2016.04.14等比数列的前n项和性质
等比数列前n项和公式和性质
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn 3n1 2a，求a的值。
化简到：Sn
1 3n 3
2a
1 2a 0 a 1
3
6
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
(2)a1
27, a9
1 ,q 243
引入：印度国际象棋发明者的故事 （西 萨）
引入新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23,L , 263.
它是以１为首项公比是２的等比数列，
麦粒的总数为:
S64 1 2 22 23 L 263.
2 30 - 1 = 1073741823
且S10 5, S20 15.
(1).求S30; 35
(2).问S10, S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
性质2：
Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
• 已知等比数列{an}中，前10项和S10＝ 10，前20项和S20＝30，求S30.
细节决定成败 态度决定一切
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
an+1 an
=q
(定值)
a a q (2) 通项公式:
n-1
n= 1•
(a1 0, q 0).
(3)a, G, b 成等比数列
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am•qn-m m+n=p+q an•am = ap•aq 注:以上 m, n, p, q 均为自然数
等比数列的前n项和知识点总结
等比数列的前n 项和知识点总结一．等比数列的前ｎ项和公式１．注意：（１）公式的推导方法是错位相减法，即先求前ｎ项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的第一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数（２）在求等比数列的前ｎ项和时，一定要讨论公比ｑ是否能为１２．公式的变形３．等比数列的前n 项和的性质：（１）若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇． （２）n n m n m S S q S +=+⋅．（３）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（注：当ｑ＝－１时，ｎ不能为偶数） ４．已知数列{}n a 的前ｎ项和求通项公式n a 的方法二跟踪练习1. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为Ａ．513 Ｂ．５１２ Ｃ．510 Ｄ．8225 ２．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=__________３．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则 a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n ４．8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和为A. 2n －n －1B. 2n +1－n －2C. 2nD. 2n +1－n５．已知数列{}n a 的通项公式为nn n a 2=，则该数列的前n 项的和为 A. 242n n +- B. 22n n + C. 222n n +- D. 1242n n ++- ６．已知等比数列{}n a 中，33139=,,22a S a q =求和 ７．如果一个等比数列的前５项的和等于１０，前１０项的和等于５０，求它的前１５项的和等于多少？８．求和：21+2+3++x x …-1n nx９．已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，已知,153,1193==S a（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n .。
等比数列的前n项和 课件
10分
nn2＋1x＝1， ∴Sn＝0x＝0，
ห้องสมุดไป่ตู้1－x x2[nxn＋1－n＋1xn＋1]x≠0，x≠1.
12分
(1)一般地，若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公 比为q，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．
(2)①运用等比数列前n项和公式时，必须注意公比q是否为 1.若不能确定公比q是否为1，应分类讨论．
∴
S
＝
4
2
8
.
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
等比数列前n项和的基本运算
在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)S3＝72，S6＝623，求an； (3)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. [思路点拨] (1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程组
求解．
(3)
Sn＝a111－－qqn，an＝a1qn－1
2分
(2)当x＝1时，Sn＝nn2＋1.
4分
(3)当x≠0且x≠1时，
Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn，
①
xSn＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
②
①－②得，(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝
x1－xn 1－x
－nxn＋1，
9分
∴Sn＝1－x x2·[nxn＋1－(n＋1)xn＋1]，
等比数列的前n项和 课件
a11－qn 1－q
，已知
a1，q，an且q≠1时，用公式Sn＝a11－－aqnq.
3．等比数列前n项和的公式是如何推导的？
提示：设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an① 则把①式两边同乘以q得：qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an －1q＋anq＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1② ①－②得(1－q)Sn＝a1－an＋1 ∴当q≠1时，Sn＝a11－－aqn＋1＝a111－－qqn. 又当q＝1时，∵a1＝a2＝…＝an，∴Sn＝na1.
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住 房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？ (计算时取1.15＝1.6)
[分析] 本题以实际问题为载体，融函数建模、数列 的知识于一体，主要考查学生阅读资料提取信息以及用所 学知识解决实际问题的能力．
[解] 设第n年末实际住房面积为an(n∈N*)． (1)由题意，则a1＝1.1a－b(m2)． a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(m2) (2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12b －1.1b－b a4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－b)－b ＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
[点评] 所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边 同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数 列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和， 其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．
等比数列的前n项和知识点总结
等比数列的前n项和知识点总结
一．等比数列的前ｎ项和公式
１．
注意：（１）公式的推导方法是错位相减法，即先求前ｎ项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的第一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数
（２）在求等比数列的前ｎ项和时，一定要讨论公比ｑ是否能为１
２．公式的变形
３．等比数列的前项和的性质：
（１）若项数为，则．
（２）．
（３），，成等比数列（注：当ｑ＝－１时，ｎ不能为偶数）４．已知数列的前ｎ项和求通项公式的方法
二跟踪练习
1. 在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前8项
之和为
Ａ．513 Ｂ．５１２ Ｃ．510 Ｄ．
２．已知数列的，则=__________
３．等比数列{a n}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋a n=2n－1，则
a12＋a22＋a32＋…+a n2等于
A． B． C． D．
４．8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n－1，…的前n项和为
A. 2n－n－1
B. 2n+1－n－2
C. 2n
D. 2n+1－n ５．已知数列的通项公式为，则该数列的前n项的和为
A. B. C. D.
６．已知等比数列中，
７．如果一个等比数列的前５项的和等于１０，前１０项的和等于５０，求它的前１５项的和等于多少？
８．求和：
９．已知是等差数列，其前n项和为S n，已知
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明是等比数列，并求其前n项和T n.。
等比数列的前n项和课件2
已知等比数列的前n项和公式为$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，当$S_n = S_{n+1}$时，我们可以求出等比数 列的项数。通过解这个方程，我们可以得到$n = frac{1}{r} - 1$，其中$n$是等比数列的项数。
求等比数列的和
总结词
利用等比数列的前n项和公式，我们可以求出等比数列的和。
等比数列的通项公式是：$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$ ，其中$a_n$是第n项，$a_1$是第一项，q是公比。
等比数列的性质
01
等比数列中，任意两项的平 方和等于它们中间两项的乘 积，即$a_n^2 = a_{n-1}
times a_{n+1}$。
02
等比数列中，任意两项的立 方和等于它们中间两项的平
求等比数列的极限
等比数列的极限定义 ：lim(n->∞) a_n = a_1 / (1 - r)
当|r| > 1时，等比数 列的极限不存在
当|r| < 1时，等比数 列的极限存在，且 lim(n->∞) a_n = 0
等比数列前n项和公式的几何意义
等比数列前n项和公式可以看作是等 比数列的面积和
放射性衰变
放射性衰变过程中，原子核按照一定 的比例不断减少，这种减少的过程可 以视为等比数列。
细胞分裂
在生物学中，细胞分裂是一个重要的 过程，每次分裂后产生的细胞数量按 照一定的比例增加，这种增加的过程 也可以视为等比数列。
THANKS
已知等比数列的前n项和公式为$S_n = frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比。通过这个公式，我们 可以推导出通项公式$a_n = a_1r^{n-1}$，其中$a_n$是第n 项的值。
高中数学等比数列的前n项和性质及应用课件
思路探究：(1 )由 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 成等比数列求解．
S偶
(2 )利用
S奇
＝q ，及 S 2n＝S
奇＋S
偶求解．
合作探究
思
而
学
(1 )A (2)24 [(1)∵{a n}为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 也为等比数列， 即 7 ，S 4－7 ,9 1 －S 4 成等比数列， ∴(S 4－7 )2＝7 (9 1 －S 4)，解得 S 4＝2 8 或 S 4＝－2 1 . ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1 ＋q 2)＝S 2(1 ＋q 2)> S 2，∴S 4＝2 8 .
2
2
128
S偶
1
[解]
设等比数列为{a n }，项数为
2n ，一个项数为
2n
的等比数列中， ＝q .则 S奇
q＝ ， 2
3
3
又
an
和
a n ＋1
为中间两项，则
a
n
＋a
n
＋1
＝ 1
2
8
，即
a1q
n －1＋a 1q
n＝ ， 128
1
1
又
a
1
＝ 2
，q
＝ 2
，
1 ∴
2
·21
n
－1
1 ＋
2
·21
n
＝ 1
高中数学
数列
等比数列
等比数列的前n项 和性质及应用
学习目标
学
而
思
1．等比数列前 n 项和的变式
a 1 1 －q n
等比数列公式前n项和公式性质
等比数列公式前n项和公式性质
等比数列公式前n项和公式，又叫等比级数，是一个按首项和公比构成的无穷数列的总和的表达式，它具有独特的特性和性质，下面我们就来看看它的表达式及其特性和性质。
一、等比数列前n项和公式
等比数列的前n项和的计算公式是：Sn=a1(1-rn)/(1-r)，其中，a1是等比数列的首项，r是等比数列的公比，Sn是等比数列前n项的和。
二、等比数列公式特性和性质
以上就是等比数列公式前n项和公式及它的特性和性质，希望大家能够从中有所收获。
等比数列前n项和
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第二章 2.5 第2课时
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在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值等于 ( ) A．－2 C．1 [ 答案] [ 解析] B．－1 D．2
D a1[1－－25] ∵S5＝22，q＝－2，∴ ＝22， 1－－2
∴a1＝2.
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[例3]
在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99
＝56，求a3＋a6＋a9＋„＋a99的值． [分析] 考虑通过基本量a1和q来处理或通过a3＋a6＋a9
＋„＋a99是前99项中的一组，与另两组联系在一起进行求 值．
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第二章 2.5 第2课时
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等比数列前n项和的性质
设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是 ( ) A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
[ 答案]
D
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第二章 2.5 第2课时
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思考感悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn ＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
提示：A＋B＝0， a11－qn a1 a1 n ∵Sn＝ ＝ － · q ，则常数项与qn的系数 1－q 1－q 1－q 互为相反数．
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第二章 2.5 第2课时
等比数列前n项和及性质.ppt
怎样的数列？穷人30天共要还多少钱？
让我们来分析一下:
（1）富人30天借给穷人300万元 (2)穷人每天还钱数1, 2, 22, 23, ..., 229, 形成首项为1，公比为2的等比数列，
穷人30天共要还钱数：
1 2 22 23 229 = ?
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1 ,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq ,
1 q
1 q
(q≠1).
由 Sn ,an ,q , a1 , n 知三可求二 .
引例的解决：
由a1 1, q 2, n 30得：
Sn
a1(1 qn ) 1 q
1 (1 230 ) 1 2
等比数列的前n项和
一穷人到富人那里借钱，原以为富人不会同 意，哪知富人一口答应，但有个条件：在30天中， 每天借给穷人10万，借钱第一天，穷人还1分钱； 第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都是前 一天的2倍，30天后，互不相欠，穷人听后觉得 很划算，本想一口气定下来，但又想到此富人平 时吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难，请 大家帮帮她： （1）富人30天借给穷人多少钱？
⑴. x 1 原式
1 1
1
1 y
1 y2
1 yn
n
1 y
1
1 yn
1 1
y
⑵. x 1 同例3
变形2.
求和：(x 1 ) (x2 y
1 y2
)
(xn
1 yn )
(x 0, x 1).
分析：当 x 0, x 1 时，对y分两种情况讨论 ⑴. y 1 原式= (x x2 xn ) (11 1)
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例 :已知等比数列的前n项和Sn 4 a, 则a的值为 ( B ) A. 4 B. 1 C.0 D.1
n
练 :已知Sn是数列{an }的前n项和Sn p ( p R, n N *), 判断{an }是否为等比数列.
n
性质2: 把等比数列{an }以k为单位分段, 则每段 k 和仍为等比数列, 新数列的公比为 q . a1 a2 a3 ak
等比数列前n项和的性质
等比数列前n项和公式
q 1 na1 , S n a1 (1 q n ) a1 an q , q 1 1 q 1 q
公式说明： (1)基本量 a1 , q, n, an , Sn 知三求二
(2)推导的方法：错位相减法
(3)体现了分类讨论的思想
性质1:
q 1 na1 , S n a1 (1 q n ) 1 q , q 1
a1 (1 q ) q 1时, S n 可化为 1 q a1 n n Sn (1 q ) p (1 q ) 1 q
n
其中: pq 0且q 1
练习3：已知等比数列{an}中，公比 q＝3，a1＋a3＋a5＋a7 12 ，a3＋a5＋a7＋a9＝_____. ＝4，则a2＋a4＋a6＋a8＝_____ 36 练习4：在公比为整数的等比数列{an}中，已知a1＋a4＝18， a2＋a3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8=( A A．480 B．493 ) D．498
练:若等比数列 {an }公比为q, 证明:Smn Sn qn Sm
练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 140 S6＝_______. 练习2：在正项等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4 的值为( A ) A．28 B．32 C．35 D．49
ak 1 ak 2 ak 3 a2k a2k 1 a2k 2 a2k 3 a3k
例 :已知等比数列{an }中, S10 10, S20 30, 求S30的值.
练:在等比数列{an }中, S n 为前n项和,若S3 S6 2S9 , 求公比q的值.
C．495
(n 1) S1 an与Sn的关系: an = Sn Sn1 (n 2)
注意： (1)n 1必须单独验证。
(2)公式两个方向：消an与消Sn
裂项相消法求前n项和:
通项an的特征
(1)通项为公式；(2)分母积的形式。注意：裂开后，必须通分后再验证系数。