B翻折与轴对称图形
二、简答题 3． 下列图形中，是轴对称图形的，画出它的对称轴（有几条就画几条）．
A
B
C
D
E
4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A
B
C
D
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A
B
C
D
四、轴对称
一、填空题
B
A o
C
19．如右下图，已知扇形 OAB 与扇形 O′A′B′成轴对称，请你画出对称轴．
A
A'
O O'
B
B'
20．如图，已知两个字母“F”成中心对称，请你画出对称中心 O．
21．如图，在 4 个大小相同的正方形组成的图形中，请你再添加一个正方形，使整个图形是轴对称图形（最少画 三个）．
22．请你把下面这个图形补画成中心对称图形，并且用点 O 表示对称中心（最少画三个） ．
四、应用题（共 10 分） 23．请你用两条线段、两个圆、两个三角形拼成一个有意义的图案，画出你的图案，并给你的图案起个名字．
MATHS
9．小明从镜子中看到电子钟显示的时间是 20：51，那么实际时间为 ________.
10．如图，紫荆花绕着它的中心最少旋转 ________度就可以与它自身重合. 11．在下列字型的数字中，有两条对称轴的数字是_______________. 12．在下列字型的数字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______________.
，也叫
三、翻折与轴对称图形
基本训练
A
一、填空题
1．如图，△ABC 绕直线 l 翻折 得△A′B′C′，点 A 与点 A′叫做
_____________，线段 AB 与线段 A′B′叫做_____________，∠A 与∠A′叫做
_____________．
B
l C C'
A' B'
2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做__________________，这 条直线就是它的____________．
讲义编号
学员编号： 学员姓名：
学科教师辅导讲义
年 级：初一 辅导科目：数学
课时数： 3 学科教师：
学科组长签名及日期
教务长签名及日期
课题
翻折与轴对称图形
授课时间：2009 年 12 月 27 日
备课时间：
教学目标
重点、难点 考点及考试要求
1、 了解平移和旋转的概念。理解平移、旋转的基本性质，并能作出简单的平面图形平移、 旋转后的图形； 2、掌握旋转对称图形和中心对称图形的概念，理解旋转对称图形和中心对称图形的区别和 联系； 3、会判别给出图形是否是旋转对称图形或中心对称图形，会画出给定条件的旋转对称图 形或中心对称图形； 4、知道中心对称的意义及与中心对称图形的区别； 2、探索图形之间的变换关系，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的多用。 重点：1、理解平移、旋转的基本性质；
2、旋转对称图形和中心对称图形的概念及其应用； 3、画已知图形的中心对称的图形。 难点：1、作平面图形平移、旋转后的图形； 2、中心对称与中心对称图形的区别与联系。 掌握平移、旋转的性质，并会按要求作图；旋转对称图形和中心对称图形的概念，以及它 们的区别与联系；中心对称的两个图形的性质，会判断两个图形是否成中心对称，以及它 与中心对称图形的区别。
（D）
15．下列图形中，是轴对称图形但不是旋转对称图形的是（
）．
（A）
（B）
16．下列图形中，对称轴条数最多的是（
（C） ）．
（D）
（A）
（B）
（C）
（D）
三、画图题（每小题 7 分，共 42 分） 17．如左下图，画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′．
l A
B
C
18．如右上图，画出△ABC 关于点 O 中心对称的△A′B′C′．
1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做_______________________________，这 条直线叫做_______________，两个图形中的对应点叫做_____________________________．
2．两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小________，他们的形状________， 大小___________．
教学内容
一、旋转对称图形与中心对称图形
一、填空题
1．把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这个图形叫做
，这个定点叫
做
，旋转的角度叫做
．
2．旋转角α的范围是
．
3．把一个图形绕着一个定点旋转 180°后，与初始图形重合，那么这个图形叫做
，这个定点
叫做
．
二、简答题
4．下列图形中，是旋转对称图形的，在图下的括号内写出旋转角的最小度数，是中心对称图形的，在括号内画
二、选择题（每小题 3 分，共 12 分） 13．下列 4 张扑克牌中，是中心对称图形的是 （
）．
（A）
（B）
（C）
14．对这个图形的判断，正确的是（ ）
（A）这是一个轴对称图形，它有一条对称轴；
（B）这是一个轴对称图形，但不是中心对称图形；
（C）这是一个中心对称图形，但不是轴对称图形；
（D）这既是轴对称图形，也是中心对称图形．
3．在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，过两个中点的直线就是___________．
二、简答题
4．如左下图，四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′成轴对称，请你画出对称轴．
A'
A B'
l A
B
D'
C'
D
C B
C
5．如右上图，画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′．
6．如左下图，画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′．
l
A
A
B C
l
B C
7．如右上图，画出△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′．
8．如下图，画出这个图形关于直线 l 成轴对称的图形．
l
课后作业
一、填空题（每小题 3 分，共 36 分） 1．一个图形在平移后，对应点之间的距离________. 2．一个图形在旋转的过程中，对应角的大小_______. 3．正方形绕着它的中心至少旋转________度可以与它自身重合. 4．正方形有______条对称轴. 5．长方形有______条对称轴. 6．圆有______条对称轴. 7．图形在平移、旋转、翻折等运动过程中，有一个共同的特征，图形的______和______不变． 8．在组成单词“maths”的字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是_______.
“√”号.
（）
（）
（）
（）
5．描出下列旋转对称图形的旋转中心，并在下面的括号内，写出旋转角的最小度数，是中心对称图形的，在括 号内画“√”号．
（）
（）
（）
（）
6．下列旋转对称图形中，旋转角为任意度数的是（
）．
A
B
C
D
二、中心对称
一、填空题
1． 把一个图形绕着一个定点旋转 180°后，和另一个图形重合，那么叫做
做
，这个定点叫做
．
2． 寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得两条直线的交点就是____________．
二、作图题
3． △ABC 与△A′B′C′关于点 O 中心对称，请你描出对称中心 O．
A
C'
B' B
C A'
4．请你画出“箭头”关于点 O 中心对称的图形．
A
o
O B
C
5．如右上图，画出△ABC 关于点 O 中心对称的△A′B′C′．
【中考数学专题】10 与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析-
专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析专题导例如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是．【分析】：先判断出Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），得出∠DAM＝∠CBN，进而判断出△DCE≌△BCE （SAS），得出∠CDE＝∠CBE，即可判断出∠AFD＝90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF＝AD＝3，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C 三点共线时，CF的长度最小．方法剖析轴对称的性质（1）对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分；（2）轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，新旧图形具有对称性；（3）轴对称的两个图形，它们对应线段或延长线相交，交点在对称轴上.轴对称（折叠）的思考层次全等变换：对应边相等，对应角相等；对称轴性质：对应点所连线段被对称轴（折痕）垂直平分，对称轴（折痕）上的点到对应点的距离相等；指出：（1）在翻折下，前后的图形关于折痕成轴对称，注意前后的图形成镜面对称，即前后的图形的左右位置互换；（2）翻折或对称中建构勾股方程来求取线段长及对最值类问题进行探究；（3）轴对称常见的结构，折叠会产生垂直平分，等腰三形.导例答案：解：如图，在正方形ABC D中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF＝DO ＝AD＝3，在Rt△OD C中，OC ＝＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3﹣3．故答案为：3﹣3．典型例题类型一：利用已知直线作对称图形进行证明例1、在等边△AB C中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM．①依题意将图2补全；②证明：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．【分析】（1）先判断出∠BAD+∠CAD＝60°，进而得出∠BAD+∠E＝60°，即可得出结论；（2）①由对称性即可补全图形；②由对称性判断出DM＝DE，∠MDC＝∠EDC，再用三角形的外角的性质，判断出∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MDC，进而判断出△ADM是等边三角形，即可得出结论．类型二：对已知图形进行翻折进行证明例2．如图，矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．【分析】（1）根据矩形的性质、轴对称的性质可得到AD＝EC，AE＝DC，即可证到△DEC≌△EDA （SSS）；（2）易证AF＝CF，设DF＝x，则有AF＝4﹣x，然后在Rt△ADF中运用勾股定理就可求出DF的长．（3）根据三角形的内角和定理求得∠APF＝∠AFP根据等角对等边得出AF＝AP进而得出FC＝AP，从而证得四边形APCF是平行四边形，又因为FP⊥AC证得四边形APCF为菱形，然后根据菱形的面积S菱形＝PF•AC＝AP•AD，即可求得．专项突破1.如图，在Rt△AB C中，∠C＝90°，点D、E分别是BC、AB上一个动点，连接DE．将点B沿直线DE折叠，点B的对应点为F，若AC＝3，BC＝4，当点F落在AC的三等分点上时，BD的长为．2．如图，正方形ABC D中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接F C．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．3.已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题．（1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为；（2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．4.如图，Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上的一个动点（不与点A，B及A B中点重合），连接CD，点A关于直线CD的对称点为点E，直线BE，CD交于点F．（1）如图1，当∠ACD=15°时，根据题意将图形补充完整，并直接写出∠BFC的度数；（2）如图2，当45°＜∠ACD＜90°时，用等式表示线段AC，EF，BF之间的数量关系，并加以证明．5．在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，CA＝C B．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝D A．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠BDF；（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．6．如图①，在等腰三角形AB C中，AB＝AC＝8，BC＝14．如图②，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC＝∠AC D．如图③，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABE D．则BE的长是．7．在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP=α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E.（1）依据题意补全图形；（2）当α=20°时，∠ADC= ；∠AEC= ；（3）连接BE，求证：∠AEC=∠BEC；（4）当0°<α<60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．8.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连结BD，CD，其中CD交直线AP与点E．（1）如图1，若∠P AB＝30°，则∠ACE＝；（2）如图2，若60°＜∠P AB＜120°，请补全图形，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．9．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．10.【问题情境】如图①，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE＝CF．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt△AB C中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为A B中点，连结CD，点E为CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△AB C中，AB＝4，点D是A B中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F．当CF＝2CE时，CE＝．11．在△AB C中，∠ACB＝90°，AC＜BC，点D在AC的延长线上，点E在BC边上，且BE＝AD，（1）如图1，连接AE，DE，当∠AEB＝110°时，求∠DAE的度数；（2）在图2中，点D是AC延长线上的一个动点，点E在BC边上（不与点C重合），且BE＝AD，连接AE，DE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF，DE．①依题意补全图形；②求证：BF＝DE．专题十：与翻折或轴对称作图有关的几何证明题解析例1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD+∠CAD＝60°，∵DE＝DA，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD+∠E＝60°，∵∠EDC+∠E＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝∠EDC；（2）①补全图形如图2所示；②∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，由对称性得，∠EDC＝∠MDC，由（1）知，∠EDC＝∠BAD，∴∠MDC＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+∠MD C．∴∠ADM＝∠B＝60°，由对称性得，DM＝DE，∵DE＝DA，∴DA＝DM，∴△ADM是等边三角形，∴DA＝DM，即：在点D运动的过程中，始终有DA＝AM．例2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵△AEC由△ABC翻折得到，∴AB＝AE，BC＝EC，∠CAE＝∠CAB，∴AD＝CE，DC＝EA，∠ACD＝∠CAE，在△ADE与△CE D中，，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD＝∠CAE，∴AF＝CF，设DF＝x，则AF＝CF＝4﹣x，在RT△ADF中，AD2+DF2＝AF2，即32+x2＝（4﹣x）2，解得；x＝，即DF＝．（3）解：四边形APCF为菱形，设AC、FP相较于点O∵FP⊥AC∴∠AOF＝∠AOP又∵∠CAE＝∠CAB，∴∠APF＝∠AFP∴AF＝AP∴FC＝AP又∵AB∥CD∴四边形APCF是平行四边形又∵FP⊥AC∴四边形APCF为菱形，在矩形ABC D中，AB＝4，AD＝3，∴AC＝5，∵S菱形＝PF•AC＝AP•AD，∵AP＝AF＝4﹣＝∴PF＝＝．专项突破1.解：∵折叠∴BD＝DF，∵点F落在AC的三等分点上∴CF＝1或CF＝2，若CF＝1时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+1∴BD＝当CF＝2时，在Rt△CDF中，DF2＝CD2+CF2，∴BD2＝（4﹣BD）2+4∴BD＝故答案为：或2．解：（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝F D．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．补充方法：连接GM，证明四边形BMGC是平行四边形即可．3.解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等），∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝6，∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x，在Rt△EF C中，则有x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴EF＝5．故答案为：5；（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法1：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC，在△ABE与△CE B中，，∴△ABE≌△CEB（SSS），∴∠AEB＝∠CBE，∴BF＝EF，∴△BEF是等腰三角形．方法2：∵△ADC≌△AEC，∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC，又∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴F A＝FC，∴FE＝FB，∴△BEF是等腰三角形．4.（1）如图1中，连接E C．∵A，E关于CD对称，∴∠DCA=∠DCE=15°，CA=CE=C B．∵∠ACB=90°，∴∠ECB=60°，∴△ECB是等边三角形，∴∠CEB=60°，∵∠CEB=∠BFC+∠DCE，∴∠BFC=60°-15°=45°．（2）结论：EF2+BF2=2AC2．理由：如图2，连接CE，AF，延长AC交FE的延长线于点G．∵A，E关于CD对称，∴AC=CE，AF=EF，又∵CF=CF，∴△ACF≌△ECF（SSS），∴∠CAF=∠1，∵AC=BC，∴BC=CE，∴∠1=∠2，∴∠CAF=∠2，∵∠ACB=90°，∴∠G+∠2=90°，∴∠CAF+∠G=90°，∴∠AFG=90°，在Rt△AF B中，AB2=AF2+BF2，在Rt△AB C中，AB2=AC2+BC2=2AC2，∴BF2+AF2=2AC2，∴BF2+EF2=2AC2．5．（1）如图所示：（2）∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠CBA＝45°，∴∠CAD+∠DAB＝45°，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEB，∵∠DBA是△DBE的一个外角，∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°，∴∠EDB＝∠CAD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴∠EDB＝∠FDB，∴∠CAD＝∠FDB；（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF=√2BD，证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°，∴∠DMB＝∠DBM，∴DM＝DB，∴MB=√2BD，∵点E关于直线BC的对称点F，∴DE＝DF，∵AD＝DE，∴AD＝DF，∵AC∥MD，∴∠CAD＝∠ADM，∵∠CAD＝∠FDB，∴∠ADM＝∠FDB，∴△ADM≌△FDB（SAS），∴AM＝BF，∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB，又∵MB=√2BD，∴AB﹣BF=√2B D．6.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴＝，∴BE ＝＝＝．故答案为：．7．（1）如图；EDP（2）40°；60 °；（3）证明：∵点B关于射线AP的对称点为点D，∴△BAE≌△DAE．∴∠BAE=∠DAE=α．∵AD=AB=AC，∴∠ADC=()1806022α︒-︒+=60°－α．∴∠AEC=60°．∵∠ACB=60°，∠ACD=∠ADC=60°－α，∴∠BCE=α．∵∠ABC=60°，∠ABE=∠ADC=60°－α，∴∠BEC=60°．（4）证明：法一：在CD上截取AF=AE．F EDAB C P∵∠AEF =60°，∴△AEF 是等边三角形．∴∠AFC =∠AED =120°．∵∠ACD =∠ADC =60°－α，∴△ADE ≌△ACF ．∴DE =CF ．∴CD =2DE +EF ．∵AE =EF ，∴CD =2DE +AE ．法二：在CD 上截取BG =BE ．GEDAB C P∵∠BEC =60°，∴△BEG 是等边三角形．∴∠BGC =∠AED =120°．∵∠BCE =∠DAE =α，∴△BCG ≌△DAE ．∴AE =CG ．∵EG =BE =DE ，∴CD =2DE +CG ．∴CD =2DE +AE ．8.解：（1）连接AD ，如图1．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°，∴2∠ACE +60°+60°＝180°，∴∠ACE ＝30°，故答案为：30°；（3）线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图2．∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，∴∠EDA ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ，∴∠ABE ＝∠ACE ．设AC ，BE 交于点F ，又∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．9．(1)根据折叠，∠DBC ＝∠DBE ，又AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DF ＝BF ，∴△BDF 是等腰三角形(2)①菱形，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴FD ∥BG ，又∵FD ∥BG ，∴四边形BFDG 是平行四边形，∵DF ＝BF ，∴四边形BFDG 是菱形②∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10.∴OB ＝12BD ＝5.设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x .∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝254，即BF ＝254，∴FO ＝BF 2－OB 2＝（254）2－52＝154，∴FG ＝2FO ＝152 10.解：【问题情境】证明：∵在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 为A B 中点， ∴CD ⊥AB ，CD ＝BD ＝AD ＝AB ，∠BCD ＝∠B ＝45°，∴∠BDC ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，在△BDE与△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF；【探索发现】成立，理由：∵在Rt△AB C中，D为A B中点，∴CD＝BD，又∵AC＝BC，∴DC⊥AB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴∠ADF＝∠CDE，∴AF＝CE，∴CF＝BE；【类比迁移】∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠FDE＝60°，∴∠BDF＝120°﹣∠ADE，∠AED＝120°﹣∠ADE，∴∠BDF＝∠AED，∴△ADE∽△BDF，∴，∵点D为A B中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，AC＝BC＝4，∵CF＝2CE，∴设CE＝x，则CF＝2x，当点E在线段AC上时，∴AE＝4﹣x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝3﹣，x＝3+（不合题意，舍去），∴CE＝3﹣，如图④，当点E在AC的延长线上时，∵AE＝4+x，BF＝4﹣2x，∴＝，解得：x＝﹣1+，（负值舍去），∴CE＝﹣1+．综上所述，CE＝3﹣或﹣1+，故答案为：3﹣或﹣1+．11.解：（1）∵∠AEB＝110°，∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ACB＝20°；（2）①补全图形，如图所示．②证明：由题意可知∠AEF＝90°，EF＝AE．∵∠ACB＝90°，∴∠AEC+∠BEF＝∠AEC+∠DAE＝90°．∴∠BEF＝∠DAE．∵在△EBF和△ADE中，，∴△EBF≌△ADE（SAS）．∴DE＝BF．。
翻折与轴对称图形概述
翻折与轴对称图形概述翻折图形翻折图形是指将平面图形沿折痕折叠后所得到的图形。
翻折是重叠、翻转和旋转的组合，具有对称性质。
翻折图形通常由两份或更多的重叠的图形构成，其中一部分可以被折叠，以覆盖另一部分。
在几何学中，翻折可以用于证明对称性质和相等性质。
从计算机图形学的角度来看，翻折图形可以用于生成3D几何图形，并用于建模、动画和游戏等应用。
翻折图形的特点主要体现在以下方面：对称性质翻折图形具有显著的对称性质，其中的每个部分都与其他部分对称。
这使得翻折图形具有美学价值，并容易识别和记忆。
平面几何中的应用翻折图形在平面几何中有广泛的应用，包括证明对称性质、相等性质和角度关系等。
在计算机科学的研究领域中，翻折图形可以用于进行基本的几何图形建模和数值计算，例如得到一些经典的几何图形表达式。
良好的计算机可视化性翻折图形具有良好的计算机可视化性质，因为它们可以很容易地用于生成3D几何模型，从而在计算机图形学中得到广泛的应用。
这使得翻折图形成为了计算机科学中最受欢迎的几何形式之一。
轴对称图形轴对称图形（或称为镜像图形）是指通过对称轴旋转180度而变换而来的图形。
轴对称图形的特点是其具有完全相同的外观，在镜面前和镜面后形状一致。
因此，很多生物体，例如昆虫、植物和动物等都具有显著的轴对称性质。
轴对称图形的特点主要体现在以下方面：对称性质轴对称图形具有杰出的对称性质，其中的每个部分都具有镜像对称。
由于这种对称性质，轴对称图形在美学上具有强烈的吸引力，并易于识别和记忆。
广泛的应用轴对称图形在生物学中的广泛应用是其最大的亮点之一。
它被应用于解释许多生物相关问题，例如致死基因、细胞生长和随机变异等。
此外，在计算机科学中，轴对称图形还可以应用到很多应用领域，例如计算机辅助设计、数字印制和3D制模等。
良好的计算机可视化性轴对称图形具有良好的计算机可视化性质，因为它们可以用于生成3D几何模型，并且在计算机科学中得到广泛的应用。
这种对称性质也使它成为计算机科学中最常见的几何形式之一。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）翻折变换（折叠问题）专训单选题：1、(2017长安.中考模拟) 如图，对△ABC纸片进行如下操作：第1次操作：将△ABC沿着过AB中点D1的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h1，然后还原纸片；第2次操作：将△AD1E1沿着过AD1中点D2的直线折叠，使点A落在D1E1边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h2，然后还原纸片；…按上述方法不断操作下去…，经过第n次操作后得到的折痕Dn En到BC的距离记作hn ，若h=1，则hn的值不可能是（）A .B .C .D .2、(2019吴兴.中考模拟) 如图，将长BC=8cm，宽AB=4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A . 4cmB . cmC . cmD . c3、(2017长清.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A . 2B .C . 1D .4、(2017武汉.中考模拟) 如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A . 12B . 16C . 18D . 245、(2013百色.中考真卷) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使DA 与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′E的长是（）A . 1B .C .D . 26、(2015.中考真卷) 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A . （4，8）B . （5，8）C . （，）D . （，）7、(2012遵义.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A . 3B . 2C . 2D . 28、(2020南岸.中考模拟) △ABC中，∠ACB=45°，D为AC上一点，AD=5 ，连接BD，将△ABD沿BD翻折至△EBD，点A的对应点E点恰好落在边BC上.延长BC至点F，连接DF，若CF=2，tan∠ABD= ，则DF长为（）A .B .C . 5D . 79、(2020鄞州.中考模拟) 三角形纸片ABC中，∠C=90°，甲折叠纸片使点A与点B 重合，压平得到的折痕长记为m；乙折叠纸片使得CA与CB所在的直线重合，压平得到的折痕长记为n，则m，n的大小关系是（）A . m≤nB . m<nC . m≥nD . m>n10、(2020沙河.中考模拟) 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转-知识点归纳及中考典型题解析
新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转知识点归纳及中考典型题解析一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．考向一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．典例1第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．1．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．考向二平移1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．典例2下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是A．B．C．D．3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定考向三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．典例3 如图，在ABC △中，65BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将ABC △绕点A 逆时针旋转，得AB C ''△，连接BB '，若BB'AC ∥，则BAC '∠的大小是A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】A【解析】∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置， ∴AB ′=AB ，∠B ′AC ′=∠BAC =65︒， ∴∠AB ′B =∠ABB ′， ∵BB ′∥AC ，∴∠ABB ′=∠CAB =65°， ∴∠AB ′B =∠ABB ′=65°， ∴∠BAB ′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC ′=∠B ′AC ′–∠BAB ′=65°–50°=15°， 故选A ．4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A ．36°B ．60°C ．72°D ．90°5．如图将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ，若点B 、D 、E 在同一条直线上，∠BAC =20°，则∠ADB的度数为A．55°B．60°C．65°D．70°考向四中心对称识别轴对称图形与中心对称图形：①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．典例4下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是A．B．C．D．1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为A．（0，–2）B．（6，–2）C．（3，1）D．（3，–5）3．下列说法中正确的有①旋转中心到对应点的距离相等；②对称中心是对称点所连线段的中点；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；④任意一个等边三角形都是中心对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为A．（1，–1）B．（–1，–1）C．（1，1）D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．10．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为__________； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为__________； （3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长．11．如图，在ABC △中，D 为BC 上任一点，DE AC ∥交AB 于点E DF AB ，∥交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．（1）△ABC旋转了多少度？（2）连接CE，试判断△AEC的形状．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．1．下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°5．如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．216．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于A．2 B．3 C．4 D．3 27．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为A．4 B．25C．6 D．268．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB 绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为__________cm．10．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O 逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．变式拓展1．【答案】A【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．【答案】D【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；D、可通过平移得到，故此选项正确；故选D．3．【答案】C【解析】由平移的性质可知，甲、乙两只蚂蚁的行走的路程相同，且两只蚂蚁的速度相同，所以两只蚂蚁同时到达，故选C．4．【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C．5．【答案】C【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．6．【答案】A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．【答案】B【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），∴正确答案是B选项.故选B．3．【答案】C【解析】①旋转中心到对应点的距离相等，正确；②对称中心是对称点所连线段的中点，正确；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角，正确；④任意一个等边三角形都是中心对称图形，错误．说法正确的有3个，故选C．4．【答案】D【解析】根据图象，△ABC 绕着点A 逆时针方向90°旋转与△DEF 形状相同，向右平移6格就可以与△DEF 重合．故选D ． 5．【答案】C【解析】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （–2，–2）， 得D 点坐标为（022-，022-），即（–1，–1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周， OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（1，1）； 故选C ． 6．【答案】23-【解析】如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°， ∴AB ∥CD ，∴∠D +∠BAD =180°， ∴∠D =60°， ∵AD =AB =2，∴AH =AD ·sin60°3= ∵B ，B ′关于EF 对称， ∴BE =EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′3AH ==时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值=23， 故答案为：23． 7．【答案】55【解析】∵1110∠=︒，纸条的两边互相平行，∴3180118011070.∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，()()1121803180705522∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒．故答案为：55． 8．【答案】14【解析】根据中心对称图形的性质，得AOE COF △≌△，则阴影部分的面积等于BOC △的面积，为平行四边形ABCD 面积的14．故答案为：14． 9．【答案】22【解析】如图，∵21112∠=∠=︒（对顶角相等），∴336090211268.∠=-⨯︒-=︒︒︒ ∴'906822BAB ∠=-=︒︒︒，∴旋转角'22.BAB α∠=∠=︒故答案为：22．10．【解析】（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为（2，–3）．（2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为（3，1）． （3）将△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°，则点C 走过的路径长=90π2180=π．11．【解析】如图，连接EF 交AD 于点O ．DE AC ∥交AB 于E DF AB ，∥交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴点E F ，关于AD 的中点对称．12．【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：'''A B C △即为所求：C '的坐标为()55-，； （3）2221454162091625AB AC BC =+==+==+=，，，∴222AB AC BC +=， ∴ABC △是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC =40°，∴∠BAD =140°，∴△ABC 旋转了140°．（2）由旋转的性质可知AC =AE ，∴△AEC 是等腰三角形． （3）由旋转的性质可知，∠CAE =∠BAD =140°，又AC =AE ， ∴∠AEC =（180°–140°）÷2=20°．1．【答案】D【解析】∵只有D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选D ． 2．【答案】B【解析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标横坐标增加3，即（5，1）．故选B ． 3．【答案】【解析】由点A （2，1）平移后所得的点A 1的坐标为（–2，2），可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B 的对应点B 1的坐标为（–1，0）．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6，直通中考由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ． 6．【答案】B【解析】∵S △ABC =16.S △A ′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC =8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A'DE ABD S A'D AD S =△△，即299()1816A'D A'D ==+，解得A ′D =3或A ′D =﹣37（舍），故选B ． 7．【答案】D【解析】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD =DC =2，∵DE =2，∴Rt △ADE 中，AE =22AD DE +=26，故选D ．8．【答案】（﹣2，﹣23） 【解析】作BH ⊥y 轴于H ，如图，∵△OAB 为等边三角形，∴OH =AH =2，∠BOA =60°，∴BH =3OH =23，∴B 点坐标为（2，23）， ∵等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′， ∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣23）． 故答案为：（﹣2，﹣23）． 9．【答案】10–26【解析】如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°，∴∠AED =∠ADG =45°，在△AEF 中，∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =2AD =32， 在Rt △AFG 中，GF =3AG =6，AF =2FG =26，∴CF =AC –AF =10–26， 故答案为：10–26．10．【答案】23–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4．∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°．∴∠ECD =180°–2×75°=30°．∴∠E =75°–30°=45°．过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt △ACH 中，CH =12AC =2，AH =23． ∴HD =AD –AH =4–23．在Rt △CHE 中，∵∠E =45°，∴EH =CH =2．∴DE =EH –HD =2–（4–23）=23–2．故答案为3–2．11．【解析】（1）如下图所示，点A 1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A 2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A （4，1），∴OA 221417+=∴线段OA 290(17)⨯π⨯=174π．12．【解析】（1）∵对角线AC的中点为O，∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO=EO，且GO=HO，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE，∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=（9–AE）2+9，∴AE=5．13．【解析】（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°–30°）=75°，∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=12 AC，∵∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴BF=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。
八(上)数学第2章《轴对称图形》教案(含答案)
八（上）数学第2章《轴对称图形》教案（含答案）一．轴对称图形二．镜面对称三．轴对称的性质四．作图-轴对称变换五．翻折变换（折叠问题）六．利用轴对称设计图案七．角平分线的性质八．线段垂直平分线的性质九．等腰三角形的性质十．等腰三角形的判定十一．等腰三角形的判定与性质十二．等边三角形的性质十三．等边三角形的判定十四．等边三角形的判定与性质十五．含30度角的直角三角形十六．直角三角形斜边上的中线一．轴对称图形（共6小题）（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列银行的标识中，是轴对称图形的是（）A．中国建设银行B．招商银行C．交通银行D．中国农业银行3．下列四个图形中，是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．线段、正三角形，平行四边形、菱形中，只是轴对称图形的是．5．平行四边形，长方形，等边三角形，半圆这几个几何图形中，对称轴最多的是．6．如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有个．二．镜面对称（共4小题）1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．2、关于镜面问题动手实验是最好的办法：写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．1．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是．2．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是．3．开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是．4．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：20三．轴对称的性质（共10小题）（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．1．下列说法错误的是（）A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合B．线段是轴对称图形C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称D．轴对称图形的对称轴至少有一条2．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，点E，F分别在线段BD、CD上，点G 在EF的延长线上，△EFD与△EFH关于直线EF对称，若∠A＝60°，∠BEH＝84°，∠HFG＝n°，则n＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB＝15，DE＝10，∠D＝70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．5．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（）A．AC＝DF B．BO＝EO C．AD⊥l D．AB∥EF第5题第6题第7题第8题6．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个7．如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为．8．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．9．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．10．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA，有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA 平分∠BOC；其中正确的结论个数是（）A．0个B．3个C．2个D．1个四．作图-轴对称变换（共6小题）几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．1．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）求△ABC的面积．2．已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）若点B的坐标为（4，2），请写出点B经过两次图形变换的对应点B2的坐标．3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）作出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A1B1C1．（2）说明三角形A2B2C2可以由三角形A1B1C1经过怎样的变换而得到？（要说明变换过程）4．已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣P A|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣P A|的最大值．5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1．6．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）顶点A关于x轴对称的点的坐标A'（，），顶点C先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标C'（，）；（2）将△ABC的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1得△DEF，请你直接画出图形；（3）在平面直角坐标系xOy中有一点P，使得△ABC与△PBC全等，这样的P点有个．（A点除外）五．翻折变换（折叠问题）（共8小题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．1．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝65°，那么∠2等于．2．如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长等于（）A．4+B．8C．4D．6第2题第3题第4题3．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕，若∠DBA＝80°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（）A．30°B．45°C．74°D．75°5．如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且ED′在∠A′EF内部，如图2，设∠A′ED'＝n°，则∠FEG的度数为（用含n的代数式表示）．32．如图，图①是一个四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为边AB，CD上的两点，且∠BEF＝27°，将纸条ABCD沿EF所在的直线折叠得到图②，再将图②中的四边形BCFM沿DF所在直线折叠得到图③，则图③中∠EFC的度数为．6．如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上．有下列结论：①EF平分∠MED；②∠2＝2∠3；③∠1+∠3＝90°；④∠1+2∠3＝180°其中一定正确的结论有．（填序号）7．如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．B．C．D．六．利用轴对称设计图案（共6小题）利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．1．如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．2．如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有种不同的涂法．3．如图所示，在4×4的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．△ABC是一个格点三角形，请你在图1，图2，图3中分别画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图不能重复．）4．如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，小明用n个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．（1）用含a、b的式子表示c；（2）当n＝2时，求小明拼出来的图形总长度；（用含a、b的式子表示）（3）当a＝4，b＝3时，小明用n个这样的图形拼出来的图形总长度为28，求n的值．5．如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形．并画出它的一条对称轴（如图例．画对一个得1分）6．如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个七．角平分线的性质（共11小题）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点第1题第2题第3题第4题2．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC3．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2.5，则两平行线AD与BC间的距离为（）A．3B．4C．5D．64．已知：DA平分∠CAB，DB平分∠ABC，DE⊥AB于点E，△ABC的周长是12，面积是6，则DE的长是．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求出此时t的值；（2）若点P使得PB+PC＝AC时，求出此时t的值．6．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：P A平分∠MAN．7．如图，△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD ⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为cm．8．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：410．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（）A．8B．6C．5D．411．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．八．线段垂直平分线的性质（共12小题）（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．1．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线2．若P是△ABC所在平面内的点，且P A＝PB＝PC，则下列说法正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条角平分线的交点C．点P是△ABC三边上高的交点D．点P是△ABC三边中线的交点3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC 三个顶点距离相等的点是（）A．点E B．点F C．点G D．点H第3题第4题第5题4．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．105．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm6．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC 于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A＝60°，∠ACE＝24°，则∠ABE的度数为（）A．24°B．30°C．32°D．48°8．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠BAD＝15°，BD＝18cm，则AC的长是cm．9．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．10．已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D 为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连结AE．（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；（2）证明：l垂直平分AE．11．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．12．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．九．等腰三角形的性质（共6小题）（1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．1．如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（）A．16 cm B．20cm C．21 cm D．16或20cm2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等3．等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，等腰三角形的周长为（）A．7B．11或7C．11D．7或104．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（）A．5B．7.5C．9D．105．已知，等腰三角形的一边是3，另一边是方程+＝1的解，则这个三角形的周长是（）A．10B．11C．10或11D．7或86．如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（）A．50°，80°B．65°，65°C．50°，65°D．50°，80°或65°，65°十．等腰三角形的判定（共11小题）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．1．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的小正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，现已知A、B、C、D都是格点，则下列结论中正确的是（）A．△ABC、△ABD都是等腰三角形B．△ABC、△ABD都不是等腰三角形C．△ABC是等腰三角形，△ABD不是等腰三角形D．△ABC不是等腰三角形，△ABD是等腰三角形2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．（1）若BE﹣EC＝2，求CE的长；（2）若∠A＝36o，求证：△BEC是等腰三角形．4．下面叙述不可能是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形5．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°35．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点DA．1个B．2个C．3个D．4个36．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P 有个．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：AD∥EF；（2）求证：△AFG是等腰三角形．38．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．739．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组40．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是．十一．等腰三角形的判定与性质（共15小题）1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线【“三线合一”】，3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．1．用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（）A．9个B．7个C．6个D．5个3．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是．4．如图，点G在CA的延长线上，AF＝AG，AD⊥BC，GE⊥BC．求证：AD平分∠BAC．证明：∵AF＝AG（已知），∴∠AGF＝∠AFG（）．∵AD⊥BC，GE⊥BC（已知），∴∠ADC＝∠GEC＝90°（）．∴AD∥GE（）．∴∠CAD＝（两直线平行，同位角相等）．∠BAD＝∠AFG（）．∴∠CAD＝∠BAD（等量代换）．∴AD平分∠BAC（）．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC 交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，DE经过点O，且DE∥BC，DE分别交AB、AC于D、E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2B．3C．4D．57．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，BE⊥BD，DE∥BC，BE与DE交于点E，DE交AB于点F．（1）若∠A＝56°，求∠E的度数；（2）求证：BF＝EF．10．（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF 之间的关系．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．13．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？十二．等边三角形的性质（共7小题）（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．1．如图，在△ABC中，点D，E在边上，DE∥BC，若△ADE是等边三角形，AD＝2，BD＝3，则△ABC的周长为（）A．6B．9C．15D．182．如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF 的值是（）A．12B．8C．4D．33．如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝°．第3题第4题第5题4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD 的最大值是．6．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°7．如图，在等边△ABC中，BD＝2DC，DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（）A．AP＞AE＞EP B．AE＞AP＞EP C．AP＞EP＞AE D．EP＞AE＞AP十三．等边三角形的判定（共9小题）（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．1．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．2．如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连结BD，则△ABD是三角形．3．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC4．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（填序号）．5．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．6．如果三角形的三边a、b、c适合（a2﹣2ac）（b﹣a）＝c2（a﹣b），则a、b、c之间满足的关系是；有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是．7．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②④C．①③D．②③④8．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．9．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，。
轴对称图形的性质及应用
轴对称图形的性质及应用如果把一个图形沿着某一条直线对折过来，在直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，能够重合的点互为对称点．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线．在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质．譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等．另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中．例1已知直线l 外有一定点 P ，试在l 上求两点A ，B ，使AB m =（定长），且PA PB +最短．分析：当把P 点沿l 方向平移至C （如图1），使PC m =，那么问题就转化为在l 上求一点B ，使CB PB +为最短．作法：过P 作//PC l ，使PC m =，作P 关于l 的对称点P '，连结CP '交l 于B ．在l 上作AB m =，点A ，B 为所求之两点．证：在l 上另任取A B m ''=，连PA ，PA '，PB '，CB '，A P ''，B P ''，则P A PA'''=，PB P B '''=，又PA B C ''为平行四边形，∴CB PA ''=． ∵CB '＋B P ''＞CP '， ∴PA '＋PB '＞PA ＋PB ．例2如图2，△ABC 中，P 为∠A 外角平分线上一点，求证：PB ＋PC ＞AB ＋AC ．分析：由于角平分线是角的对称轴，作AC关于AP的轴对称图形AD，连结DP，CP，则DP＝CP，BD＝AB＋AC．这样，把AB＋AC，AC，PB，PC集中到△BDP中，从而由PB＋PD＞BD，可得PB＋PC＞AB＋AC．证：（略）．点评：通过变为轴对称图形后，起到相对集中条件的作用，又有将折线化直的作用（如AB＋AC化直为BD）．例3等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于m，求此梯形的高．解：如图3．设等腰梯形AD∥BC，AB＝DC，对角线AC与BD相交于O，且AC⊥BD，中位线EF＝m.过AD，BC的中点M，N作直线，由等腰梯形ABCD关于直线MN成轴对称图形，∴O点在MN上，且OA＝OD，OB＝OC，AM＝DM，BN＝CN．又AC⊥BD，故△AOD和△BOC均为等腰直角三角形．2OM＝AD，2ON＝BC．∵AD＋BC＝2EF＝2m，∴2OM＋2ON＝2m．∴OM＋ON＝m，即梯形高MN＝m．例4凸四边形EFGH的四个顶点分别在边长为a的正方形ABCD的四条边上．求证：EFGH的周长不小于．证：如图4，连结AA 2，EE 3．正方形ABCD 和正方形A 1BCD 1关于BC 对称；EFGH和E 1FG 1H 1关于BC 对称；A 1BCD 1和A 2B 1CD 1关于 CD 1对称；E 1FG 1H 1和 E 2F 1G 1H 2关于CD 1对称；A 2B 1CD 1和A 2B 2C 1D 1关于A 2D 1对称，E 2F 1G 1H 2和E 3F 2G 2H 2关于A 2D 1对称．2AA =，又23AE A E =32EE AA ==1122332EF FG GH HE EF FG G H H E EE AA ∴+++=+++==≥例5 如果一个四边形关于它的两组对边中点的两条连线成轴对称，则此四边形为矩形．已知：如图5．四边形ABCD 中，M ，F ，N ，E 分别为各边的中点，且MN ，EF 为它的对称轴．求证：ABCD 是矩形．分析：欲证ABCD 是矩形，首先证明它是平行四边形，再证明它有一个直角即可．证：∵四边形ABCD 关于EF 成轴对称，∴DC ⊥EF ，AB ⊥EF ， ∴AB ∥DC ．同理AD ∥BC ．∴ABCD 是平行四边形．∴DC ＝AB ．又∵2DC DE =，2AB AF =．∴D E AF ，∴ADEF 为平行四边形．∴AD ∥EF ，而DE ⊥EF ，∴DE ⊥AD ，∠D ＝90．∴ABCD 是矩形．轴对称应用举例山东 徐传军生活中很多图形的形状都有一个共同的特性———轴对称．在日常生活中利用轴对称的性质能解决很多问题，下面举例说明．一、确定方向例1 如图1，四边形ABCD 是长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于E 、F 两点的位置，试问，怎样撞击黑球E ，才能使黑球先碰撞台边DC ，反弹后再击中白球F ？解：作E 点关于直线CD 的对称点E ′，连接FE ′，与CD 的交点P 即为撞击点，点P即为所求．例2 如图2，甲车从A 处沿公路L 向右行驶，乙车从B 处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间追上甲车，请问乙车行驶的方向？解：作AB 的垂直平分线EF ，交直线L 于点C ，乙车沿着BC 方向行驶即可．二、确定点的位置找最小值例3 如图3，AB ∥CD ，AC ⊥CD ，在AC 上找一点Ｅ,使得BE +DE 最小．解：作点B 关于AC 的对称点B ′,连接DB ′，交AC 于点E ，点E 就是要找的点．例4如图4，点A是总邮局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小．解：作点A关于L1和L2的对称点B、C．连接BC，交L1于点D，交L2于点E．点D、E就是要找的点．三、与其他学科结合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分，你能对出下联来吗?对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联不像话，十分感慨．一连几天在庙前苦思冥想，未能对出下联，有次在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联———“一舟二橹四人摇过八仙桥”．太守再次路过此庙时，看到下联，连连称赞“妙妙妙”．这副对联数字对数字，事物对事物，对称美如此的和谐．可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现．生活中的轴对称无处不在,只要你善于观察,将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受．用轴对称解实际问题山东于秀坤在我们实际生活中，许多问题设计到轴对称的应用，下面介绍几例.例1要在河岸所在直线l上修一水泵站，分别向河岸同侧的A、B两村送水，请你设计水泵站应修在何处，所用管道最短？分析：设水泵站修在C点，此题的实质是求折线AC+BC的最短长度，可作出A点关于直线l的对称点A′，如图1，根据对称性，AC+BC=A′C+BC，所以连结BA′交直线l于点C，点C便是水泵站的位置，因为此时折线长AC+CB化成线段A′B的长，根据两点之间线段最短的道理便可确定点C是水泵的位置．图1 图2例2如图2，角形铁架∠MON小于60°，A、D是OM、ON上的点，为实际应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使AB+BC+CD最小，问应如何找？分析：学习了轴对称，可以利用对称性化折为直的道理，分别作出点A、点D关于ON、OM的对称点A′、D′，连结A′D′与ON、OM交于B、C，则点B、C便是所求的点．例3如图3，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？图3分析：利用轴对称的性质，分别作出B点关于EF的对称点，A点关于HG的对称点，问题得解．解：（1）①作点B关于EF的对称点B′，②连结AB′交EF于C点，则沿AC撞击A，球A必沿BC反弹击中白球B（如图4）．图4 图5（2）如图5，作法类似（1）．例4如图5，小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？图5 图6 图7解：（1）如图6，取线段AB的中点G，过中点G作AB的垂线,交EF于P，则P到A、B的距离相等．（2）如图7，作点A关于河岸EF的对称点A′，连结A′B交EF于P，则P到A、B 的距离和最短．用轴对称知识解决打台球一题山东于秀坤题目：小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛．（1）小强把白球放在如图1所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞AC边后反弹进F洞；想想看小强这样击打，黑球能进F洞吗？请画图的方法验证你的判断，并说明理由．图1 （2）小勇想通过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞，请你猜想小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由．分析：本题是一道操作型探究题，主要根据轴对称的知识的有关进行探究．第(1)题可以通过击打AC边使球反弹进F洞．第(2)题有多种方法．击球入洞需要对每一杆的角度进行适当的估算，实质上等同于几何角度的计算，二者有着密切的关系．要想至多撞台球桌边一次击黑球于F洞．方案可以有以下情况：(1)不击台球桌边，直接用白球撞击黑球;(2)通过白球击CF边反弹再撞击黑球进A洞；(3)用白球撞击DF边反弹撞击黑球进F洞．要想准确撞击黑球，必须找准击球的方向角度，准确估算击球的方向．在数学上，可以借助轴对称的知识来解决问题．解: (1)如图2，将白球与黑球视为两点，过这两点画直线交台球桌边AC于M，过点M 作法线MN⊥AC，在MN右侧∠F′MN=∠PMN，由于射线MF′过F洞，知黑球经过一次反弹后必进入F洞．图2（2）方案1：如图3，视白球、黑球为两点P，G，使A、G、P在同一直线上．方案2：如图4，延长AC到H点，使AC=CH，连接GH交FC于点K，根据轴对称的知识可知，用白球沿GK方向撞击边CF反弹后可进行A洞．方案3：如图5，延长AD到M点，使MD=AD，连结GM交DF于N，根据轴对称知识可知，沿GN方向用白球撞击黑球经反弹后可进入A洞．图3 图4 图5最短线路问题河北欧阳庆红吴立稳同学们，对于最短线路问题你一定很陌生吧?运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路．我们把这类求近道的问题统称最短线路问题．另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题，这类问题在生产、科研、生活中应用广泛．请同学们看下面几个生活中的最短线路问题．一、两点一线问题例1 如图1，某同学打台球时想绕过黑球，通过击黑球A，使主球A撞击桌边MN后反弹，来击中白球B．请在图中标明，黑球撞在MN上哪一点才能达到目的？(以球心A、B来代表两球)?分析：要撞击黑球A，使黑球A先撞击台边MN上的P点后反弹击中白球B，需∠APN=∠BPM，如图2，可作点A关于MN的对称点A’，连结A’B交MN于点P，则P点即为所求作的点．作法:（图2）：⑴作点A关于MN的对称点A’；⑵连结A’B，交MN于P．则经AP撞击台边MN，必沿P B反弹击中白球B．∴点P就是所要求的点．N图1说明：本题黑球A ，白球B 在MN 的同侧，直接确定撞击点的位置不容易，但若A 、B 在MN 的异侧，击球路线就容易确定了．本题可利用轴对称的特征将A 点转化到MN 的另一侧，设为A ’，连接A ’B 即可确定撞击点．二、一点两线问题例2 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3），岸与小岛有一桥相连．现准备在小岛的三边上各设立一个水质取样点．水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验．请问，三个取样点应分别设在什么位置，才能使得每天取样所用时间最短(假设速度一定)? 分析：此题要求时间最短，而速度一定，所以可转化为求最短路程．如图4，小桥DE为必走之路，所以容易得到D 为BC 边上的取样点．关键是确定另外两边上的取样点，这是线段之和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，关于线段最短，我们有“两点之间，线段最短”，利用对称便可使问题得到解决．解析：如图4，作点D 关于AB 的对称点F ；点D 关于AC 的对称点G ， 连接FG ，交AB 于M ，交AC 于N ．∴D 、M 、N 即所求三个取样点．（请同学们试着证一证）．三、同类变式 例3 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图５中的AO ，BO ），AO 桌面上摆满了糖果，BO 桌面上摆满了桔子，坐在C 处的学生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，请你帮他设一条行走路线，使其所走的总路程最短？分析：此题是轴对称的特殊应用，需分两种情况讨论：①∠AOB 小于90°；②∠AOB 等于90°。
第二章 轴对称图形(知识归纳+题型突破)(解析版)
第二章 轴对称图形（知识归纳+题型突破）1、从生活中提炼轴对称模型，归纳轴对称的概念。
2、通过图形变换理解轴对称图形的性质，在生活中运用轴对称解决问题。
【知识点1】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形___关于这条直线对称___，也称这两个图形___成轴对称___，这条直线叫做___对称轴___，两个图形中的对应点叫做___对称点___．【知识点2】轴对称图形的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够___互相重合___，那么称这个图形是___轴对称图形___，这条直线就是___对称轴___．【知识点3】轴对称与轴对称图形的区别与联系名称两个图形成轴对称轴对称图形图形图形个数针对两个图形而言，是两个图形的一种特殊位置关系针对一个图形而言，是某个图形的一种特殊几何性质对称轴只有一条对称轴可以有一条或多条、甚至无数条对称轴对称点在两个图形上在同一个图形上区别验证沿某条直线折叠后，两个图形能够沿某条直线折叠后，直线两旁的部重合分能够互相重合联系（1）沿对称轴折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形（1）沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分能够互相重合；（2）如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称【知识点4】线段的轴对称性线段___是___轴对称图形，线段的___垂直平分线___是它的对称轴．【知识点5】垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点___到线段两端的距离相等___．几何语言：∵MN 是线段AB 的垂直平分线（或MN ⊥AB 于点D ，且AD = BD ），∴CA = CB．【知识点6】垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点在线段的___垂直平分线___上．几何语言：∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上．【知识点7】角的轴对称性角___是___轴对称图形，___角平分线所在的直线___是它的对称轴．【知识点8】角平分线的性质角平分线上的点___到角两边的距离相等___．几何语言：∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，∴EC=ED．【知识点9】角平分线的判定定理角的内部到___角两边距离___相等的点在角的平分线上．几何语言：∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED，∴点E在∠APB的平分线上．【知识点10】等腰三角形的轴对称性等腰三角形___是___轴对称图形，对称轴是___顶角平分线所在直线___．【知识点11】等边对等角等边对等角：等腰三角形的两底角相等．几何语言：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）【知识点12】三线合一三线合一：等腰三角形___底边上的高线___、___底边上的中线___、___顶角平分线___重合．几何语言：在△ABC中∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC，BD=CD【知识点13】等腰三角形的判定等角对等边：有两个角___相等___的三角形是等腰三角形．几何语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）题型一轴对称图形的识别【例1】作出下列各图形的一条对称轴【答案】见解析【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下：【例2】如果正三角形有n条对称轴，那么n=．【答案】3【分析】根据轴对称的定义进行判断即可．巩固训练：1．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：由图可知，该图形有6条对称轴；故选：C2．对称轴最多的图形是（）A．圆B．长方形C．正方形D．等边三角形【答案】A【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可．【详解】解：圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴；故选：A．3．某校学生为校运动会设计会标，在以下四个标志中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．题型二镜面对称问题【例3】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（）A．4:00B．8:00C．12:20D．12:40【答案】B【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．【答案】3265巩固训练：4．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（）A．B．．D ．【答案】C “”题型三 轴对称的性质【例6】如图，ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，下列结论①AB A B ¢¢=；②OB OB ¢=；③AA BB ¢¢∥中，正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A 【分析】根据轴对称的性质解答．【详解】解：∵ABC V 与A B C ¢¢¢V 关于直线MN 对称，BB ¢交MN 于点O ，∴AB A B ¢¢=，OB OB ¢=，AA BB ¢¢∥，综上，三个选项都正确，故选：A ．【例7】如图，已知点A 、B 是直线MN 同侧两点，点A ¢、A 关于直线MN 对称．连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．若5cm A B ¢=，则AP BP +的长为（ ）A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．无法确定【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到A P AP ¢=，由AP BP A P BP A B ¢¢+=+=即可得到答案．【详解】解：∵点A ¢、A 关于直线MN 对称，连接A B ¢交直线MN 于点P ，连接AP ．∴A P AP ¢=，∴5cm AP BP A P BP A B ¢¢+=+==，即AP BP +的长为5cm ．故选：C【例8】如图，P 在AOB Ð内，点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点．如果PMN V 的周长为12，则CD 的长为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．18【答案】B 【分析】先根据轴对称的性质得到CM PM DN PN ==，，再根据三角形周长公式得到12PM MN PN ++=，则12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=．【详解】解：∵点C 、D 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，∴CM PM DN PN ==，，∵PMN V 的周长为12，∴12PM MN PN ++=，∴12CD CM MN DN PM MN PN =++=++=，故选B ．巩固训练：∴PMN V 的周长为121215PM PN MN MN PM P N PP ++++==＝．故答案为：15．8．如图，ABC V 和ADE V 关于直线l 对称，已知15AB =，10DE =，70D Ð=°．求B Ð的度数及BC 、AD 的长度．【答案】70B Ð=°，10BC =、15AD =【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：ABC QV 和ADE V 关于直线l 对称，AB AD \=，BC DE =，B D Ð=Ð，又15AB =Q ，10DE =，70D Ð=°．70B \Ð=°，10BC =，15AD =，题型四 折叠问题【答案】90°【分析】根据折叠的性质得到Ð求解即可．【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，A．17B．10【答案】A【分析】由折叠的性质可得AD=V沿直线DE 【详解】解：∵将ABC巩固训练：A ．角平分线B ．高线【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得：【详解】解：∵将ABC V 折叠，使点∴D 为BC 中点，∴AD 是ABC V 的中线；【答案】24°/24度【详解】解：∵将长方形纸片∴90,E B EAC Ð=Ð=°Ð∴180EAB EFC Ð=Ð=°-【答案】55°/55度【详解】解：如图，由翻折不变性可知：2ÐÐ=∵宽度相等的纸条边缘平行，∴13Ð=Ð，12\Ð=Ð，题型五 垂直平分线的性质【例12】甲、乙、丙三家分别位于ABC V 的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在 （ ）A ．三边垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答．【详解】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等，∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在ABC V 三边的垂直平分线上，故选A ．【例13】如图，在ABC V 中，AB AC ^，3AB =，5BC =，4AC =，EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任意一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A．7B．6C．12D．8【答案】A【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．【例14】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（ ）A．2B．12C．5D．7【答案】B【分析】由于A，C关于直线DE为对称，所以F和D重合时，FC FB最小，最小值等于AB，即可求得BCF D 的周长的最小值．【详解】解：DE Q 是线段AC 的垂直平分线，A \，C 关于直线DE 为对称，F \和D 重合时，FC FB +最小，即BCF D 的周长的最小值，DE Q 是线段AC 的垂直平分线，DC DA \=，FC FB \+的最小值7DC DB AB =+==，BCF \D 的最小周长7512FC FB BC =++=+=，故选：B ．【例15】已知ABC V 中120BAC Ð=°，26BC =，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，与AB AC ，分别交于点D 、G ．求：(1)EAF Ð的度数．(2)求AEF △的周长．【答案】(1)60°(2)26【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，得出等腰三角形即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得到AE BE =，CF AF =，这样就将AEF △的周长转化为线段BC 的长．【详解】（1）AB Q 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、FAE BE \=、CF AF =，B EAB \Ð=Ð，C FACÐ=Ð()180B C BAC\Ð+Ð=°-Ð180120=°-°60=°EAF BAC EAB FAC\Ð=Ð-Ð-Ð120()B C =°-Ð+Ð12060=°-°60=°60EAF \Ð=°（2）AE BE =Q 、CF AF=AEF \V 的周长EA EF AF=++BE EF FC=++BC=26=AEF \V 的周长26=巩固训练：12．如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）A ．AC ，BC 两边高线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．A Ð，B Ð两内角平分线的交点处【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∵MN ，PQ 是AC ，BC 两边垂直平分线，∴OA OB OC ==，∴点O 是到三个小区的距离相等的点，即点O 是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，故选：C ．13．如图，在ABC V 中，DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，交边AB 于M ，N 两点，DM 与EN 相交于点F ．(1)若5AB =，则CMN V 的周长为 ______；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)5；(2)40°．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到MA MC =，NB NC =，再根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据三角形内角和定理求出FMN FNM Ð+Ð，根据对顶角相等求出AMD BNE Ð+Ð，根据等腰三角形的性质即可得到答案.【详解】（1）∵DM ，EN 分别垂直平分边AC 和边BC ，∴MA MC =，NB NC =，∴CMN V 的周长5MC MN NC MA MN NB AB =++=++==，∴CMN V 的周长5=，故答案为：5；（2）∵70MFN Ð=°，∴180110FMN FNM MFN Ð+Ð=°-Ð=°，∴110AMD BNE FMN FNM Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴()18070A B AMD BNE Ð+Ð=°-Ð+Ð=°，∵MA MC =，NB NC =，∴A MCA Ð=Ð，B NCB Ð=Ð，∴()18040MCN A B MCA NCB Ð=°-Ð+Ð+Ð+Ð=°．14．如图，在ABC V 中DE ，是AC 的垂直平分线，4cm AE =，ABC V 的周长为23cm ，求ABD △的周长．【答案】ABD △的周长为15cm ．【分析】根据垂直平分线的性质可得AD CD =，28cm AC AE ==，即可得出15cm AB AC +=，则ABD △的周长AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+，即可求解．【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD CD =，()28cm AC AE ==．∵ABC V 的周长()23cm AB BC AC AB BD DC AC =++=+++=，∴()23815cm AB AC +=-=，∴ABD △的周长()23815cm AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+=-=．即ABD △的周长为15cm ．【答案】13【分析】根据垂直平分线的性质，可得【详解】解：∵AB 的垂直平分线∴BE AE =，∵BCE V 的周长为BE BC EC ++题型六 角平分线的性质【答案】6【分析】过O 点作OH BA ^于H 点，如图，先根据角平分线的性质得到解决问题．【详解】解：过O 点作OH BA ^于H 点，如图，BO Q 平分ABC OD BC OH BA Ð^^，，6OH OD \＝＝，∵点E 为射线BA 上一动点，∴OE 的最小值为OH 的长，即OE 的最小值为6．故答案为：6．【例17】如图，DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，若BE CF =，探索+AB AC 与AE 的数量关系，并证明之．【答案】2AB AC AE +=，见解析【分析】先根据角平分线的性质得出DE DF =，再证明Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，得出AE AF =，根据线段的和差即可得出答案．【详解】证明：∵DE AB ^于E ，DF AC ^于F ，AD 平分BAC Ð，∴DE DF =，在Rt ADE △和Rt ADF V 中，AD AD DE DF =ìí=î，∴Rt Rt (HL)ADE ADF ≌△△，∴AE AF =，∵BE AE AB =-，CF AC AF =-，∴AE AB AC AF -=-，∴2AB AC AE +=．Ð的度数；(1)求BOCÐ的周长．(2)求AMN【答案】(1)130°(2)12巩固训练：16．如图，四边形ABCD 中，90B C Ð=Ð=°，点E 为BC 的中点，且AE 平分BAD Ð．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)求证：AB CD AD +=．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点E 作EF AD ^于F ，根据角平分线的性质得出BE EF =，再根据BE CE =，得出CE EF =，进而根据角平分线的判定定理可得出结论；（2）根据角平分线的性质得出BE EF =，CE EF =，再证明V V ≌ABE AFE ，CED FED V V ≌，根据全等三角形的性质得出AB AF =，DC DF =，进而得出结论．【详解】（1）证明：如图，过点E 作EF AD ^于F ，∵90B Ð=°，AE 平分BAD Ð，∴BE EF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴CE EF =，又∵90C Ð=°，EF AD ^，∴DE 是ADC Ð的平分线．(1)求证：DE 平分ADC Ð；(2)若3AD =，7CD =，278ABE S =V ，求ADC S △【答案】(1)见解析∵BE 平分ABC Ð，EF AB ^，∴EF EN =，∵AE 平分DAF Ð，A．110°B．120°【答案】C【分析】根据题意可得，点O数，再根据三角形的内角和等于V三边【详解】解：∵O到ABC．．．．【答案】D【分析】根据到角两边的距离相等的点在角平分线上进行判断即可．【详解】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，题型七作图【例21】如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：①到两工厂的距离相等；Ð内，且到两条公路的距离相等．②在MON你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析Ð的平分线OC，则FG与OC的交点F就是仓【分析】连接DE，作线段DE的垂直平分线FG，作角MON库的位置．【详解】解：如图，点F为仓库的位置．【例22】如图，两公路AO与BO相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线和线段CD的垂直平分线，两线的交点即为所求．【分析】只要作出AOB【详解】解：如图所示：点P 即为所求．【例23】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，某小区绿化带ABC V 内部有两个喷水臂P 、Q ，现欲在ABC V 内部建一个水泵O ，使得水泵O 到BA ，BC 的距离相等，且到两个喷水管P 、Q 的距离也相等，请你在图中标出水泵O 的位置．【答案】作图见解析【分析】作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O 即可．【详解】解：如图，作BM 平分ABC Ð，作EF 垂直平分线段PQ 交BM 于点O ，∵BM 平分ABC Ð，点O 在射线BM 上，∴点O 到BA ，BC 的距离相等，∵EF 垂直平分线段PQ ，点O 在直线EF 上，∴点O 到P 、Q 的距离相等，∴O 到BA ，BC 的距离相等，且到点P 、Q 的距离也相等，则点O 即为所作．巩固训练：21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．【详解】解：作出线段AB的垂直平分线，与CODÐ的平分线交于P点，则如图，P点为所求．．22．如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹）【答案】见解析Ð的角平分线，它们的交点即为点P．【分析】分别作线段CD的垂直平分线和AOB【详解】解；如图，点P为所作．23．如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB 内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】能，作图见解析Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【分析】根据题意，作AOBS，根据角平分线和垂直平分线的性质分析，即可得到答案．Ð的角平分线OK，连接MN，作MN的垂直平分线RQ，OK和RQ相交于点【详解】根据题意，作AOBS，如下图：∵OK 是AOB Ð的角平分线∴OK 上的点，到两条公路的距离也相等；∵RQ 是MN 的垂直平分线∴RQ 上的点，到两所大学的距离相等∵OK 和RQ 相交于点S ，∴仓库P 应该建在点S 的位置．题型八 等腰三角形三线合一【例24】如图，AD 、CE 分别是ABC V 的中线和角平分线，若AB AC =，26CAD Ð=°，则ACE Ð的度数为（ ）A ．26°B ．32°C ．38°D ．48°【答案】B 【分析】先利用等腰三角形三线合一性质，得到90ADC Ð=°，再利用直角三角形的性质，得到64ACD Ð=°，结合CE 是ABC V 的角平分线，计算即可．【详解】∵AD 是ABC V 的中线，AB AC =，∴90ADC Ð=°，A．2.5【答案】B【分析】根据已知可得答．巩固训练：24．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A．过顶点的直线B．腰上的中线所在的直线(1)求证：OBC △为等腰三角形；(2)若25ACF Ð=°，求ÐBOE 【答案】(1)见解析．(2)15°题型九等腰三角形度数巩固训练：∵AB AC =，∴(11802ABC C Ð=Ð=°-②如图，当顶角为钝角三角形时：∵50ABD Ð=°，90D Ð=∴9050140BAC Ð=°+°=∵AB AC =，∴()1180140202C ABC Ð=Ð=°-°=°．故答案为：70°或20°．题型十 等腰三角形外角问题【例27】如图，在第1个1A BC V 中，130B A B CB а＝，＝；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到A 2，使121A A A D ＝，得到第2个12A A D V ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到A 3，使232A A A E ＝，得到第3个23A A E △；……按此做法继续下去，则第n 个三角形中以n A 为顶点的内角度数是（ ）巩固训练：27．如图，30MON Ð=°，点123,,,A A A L 在射线ON 上，点123,,,B B B L 在射线OM 上，112A B A △，223334,A B A A B A L △△均为等边三角形．若11OA =，则1n n n A B A +△的边长为（ ）A ．2nB ．12n -C ．12n +D ．22n +【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，111130A OB A B O Ð=Ð=° ，01112112OA A B A B ====，利用同样的方法，122222A O A B ===，23332242A B A O A O ====，由此规律可得12n n n A B -=．【详解】112A B A QV 为等边三角形，30MON Ð=°111130A OB A B O \Ð=Ð=°1112112OA A B A B ====同理：122222A O AB ===23332242A B A O A O ====L由此类推可得1n n n A B A +△的边长12n n n A B -=．故选B ．28．如图，已知ABC V 是等边三角形，点B ，C ，D ，F 在同一条直线上，CD CE =，DF DG =，求F Ð的度数．【答案】15°【分析】根据等边三角形的性质，等边对等角性质，三角形外角性质计算即可．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∵CD CE =，∴CDE CED Ð=Ð，∵260ACB CDE CED CDE Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴30Ð=°CDE ，∵DF DG =，∴DFG DGF Ð=Ð，∵230CDE DFG DGF F Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴15F Ð=°．题型十一 等腰三角形个数和格点问题【例28】在如图所示的网格中，在格点上找一点P ，使ABP V 为等腰三角形，则点P 有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C 【分析】分三种情况讨论：以AB 为腰，点A 为顶角顶点；以AB 为腰，点B 为顶角顶点；以AB 为底．【详解】解：如图：如图，以AB 为腰，点A 为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB 为腰，点B 为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB 为底的等腰ABP V ，所以合计8个．故选：C ．【例29】如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若A 、B 、C 三点均在格点上，且ABC V 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】C 【分析】分A Ð为顶角和B Ð为顶角判定即可．【详解】当A Ð为顶角时，符合的点有一个6C ；当B Ð为顶角时，符合的点有五个12345,,,,,C C C C C ；一共有6个．故选C ．【例30】如图，在ABC V 中，AB AC =，36A Ð=°，BD 是ABC V 的角平分线，则图中的等腰三角形共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由BD 是ABC V 的角平分线，可得272ABC ABD Ð=Ð=°，又可求72ABC C Ð=Ð=°，所以ABC V 是等腰三角形；又180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，故A ABD Ð=Ð，所以ABD V 是等腰三角形；由36DBC ABD Ð=Ð=°，得72C Ð=°，可求72BDC Ð=°，故BDC C Ð=Ð，所以BDC V 是等腰三角形．【详解】解：BD Q 是ABC V 的角平分线，272ABC ABD \Ð=Ð=°，72ABC C \Ð=Ð=°，ABC V \是等腰三角形①．180218027236A ABC Ð=°-Ð=°-´°=°，A ABD \Ð=Ð，ABD \V 是等腰三角形②．36DBC ABD Ð=Ð=°Q ，72C Ð=°，72BDC \Ð=°，BDC C \Ð=Ð，BDC \V 是等腰三角形③．故图中的等腰三角形有3个．故选：C ．巩固训练：29．如图，线段AC 、BD 互相垂直平分，则图中共有等腰三角形（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质得出AB AD DC BC ===，继而根据等腰三角形判定定理即可求解．【详解】解：∵线段AC 、BD 互相垂直平分，∴,AB AD CB CD ==,,DA DC BA BC ==，∴有等腰三角形,,,ABD CBD DAC BAC △△△△共4个，故选：C ．30．如图，BD 是ABC V 的平分线，3672A ABC Ð=Ð=°°，， DE BC ∥交AB 于E ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理判定ABC V 为等腰三角形，然后由角平分线、平行线的性质、等角对等边来找图中的等腰三角形．【详解】解：∵在ABC V 中，=36°=72°A ABC ÐÐ，，∴°=C=72ABC ÐÐ，【答案】D【分析】逐个画出图形，即可得到答案．【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°，以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形，而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，∴∠ACB=∠BDC=72°，∴△BDC是等腰三角形，故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意；图③中，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，过A作AE⊥BC于E，如图：则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意；图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°，以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图：则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意；图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，故②不符合题意；故选：D．题型十十二直角三角形性质问题A．6B．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【答案】6△是直角三角形，可求【分析】可证ADCV中，【详解】解：Q在ABC\V是直角三角形，ADCQ是AC的中点，E巩固训练：33．在Rt ABC △中，Ð【答案】16【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，即可求解．【详解】解：∵90C Ð=。
11.5_翻折与轴对称图形
11.5翻折与轴对称图形桃李园实验学校朱春燕教学目标1、理解翻折和轴对称图形的意义.2、通过欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称图形在现实生活中的广泛应用和它丰富的文化价值，提高数学审美能力．3、通过自行设计轴对称图形，丰富想象力和创造力．教学重点及难点能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．教学用具准备多媒体课件，用白纸剪成的正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、圆、等腰梯形、平行四边形各一个，剪刀、白纸.教学流程设计观察举例欣赏探究应用教学过程设计一、观察引入1、观察：下列图形有什么共同特征？（动画演示）2、引出课题：翻折与轴对称图形如果一个图形沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.[说明]原本的设计是先欣赏图片再引出概念，后来觉得在没有介绍轴对称图形前，学生可能不知道欣赏什么，没有目的的欣赏等于浪费，还有如果欣赏完了再让学生举例，学生的思维受到了很大限制，所以改成现在的模式.二、新课讲授1、联系实际，体味数学你还能举出生活中轴对称图形的例子吗？你能利用白纸对折剪一个轴对称图形吗？[说明]学生的举例很苍白，都是黑板、门窗、脸等，对身边事务缺少观察和热爱，借此可以教育学生学会生活、学会学习.欣赏现实生活中的轴对称图形：故宫、牌坊、脸谱艺术、剪纸艺术、车标、国旗、交通标志[说明]学生欣赏时不由自主地受到了震撼，发现学习与我们的生活息息相关，也是进行爱国主义教育的一个契机.2、概念巩固练一练：下面的图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？l3、层层探究，加深体会[说明]这里设置了一个层层递进的探索过程，从数字到英文字母，到中文汉字，最后到几何图形，从学生熟悉的具体实例到抽象的数学模型，使学生充满了兴趣和探索欲望.想一想：1、0-9十个数字中，哪些是轴对称图形？0 1 2 3 4 5 6 7 8 92、下列英文字母中，哪些是轴对称图形？A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z3、中国的汉字有没有轴对称图形？中目王申木呈土十4等边三角形矩形正方形等腰三角形4、深入思考想一想：（1）线段是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴．（课件演示,点击旋转的地球打开几何画板，不用也可）( 2 ) 角是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的对称轴吗？[说明]有一些数字与字母难以说清，如：1、B 等受字体的影响较大，教师事先要有约定；举汉字时可先让学生举例，学生都很踊跃，但有些字也颇受争议，如“大”等，我的处理是避重就轻，多表扬；几个几何图形是本节课的重点，学生辨认是否轴对称图形没有困难，我让学生准备好了纸制图形，通过自己动手翻折很快可以得到，难的是对称轴是什么不会表达.三、能力拓展思考：你能以“ △ △、—— —— ”（两个三角形、两个圆、两条线段）为条件，画出一个有意义的轴对称图形吗？ 圆 等腰梯形 平行四边形[说明]设计这道题是参考了同步辅导上的瞭望课外，目的是让学生充分发挥自己的想象力和创造力，真正做到学以致用.四、课堂小结五、布置作业教学设计说明本节课设计思路是先从身边事例发现数学知识，再回头去寻找含有这种数学知识的生活实例，然后归纳抽象为数学图形模型，最后应用这种数学知识进行再创作，使学生充分体验到数学知识在实际生活中的广泛应用，感受到数学与我们的生活息息相关.由于内容贴近生活，课堂上学生表现踊跃，从引入到概念的巩固都很顺利，但在层层探索过程中，由于我未注意课件中字母、数字的字体，引发争议，使得能力拓展来不及详细介绍，建议使用者将课件作一下改动；几个几何图形中主要是辨认平行四边形是否轴对称图形，有同学准备的是特殊的平行四边形，如菱形，教师要注意加以指出.对称轴是什么，学生能指出即可，否则时间来不及，表达上只要强调一下是××所在的直线.。
市北资优七年级分册 第13章 13.5 翻折与轴对称图形+林经武
13.5翻折与轴对称图形观察下列图形有什么共同特征？把一个图形沿着某条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．例1下图是个轴对称图形，请分别写出对应的、对应角、对应线段．B'C'A'AC解对应点有：A与A′，B与B′，C与C′；对应线段有：AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′；对应角有：∠B与∠B′，∠A与∠A′，∠C与∠C′．例2线段、角、长方形、平行四边形、正方形、菱形、等腰梯形、圆是否是轴对称图形？如果是，它们分别有几条对称轴？分别是什么？解如下图线段角长方形平行四边形正方形菱形等腰梯形圆线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰梯形、圆都是轴对称图形，平行四边形不是轴对称图形．角、等腰梯形分别有一条对称轴，线段、长方形、菱形分别有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴．线段的对称轴为其垂直平分线及其所在的直线，角的对称轴为其角平分线所在的直线，长方形的对称轴为过其两组对边中点的直线，正方形的对称轴为过其两组对边中点的直线和两条对角线所在的直线，菱形的对称轴为两条对角线所在的直线，等腰梯形的对称轴为过上下底中点的直线，圆的对称轴为过圆心的直线．练习13.51．英文26个字母中，哪些是轴对称图形（不考虑字母的字体）？2．正三角形、正四边形、正五边形、正六边形是否是轴对称图形？如果是，它们分别有几条对称轴？哪些是中心对称图形？3．为了美化环境，需要将一块正方形空地分割成四块分別种植4种不同的花草，要求如下：①分割后的整个图形是轴对称图形；②四块图形形状相同；③四块图形面积相等．4．请以1个等腰三角形、1个长方形、3个等圆为条件，制作出一个轴对称图形．练习13.5练习答案1．A、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．2．正三角形是轴对称图形，有三条对称轴．正四边形即正方形是轴对称图形，有四条对称轴．正五边形是轴对称图形，有五条对称轴．正六边形是轴对称图形，有六条对称轴．正四边形与正六边形是中心对称图形．3．略．4．略13.5《翻折与轴对称图形》练习练习13.51．以下9个汉字：上、下、目、王、田、天、玉、显、吕，其中不是轴对称图形的是；有一条对称轴的是；有两条对称轴的是；有四条对称轴的是．2．下列四个图形分别是正三角形、等腰梯形、正方形、圆，它们全部是对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是（）．（A）正三角形（B）等腰梯形（C）正方形（D）圆3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）．（A）（B）（C）（D）4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．（A）（B）（C）（D）5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．（A）（B）（C）（D）6．在平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是．7．若三角形ABC只有一条对称轴，则其形状为；若三角形ABC有三条对称轴，则其形状为．8．画出每个图的所有对称轴：9．画出下列图形中轴对称图形的所有对称轴：10．如图，EFGH为长方形的台球台面，有黑、白两球分别位于A、B两点的位置上，怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边FG，反弹后再撞击台边GH，再反弹后击中白球B？做出FG、GH上的撞击点的位置和黑球的运行路线．FE11．如图，在方格图1中的图形中选取其中两个图形组成一个新的图形，使它成为轴对称图形，画在方格2中，并画出它的对称轴．（方格图1）（方格图2）。
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)-综合题专训及答案
备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）-综合题专训及答案翻折变换（折叠问题）综合题专训1、(2016连云港.中考真卷) 我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON．问题思考：（1）如图1，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，请在图中确定平面镜上的入射点P，保留作图痕迹，并简要说明理由；（2）如图2，两平面镜OM、ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B．小昕说，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；问题拓展：（3）如图3，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S，如果SA和AO的长均为1m，求这束光线经过的路程；（4）如图4，两平面镜OM、ON相交于点O，且∠MON=15°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜OM．设光线出发时与射线PM的夹角为θ（0°＜θ＜180°），请直接写出满足条件的所有θ的度数（注：OM、ON足够长）2、(2017磴口.中考模拟) 如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C 落在点E处，BE与AD交于点F．（1）求证：△ABF≌△EDF；（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．3、(2017吉林.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，△ADE 沿DE折叠后得到△FDE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交于BC于点G．（1）求证：FG=BG；（2）若AB=6，BC=4，求DG的长．4、(2019吴兴.中考模拟) 定义：长宽比为：为正整数的矩形称为矩形下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：过点G作CD∥AB，使点D、点C分别落在边AF，BE上.则四边形ABCD 为矩形．（1）证明：四边形ABCD为矩形；（2）点M是边AB上一动点．如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，，连接求的值；连结AC，CM，当△AMC为等腰三角形时，将△CBM沿着CM翻折，点B的对称点为B’,连结AB’求的值.5、(2018龙湾.中考模拟) 如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上一点，劣弧CB 沿BC翻折，交AB于点D，过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．（1）求证：AC=CD；（2）已知tanE= ，AC=2，求⊙O的半径．6、(2016江西.中考真卷) 解方程组与证明（1）解方程组：．（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．7、(2016郓城.中考模拟) 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．（1）求证：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．8、(2018荆州.中考真卷) 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．（1）求证：△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形．9、(2018柳州.中考模拟) 如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．（1）求∠2、∠3的度数；（2）求长方形纸片ABCD的面积S．10、(2019仁寿.中考模拟) （本小题满分9分）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP 沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC 于点N．（1）求证：AD2=DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若，求的值．11、(2016贵阳.中考模拟) 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=；（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．12、(2011遵义.中考真卷) 把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．（1）求证：△BHE≌△DGF；（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．13、(2020拱墅.中考模拟) 如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H 点．（1）求证：△ABE∽△DEG．（2）若AB=3，BC=5①点E在移动的过程中，求DG的最大值②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．14、(2020.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B 恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2） P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m.①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；②是否存在点P，使S△A′MN = S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由.15、(2020湖州.中考真卷) 已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B 沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E.（1）特例感知：如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；（2）变式求异：如图2，若∠C＝90°，m＝，AD＝7，过点D作DH⊥AC 于点H，求DH和AP的长；（3）化归探究：如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围.翻折变换（折叠问题）综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。