电于磁的对偶性

临沂大学课程研究报告/课程设计临沂大学YINYI UNIVERSITY 课程研究报告（课程设计）电与磁的对偶性摘要：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，，电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。

关键字：Maxwell，对偶性，磁荷，磁流，电荷，电流内容：一、无源区的Maxwell 方程组｛{0E HE tμ∇⋅=∂∇⨯=-∂｛0H E H tε∇⋅=∂∇⨯=∂以上两组方程形式完全相同，它们关于E 和H （除有一负号外）是对称的，对其中一组作,,,E H H E εμμε→→→→代换得到｛E H H tμ∇⋅=∂∇⨯=-∂→→｛,,,E H H E εμμε→→-→→｝→←｛0H E H tε∇⋅=∂∇⨯=∂数学上称这种具有相同形式的两组方程为对偶方程。

二、有源区的Maxwell 方程在有源区，由于在自然界还没有发现与电荷电流相对应的真实的磁荷、磁流，所以Maxwell 方程是不对称的。

宏观电磁场运动中，Maxwell 方程的两个独立方程{(2.1)(2.2)BE tDH J t ∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂对于线性均匀各向同性戒指，其结构方程,,D E B H J E εμσ===，所以有{(2.3)(2.4)HE tEH E t μσε∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂对方程2.3两边求旋度，再利用2.4式和电场的高斯定理，得222()(2.5)E J E t t ρεμμε∂∂∇-=+∇∂∂同样对2.4两边取旋度，并利用磁场的高斯定理得222(2.6)HH J tμε∂∇-=-∇⨯∂ 磁场的高斯定理表明，磁感应强度B 是一无散的矢量场，可用矢量位表示，设(2.7)B A =∇⨯，将2.7带入2.1得()0A E t ∂∇⨯+=∂。

由此可见，()A E t∂+∂是一无旋矢量场，可用标量位ϕ的梯度表示AE tϕ∂+=-∇∂，从而得A E t ϕ∂=--∇∂。

A 和ϕ也被称作磁矢势和电标势。

尽管磁感应强度在形式上只与矢量位有关，但在时变情况下，时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系，这说明时变电磁场是相互激发的。

考虑到时变电磁场相互激发的对称性，如果引入假想的磁荷和磁流，其激发的电磁场与电荷和电流激发的电磁场相互对偶，则推广后所得到的Maxwell 方程就具有对偶性。

设假想的磁荷密度为m ρ，磁流密度为m J ，并满足守恒定律，即，(,)(,)0m m J r t r t tρ∂∇⋅+=∂（2.8） 进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷激发电场一致，磁流在激发电场方面与电流激发磁场相一致。

根据这一假设，推广后Maxwell 方程组和边界条件是{em me E HE J tH E H J tρεμρμε∇⋅=∂∇⨯=--∂∇⋅=∂∇⨯=+∂（2.9）{21212121()()()()es n n ms n ms n ese D D e E E J e B B e H H J ρρ⋅-=⨯-=-⋅-=⨯-=-2.9称为广义Maxwell 方程组。

将电场E （或磁场H ）看成是由电源（e ρ，e J ）产生的电场e E （或磁场e H ）与电磁源（m ρ，m J ）产生的电场m E （或磁场m H ）之和，总场为E =e E +m E ，H =e H +m H ，则有{e e e e e ee e E H E tH E H J t ρεμε∇⋅=∂∇⨯=-∂∇⋅=∂∇⨯=+∂( 2.11a ){21212121()()0()0()n e e es n e e n e e n e e ese D D e B B e E E e H H J ρ⋅-=⋅-=⨯-=⨯-=(2.11b){m mm m m m mm E H E J t H tE H tμρε∇⋅=∂∇⨯=--∂∇⋅=∂∂∇⨯=∂(2.12a){21212121()0()()()0n m m n m m ms n m m ms n m m e D D e B B e E E J e H H ρ⋅-=⋅-=⨯-=-⨯-=(2.12b)比较2.11和2.12两组方程：对方程2.11作,,,,,e m e m e m e m E H H E J J ρρεμμε→→-→→→→替换，得到方程2.12.反之，对方程2.12作,,,,,e m e m e m e m E H H E J J ρρεμμε←←-←←←←替换得到2.11.类似的，对于矢量电位A 有矢量磁位m A ；对于标量电位ϕ有标量磁位m ϕ，即对应于{1e e H AA E tμϕ=∇⨯∂=-∇-∂ 有{1m mm m m E A A H tεϕ=∇⨯∂=-∇-∂当电源量和磁源量同时存在时，总场量应为它们分别产生的场量之和{11m m m A E A t A H At ϕεϕμ∂=-∇--∇⨯∂∂=-∇-+∇⨯∂此外，在分界面上，相应于，{1212()()sn s n Je H H e D D ρ=⨯-=⋅-有{1212()()smn sm n Je E E e B B ρ=-⨯-=⋅-根据对偶方程的解也具有对偶的性质得到如下结论：设空间存在如方程2.11描述的电磁场问题，其解m E ，m H 存在，且与e E ，e H 对偶，因此m E ，m H 不必直接求解而可以通过对偶变换e m E H ↔，e m H E ↔-，,e m J J ↔,e m ρρ↔,εμμε↔↔获得。

下面，通过利用电偶极子激发的场求磁偶极子激发的场和利用缝隙天线介绍磁荷和磁流等效方法两个实例证明上述结论的正确性。

1. 根据对偶原理，利用电偶极子激发的场求出磁偶极子激发的场。

解：在静电场中，位于坐标原点的电偶极子m z p e ql =激发的静电场是332cos sin 44e e rp p E e e r rθθθπεπε=+ 通过对偶变量替换，得到磁偶极子m z m p e p =激发的磁场为332cos sin 44m m rp p H e e r rθθθπμπμ=+将其与小电流圆环激发的磁场进行比较，得到m z p e I s μ=∆在谐变电磁场中，坐标原点z 向电偶极子的辐射场为{sin 2jkreo jkrI l H jerE j ϕθθλ--≈≈通过对偶替换，得到置于坐标原点的z 向磁偶极子的辐射场为{sin 2jkrmo jkrI l E j erH ϕθθλ--≈-≈将其与小电流环辐射场公式{20sin 4jkrjkrE I sk H erϕθθπ--=∆=-*比较，其极化、结构、距离、方向性、相位等因子完全相同，仅幅度常数不同。

因此小电流圆环与磁偶极子具有完全相同的辐射场特性。

据此认为小电流圆环与磁偶极子等效。

2、通过缝隙天线的例子介绍磁荷和磁流的等效方法。

如图所示，作为模型，可将其视为在无穷大导体平板上切开一长L,宽d 的缝隙L>>d,在缝隙两边加上时谐电压0j tU U e ω-=，略去边缘效应，缝隙上时谐电场0j t x E e E e ω=，并且满足00E d U =。

现在的问题是要求出导体平面上方，缝隙天线的辐射场。

显然上半空间辐射电磁场满足的Maxwell 方程是：{000,0,E E j H H H j Eωμωε∇⋅=∇⨯=-∇⋅=∇⨯= y>0在边界上，除缝隙以外，电场切向分量为零，在缝隙处电场的切向分量近似为0E 。

根据广义Maxwell 方程组及其边界条件，缝隙处的电场可等效面磁流，故边界条件为：n e E ⨯={00,||,||22,||,||22zms d Lx y U d L e J x y d >>-=-<=<=由于缝隙很小，可忽略边缘效应，缝隙口径上的面电流密度可视为均匀分布，求得等效面电流为：0l mo l m y x x z e I e J d e e E d e U ==-⨯= 对应的磁偶极子是00m z m z P e I L e U L ==-为了求得导体平面上磁偶极子在上半空间的辐射场，先将磁偶极子沿导体平面法相向上平移h ，如图所示，求出导体平面上半空间h 处的磁偶极子的辐射场。

然后令h →0得到所要求的解。

根据时变电磁场的镜像原理，导体平面感应面磁流在上半空间的辐射场，为磁偶极子的像在上半空间的辐射场。

当h →0时，原像磁偶极子重合，其效果相当于原来磁偶极子的两倍。

直接应用式*，得到缝隙天线在上半空间的辐射场为sin jkrjkrL E jU e rH jU ϕθθλ--≈-≈参考书目：《电磁场理论》----柯亨玉，人民邮电出版社。