10-分析动力学9-Kane方法(课堂PPT)
合集下载
基于Kane法的五杆式人机合作机器人动力学分析及仿真
引言
是牛顿的矢量力学和拉格朗日的分析力学[7-9]。矢量力学需
人机合作机器人（collaborative robot 简称 Cobot）的出 现使机器人和操作者在同一工作空间内协同作业成为可能。 Cobot 以 被 动 和 约 束 方 式 工 作 ， 利 用 不 完 全 约 束 机 构 （Nonholonomic Constrant Tansmission ，简称 NCT）使动力 源的运动只改变关节之间的速度比，对机器人末端的运动轨 迹只能进行约束而不是驱动。操作者和 Cobot 合作时，承载 重力、轨迹约束控制等功能由 Cobot 完成，操作者只需提供
第 21 卷第 6 期 2009 年 3 月
系 统 仿 真 学 报© Journal of System Simulation
Vol. 21 No. 6 Mar., 2009
基于 Kane 法的五杆式人机合作机器人动力学分析及仿真
路敦民 1, 张立勋 2, 杨向东 3, 陈 恳 3
(1.北京林业大学工学院, 北京 100083；2.哈尔滨工程大学机电工程学院, 哈尔滨 150001；3.清华大学精仪系, 北京 100084)
要将机构的每一个构件都进行隔离，对每个构件都建立相应 的牛顿方程和欧拉方程，方程中包含了不做功的内力（矩） 和外力（矩），求解时常采用递推算法，十分繁琐，工作量 大。拉格朗日基于功能原理把整个系统描述成一个封闭的数 学表达式，方程中包含有大量的积分和求导，给求解带来困 难。美国学者Kane在20世纪60年代发明了Kane方法，Kane 方法综合了分析力学与矢量力学的优点，采用广义速率作为 广义坐标的独立变量，引入偏速度（偏角速度）的概念，建
3. Department of Precision Instruments and Mechanology, Tsinghua University, Beijing 100084, China)
第8章化学动力学ppt课件
T /K
376 463
lnk2
10 20
增加
1倍
1000 2000 100 200 1倍
lnk/[k]
活化能更高
200 100
20
10
活化能较低
1
活化能较高
(b) 对不同反应，Ea 大，k随T的变 化也大，如 Ea(3)Ea(2)。
1
T /K
ln k 2
3
2
2000 1000 1 463 376 T /K
基元反应中，同时直接参加反应的分子（或离子、 原子、自由基等）的数目称为反应分子数。
根据反应分子数可将基元反应分为单分子反应、双 分子反应和三分子反应。例如：
单分子反应：SO2Cl2＝SO2+Cl2 双分子反应：NO2+CO＝NO+CO2 三分子反应：H2+2I＝2HI
Note：按照反应的分子数来分类，只适合于基元反应。
如果 aA + bB = dD + eE 为基元反应，
则:
ka ccb
AB
Note：
①质量作用定律仅适用于基元反应。
②只有基元反应，才能说反应分子数！ 在基元反应中，反应级数和反应分子数数值 相等，都是反应物的计量系数之和，但反应 分子数是微观量，反应级数是宏观量。
③组成复杂反应的每个基元反应都有自己的速 率方程；但它的总反应速率方程是由实验确 定的。
瞬时速率是初始速率 0
从瞬时速率的定义, 可以归纳出瞬时速率的求法:
(1) 做浓度— 时间曲线图; (2) 在指定时间的曲线位置上做切线; (3) 求出切线的斜率(用做图法, 量出线段长, 求出比 值)
例题：2700s时的瞬时速率：
A点的斜率= (50 .5 8 .10 4) 4 0 120 2.5 81 0 5
376 463
lnk2
10 20
增加
1倍
1000 2000 100 200 1倍
lnk/[k]
活化能更高
200 100
20
10
活化能较低
1
活化能较高
(b) 对不同反应，Ea 大，k随T的变 化也大，如 Ea(3)Ea(2)。
1
T /K
ln k 2
3
2
2000 1000 1 463 376 T /K
基元反应中，同时直接参加反应的分子（或离子、 原子、自由基等）的数目称为反应分子数。
根据反应分子数可将基元反应分为单分子反应、双 分子反应和三分子反应。例如：
单分子反应：SO2Cl2＝SO2+Cl2 双分子反应：NO2+CO＝NO+CO2 三分子反应：H2+2I＝2HI
Note：按照反应的分子数来分类，只适合于基元反应。
如果 aA + bB = dD + eE 为基元反应，
则:
ka ccb
AB
Note：
①质量作用定律仅适用于基元反应。
②只有基元反应，才能说反应分子数！ 在基元反应中，反应级数和反应分子数数值 相等，都是反应物的计量系数之和，但反应 分子数是微观量，反应级数是宏观量。
③组成复杂反应的每个基元反应都有自己的速 率方程；但它的总反应速率方程是由实验确 定的。
瞬时速率是初始速率 0
从瞬时速率的定义, 可以归纳出瞬时速率的求法:
(1) 做浓度— 时间曲线图; (2) 在指定时间的曲线位置上做切线; (3) 求出切线的斜率(用做图法, 量出线段长, 求出比 值)
例题：2700s时的瞬时速率：
A点的斜率= (50 .5 8 .10 4) 4 0 120 2.5 81 0 5
酶动力学分析PPT课件
第20页/共101页
• 式（3-12 ） 即米 氏 方 程 ， 式中 的 两 个 动 力学 参 数 是 KS和 rP,max。 其 中 ：
KS
k1 k1
CSCE C[ ES ]
KS表示了酶与底物相互作用的特性。KS的单位和CS的单位相同， 当rP=1/2 rP,max 时，存在KS=CS关系。
rP,max =k+2CE0。表示当全部酶都呈复合物状态时的反应速率。
• 根据质量作用定律，P的生成速率可表示为：
rP k2CES
( 3-11 )
式中：
C[ES] —中间复合物[ES]的浓度，它为 一难测定的未知量，因而不能用它来 表示最终的速率方程。
第16页/共101页
对上述反应机理，推导动力学方程时的三点假 设：
• （1）在反应过程中，酶的浓度保持恒定，即： CE0=CE+C[ES]。
建立反应动力学方程
确定适宜的操作条件
第3页/共101页
酶促反应特征
• 优点：
• 不足：
• 反应在常温、常压、中性pH范围进行，节能且效 率高。
• 反应专一性强，副产物生成少； • 反应体系简单，反应最适条件易于控制。
• 反应仅限少数步骤，经济性差； • 反应周期较长；
第4页/共101页
第一节 均相酶促反应动力学
一级反应速率方程。
rS
rmax很大时，大部分酶为游离态的酶，而C[ES] 的量很少。要想提高反应速率，只有通过提高CS值， 进而提高C[ES]，才能使反应速率加快。因而此时反 应速率主要取决于底物浓度的变化。
将上式进行重排，积分，可以推出
rmaxt
Km
ln
CS0 CS
第28页/共101页
10-分析动力学9-Kane方法(课堂PPT)
N
N
Fi
v(v) i
(mir&&i ) vi(v) 0
i 1
i 1
其中： vi( v )
r&i uv
方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？
2
Page 5
例1：质点系的Kane方程
广义速率： u1 x&;u2 &
y mA g x
质点的速度为：
O
A
x
r&A u1i
r&B u1i lu2 (cosi sin j)
0
2
u3
u3 u2 Au1 (C B)u2u3
0
u1
Bu2
(
A
C )u1u3
u2 u1 0 Cu3 (B A)u1u2
因此得到 F%1* Au&1 (C B)u2u3
类似求出
F* (2)
Bu&2 (A C)u3u1
F* (3)
Cu&3 (B
A)u1u2
代入Kane方 程，得到
l
u&1e1 u1ω e1 u&2e2
)e1
(u&2
u1u2 l
)e2
u2ω
e2
角加速度：
ε
u&2 l
e3
2
Page 20
例3：非完整系统
F%v*
MaC
v(v) o
JC ε ω
JC ω
ω(v) o
ye2 vA
F%v
F
v(v) o
Lo
ω(v)
C e1
外力垂直于伪速度：F%1 0; F%2 0
ω(v)
动力学介绍与模态分析.ppt
M1-24
动力学 - 基本概念和术语
质量矩阵（接上页）
应当采用哪种质量矩阵? • 对大多数分析来说，一致质量矩阵为缺省设定； • 若结构在一个方向的尺寸与另两个方向相比很小时，可采用简化质
量矩阵（如果可能得到的话）或集中质量矩阵例如细长的梁或很薄 的壳； • 集中质量矩阵可用于波的传播问题。
M1-25
M1-14
动力学 - 基本概念和术语
运动方程(接上页)
其中: [M] [C] [K] {F} {u} {ů} {ü}
= 结构质量矩阵 = 结构阻尼矩阵 = 结构刚度矩阵 = 随时间变化的载荷函数 = 节点位移矢量
= 节点速度矢量 = 节点加速度矢量
M1-15
动力学 -基本概念和术语
求解方法
如何求解通用运动方程 ? • 两种主要方法：
M1-27
动力学 - 基本概念和术语
阻尼（接上页）
滞后和固体阻尼 • 是材料的固有特性 • 在动力学分析中应该考虑 • 认识还不是很透彻，因此很难定量的确定
库仑或干摩擦阻尼 • 物体在干表面上滑动时产生的阻尼 • 阻尼力与垂直于表面的力成正比
– 比例常数 m 就是摩擦系数 • 动力学分析中一般不予考虑
M1-30
动力学 - 基本概念和术语
阻尼（接上页）
a 阻尼
• 亦可称作质量阻尼
• 只有当粘度阻尼是主要因素时才规定此值
，如在进行各种水下物体、减震器或承受
a3
风阻力物体的分析时
Damping Ratio
• 如果忽略b 阻尼，a 可通过已知值x（阻尼
2
比） 和已知频率w来计算：
a = 2xw
1
因为只允许有一个a值,所以要选用最主要
动力学 - 基本概念和术语
质量矩阵（接上页）
应当采用哪种质量矩阵? • 对大多数分析来说，一致质量矩阵为缺省设定； • 若结构在一个方向的尺寸与另两个方向相比很小时，可采用简化质
量矩阵（如果可能得到的话）或集中质量矩阵例如细长的梁或很薄 的壳； • 集中质量矩阵可用于波的传播问题。
M1-25
M1-14
动力学 - 基本概念和术语
运动方程(接上页)
其中: [M] [C] [K] {F} {u} {ů} {ü}
= 结构质量矩阵 = 结构阻尼矩阵 = 结构刚度矩阵 = 随时间变化的载荷函数 = 节点位移矢量
= 节点速度矢量 = 节点加速度矢量
M1-15
动力学 -基本概念和术语
求解方法
如何求解通用运动方程 ? • 两种主要方法：
M1-27
动力学 - 基本概念和术语
阻尼（接上页）
滞后和固体阻尼 • 是材料的固有特性 • 在动力学分析中应该考虑 • 认识还不是很透彻，因此很难定量的确定
库仑或干摩擦阻尼 • 物体在干表面上滑动时产生的阻尼 • 阻尼力与垂直于表面的力成正比
– 比例常数 m 就是摩擦系数 • 动力学分析中一般不予考虑
M1-30
动力学 - 基本概念和术语
阻尼（接上页）
a 阻尼
• 亦可称作质量阻尼
• 只有当粘度阻尼是主要因素时才规定此值
，如在进行各种水下物体、减震器或承受
a3
风阻力物体的分析时
Damping Ratio
• 如果忽略b 阻尼，a 可通过已知值x（阻尼
2
比） 和已知频率w来计算：
a = 2xw
1
因为只允许有一个a值,所以要选用最主要
经典分子动力学方法详解课件
互作用，还与在相邻单元内的镜像原子有作用。
第19页，共39页。
基本单元大小的选择
• 基本单元的大小必须大于2Rcut（Rcut是相互作用势的 截断距离）或Rcut<1/2 基本单元的大小。这保证了任
何原子只与原子的一个镜像有相互作用，不与自己的镜 像作用。这个条件称为“minimum image criterion” • 在我们所研究的体系内的任何结构特性的特征尺寸或任 何重要的效应的特征长度必须小于基本单元的大小。 • 为了检验不同基本单元大小是否会引入“人为效应”，必 须用不同的基本单元尺寸做计算，若结果能收敛，则尺寸 选择是合适的。
MD方法的发展史
• MD方法是20世纪50年代后期由B.J Alder和T.E. Wainwright创造发展的。他们在1957年利用MD方法， 发现了早在1939年根据统计力学预言的“刚性球组成 的集合系统会发生由其液相到结晶相的相转变”。
• 20世纪70年代，产生了刚性体系的动力学方法被应 用于水和氮等分子性溶液体系的处理，取得了成功。 1972年，A.W. Less和S.F. Edwards等人发展了该 方法，并扩展到了存在速度梯度(即处于非平衡状态) 的系统。
建立完全弹性碰撞方程，借以求解出原子、分子的运动
规律。这种处理可以在液晶的模拟中使用。 • 质点力学模型是将原子、分子作为质点处理，粒子间
的相互作用力采用坐标的连续函数。这种力学体系的应 用对象非常多，可以用于处理陶瓷、金属、半导体等无
机化合物材料以及有机高分子、生物大分子等几乎所有
的材料。
第14页，共39页。
• 为了减小“尺寸效应”而又不至于使计算工作量过大，对
于平衡态MD模拟采用 “周期性边界条件”。
第16页，共39页。
第19页，共39页。
基本单元大小的选择
• 基本单元的大小必须大于2Rcut（Rcut是相互作用势的 截断距离）或Rcut<1/2 基本单元的大小。这保证了任
何原子只与原子的一个镜像有相互作用，不与自己的镜 像作用。这个条件称为“minimum image criterion” • 在我们所研究的体系内的任何结构特性的特征尺寸或任 何重要的效应的特征长度必须小于基本单元的大小。 • 为了检验不同基本单元大小是否会引入“人为效应”，必 须用不同的基本单元尺寸做计算，若结果能收敛，则尺寸 选择是合适的。
MD方法的发展史
• MD方法是20世纪50年代后期由B.J Alder和T.E. Wainwright创造发展的。他们在1957年利用MD方法， 发现了早在1939年根据统计力学预言的“刚性球组成 的集合系统会发生由其液相到结晶相的相转变”。
• 20世纪70年代，产生了刚性体系的动力学方法被应 用于水和氮等分子性溶液体系的处理，取得了成功。 1972年，A.W. Less和S.F. Edwards等人发展了该 方法，并扩展到了存在速度梯度(即处于非平衡状态) 的系统。
建立完全弹性碰撞方程，借以求解出原子、分子的运动
规律。这种处理可以在液晶的模拟中使用。 • 质点力学模型是将原子、分子作为质点处理，粒子间
的相互作用力采用坐标的连续函数。这种力学体系的应 用对象非常多，可以用于处理陶瓷、金属、半导体等无
机化合物材料以及有机高分子、生物大分子等几乎所有
的材料。
第14页，共39页。
• 为了减小“尺寸效应”而又不至于使计算工作量过大，对
于平衡态MD模拟采用 “周期性边界条件”。
第16页，共39页。
机器人学第七章(机器人动力学的凯恩方法)
第七章 机器人动力学的凯恩方法7.1 引言机器人动力学凯恩方程方法是建立在凯恩动力学方程基础上的，因而本章首先介绍凯恩动力学方程。
7.1.1 质点系的凯恩动力学方程设一质点系具有n 个质点，该质点系的动力学普遍方程为()[]01=⋅-∑=ni i i i ir a m fδ （7-1）式中 i f ——作用于第i 质点主动力矢量；i m ——质点i 的质量；i a ——质点i 的加速度矢量；i r ——质点i 在参考坐标系中的位置矢量；i r δ——质点i 的微分位移；“·”——数量积符号。
设质点系为完全系，即它具有l 个自由度和l 个广义坐标，则()t q q q r r li i (21)= （7-2）式中 i q ――广义坐标；t ——时间变量； 质点i 的线速度为j lj q i j l j j i i i q v q q r dt r v j ∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂=1.1 式中j i j i q i qvq r v j ∂∂=∂∂=. （7-3）凯恩（kane ）定义,j i q i j v v q =∂∂为质点I 相对于广义速度的偏速度。
微分i r δ可表示为j lj q i j lj j ii q v q q r r j δδδ∑∑===∂∂=1.1 （7-4）将（7-4）代入（7-1）式，得(), 110j ll i i i i q j i j f m a v q δ==⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦∑∑ 交换求和符号，得(), 110j ln i i i i q j i j f m a v q δ==⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦∑∑因为j q 是独立变量，故(), 10j nii i i q j fm a v =-⋅=∑ j=1,2,．．．，l （7-5） 或, , 110j j nnii q i i i q j i fv m a v ==⋅-⋅=∑∑这就是质点系的凯恩动力学方程(Kane Dynamics Equation ),可以改写为', 1', 101,2,,_______j j j j nj i i q i n j i i i q i F j l F f v F m a v F ==⎫⎪+==⋅⋅⋅⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭⋅⋅∑∑广义主动力广义惯性力 （7-6）7.1.2 刚体的凯恩动力学方程如图7-1所示将刚体看成是由n 个质点组成的。
分析动力学Kane方法
v 1
v 1
v
刚体上的任意一点P的速度为
f
v p vo ω op
刚体上任一点 的偏速度可以 表示为基点的 偏速度的函数
2019年4月17日
f (v) (0) (v) (0) v p vo uv vo ω uv ω op v 1 v1
2019年4月17日
刚体的广义惯性力
(v) ao ε op ω ω op vo dm B
(v) 1 ao vo dm B
B
(v) (v) aodm vo Mao vo
(v) (v) 2 ε op vo dm ε op dm vo B B (v) (v) ε opdm vo ε M oc vo B
主动力：
mB lg sin
2019年4月17日
例1：质点系的Kane方程
* 惯性力： FA mA xi mAu1i
rB rA le l2en 2 xi l (i cos j sin ) l2 (i sin j cos )
(1) A (1) B
(2) A (2) B
0 l (cos i sin j)
f FA 0; FB mB gj (v) (0) r v u v i i v i (1) (1) 广义主动力： F v 1 1 F A vA F B vB 0 (2) F2 FA v(2) F v B B gj l (cos i sin j) B m A
f)
各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0 将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。 2019年4月17日
v 1
v
刚体上的任意一点P的速度为
f
v p vo ω op
刚体上任一点 的偏速度可以 表示为基点的 偏速度的函数
2019年4月17日
f (v) (0) (v) (0) v p vo uv vo ω uv ω op v 1 v1
2019年4月17日
刚体的广义惯性力
(v) ao ε op ω ω op vo dm B
(v) 1 ao vo dm B
B
(v) (v) aodm vo Mao vo
(v) (v) 2 ε op vo dm ε op dm vo B B (v) (v) ε opdm vo ε M oc vo B
主动力：
mB lg sin
2019年4月17日
例1：质点系的Kane方程
* 惯性力： FA mA xi mAu1i
rB rA le l2en 2 xi l (i cos j sin ) l2 (i sin j cos )
(1) A (1) B
(2) A (2) B
0 l (cos i sin j)
f FA 0; FB mB gj (v) (0) r v u v i i v i (1) (1) 广义主动力： F v 1 1 F A vA F B vB 0 (2) F2 FA v(2) F v B B gj l (cos i sin j) B m A
f)
各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0 将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。 2019年4月17日
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ω(v)
op
uv
v(0) o
ω(0)
op
v 1
P点的偏速度为
v(v) p
v(v) o
ω(v)
op
的偏速度可以 表示为基点的 偏速度的函数
2
Page 9
刚体的广义主动力
N
F%v
Fi
v(v) i
i 1
v(r) pi
vo(r)
ω(r)
opi
N
N
广义主动力为: F%v Fi vo(v) Fi (ω(v) opi )
如何取得最少变量： 笛卡尔坐标广义坐标广义速度伪速度
如何建立方程
2
Page 2
偏速度：质点系
由N个质点组成的系统，有f=3N-r-s个自由度，广义速度：
ri ri (q1, q2 ,L , ql ,t)
f
r&i
l k 1
ri qk
q&k
ri t
伪速度： q&j hjvuv hj0 ( j 1, 2,L l)
i 1
N
定义广义主动力： F%v
Fi
v(v) i
i 1
N
定义广义惯性力：F%v*
(mi&r&i )
v(v) i
i 1
Kane方程： F%v* F%v 0 (v 1, 2,L f )
各广义速率所对应的广义主动力和广义惯性力之和为0 将力投影到伪速度上所得到的平衡方程。
2
Page 4
质点系Kane方程的基本思路
设刚体基点O的速度、角速度与伪速度的关系是：
f
vHale Waihona Puke vo(r )uvv(0) o
v 1
偏速度
f
偏角速度
ω ω(r)uv ω(0)
v1
刚体上的任意一点P的速度为 vp vo ωop
vp
f
vo(v)uv
v(0) o
f
ω(v)uv
ω(0)
op
v1
v1
刚体上任一点
f
vp
v(v) o
分析动力学之 Kane方程
清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@）
2
Page 1
本节内容
建立动力学方程的方法： 牛顿欧拉方法：方程简单，但需考虑约束力 第二类拉氏方程：不考虑约束力，只用到速度，要求导 第一类拉氏方程：可处理非完整约束，引入代数方程 Apell方程：引入伪速度，需计算加速度 是否有类似于牛顿方法的最少变量方法？
B ao ε op ω
ω op
vo(v)dm
1
B
ao
N
N
Fi
v(v) i
(mir&&i ) vi(v) 0
i 1
i 1
其中： vi( v )
r&i uv
方程是否仅含有广义速率而不包含广义坐标？
2
Page 5
例1：质点系的Kane方程
广义速率： u1 x&;u2 &
y mA g x
质点的速度为：
O
A
x
r&A u1i
r&B u1i lu2 (cosi sin j)
mBlg sin
2
Page 6
例1：质点系的Kane方程
惯性力： FA* mA&x&i mAu&1i
&r&B &r&A l&&e l&2en
v(1) A
i;
v(2) A
0
v(1) B
i;
v(2) B
l(cosi
sin j)
&x&i l&&(i cos jsin) l&22 (i sin jcos)
mBl cos&& mBl2&&
mBl cos&& mBl2&& mB g sin 0 F%2 mB g sin
(mA mB )&x& mB (l&&cos l&22 sin) 0
2
Page 8
偏速度：刚体
设刚体B上的P1,P2,…,PN点处分别作用有主动力F1,F2,…,FN。 取刚体的上的O点为基点，取伪速度为u1,u2,…,uf。
牛顿方法
变量(坐标)：
ri xi i yi j zik T
基本方程：
Fi mir&&i Ni 0
消去约束力，减少变量数
虚功率原理
N
(Fi mi&r&i ) r&i 0
速度变分不一定独立
i 1
Kane方法 独立变量(伪速度)
基本方程：
f
r&i
vi(v)uv
v(0) i
v 1
v(v) p
v(v) o
ω(v)
op
广义惯性力为:
F%v*
B ao ε op ω
ω op
v(v) o
ω(v)
op
dm
令
B ao ε op ω
ω op
v(v) o
dm
B ao ε op ω
ω op
ω(v) op
dm
2
Page 11
刚体的广义惯性力
广义惯性力：
F%1*
FA*
v(1) A
FB*
v(1) B
mA&x&i i
mB &x&i l&&(i cos jsin) l&22 (i sin jcos) i
mA&x& mB&x& mB (l&&cos l&22 sin)
(mA mB )&x& mB (l&&cos l&22 sin) 0 F%1 0
i 1
i 1
利用体积公式 V a (b c) (a b) c
F%v
N
Fi
vo(v)
N
opi
Fi
ω(v)
i1
i1
F%v F vo(v) Lo ω(v)
F是外力的主矢量 Lo是外力的主矩
2
Page 10
刚体的广义惯性力
F%v*
B
aP
v
(v p
)dm
ap ao ε op ω ω op
偏速度：
v(1) A
i;
v(2) A
0
v(1) B
i;
v(2) B
l(cosi
sin j)
B
mB g
主动力： FA 0;FB
广义主动力： F%1 FA
mB gj
v(1) A
FB
v(1) B
0
r&i
f v 1
vi(v)uv
v(0) i
F%2
FA
v(2) A
FB
v(2) B
mB gjl(cosi sinj)
2
Page 7
例1：质点系的Kane方程
F%2*
FA
v(2) A
FB
v(2) B
mA&x&i 0
v(1) A
i;
v(2) A
0
v(1) B
i;
v(2) B
l(cosi sin j)
mB &x&i l&&(i cos jsin) l&22 (i sin jcos)
l(cosi sin j)
v1
f
r&i
vi(v)uv
v(0) i
广义速率本质上为伪速度，标量
v 1
偏速度的作用是赋予广义速率以
方向性，矢量。
广偏 义速 速度
伪速度可以看成是真实速度在偏 速度上的投影。
率
2
Page 3
质点系的Kane方程
f
质点速度的变分可以表示为： r&i vi(v) uv
N
v 1
虚功率原理： (Fi mi&r&i ) r&i 0