【2020】高中数学第三章变化率与导数章末复习课学案北师大版选修1_1
高中数学选修1-1-第三章 变化率与导数 复习课件-北师大版
x x0
x0
x
在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记
为f ' = ( x0 ) ，或y| xx0 。
2、导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都
可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导。即对于开区间
(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的 导数 f ' ( x0 ) ，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，
8、若f(x)=ln x，则 f '(x) 1
x
导数的运算法则:
法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(差)，即：
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即：
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函 数的导数，再除以第二个函数的平方。即：
把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数。简称导数，
记作
f'( x )
或 yy' = lim x0
f (x x) f (x) x
3、导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几
何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率， 即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为 k = f ' ( x0 )。 所以曲线y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程
第三章 变化率与导数 复习课件
导数
导数概念 导数运算
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
曲线的切线
以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 知识归纳：变化率与导数
3.2 导数的概念及其几何意义变化率问题1.平均变化率：已知函数y =f (x )，令Δx=21x x -，21()()y f x f x =-，则当0x ≠时，比值2121()()f x f x x x --=y x，称作函数f (x )从1x 到2x 得平均变化率. 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度.3.求自变量的增量Δx=0x x -，函数的增量000()()()()y y y f x f x f x x f x =-=-=+-4.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00，要注意Δx 、y 的值可正、可负，但0x ≠，y 可为零，若函数f (x )为常值函数，则y =0导数的概念1.导数：一般地，函数y =f (x )在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000= xy x ∆∆→∆0lim .我们称它为函数y =f (x )在0x x =处的导数，记作f ′(x 0)或f ′(x 0)，即f ′(x 0)=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 2.对导数的定义要注意两点：第一：Δx 是自变量x 在0x 处的该变量，所以Δx 可正可负，但0x ≠；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.3.求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法是：(1)求函数y =f (x )的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)取极限，得函数f ′(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim . 导数的几何意义1.导数的几何意义k=tanα=f′(x0)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y 轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.3.导数与切线的关系.①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角.②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角.③f′(x0)=0，切线与x轴平行.④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.。
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末复习课件
������
������ =
=
2������������+(������)2
������[ (������+������)2+������+ ������2+������]
(������ + ������)2 + ������- ������2 + ������ ������
=
2������+������
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
应用 1 设点 P 是曲线 y=f(x)=ex 上的任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.
提示:利用导数求得与直线 y=x 平行且与曲线 y=ex 相切的直线的切点, 再利用点到直线的距离公式求解.
解:
设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),由平面几何知识
·������l→im������0[f(x)+f(x0)]
=f'(x0)·[f(x0)+f(x0)]=2f'(x0)f(x0).
答案:D
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高中数学北师大版选修1-1课件：阶段复习课 第3章 变化率与导数
2.导数几何意义的应用技巧
导数几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点
是找“切点”，应注意：(1)在表示切线斜率、切线方程时均
需用切点坐标 .(2) 切点既在曲线上又在切线上，因此可用切
线方程求切点坐标 .(3) 若已知点不在曲线上，则该点与切点
连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要 方法.
即a>1，[(1-a)x-1][(1+a)x-1]>0，
∴
1 1 x , 1 a 1 a 1 a
又∵ 0 1 1,
∴ 3 1 2,
1 a
∴直线l的方程为y=13x，切点坐标综合应用
1. 导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很
多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，
即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这是解决
问题的关键所在.
2.导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、 不等式等知识结合出综合大题.遇到解决一些与距离、面积相
关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义
分析.
【典例4】设函数f(x)=a2x2(a>0).
(1)若函数y=f(x)图像上的点到直线x-y-3=0距离的最小值
为 2，求a的值.
(2)关于x的不等式(x-1)2 >f(x)的解集中的整数恰有3个，
求实数a的取值范围.
【解析】(1)∵f(x)=a2x2，∴f'(x)=2a2x，
类型 三
导数的几何意义
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y=f(x) 在x=x0处的瞬时变化率，导数f'(x0)的几何意义就是函数 y=f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y-y0=
2020版高中数学 第三章 变化率与导数 1 变化的快慢与变化率学案(含解析)北师大版选修1 -1
§1 变化的快慢与变化率学习目标 1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．知识点一 函数的平均变化率1．定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.其中自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx＝f x 2－f x 1x 2－x 1.2．作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 知识点二 瞬时变化率1．定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0)，则函数的平均变化率是Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． 2．作用：刻画函数在一点处变化的快慢．对于函数y ＝f (x )，当x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，若记Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则1．Δx 可正，可负，可为零．( × ) 2．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx .( √ )3．函数y ＝f (x )的平均变化率为Δy Δx＝fx 1－f x 2x 1－x 2＝f x 2－Δx －f x 2－Δx.( √ )4．当Δx 趋于0时，ΔyΔx就趋于函数在x 1处的瞬时变化率．( √ )题型一 函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x 分别从1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx 的平均变化率，当Δx 都为13时，哪一点附近的平均变化率最大？考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大． 反思感悟 求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图像上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.答案 Δx 解析 Δy Δx＝f －1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .(2)求函数y ＝f (x )＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝(x 0＋Δx )3－x 3＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3，∴函数y ＝f (x )＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为 Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2. 当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝194.题型二 求函数的瞬时变化率例2 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度s 与t 的函数关系为s ＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻处的瞬时速度． 考点 瞬时变化率的概念 题点 瞬时速度解 因为Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，所以Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于v 0－gt 0，故物体在t 0时刻处的瞬时速度为v 0－gt 0. 反思感悟 1.求瞬时速度的步骤(1)求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)当Δt 趋于0时，平均速度ΔsΔt 趋于瞬时速度．2．求当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx的值(1)在表达式中，可把Δx 作为一个数来参加运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0，就是令Δx ＝0，求出结果即可．跟踪训练2 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2s 时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值． 考点 瞬时变化率的概念 题点 瞬时速度解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数s (t )在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率 Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt ＝a 2＋Δt2－4aΔt＝4a ＋a Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于4a ，∴4a ＝8，得a ＝2.1．已知函数f (x )，当自变量由x 0变化到x 1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数( ) A ．在x 0处的变化率B ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率C ．在x 1处的变化率D ．以上结论都不对 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率概念的理解 答案 B 解析Δy Δx＝f x 1－f x 0x 1－x 0，由平均变化率的定义可知，故选B.2．一物体的运动方程是s (t )＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3D ．0.2考点 平均变化率的概念 题点 求平均速度 答案 B 解析 s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.3．物体运动时位移s 与时间t 的函数关系是s (t )＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为( ) A ．t ＝1 B ．t ＝2 C ．t ＝3D ．t ＝4考点 瞬时变化率的概念 题点 瞬时速度 答案 B解析 设此物体在t 0时刻的瞬时速度为0， Δs Δt ＝s t 0＋Δt －s t 0Δt＝－8t 0＋16－4Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－8t 0＋16，令－8t 0＋16＝0，解得t 0＝2.4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________． 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案28π3解析 ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3，∴球的体积平均膨胀率为Δy Δx ＝28π3.5．设函数f (x )＝3x 2＋2在x 0＝1,2,3附近Δx 取12时的平均变化率分别为k 1，k 2，k 3，比较k 1，k 2，k 3的大小．考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为6x 0＋3Δx . 当x 0＝1，Δx ＝12时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k 1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x 0＝2，Δx ＝12时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k 2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x 0＝3，Δx ＝12时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k 3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k 1<k 2<k 3.1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢． 2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．一、选择题1．函数f (x )＝x 在1到4的平均变化率为( ) A.13B.12C ．1D ．3 考点 题点 答案 A解析 Δy ＝4－1＝1，Δx ＝4－1＝3，则平均变化率为Δy Δx ＝13.2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C 解析 Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝21＋Δx2－2Δx＝4＋2Δx .3．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6D ．－6考点 瞬时速度与平均速度的关系 题点 瞬时速度 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt 趋于0时，－3Δt －6趋于－6，故该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.4.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B解析 依题意可知Δy ＝y B －y A ＝1－3＝－2， Δx ＝x B －x A ＝3－1＝2，所以函数y ＝f (x )在x A 到x B 之间的平均变化率为 Δy Δx ＝－22＝－1. 5．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s (t )＝18t 2，当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2B ．1C.12D.14答案 C解析 Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝18[4＋4Δt ＋(Δt )2－4]＝18[(Δt )2＋4Δt ]，∴Δs Δt ＝18Δt＋12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于12.6．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A ．k 1<k 2 B ．k 1>k 2 C ．k 1＝k 2D ．无法确定考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率概念的理解 答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－ΔxΔx＝2x 0－Δx ，而Δx可正可负，故k 1，k 2大小关系不确定．7．如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则( ) A ．a ＝－3 B ．a ＝3C ．a ＝2D ．a 的值不能确定考点 平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案 B解析ΔyΔx＝f2－f12－1＝a＝3.8．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1时的瞬时速度为3，则a等于( ) A．－1 B．0C．1 D．7考点瞬时变化率的概念题点瞬时速度答案 A解析ΔsΔt＝s1＋Δt－s1Δt＝21＋Δt2＋a1＋Δt＋1－2＋a＋1Δt＝a＋4＋2Δt，当Δt趋于0时，a＋4＋2Δt趋于a＋4，由题意知a＋4＝3，得a＝－1.二、填空题9．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________________．考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案v1<v2<v3解析v1＝k OA，v2＝k AB，v3＝k BC，由图像知，k OA<k AB<k BC，所以v1<v2<v3.10．函数f(x)＝1x2＋2在x＝1处的瞬时变化率为________．考点瞬时变化率的概念题点瞬时速率答案－2解析∵Δy＝11＋Δx2＋2－(112＋2)＝11＋Δx 2－1＝－2Δx －Δx 21＋Δx2，∴Δy Δx ＝－2－Δx 1＋Δx 2，当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于－2. 11．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 答案114解析 Δs Δt＝7t ＋Δt2＋8－7t 2＋8Δt＝7Δt ＋14t ，Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于14t ，即14t ＝1，t ＝114.12．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5. 三、解答题13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3， ①29＋3t －32，0≤t <3， ②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 考点 变化率的概念 题点 瞬时速度解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为 Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24m/s. (2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为－18， 即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt ＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－12，∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12m/s.14．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围．考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．文档供参考，可复制、编辑，期待您的好评与关注！11 / 11 15．物体的运动方程是s ＝t ＋1(位移单位：m ，时间单位：s)，求物体在t ＝1s 时的瞬时速度．解 ∵Δs ＝1＋Δt ＋1－1＋1＝2＋Δt －2，Δs Δt ＝2＋Δt －2Δt ＝2＋Δt －22＋Δt ＋2Δt 2＋Δt ＋2＝12＋Δt ＋2，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于24.∴物体在t ＝1s 时的瞬时速度为24m/s.。
北师大版高中数学(选修1-1)《第三章变化率与导数》教案]
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第三章 变化率和导数 3．1．1瞬时变化率—导数教学目标:(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义,培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程,代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题,是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x ）在区间［x A ，x B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?下面我们来看一个动画.从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f （x 1)）,Q （x 0，f （x 0)),则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点（x 0，f （x 0））切线斜率的求法:xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为（x 0，f(x 0））处切线的斜率.3、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：tt s t t s ∆-∆+)()(00(3）瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度求瞬时速度的步骤：1。
高中数学北师大版选修1-1第三章《变化率与导数》ppt章末复习课件2
f′x( (x))=f′(u) ′(x).
例题探析
例1、求下列函数的导数：
⑴ y x3 x3 ln x
⑵ y x2 (x 3)( x 3)
⑶yx
x2
1 sin 2x, x (0, ) ⑷
4
y
e 2 x1 (1 3x)3
解： x 1 是方程 f (x) 0 的根，即
3ax 2
2bx
c
0
的两根，
2b。 3a
0
①
又 f (1) 1
c
1
②
，∴ a b c 1
3a
③由①②③得
a 1 ,b 0, c 3
2
2
【课堂小结】
1 . 了解导数的概念，初步会用定义式解决一 些问题；
直线l的斜率为k。C1：y
x 2，y
2x，k
2
x1，P1
(
k 2
,
k2 4
)
C2：y (x 2)2，y 2(
P2
(2
k 2
,
k2 4
)由斜率公式得
x 2)，k
k 2 ( k 2 )
4
4
k (2 k )
2
2
2(x2 2) ，
k，解得：k
或k
内的导函数，
记作 f / (x)＝
y/＝
y lim x0 x
lim x0
f (x x) x
f (x)
。
【2019-2020】高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1
教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案北师大版选修1_1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的概念思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？梳理知识点二导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．思考1 割线PPn的斜率kn是多少？思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？梳理(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为________的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝_____________________________________________________________ ___________.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________________．类型一利用定义求导数例1 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．反思与感悟求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．类型二求切线方程命题角度1 求在某点处的切线方程例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程．反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．命题角度2 曲线过某点的切线方程例3 求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．反思与感悟过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)；(2)建立方程f′(x0)＝；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程．类型三导数的几何意义的综合应用例4 已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值．引申探究若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？反思与感悟导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系．跟踪训练4 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx ＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b2．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )A．45° B．60°C．135° D．120°3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )A．－4 B．3C．－2 D．14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________. 5．求曲线y＝在点处的切线方程．1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝＝f′(x0)．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．答案精析问题导学知识点一思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．梳理f′(x0)瞬时变化率知识点二思考1 割线PPn的斜率kn＝.思考2 kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)点P处(2)li ＝f′(x0)(3)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)题型探究例1 解∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴＝＝3Δx＋4，∴f′(1)＝＝ (3Δx＋4)＝4.跟踪训练1 解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝ΔΔxΔx＝ (－Δx －1)＝－1. 例2 解 (1)k ＝li Δy Δx ＝ Δ2－2×12Δx＝4ΔΔΔx＝ (4＋2Δx)＝4，∴点A 处的切线的斜率为4. (2)点A 处的切线方程是y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0.跟踪训练2 －3解析 ΔyΔx＝ΔΔx＝ (4＋Δx)＝4，曲线y ＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x0，x)，∵14Δ14x20Δx＝ (x0＋Δx)＝x0.∴＝x0，即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，即切线过抛物线y＝x2上的点(7，)，(1，)，故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，即为所求的切线方程．跟踪训练3 解ΔyΔx＝ΔΔΔx＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.设切点坐标为(x0,2x0－x)．∴切线方程为y－2x0＋x30＝(2－3x)(x－x0)．又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，即2x＋3x＝0，∴x0＝0或x0＝－.∴切点坐标为(0,0)或.当切点坐标为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.当切点坐标为时，切线斜率为－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.例4 解因为f′(x0)＝Δ20Δx＝ (Δx＋2x0)＝2x0，g′(x0)＝Δ30Δx＝[(Δx)2＋3x0Δx＋3x]＝3x，k1＝2x0，k2＝3x，因为切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即6x＝－1，解得x0＝－.引申探究解由例4知，f′(x0)＝2x0，g′(x0)＝3x，k1＝2x0，k2＝3x，由题意知2x0＝3x，得x0＝0或.跟踪训练4 解设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．∵ ΔΔx＝＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，∴切点的坐标为(－，)或(2,3)．当切点为(－，)时，有＝4×(－)＋a，a＝.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.∴当a＝时，切点坐标为(－，)；当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．当堂训练1．C 2.C 3.D 4.25．解因为＝＝＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.。
北师大版高中数学选修1-1：第三章 变化率与导数 复习课件
3、若f(x)=sin x，则 f ' ( x ) = cos x
4、若f(x)=cos x，则 f ' ( x ) = -sin x
5、若f(x)=ax，则 f ' ( x ) = ax lna
6、若f(x)=ex，则 f ' ( x ) = e x
7、若f(x)=loga x，则 f'(x)
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线 的斜率，用极限运算的表达式来写出，即
k=tanα=
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
导数的概念：
1、导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给
自变量x以增量△x，函数y相应有增量
△y=f(x0+△
x)－f(x0)，若极限
练习3、求下列函数的导数。
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比 值，再利用导数的运算法则（3）来计算。
练习4、求曲线 y = 9 在点M(3，3)处
x
的切线的斜率及倾斜角。
解：
y′=
9 x2
代入x=3，得 y′= 1。
斜率为-1，倾斜角为135°。
1
1
练习5、判断曲线y= 2 x2在（1，2 ）处
1 xlna
8、若f(x)=ln x，则 f '(x) 1
x
导数的运算法则:
法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(差)，即：
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即：
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函 数的导数，再除以第二个函数的平方。即：
高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1
——教学资料参考参考范本——高中数学第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修1_1______年______月______日____________________部门平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y(℃)3938.738.53837.637.336.8问题1：试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30min体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从20 min到30 min变化快．问题2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率．问题3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定．可正，可负，可为零．平均变化率(1)定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.(2)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.瞬时变化率王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶．王先生正上初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”问题1：限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？提示：不是，是指瞬时速度．问题2：瞬时速度与平均速度有何区别？提示：瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢；平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢．问题3：王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？提示：有可能．瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．(2)作用：刻画函数在一点处变化的快慢．1.＝为平均变化率，其中Δx可正、可负，不能为零．2．瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值．[对应学生用书P35]求平均变化率[例1] 求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为：Δy＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.Δx当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为3×12＋3×1×＋()2＝.[一点通]求平均变化率的步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)；(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0；(3)求平均变化率＝.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx满足( )A．Δx＞0 B．Δx＜0C．Δx≠0 D．Δx＝0答案：C2．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )A．0.41 B．3C．4 D．4.1解析：＝＝4.1.答案：D3．求函数y＝f(x)＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．解：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴＝－8－2Δx.即平均变化率为－8－2Δx.求瞬时变化率[例2] 以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t s时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．[思路点拨] 本题可先求物体在t0到t0＋Δt之间的平均速度，然后求当Δt趋于0时的瞬时速度．[精解详析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，∴＝v0－gt0－gΔt.当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于v0－gt0，故物体在时刻t0处的瞬时速度为v0－gt0.[一点通]求函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，可以先求函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx处的平均变化率，再求当Δx趋于0时平均变化率的值，即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率．4．一个物体的运动方程为s＝1－t，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A．1米/秒B．－1米/秒C．2米/秒D．－2米/秒解析：由＝＝＝－1，得物体在3秒末的瞬时速度是－1米/秒．答案：B5．求函数f(x)＝x2－3在x＝1处的瞬时变化率．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2－3]－(12－3)＝(Δx)2＋2Δx－2＋2＝(Δx)2＋2Δx，∴＝＝Δx＋2.当Δx趋于0时，趋于2.所以函数y＝x2－3在x＝1时的瞬时变化率为2.1．平均变化率刻画的是函数值在区间[x0，x0＋Δx]上变化的快慢．2．瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢．3．Δx趋于0时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率．1．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )A．Δx＋B．Δx－－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－1Δx解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2.答案：C2．某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3,3＋Δt)内的平均速度等于( )A．6＋Δt B．6＋Δt＋9ΔtC．3＋Δt D．9＋Δt解析：＝＝ΔΔt＝＝6＋Δt.答案：A3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A．2 B．1C. D.14解析：因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.答案：C4．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )A．①②③④ B．②①③④C．②①④③ D．②④①③解析：以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.答案：C5．函数f(x)＝ln x＋1从e到e2的平均变化率为________．解析：Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴＝.答案：1e2－e6．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________．解析：＝＝1Δ－14Δt＝－，当Δt趋于0时，＝－.答案：－147．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．解：(1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度：ΔhΔt＝＝－14.故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14 m/s；(2)∵＝ΔΔt＝ΔΔΔt＝ΔΔΔt＝－5·Δt－4，∴当Δt趋于0时，趋于－4，即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4 m/s.8．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s ＝⎩⎨⎧3t2＋2， ①②求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)求物休的初速度v0即求物体在t ＝0的瞬时速度． .∵物体在t ＝0附近的平均变化率为ΔsΔt＝ΔΔt＝＝3Δt －18，∴当Δt 趋于0时，趋于－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为ΔsΔt＝ΔΔt＝＝3Δt －12.∴当Δt 趋于0时，趋于－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
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第三章 变化率与导数
学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．
知识点一 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的________________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作________________，即f′(x0)＝ ＝________________________.
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处____________，在点P处的切线方程为________________________．
跟踪训练3 求下列函数的导数：
(1)y＝ ；(2)y＝ .
类型四 导数的综合应用
例4 设函数f(x)＝a2x2(a>0)，若函数y＝f(x)图像上的点到直线x－y－3＝0距离的最小值为 ，求a的值．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
f′(x)＝________
f(x)＝tanx
f′(x)＝________
f(x)＝cotx
f′(x)＝________
知识点四 导数的运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝________________
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f(x)g(x)]′＝________________
商的导数
′＝
类型一 利用导数的定义解题
例1 利用导数的定义求函数y＝ 的导数．
反思与感悟 (1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx趋于0的方式，函数的改变量Δy与自变量的改变量Δx的比趋于一个固定的值．
即 ＝ .
(2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．
类型三 导数的计算
例3 求下列函数的导数：
(1)y＝x2－lnx＋ax＋π；
(2)y＝3 ＋4 ；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(4)y＝ .
反思与感悟 有关导数的计算应注意以下两点
(1)熟练掌握公式：
熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．
(2)注意灵活化简：
当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．
∴y′＝(cosx－sinx)′＝(cosx)′－(sinx)′＝－sinx－cosx.
例4 解 因为f(x)＝a2x2，
所以f′(x)＝2a2x，
令f′(x)＝2a2x＝1，
得x＝ ，此时y＝ ，
则点 到直线x－y－3＝0的距离为 ，
即 ＝ ，
解得a＝ 或 .
跟踪训练4 解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧 上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝ ，y′＝ ，
由题意知kAB＝ .
∴kl＝ ＝ ，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1)．
当堂训练
1．A 2.D 3.C 4.ln 2－1 5.－4
反思与感悟 导数的几何意义主要应用于切线问题，解决此类问题的关键点是找“切点”，应注意：
(1)在表示切线斜率、切线方程时均需用切点坐标；
(2)切点既在曲线上又在切线上，因此可用切线方程求切点坐标；
(3)若已知点不在曲线上，则该点与切点连线斜率等于在切点处的导数值，这也是求切点坐标的主要方法．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.则a的值是________．
＝4x ＋6x
＝4 ＋6 .
(3)因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
所以y′＝3x2＋12x＋11.
(4)y′＝ ′
＝
＝
＝－ .
跟踪训练3 解 (1)∵y＝3x －x＋5－9x－ ，
∴y′＝ ′－x′＋5′－ ′
＝ x －1＋ x－
＝ －1.
(2)∵y＝ ＝ ＝cosx－sinx，
5．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用．
2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．
3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．
知识点二 导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为________，f′(x)＝li ，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为________．
知识点三 基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c是常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为实数)
f′(x)＝________
f(x)＝sinx
f′(x)＝________
f(x)＝cosx
f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝________
f(x)＝ex
f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝________
f(x)＝lnx
2．已知函数f(x)＝x22x，则f′(2)等于( )
A．16＋ln 2B．16＋8ln 2
C．8＋16ln 2D．16＋16ln 2
3．若函数y＝f(x)＝x3，且f′(a)＝3，则a等于( )
A．1B．－1
C．±1D．不存在
4．若直线y＝ x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
∴y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为
y－2＝ax，
由题意知x＝－2时，y＝0，可得a＝1.]
例3 解 (1)y′＝(x2－lnx＋ax＋π)′
＝(x2)′－(lnx)′＋(ax)′＋π′
＝2x－ ＋axlna.
(2)y′＝(3 ＋4 )′
＝(3 )′＋(4 )′
＝(3·x )′＋(4·x )′
跟踪训练1 已知s(t)＝t＋ ，求li .
类型二 导数的几何意义
例2 函数y＝f(x)的图像如图，下列数值的排序正确的是( )
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
答案精析
知识梳理
知识点一
1．瞬时变化率f′(x0)
2．切线的斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
知识点二
f′(x) 导数
知识点三
αxα－1cosx－sinxaxlnaex －
知识点四
f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
题型探究
例1 解y′＝
＝
＝
＝
跟踪训练4 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使△ABP的面积最大．
1．自由落体的物体在t＝4 s时的瞬时速度是指( )
A．在第4秒末的速度
B．在第4秒始的速度
C．在第3秒至第4秒的平均速度
D．在第4秒始到第4秒末之间的任何时刻的速度
＝
＝ .
跟踪训练1 解 ∵ ＝s′(5)，
又s′(t)＝1－ ，
∴ ＝s′(5)
＝1－ ＝ .
例2 B [过点(2，f(2))和点(3，f(3))的割线的斜率k＝ ＝
＝f(3)－f(2)，
又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选B.]
跟踪训练2 1 [∵f′(0)＝a，