角的单位及和差倍分
角的和差倍分1
学科：初中中数学教材版本：沪教版学员年级：六年级课时数：3课题角的和差倍分教学目标1、理解角的概念,掌握角的有关名称2、掌握角的大小比较方法3、理解两个角的和差倍的意义,并会用等式表示角的和差倍的关系，会画角的和差倍4、理解余角补角的概念教学内容知识点1：角的大小的比较方法（1）量角器（2）叠合法知识点2：角的和、差、倍（1）两个角可以相加，它们的和也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的和。
（2）两个角可以相减，它们的差也是一个角，它的度数等于这两个角的度数的差。
知识点3：角平分线（1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
（2）角平分线的作法【例题1】能用∠α、∠AOB、∠O三种方式表示同一个角的图形是（）A B C D【解析】A【检测1】如图,能用∠1、∠ABC、∠B三种方法,表示同一个角的是（）A B C D【解析】B【例题2】8点30分时,时钟的时针与分针所夹的锐角是（）A.70°B.75°C.80°D.60°【解析】解：钟面每份是30°，8点30分时针与分针相距2.5份，8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×2.5=75°，故选：B．【检测2】时钟的时针在不停的旋转,时针从上午的6时到9时,时针旋转的旋转角是（）A.30°B.60°C.90°D.9°【解析】解：∵时针从上午的6时到9时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角=30°×3=90°．故选：C．【例题3】用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（）A.角的度数扩大了B.角的度数缩小了C.角的度数没有变化D.以上都不对【解析】C【检测3】下列说法正确的是（）A.两点之间直线最短B.用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C.将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D.直线l经过点A,那么点A在直线l上【解析】解：（1）对于A选项，直线没长度，故A错误．（2）放大镜能够把一个图形放大，不能够把一个角的度数放大，故B错误．（3）对于C选项，没有提到所分角的相等，故C错误．（4）直线过A点，则A一定在直线上．综上可得只有D正确．故选：D．【例题4】如图,OC⊥AB,OE为∠COB的角平分线,∠AOE的度数为_________A.130°B.125°C.135°D.145°【解析】解：∵OC⊥AB，∴∠COB=∠AOC=90°，∵OE为∠COB的角平分线，∴∠COE=45°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+45°=135°；【检测4】如图,已知∠COB=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=20°,则∠AOB=（）A.40°B.60°C.120°D.135°【解析】解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x，则∠AOD=1.5x．∵∠AOD﹣∠AOC=∠COD，∴1.5x﹣x=20°，解得：x=40°．∴∠AOB=3x=120°．故选：C．【例题5】设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为α，则（）A.0°＜α＜90°B.0°＜α≤90°C.0°＜α＜90°或90°＜α＜180°D.0°＜α＜180°【解析】解：设这个角的为x且0＜x＜90°，根据题意可知180°﹣x﹣x=α，∴α=180°﹣2x，∴180°﹣2×90°＜α＜180°﹣2×0°，0°＜α＜180°．故选：D．【检测5】(1)下列说法中正确的个数是（）①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等;④锐角和钝角互补;⑤如果互补的两个角相等;那么这两个角都是90°A.1B.2C.3D.4【解析】解：锐角的补角一定是钝角，①正确；钝角的补角小于这个角，②错误；如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，③正确；锐角和钝角不一定互补，④错误；如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90°，⑤正确．故选：C．(2)如图所示,在三角形ABC中,点D是边AB上的一点.已知∠ACB=90°,∠CDB=90°,则图中与∠A互余的角的个数是__________【解析】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A互余的角的个数是2．【例题6】已知∠AOB=α（90°＜α＜180°）,∠COD在∠AOB的内部,OM平分∠AOC,ON平分∠BOD(1)若∠COD=180°﹣α时,探索下面两个问题:①如图1,当OC在OD左侧,求∠MON的度数②当OC在OD右侧,请在图2内补全图形,并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）(2)如图3,当∠COD=kα,且OC在OD左侧时,直接写出∠MON的度数（用含α、k的代数式表示）【解析】解：（1）①如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∴∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD），∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°，∴∠AOM+∠BON=（2α﹣180°）=α﹣90°，∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣（α﹣90°）=90°；②当OC在OD右侧，补全图形如图2所画，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∵∠AOB=α，∠COD=180°﹣α，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD=α+（180°﹣α）=180°，∴∠AOM+∠BON=×180°=90°，∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣90°；（2）∠MON的度数为（1+k）α．理由：如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOM=∠AOC，∠BON=∠BOD，∴∠AOM+∠BON=（∠AOC+∠BOD），∵∠AOB=α，∠COD=kα，∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=α﹣kα，∴∠AOM+∠BON=（α﹣kα）=α（1﹣k），∴∠MON=∠AOB﹣（∠AOM+∠BON）=α﹣α（1﹣k）=（1+k）α．【检测6】已知:∠AOD=160°,OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线(1)如图1,若OM平分∠AOB,ON平分∠BOD.当OB绕点O在∠AOD内旋转时,求∠MON的大小(2)如图2,若∠BOC=20°,OM平分∠AOC，ON平分∠BOD.当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小(3)在(2)的条件下,若∠AOB=10°,当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时,∠AOM:∠DON=2:3,求t的值【解析】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）=∠AOD=80°；（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC=×180°﹣20°=70°；（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，∴∠BOD=150°﹣2t．∵射线ON平分∠BOD，∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．又∵∠AOM：∠DON=2：3，∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，解得t=21．答：t为21秒．【测试1】已知∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度数是（）A.20°或50°B.20°或60°C.30°或50°D.30°或60°【解析】解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM﹣∠AOD=40°﹣10°=30°；如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，∠DOM=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；故选：C．【测试2】如图,直线EF与MN相交于点O,∠MOE=30°,将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合,OB在∠NOE内部.操作:将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺指针方向旋转一周,设运动时间为t秒(1)当t为何值时,直角边OB恰好平分∠NOE?此时OA是否平分∠MOE?请说明理由(2)若在三角尺转动的同时,直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周,当一方先完成旋转一周时,另一方同时停止转动①当t为何值时,EF平分∠AOB?②EF能否平分∠NOB?若能请直接写出t的值;若不能,请说明理由【解析】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB=∠NOE=（180°﹣30°）=75°，∴90°﹣3t°=75°，解得：t=5．此时∠MOA=3°×5=15°=∠MOE，∴此时OA平分∠MOE．（2）①OE平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=90°÷2，解得t=2.5；OF平分∠AOB，依题意有30°+9t﹣3t=180°+90°÷2，解得t=32.5．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB②OB在MN上面，依题意有180°﹣30°﹣9t=（90°﹣3t）÷2，解得t=14；OB在MN下面，依题意有9t﹣（360°﹣30°）=（3t﹣90°）÷2，解得t=38．故EF能平分∠NOB，t的值为14s或38s．【练习1】一个角的补角比它的余角的4倍少30°，这个角的度数是【解析】解：设这个角为x，由题意得，180°﹣x=4（90°﹣x）﹣30°，解得x=50°．故答案为：50°．【练习2】如图,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是北偏西40°,若∠AOC=∠AOB,则OC的方向是【解析】解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°∴∠AOB=40°+15°=55°∵∠AOC=∠AOB∴OC的方向是北偏东15°+55°=70°【练习3】将两块直角三角板的直角顶点重合，如图所示，若∠AOD=128°，则∠BOC的度数是_______【解析】解：∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣128°=52°．【练习4】如图,直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数(2)若∠EOC:∠EOD=2:3,求∠BOD的度数【解析】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°；（2）设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据题意得2x+3x=180°，解得x=36°，∴∠EOC=2x=72°，∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°．【练习5】如图所示,OE、OD分别平分∠AOC和∠BOC(1)如果∠AOB=90°,∠BOC=38°,求∠DOE的度数(2)如果∠AOB=α,∠BOC=β（α、β均为锐角，α＞β）,其他条件不变,求∠DOE(3)从(1)、(2)的结果中,你发现了什么规律,请写出来【解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=38°∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+38°=128°又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=×128°=64°∠COD=∠BOC=×38°=19°∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=64°﹣19°=45°（2）∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，又∵OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE=∠AOC=（α+β）∠COD=∠BOC=β∴∠DOE=∠COE﹣∠COD=（α+β）﹣β=α+β﹣β=α；（3）∠DOE的大小与∠BOC的大小无关．。
三角函数的和差公式与倍角公式
三角函数的和差公式与倍角公式三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
其中，和差公式与倍角公式是三角函数中的重要内容，它们在解决三角函数的运算中起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数的和差公式与倍角公式的概念、推导过程及应用。
一、和差公式的概念与推导和差公式是用来表示两个角的和差的三角函数关系的公式。
对于任意两个角A和B，和差公式可以表示如下：1. 两角的和的正弦函数公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinB2. 两角的差的正弦函数公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinB3. 两角的和的余弦函数公式：cos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinB4. 两角的差的余弦函数公式：cos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB5. 两角的和的正切函数公式：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)6. 两角的差的正切函数公式：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些和差公式的推导过程可以利用向量运算、三角函数性质等方法进行推导。
由于篇幅限制，本文将不进行具体的推导，但读者可以通过学习向量运算和三角函数性质，自行推导出这些和差公式。
二、倍角公式的概念与推导倍角公式是用来表示一个角的两倍角关系的三角函数公式。
对于任意一个角A，倍角公式可以表示如下：1. 正弦函数的倍角公式：sin(2A) = 2 * sinA * cosA2. 余弦函数的倍角公式：cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2 * cos^2(A) - 1 = 1 - 2 * sin^2(A)3. 正切函数的倍角公式：tan(2A) = 2 * tanA / (1 - tan^2(A))这些倍角公式的推导可以采用不同的方法，如三角恒等式、三角函数的平方等性质。
初中数学《角的比较与运算》知识全解
《角的比较与运算》知识全解课标要求理解角的大小比较方法,掌握角的和差倍分计算与角平分线的概念与几何描述．知识结构角的比较度量法的方法叠合法：使两个角的顶点及一边重合，另一边落在重合这条边的同旁角定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的的射线，叫做这个角的平分线比性质：若是AOB∠的平分线较与角则12AOC BOC AOB∠=∠=∠22AOB AOC BOC∠=∠=∠运平或算分线平分角的方法有多种，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践度、分、秒互化：1周角=360°，1平角=180°，1°= 运算角的计算：角可以进行和、差、倍、分计算，加减时注意进位与错位，乘除时注意进位与错位，借助数与形的结合分析问题是这一部分的重点，利用图形中角的关系转化为算式去解决问题内容解析知识点1 角的比较比较法法：①测量法（用量角器度量角的度数）；②叠合法（把角叠合在一起，即角的顶点及一边重合，观察另一边的位置）.表示法：“>”“<”“=”.知识点2 角的和差倍分角的和差倍分仍然是一个角，具体的等式关系需借助相应的图形加以判断.角的平分线把角分成了两个相等的角，这两个角都等于原角的一半.知识点3 角的度分秒的加减乘除运算首先明确的度量单位之间是60进制，需要借位时借1作60，需要进位时满60进1，四种运算中，加减乘除都是相同单位间各自进行，最后进位，除法要从高位除起，余数化作下一级单位继续除.重点难点重点角的比较和角的和、差、倍、分运算及用几何语言表达角平分线的概念.难点角平分线的几何语言的表达方式的选择与借助几何图形进行的计算.教法导引角的比较和运算是在线段有关内容的基础上出现的又一个相类似的内容．教学的时候采用类比的方法。
引导学生对角的大小的认识从“数量”→→“形”的过渡．理解符号语言，在图形和等式之间建立一种关系，让学生了解两个角的和或差，仍是一个角，达到数与形的结合．对于角的平分线，主要是让学生结合图形来认识和理解，不要求用尺规作角平分线，用折叠法易于对角平分线的概念理解。
角的度量与计算
角的度量与计算角是几何学中常见的基本概念，用于描述两条线段之间的夹角或者两条射线之间的夹角。
想要精确地度量和计算角的大小，需要了解角的度量单位、角的类型以及角的计算公式等知识。
一、角的度量单位1. 弧度：弧度是用于度量角的标准单位，记作rad。
一个完整的圆周包含2π（约等于6.28）弧度，即360°等于2π弧度。
2. 度：度是另一种常见的角度量单位，记作°。
一个完整的圆周包含360度，即2π弧度等于360°。
二、角的类型1. 零角：零角是指两条相互重合的射线所形成的角，度数为0°，弧度数为0 rad。
2. 钝角：钝角是指大于90°但小于180°的角。
3. 直角：直角是指度数为90°，弧度数为π/2的角。
直角十分特殊，两条构成直角的射线互相垂直。
4. 锐角：锐角是指小于90°但大于0°的角。
5. 平角：平角是指度数为180°，弧度数为π的角。
平角表示两条射线平行。
三、角的计算公式1. 弧度与度的转换：弧度 = 度数× (π / 180)度数 = 弧度× (180 / π)2. 两个角的和/差：两个角的和等于它们的度数或弧度数之和，如 A + B。
两个角的差等于它们的度数或弧度数之差，如 A - B。
3. 角的倍数：一个角的 n 倍角等于它的度数或弧度数乘以 n，如 nA。
4. 角的补角/余角：一个角的补角是指与其相加等于 90°（或π/2弧度）的角，如 A 的补角为 90° - A。
一个角的余角是指与其相减等于 90°（或π/2弧度）的角，如 A 的余角为 A - 90°。
5. 角的相等/相似：两个角相等，意味着它们的度数或弧度数相等，如 A = B。
两个角相似，意味着它们的度数或弧度数成比例，如 A∽B。
四、角的计算实例1. 例题一：已知 A = 30°，求 A 的补角和余角。
角的单位及和差倍分
角的单位及和差倍分（总第71课时）执笔人：鲁贤聪教学目标1.了解角的单位的意义，并能进行角的单位之间换算2.经历角的单位的换算过程，理解角的单位互化的程序（分段进行）3.通过角的单位的互化和角的四则运算，提高计算能力，培养学生一丝不苟的学习精神。
教学重难点重点：角的度量单位及角的单位之间的换算，角的四则运算难点：角的减法、除法运算教学过程1.角的度量单位——度、角、分角的度量单位是“度、分、秒”。
把1个周角360等分，每一等分是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一等分就是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一等分就是1秒的角，1秒记作1″。
即1°=60′， 1′=60″1′=︒⎪⎭⎫ ⎝⎛601 '⎪⎭⎫ ⎝⎛="6011 注：要类比时间单位记忆2.角的单位的互换例1 （1）用度、分、秒表示°解：因为°=60′×=′ （度 退位 分）′=60″×=36″ （分 退位 秒）所以°=30°15′36″（2）42°18′15″等于多少度'=⨯'⎪⎭⎫⎝⎛="25.01560115 （秒进位 分）︒≈⨯︒⎪⎭⎫ ⎝⎛='304.025.1860125.18 （分进位 度） 所以42°18′15″≈42°＋°≈°注：（1）是将高级单位化为低级单位，乘以60（退位×60）（2）是将低级单位化为高级单位，除以60（进位÷60）P145练习13.角的四则运算例2计算（1）25°23′17″＋46°53′43″解：25°23′17″＋46°53′43″=71°76′60″=72°17′（2）19°20′24″×4解：19°20′24″×4=76°80′96″=77°21′36″（3）75°23′12″－46°53′43″解：75°23′12″－46°53′43″=74°83′12″－46°53′43″=74°82′72″－46°53′43″=28°29′29″分析：被减数的分不够减，向度借1算60分；被减数的秒不够减，向分借1算60秒.（4）把一个周角17等分，每份是多少（精确到1′）解：360°÷17=21°＋3°÷17=21°＋180′÷17≈21°11′.思考：若精确到1″，答案约为多少（21°10′35″）练习2第3小题角的运算总结：1.加法、乘法：加法、乘法按度、分、秒分别计算，再由低级单位向高级单位进位（逢60进1）2.减法：先看要不要退位，够不够减，如要退位应先退位，再相减（退1算60）3.除法：由高级单位向低级单位逐级计算，余数要退位（退1算60）再相除作业习题第3题（1）（2）（3）（4）。
三角函数中的和差角公式与倍角公式
三角函数中的和差角公式与倍角公式三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在三角函数的学习中，和差角公式与倍角公式是非常基础且重要的内容。
它们在解三角方程、化简三角函数表达式以及推导其他公式等方面起到了重要作用。
本文将详细介绍和差角公式与倍角公式的定义、推导以及举例应用。
一、和差角公式和差角公式是三角函数中用于表示两个角的和与差的关系的公式。
假设角 A 和 B 分别为任意两个角，则有以下和差角公式：1. 余弦和差角公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB2. 正弦和差角公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB3. 正切和差角公式：tan(A±B) = (tanA±tanB) / (1∓tanAtanB)推导和差角公式的方法可以通过不同的方式进行，包括几何推导、代数推导以及复数推导等。
不同的推导方法可以满足不同的需求，但最终得到的结果是相同的。
举例应用：假设 A = 30°，B = 45°，根据和差角公式可以得到：cos(30°+45°) = cos30°cos45° - sin30°sin45°sin(30°-45°) = sin30°cos45° - cos30°sin45°通过计算，可以得到具体的数值。
二、倍角公式倍角公式是三角函数中用于表示一个角的两倍的关系的公式。
假设角 A 为任意角度，则有以下倍角公式：1. 余弦倍角公式：cos2A = cos^2A - sin^2A2. 正弦倍角公式：sin2A = 2sinAcosA3. 正切倍角公式：tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)倍角公式的推导可以借助和差角公式来完成，通过将和差角公式中的 A 与 B 角取相等，即可得到对应的倍角公式。
角的度量与计算方法
角的度量与计算方法角是几何学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍角的度量方法以及常见的角的计算方法。
一、角的度量方法1. 角度制角度制是我们常见的一种度量角的方法。
在角度制中，一个圆的一周被分为360等分，每个等分的角度为1度（°）。
一个角度由度和分（’）两部分组成，例如60°30’，表示60度30分。
角度制是我们日常生活中常用的度量角的单位。
2. 弧度制弧度制是另一种常用的度量角的方法。
在弧度制中，角度的度量单位是弧度（rad）。
一个角度等于弧长等于半径的弧所对应的弧度数。
一个圆的一周等于2π弧度，也就是360°等于2π弧度。
弧度制在数学和科学领域中使用较多，因为它便于计算和表述一些复杂的几何问题。
二、角的计算方法1. 两角之和与差两角之和或差的计算常用于解决角的几何关系和运算问题。
假设有两角A和B，它们的度数分别为α和β。
（1）两角之和：A + B = (α + β)°在计算两个角的度数之和时，只需将它们的度数相加即可。
（2）两角之差：A - B = (α - β)°计算两个角的度数之差时，只需将它们的度数相减即可。
2. 角的倍数和子角角的倍数和子角的概念常用于解决旋转和周期性问题。
（1）角的倍数：如果一个角A的度数是另一个角B的度数的整数倍，我们称A是B的倍数。
（2）子角：如果一个角A的度数是另一个角B的度数的真子集，我们称A是B的子角。
3. 三角函数三角函数是一类与角度或弧度相关的数学函数，它们在解决几何和物理问题时非常有用。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
（1）正弦函数：sin(A) = a / c正弦函数表示一个角的对边与斜边之比。
（2）余弦函数：cos(A) = b / c余弦函数表示一个角的邻边与斜边之比。
（3）正切函数：tan(A) = a / b正切函数表示一个角的对边与邻边之比。
七年级数学角的度量
04 角的特殊关系与证明
平行线与同位角、内错角、同旁内角
平行线的定义及性质
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的性质包括同位角相等、内错角相等以及 同旁内角互补。
内错角的识别与度量
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线 的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位 置关系的一对角叫做内错角。内错角的度量方法 同样是通过量角器测量角度大小。
（任何多边形的外角和为360°）。
应用举例：三角函数中的角度计算
锐角三角函数
理解正弦、余弦、正切等锐角三 角函数的基本概念，掌握这些函 数在特殊角度（如30°、45°、60°）
的值。
角度与弧度的转换
了解角度与弧度两种度量方式之间 的转换方法，知道如何在三角函数 中使用弧度进行计算。
解直角三角形
掌握利用正弦、余弦、正切等三角 函数解直角三角形的方法，能够求 解三角形的未知边或未知角。
同位角的识别与度量
当两条直线被第三条直线所截，位于这两条直线 同一侧的两个内角叫做同位角。同位角的度量方 法是通过量角器测量角度大小。
同旁内角的识别与度量
两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的 同一侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位 置关系的一对角叫做同旁内角。同旁内角的度量 方法也是通过量角器测量角度大小。
应用举例：几何图形中的角度计算
01
三角形的内角和
任何三角形的内角和为180°。利用这一性质可以求解三角形中的未知角。
02
平行线与交叉线
理解平行线和交叉线所形成的同位角、内错角、同旁内角等概念，并会
利用这些角的关系进行计算。
03
多边形的内角和与外角和
掌握多边形内角和的计算公式（（n-2）×180°）以及外角和的性质
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角的单位及和差倍分（总第71课时）
执笔人：鲁贤聪
教学目标
1.了解角的单位的意义，并能进行角的单位之间换算
2.经历角的单位的换算过程，理解角的单位互化的程序（分段进行）
3.通过角的单位的互化和角的四则运算，提高计算能力，培养学生一丝不苟的学习精神。
教学重难点
重点：角的度量单位及角的单位之间的换算，角的四则运算
难点：角的减法、除法运算
教学过程
1.角的度量单位——度、角、分
角的度量单位是“度、分、秒”。
把1个周角360等分，每一等分是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一等分就是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一等分就是1秒的角，1秒记作1″。
即
1°=60′， 1′=60″
1′=︒⎪⎭⎫ ⎝⎛601 '⎪⎭
⎫ ⎝⎛="6011 注：要类比时间单位记忆
2.角的单位的互换
例1 （1）用度、分、秒表示°
解：因为°=60′×=′ （度 退位 分） ′=60″×=36″ （分 退位 秒）
所以°=30°15′36″
（2）42°18′15″等于多少度
'=⨯'⎪⎭
⎫ ⎝⎛="25.01560115 （秒进位 分）
︒≈⨯︒⎪⎭
⎫ ⎝⎛='304.025.1860125.18 （分进位 度） 所以42°18′15″≈42°＋°≈°
注：（1）是将高级单位化为低级单位，乘以60（退位×60）
（2）是将低级单位化为高级单位，除以60（进位÷60）
P145练习1
3.角的四则运算
例2计算
（1）25°23′17″＋46°53′43″
解：25°23′17″＋46°53′43″
=71°76′60″
=72°17′
（2）19°20′24″×4
解：19°20′24″×4
=76°80′96″
=77°21′36″
（3）75°23′12″－46°53′43″
解：75°23′12″－46°53′43″
=74°83′12″－46°53′43″
=74°82′72″－46°53′43″
=28°29′29″
分析：被减数的分不够减，向度借1算60分；被减数的秒不够减，向分借1算60秒.
（4）把一个周角17等分，每份是多少（精确到1′）
解：360°÷17=21°＋3°÷17=21°＋180′÷17≈21°11′.
思考：若精确到1″，答案约为多少（21°10′35″）
练习2第3小题
角的运算总结：
1.加法、乘法：加法、乘法按度、分、秒分别计算，再由低级单位向高级单位进位（逢60进1）
2.减法：先看要不要退位，够不够减，如要退位应先退位，再相减（退1算60）
3.除法：由高级单位向低级单位逐级计算，余数要退位（退1算60）再相除
作业习题第3题（1）（2）（3）（4）。