 .8(元)
顾客购买一件售价为 5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部 付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。 方案 类别 分几次 付清 付款方法 每期所 付款额 付款 总额 与一次性 付款差额
这就是说，每月应付款1024元。
从最后一次付款（即款全部付清）时的角度看
x+1.008x+1.0082x+1.0083x+1.0084x=5000· 1.0085
第3次付 款x元后 到 款 全 部 付 清 时 连 同 利 息 之 和 第2次付 款x元后 到款全 部付清 时连同 利息之 和 第1次付 款x元后 到款全 部付清 时连同 利息之 和 5000 元商 品在购买 5个月后 （即货款 全部付清 时）连同 利息之和
每期所付款额为438.6元，付款总额约为5263 元，与一次性付款差额为263元
（方案2）略解：由题意得:
x· (1+1.0082+1.0084+…+1.00810 )＝5000· 1.00812
x 5000 1.00812 (1.0082 1) 1.008 1
12
880.8(元)
每期所付款额为 880.8元，付款总额约为5285 元，与一次性付款差额为285元
购买一件售价为 5000 元的商品，采用 分期付款的办法，每期付款数相同，购买 后1 个月第1 次付款，再过1个月第2次付款， 如此下去，共付款5次后还清，如果按月利 率0.8% ，每月利息按复利计算（上月利息 要计 入下月本 金 ） ， 那 么 每 期 应 付 款 多 少?(精确到1元） 分析：本题可通过逐月计算欠款来处理， 根据题意，第5个月的欠款数为零，据此可 得等量关系。
m n
当堂诊学
• 中加双语学校艾晓明老师为了改善 家里的住房条件，决定重新购房， 需要向银行贷款，共向中国银行贷 款20万，贷款年数20年，按照现行 的银行年利率6.5%，那么他每年需 要向中国银行还款多少呢？
强化补清
285元
3 注
12次
438.6 元
5263元
263元
规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。
顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多 少，这样才便于比较。
一般地，购买一件售价为a元的商品，采 用上述分期付款时要求在m个月内将款全部付 清，月利率为p，分n（n是m的约数）次付款， 那么每次付款数的计算公式是什么？ 解:由题意 得:
从数学的角度看，本课题是等比数列前n项和 的公式在购物付款方式上的一个实际应用。问题的 关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤 其要弄清以下情况和规定： 在分期付款中，每月的利息均按复利计算； 分期付款中规定每期所付款额相同；
分期付款时，商品售价和每期所付款额在货 款全部付清前会随着时间推移而不断增值；