弯矩方程的二阶导数是转角方程
材料力学教案 第5章 弯曲内力
教学目的：在本章的学习中要求熟练掌握建立剪力、弯矩方程和绘制剪力、弯矩 图的方法。理解弯矩、剪力与载荷集度间的微分关系，以及掌握用该 关系绘制或检验梁的剪力、弯矩图的方法。
教学重点：剪力与弯矩；剪力方程和弯矩方程；剪力图与弯矩图；指定截面的内 力计算。
教学难点：剪力和弯矩，剪力和弯矩的正负符号规则；剪力图和弯矩图；剪力、 弯矩和载荷集度的微分、积分关系；利用微分关系作梁的内力图。
1、简支梁
2、悬臂梁
3、外伸梁
4、多跨静定梁
5、超静定梁 超静定梁：梁的未知力的数目大于独立的静力平衡方程式的数目，此时，仅 由平衡方程不能完全确定所有的未知力，这样的梁称为超静定梁。 根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和
支承来表示梁。 梁在两支座间的部分称为跨。其长度称为跨长。
5.4 剪力方程和弯矩方程 剪力图与弯矩图
通过弯曲内力的分析可以看出，在一般情况下，梁的横截面上的剪力和弯
矩是随横截面的位置变化而变化的。为了知道 FS、M 沿梁轴线的变化规律，只知
道指定截面上的
FS、M
是不够的。为了能找到
FS max 、
M
的值及其所在截面，
max
以便对梁进行强度、刚度计算，我们必须作梁的剪力图和弯矩图。
5.1.2 弯曲的概念
1、弯曲的概念 受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（有时还包括力偶）。 变形特征：杆的轴线在变形后成为曲线。 以弯曲变形为主的杆件称为——梁。 2、实例
1桥式起重机大梁 2火车轮轴 3镗刀刀杆 4轧板机的轧辊
3、平面弯曲：讨论杆的弯曲时，我们暂时限制在如下的范围； ①杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）
《弯矩二次分配法》课件
02 弯矩二次分配法的基本原 理
弯矩与应力的关系
弯矩是使梁产生弯曲变形的力 矩，与梁的截面和跨度等因素 有关。
应力是由于弯矩引起的梁截面 上的正应力和剪应力，与弯矩 的大小和梁的材料属性有关。
弯矩与应力的关系可以通过材 料力学中的弯曲正应力公式和 剪切应力公式来描述。
弯矩二次分配法的计算步骤
03 弯矩二次分配法的实现过 程
建立模型
确定结构形式和支承条件
确定单元类型和节点
根据实际工程情况，确定结构的跨度 、高度、材料等参数，分为若干个 单元，确定节点位置和数量。
建立计算简图
根据结构形式和支承条件，建立计算 简图，简化实际结构，便于计算分析 。
内存占用减少
优化算法以降低内存占用 ，使其在处理大规模问题 时更加高效。
精度控制
引入误差控制机制，确保 计算结果在可接受的精度 范围内。
应用范围拓展
多跨连续梁
将弯矩二次分配法应用于多跨连 续梁，解决复杂结构的内力分析
问题。
考虑剪切变形
在方法中考虑剪切变形的影响， 以更精确地模拟实际结构的受力
情况。
06 结论与展望
弯矩二次分配法的总结
弯矩二次分配法是一种有效的结构分 析方法，适用于求解连续梁和刚架结 构的弯矩分布情况。
弯矩二次分配法在工程实践中得到了 广泛应用，为结构设计提供了重要的 依据和支持。
该方法基于结构力学的基本原理，通 过迭代计算，对结构的弯矩进行二次 分配，得到更为精确的结果。
优化改进
根据对比分析结果，对计算方法进 行优化改进，提高计算精度和可靠 性。
04 弯矩二次分配法的应用实 例
桥梁工程中的应用
总结词
剪力图和弯矩图(基础)
轴，。
以表(a)(c)（1）（2） （3）≤ (4) 以剪力图是平行于轴的直线。
段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b )所示。
由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。
根据式（2）、（4）确定三点，， ，由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c )。
例8-4 简支梁受集度为的均布载荷作用，如图8-13(a )所示，作此梁的剪力图和弯矩图。
图8-13解 （1）求支反力 由载荷与支反力的对称性可知两个支反力相.即（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁左端为坐标原点，选取坐标系如图所示。
距原点为的任意横截面上的剪力和弯矩分别为x C l x AC x BC x x 0=x 0)(=x M a x =l Fabx M =)(l x =0)(=x M AC BC AB q A x解 （1）求支反力 由静力平衡方程，得（2）列剪力方程和弯矩方程 由于集中力作用在处，全梁内力不能用一个方程来表示，故以为界，分两段列出内力方程段0＜≤ (1)0≤＜ (2)段 ≤＜ (3)≤≤(4) （3） 画剪力图和弯矩图 由式（1）、（3）画出剪力图，见图8-14(b )；由式（2）（4）画出弯矩图，见图8-14(c )。
二、弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系在例8-4中，若将的表达式对取导数，就得到剪力。
若再将的∑=0)(x M A ∑=0)(x M B m C C AC l mF x F A Q ==)(x a xl m x F x M A ==)(x a BC l mF x F A Q ==)(a x l mx l mm x F x M A -=-=)(a x l )(x M x )(x F Q )(x F Q表达式对取导数，则得到载荷集度。
这里所得到的结果，并不是偶然的。
实际上，在载荷集度、剪力和弯矩之间存在着普遍的微分关系。
现从一般情况出发加以论证。
工程力学2
无影响
M 图
FQ >0,斜直线，斜率>0 FQ <0,斜直线，斜率<0 FQ =0,水平线，斜率=0
q(x)>0,抛物线，上凹 q(x)<0,抛物线，下凹 FQ =0,抛物线有极值
斜率由突变 图形成折线
有突变 突变量=M
工程力学
例题2—画剪力图和弯矩图
已知外伸梁，M=3kN.m，q=3kN/m，a=2m
dFQ dx
dM dx
FQ (x)
d 2M dx 2
q(x)
工程力学
使用关系式画FQ、M图
d 2M dx 2
q(x)=0的区间 q(x)=C的区间
dFQ dx
q(x)
力偶M作用处
集中力F作用处
FQ 图
水平线
q(x)>0,斜直线，斜率>0 q(x)<0,斜直线，斜率<0
有突变 突变量=F
梁的截面形状
梁的平面弯曲
工程力学
梁的简化
简支梁
一端为活动铰链支座，另一端为固定 铰链支座
外伸梁
一端或两端伸出支 座之外的简支梁
悬臂梁
一端为固定端，另一 端为自由端的梁
工程力学
弯曲梁的内力 剪力FQ
采用截面法
FQ ΣF
弯矩M
M ΣMc(F)
工程力学
梁内力的正负号规定
从梁的变形角度
剪力：顺时针为正，逆时针为负 弯矩：上凹为正，下凹为负
工程力学
三、惯性矩的平行轴定理
即：
组合截面对某轴的惯性矩，等于其 由惯性矩的定义式可知： 组成部分对同一轴惯性矩的代数和
Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi
工程力学复习资料2
工程力学（2）复习资料一、复习知识点1、直径为D 的实心轴，两端受扭转力偶作用，轴内最大剪应力为τ，若轴的直径改为D ／2，则轴内的最大剪应力变为8τ。
（提示 ）2.圆轴扭转，横截面上任意点处的切应力沿半径成线性变化。
3、空心圆截面外径为D ，内径为d ，其抗弯截面系数为。
4、脆性材料的极限应力为材料的强度极限，塑性材料的极限应力为材料的屈服极限。
5.简支梁在集中力作用处，其剪力图发生突变；在集中力偶处，其弯矩图发生突变。
6、梁纯弯曲时，横截面上最大正应力发生在距离中性轴最远的各点处，在中性轴处正应力为零。
矩形截面梁横力弯曲时，横截面上最大切应力发生在中性轴上。
7、图示矩形截面对z 、y 两形心轴的惯性矩分别为33121,121hb I bh I y z ==8、设矩形截面对其一对称轴z 的惯性矩为I z ，则当长宽分别为原来的2倍时，该矩形截面对z 的惯性矩将变为16I z 。
9、梁发生平面弯曲时，其纵向纤维既不伸长也不缩短的一层称为中性层。
10、横力弯曲矩形截面梁横截面上的最大切应力是横截面上平均应力值的1.5倍。
11、横力弯曲圆形截面梁横截面上的最大切应力是横截面上平均应力值的4/3倍。
12、.梁的横截面对中性轴的静矩等于零。
13、.梁的弯曲应力公式zW M max max =σ适用于矩形截面形状的梁。
14、梁的弯曲变形中，挠度y 与转角θ间的微分关系式是dx dy ≈θ；15、梁的弯矩方程对轴线坐标x 的二阶导数等于集度q 。
16、平面应力状态下，不等于零的主应力有1个或2个；空间应力状态下，不等于零的主应力有3个。
用单元体表示点的应力状态，在主平面上切应力一定为零。
17、应力圆上的一个点的坐标值就是单元体上某一截面的应力值，所以应力圆和单元体有着一一对应的关系。
pW T =τ18、 受力构件内单元体各主平面相交成90度角。
19、第一、二强度理论主要适用于脆性材料，如铸铁、木材等。
第三、四强度理论主要适用于塑性材料。
弯矩 曲率
弯矩曲率弯矩是结构力学中的重要概念之一，它描述了材料在受力作用下的弯曲情况。
曲率则是描述曲线弯曲程度的物理量。
弯矩和曲率在结构设计以及材料力学等领域都有广泛的应用，对于研究物体在受力作用下的变形和破坏具有重要意义。
首先来介绍弯矩。
弯矩是指在材料受到弯曲作用时，在截面上产生的力矩，也可以理解为材料截面上的弯曲力。
对于一根梁而言，如果在一段截面上的外力作用产生的力矩大于其截面内部的抵抗力矩，则梁将发生弯曲变形。
弯矩大小与外力的大小和作用点到截面的距离有关。
一般可以通过应力和截面形状来求解弯矩。
在力学中通过材料的横截面上剪应力为零的状态称为悬臂点，而不同截面上的悬臂点之间的距离即为弯矩。
弯矩的大小对于物体的变形和破坏有着重要的影响。
当弯矩作用到一定程度时，材料内部的应力将超过其抗弯强度，引起横截面的破坏。
因此在结构设计中，需要根据材料的弯曲特性以及所受到的外力大小来确定合理的截面形状以及材料的选择，以保证结构在使用过程中能够满足强度和刚度的需求。
接下来我们来介绍曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的物理量，一般表示为k。
在数学中，曲率定义为曲线上某一点处的切线与曲线在该点处的夹角的弧度表示。
曲率值越大，曲线的弯曲程度就越大。
曲率的计算方法有多种，其中一种常见的方法是通过曲线的二阶导数来计算。
曲率在物理学和几何学中具有广泛的应用，例如天体运动、光学、流体力学等。
曲率也与弯矩有着密切的关系。
在梁的弯曲中，曲率可以描述梁截面的弯曲程度。
当外力作用在梁上产生弯矩时，曲率的大小与弯矩呈正相关关系。
具体而言，当梁受到均布载荷或集中载荷作用时，曲率在材料横截面上是沿着梁轴方向变化的，通常是两端较大，中间较小。
而曲率变化的大小与受力区域的长度和横断面形状有关。
当曲率超过材料的允许极限时，材料将发生失稳和破坏。
综上所述，弯矩和曲率是结构力学中重要的概念，对于研究物体在受力作用下的变形和破坏具有关键意义。
弯矩描述了在材料受到弯曲作用时产生的力矩，而曲率则描述了曲线的弯曲程度。
第四章 平面弯曲
弯曲变形：轴线变成一条曲线。 梁：以弯曲变形为主的杆。 平面弯曲：轴线成为一条平面曲线。 平面弯曲梁的几何特征：存在一纵向对称面。 受力特点：约束反力及主动力关于纵向对称面
对称作用。
实例：卧式容器—外伸梁；塔设备—悬臂梁等。
4.2 平面弯曲的内力分析
4.2.1 剪力和弯矩
例 试求图示悬臂梁 自由端的挠度和转角。 设抗弯刚度EI为常量。 解：P1和P2共同 作用下悬臂梁自由端 的挠度和转角，可看 作P1和P2单独作用下 产生的变形的代数和。
例 试求悬臂梁受均布载荷作用时自由端的挠 度和转角。设抗弯刚度EI为常量
解：将均布载荷设想 为由无数个微元力qdx 组成的，则每一个微 元力qdx在梁自由端产 生的微小转角和挠度：
例：已知：P=24kN， F=12kN， q=6kN/m， MO=12kN· m。 作出剪力图和弯矩 图。 解：(1)求支座反力 (2)剪力图和弯 矩图大致形状分析 (3)计算剪力和 弯矩值
RB=34 kN，RA=26 kN
QC 26kN
QC 26 24 2kN
MC=26 kN· m MD =28kN· m
MD =28-12=16kN· m
QD=2 kN
QB 22kN
QB 12kN
MB=-24 kN· m
4.3平面弯曲的正应力计算
剪力、弯矩对应的应力：剪应力和正应力
纯弯曲梁模型的建立：对于长梁，影响强度的 决定因素是弯矩。
4.3.l 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系
dy Px ( x) (2 L x) dx 2 EI
Px2 y ( x) (3L x) 6 EI ymax PL3 3EI
二阶弯矩中二阶是什么概念.doc
二阶弯矩中二阶是什么概念？
我有几个概念不清楚如：二阶弯矩，二阶弹塑性分析，我只是不明白二阶是什么概念，是不是有平方项，如展开的幂级数？请指教！
_____________________
请将标题列示清楚，方便检索。
举一个简单的例子，有一根立柱，上部受一集中水平力和竖向力，在没有变形时，只有水平力对立柱下端产生弯矩。
这样柱顶必然有水平位移，这时竖向力因为水平位移必然对柱子产生一个弯矩，这种弯矩就是二阶弯矩。
二阶弯矩就是指轴力产生的次弯矩。
二阶弹塑性分析就是考虑非线性
对很多结构，常以未变形的结构作为计算图形进行分析，所得结果足够精确。
此时，所得的变形与荷载间呈线性关系，这种分析方法称为几何线性分析，也称为一阶(First Order)分析。
而对有些结构，则必须以变形后的结构作为计算依据来进行内力分析，否则所得结果误差就较大。
这时，所得的变形与荷载间的关系呈非线性分析。
这种分析方法称为几何非线性分析，也称为二阶(Second Order)分析。
___________________
来自《结构稳定理论》，夏志斌，潘有昌，高等教育出版社，1988，pp12。
上面的论述仅涉及几何线性与非线性，那么什么叫“二阶弹塑性分析”呢？以变形后的结构作为计算依据，并且考虑材料的弹塑性（材料非线性）来进行结构分析，就是二阶弹塑性分析。
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弯矩方程的二阶导数是转角方程
1 弯矩方程
弯矩方程是用于描述弯曲应力分布的方程，是构造力学中重要的
基本方程之一。
它描述了某个物体因外力作用而产生的曲率、挠度、
屈曲轴承弯曲应力、应变分布的变化规律，是研究变形、弹性失效、
碰撞等问题的基础。
2 转角方程
转角方程又称挠度方程，是一种用于描述某种物体受外力作用时，变形的变化的数学方程。
它的二阶导数和弯矩方程相同，既可以用来
描述物体在受外力作用时产生的位移、应变以及应力，也可以用于描
述物体发生变形时节点之间的转角变化。
3 建模应用
转角方程主要用于有限元建模，可通过在不同节点处设定边界条
件结合弯矩方程来描述受外力作用时物体会发生的位移和应变，从而
推导出物体发生变形时节点之间的转角变化。
4 解题方法
解题时应首先规定节点处的边界条件，然后应用转角方程求解物
体节点间的变形，进而得出物体受外力作用时产生的位移及弯曲应力
情况。
5 实例
以一梁为例，计算其在端受力的情况下，借助转角方程研究它的变形弹性失效等情况。
假设已在梁端处设定了上下限关于梁弹性变形的边界条件，则可做出下列结论：① 梁在准备力P作用下，会发生变形。
② 节点间的转角变化可以通过转角方程求得。
③ 进一步的实验可以验证梁的伸缩性是否满足其设定的极限条件。