数列基础知识练习
数列基础知识训练巩固练习
数列基础知识训练巩固练习知识覆盖全面,题型全面,难度中等偏易,注重基础.1．数列{a n }中，若223n S n =+,则该数列通项n a =2．等比数列{a n }中,4a 1 ， 2a 2 ，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4=3. 设数列 ,14,11,22,5,2，则24是这个数列的第 项.4.数列{}11322-+-n n 中数值最大的项是第 项.5.已知n m ≠,且n a a a m ,,,,321和n b b b b m ,,,,,4321都是等差数列，则=--2313b b a a 6. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==n S a a ，则n =7.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；8. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .9. 共12+n 项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为10.数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .11.等差数列{}n a 共10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是 .12. 若实数数列4,,,,1321a a a 是等比数列，则=2a .13.已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a14.n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .15.等比数列 ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和为 16.{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，则131211a a a ++= .17.等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .18.等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =19.数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，数列{}n a 的通项公式为20.数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，数列{}n a 的通项公式为21.数列{}n a 中，111,33nn n a a a +==+，数列{}n a 的通项公式为 22.等比数列{}n a 中，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a .23.等差数列{}n a 中，公差 21=d ，若6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a .24.数列1111,,,...,,...1212312...n++++++的前n 项和=n S 25.数列{}n a 中，)1(1+=n n a n ，若{}n a 的前n 项和为20102009，则项数n = 26.某工厂去年的产值为P ，计划在5年内每年比上一年产值增长10％，则从今年起5年内该工厂的总产值为27.数列{}n a 中,n n n a 3)12(⋅-=，则其前n 项和n S ＝________.28．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则n 为 时Πn 最大29.已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________.30．如图，则第10行的第2个数是________．二、解答题31.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．32.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，212n n S n -=. ⑴求321a a a ++； ⑵求10321a a a a ++++ ；⑶求n a a a a ++++ 321.33.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-. ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若数列{}n b 满足2log n n a b =，设12n n T bb b = ，且1n T =，求n 的值.34.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值； ⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．35.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，142n n S a +=+. ⑴设数列{}n b 中，n n n a a b 21-=+，求证：{}n b 是等比数列；⑵设数列{}n c 中，n nn a c 2=，求证：{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.。
中职数学基础模块知识点、典型题目系列---6.数列(适合打印,经典)
第六章 数列第1节 数列的概念及通项公式一、数列：按一定次序．．．．排成的一列数（项、项数，分类：有穷数列，无穷数列） 二、简单数列1.自然数列 1，2，3，4，... n a n =2.偶数数列 2，4，6，8，... n a n 2=3.奇数数列 1，3，5，7，... 1-2n a n =4.1,4,9,16,... 2n a n =5.1,8,27,64,... 3n a n =6.-1,1,-1,1,... ()n 1-=n a7.1,-1,1,-1,... ()1n 1-+=n a三、通项公式：将第n 项n a 表示成含有n 的式子。
【习题】1．根据通项公式写项（1）已知数列{}n a 的通项公式为()121++-=n n a nn ，写出它的前4项。
（2）已知数列{}n a 的通项公式为112+-=n n a n ，写出它的前5项。
2.根据项写通项公式。
（符号：一负一正()n 1-，一正一负()11-+n ） （1）21，32，43，54，··· （2）-5，10，-15，20，···（3）31，61-，91，121-，··· （4）21，43-，65，87-，··· （5）312⨯，534-⨯，756⨯，978-⨯，··· 3.判断数列中的项（1）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-2312n n ，问53是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ （2）数列(){}1+n n ，问420是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？第2节 等差数列及其通项公式教学过程：一、定义：设数列{}n a 的公差为d ，则d a a n n =-+1即d a a n n +=+1【习题】在等差数列{}n a 中，311=a ，321+=+n n a a ,写出数列前5项，并判断是否为等差数列。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
基础知识一、按 叫数列,数列中的都叫这个数列的项;在函...
解法3：设递推式an＝3an－1＋2， 可以化为：an＋1－t＝3(an－t)． 即an＋1＝3an－2t. ∴2 ＝－ 2t ， ∴ t ＝－ 1 ，于是得 an ＋ 1 ＋ 1 ＝ 3(an ＋ 1) ，
(这是手段之二)
数列 {an ＋ 1} 是公比为 3 的等比数列，其首项为 a1 ＋ 1 ＝2，∴an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1.
(3)对于递推式为an＋1＝pan＋qn(p，q为常数)．
对于递推式an＋1＝pan＋qn，可两边除以qn＋1，得
＝ 再解． (4) 当然，本例各小题也可以采取“猜想归纳法”， 先写出前几项，再找出规律，猜测通项公式，最后用数学 引辅助数列{bn}，bn＝ ，得bn＋1
归纳法证明．
[解析] (1)由已知得an＋1－an＝
(3)这个数列的第________项最小；
(4)这个数列前________项的和最小． 答案：－18 11 2或3 6或7
3．已知数列{an}的前 4项为1,3,7,15，写出数列{an}的 一个通项公式an＝________. 答案：2n－1 4．数列 {an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则
总结评述： 解这类题需要我们从多角度思考，全方
位观察，广泛联想，将原数列作出适当的转化变形后，作 为基本数列或特殊数列，方可迅速获解．
【例2】
(1)已知{an}中，a1＝
，an＋1＝
，求an.
(2)数列{an}中，a1＝1，对于n＞1(n∈N*)有an＝3an－1＋
2，求an. (3)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝ 求an.
令 “ n” ＝ 1,2 ， „ ， (n － 1) ，代入后 (n － 1) 个等式累加，
1小学奥数等差数列基础知识（已整理）
1小学奥数等差数列基础知识（已整理）小学奥数等差数列基础知识1、数列定义：（1） 1，2，3，4，5，6，7，8，…(等差)（2） 2，4，6，8，10，12，14，16，…(等差)（3） 1，4，9，16，25，36，49，…(非等差)若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。
以此类推，数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8，，1002、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。
我们将这个差称为公差例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。
3、计算等差数列的相关公式：（1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。
求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。
例：求等差数列3，5，7，的第10项，第100项，并求出前100项的和。
解：我们观察这个一个等差数列，已知：首项=3，公差=2，所以由通项公式，得到第10项：第几项＝首项＋（项数－1）×公差第10项=3+（10-1）×2=21第100项：第几项＝首项＋（项数－1）×公差第10项=3+（100-1）×2=201前100项的和：总和＝（首项＋末项）×项数÷2前100项的和=3+5+7+ 201=（3+201）?100÷2=10200.练习1：1、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（2835）2、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（2112）3、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？(16)项数＝（末项－首项）÷公差＋116＝（47－2）÷3＋14、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？（20400）第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差总和＝（首项＋末项）×项数÷25、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项（101）？第50项是多少？（197）项数＝（末项－首项）÷公差＋1 第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差6、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝总和＝（首项＋末项）×项数÷2（1+2008）×2008÷2=20170367、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝总和＝（首项＋末项）×项数÷2【（2+2000）×1000÷2】-【（1+1999）×1000÷2】=1001000-1000000=1000方法二：（2-1）+（4-3）+……＋（2000-1999）=10008、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝总和＝（首项＋末项）×项数÷2（1＋2＋……＋60）-（3+6＋……＋60）=5709、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。
数学等比数列试题答案及解析
数学等比数列试题答案及解析1.设数列是等比数列，满足，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，又，∵，∴，∴，故，，，所以.【考点】本题考查等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生推理和基本的运算能力．2.已知等比数列{}的前项和为,且，则数列的公比的值为（）A．2B．3C．2或-3D．2或3【答案】C【解析】由已知得，，即，，即，解得或，选C．【命题意图】本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式基础知识，意在考查基本运算能力.3.函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为2，最大值为4，故，即，而，因此选A.【考点】本题考查函数与等比数列等知识，意在考查学生综合运用知识解题的能力.4.等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，已知S3= a2+10a1，a5= 9，则a1= （）A．B．- C．D．-【答案】C【解析】由S3 = a2+10a1得，a2+a3= a2+10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，又因为a5= 9，所以= 9，解得，故选C.【考点】本小题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式,考查数列中基本量的计算，属容易题，掌握等比数列的基础知识是解决好本题的关键.5. ·大纲理）已知数列满足，，则的前10项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴.∴数列是以为公比的等比数列.∵，∴. ∴.故选C.【考点】等比数列求和6.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.7.(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn 与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn ＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.【答案】（Ⅰ）（2）证明见解析【解析】解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．8.已知数列满足，并且（为非零参数，）（1）若成等比数列，求参数的值；（2）设，常数且，证明：【答案】（1）（2）证明过程见解析【解析】本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。
数列基础知识点和方法归纳
数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λnd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则mn p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S =2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……· （2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++…… ［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312nn a =-）（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ （5）倒数法 如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·，∴21n a n =+( 附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………， （2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
等差等比数列基础知识复习
数列专题复习（一）等差数列1.定义：2.通项公式：3.前n 项和公式：4.性质：基础训练：1.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝2.在等差数列中,,则.3.数列{}n a 满足112n n a a -=+（*2,n n N ≥∈）, 21a =,n S 是{}n a 的前n 项和， 则21S = .4.设等差数列的前项和为，若则 .5.等差数列的前项和为，且则6. 已知首项为23，公差为整数的等差数列{}n a ，且670,0a a ><（1）求数列的公差；（2）求前n 项和n S 的最大值；（3）当n S >0时，求n 的最大值。
{}n a 7a 4a 3a }{n a 6,7253+==a a a ____________6=a {}n a n n S 535a a =95S S ={}n a n n S 53655,S S -=4a =7.数列{n a }的前n 项和为210n S n n =-，求数列{}n a 的通项公式。
8. 等差数列的判定和证明（1）已知数列{}n a ，*12112,2232)n n a a a a n n N +===+≥∈，（，判断{}n a 是等差数列吗？（2）已知各项均为正数的数列{}n a 满足1n n a a -=2*2)n n N ≥∈（，，判断数列{lg n a }是否是等差数列。
（3）已知数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=-*2)n n N ≥∈（，，数列{}n b 满足11n n b a =- （*n N ∈）①求证数列{}n b 是等差数列；②求数列{}n a 中的最大项与最小项，并说明理由。
（一）等比数列1.定义：2.通项公式：3.前n 项和公式：4.性质：基础训练：1.在各项都为正数等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++等于A 33B 72C 84D 1892.等比数列{}n a 中，29a =，5243a =，则{}n a 前4项和为3.等比数列{}n a 中，若331,3a S ==，则q =4.等比数列{}n a 中，7116a a ⋅=，4145a a +=，则2010a a 等于5. 在数列{}n a 中，()10,1n n S ka k k =+≠≠，（1）求证：{}n a 是等比数列； （2）求通项公式n a 。
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1、等差数列与等比数列比较:
(1)各项为正的等比数列{}n a ,其对数数列)1,0}({log ≠>a a a n a 为等差数列. (2)数列{}n a 为等差数列,则数列C C n a
}({为正常数)为等比数列.
3、数列求和的一般方法(结合于具体的示例讲解): ①倒序求和法:(等差数列的求和); ②错位相减法:(等比数列和差比数列);
例1:求和:*)(4324
3
2
N n na a a a a n
∈+++++Λ. ③裂项相消法:(数列中的各项可以拆成几项,然后进行消项); 例2:求和:
)
12()12(1751531311+⋅-++⨯+⨯+⨯n n Λ. 例3:求数列}1
1{
++n n 的前n 项和.
④通项化归法:(化出通项,由通项确定求和方法); 例4:求数列:ΛΛΛ,3211
,,3211,211,
1n +++++++的前n 项和n S . ⑤分组求和法:(将一个数列分成几组,每组都可以用求和公式来求解); 例5:求数列ΛΛ,2
1,,8
14,4
13,2
12,21
-+
n n 的前n 项之和.
⑥公式法:(应用等差或等比数列的求和公式直接来求解). ⑦.累差迭加法
一、选择题：
1.（全国 5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138
B ．135
C ．95
D ．23
2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3
2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，
则a 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．12
D ．5
4
3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*
p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10
a 等于（ ） A ．165-
B ．33-
C ．30-
D ．21-
4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞U （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞U
5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( )
（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15
6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =( )
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64
B ．100
C ．110
D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为
A.63
B.64
C.127
D.128
9.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，420S =，则6S =（ ） A ．16
B ．24
C ．36
D ．48
10.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，41
252=
=a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ= （A ）16（n --41） （B ）16（n --21）（C ）332（n --41） （D ）3
32（n
--21）
11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42
S
a =（ ）
A. 2
B. 4
C.
152
D.
172
二、填空题：
12.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为 。
13、在公差不为0的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知111==b a ，22b a =，38b a =； （1）求{}n a 的公差d 和{}n b 的公比q ；
（2）设2++=n n n b a c ，求数列{}n c 的通项公式n c 及前n 项和n S .
14、已知数列{}n a 是等差数列，且12,23211=++=a a a a ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n
n n a b 3=，求数列{
}n b 的前n 项和的公式．
15、已知数列{}n a 的前n 项和(1)
,2
n n n S -=
且n a 是n b 和1的等差中项。
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若1
(2,).n n
c n n N na +=≥∈求234n c c c c ++++L ；
16．（2013年高考四川卷（文））在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中
项,
求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.
17．（2013年山东卷（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244S S =,122+=n n a a
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足
*12121
1,2
n n n b b b n N a a a +++=-∈g g g ,求{}n b 的前n 项和n T。