欧拉_拉格朗日方程的推广_张露萍

i，j=1 Ω
-
n
-
-
-
∑ … ，uxkxl（x），… ））φ（x））dx= 蘩（鄣xjxjfuxixj（x，u（x），ux1（x），… ，uxn
i，j=1 Ω
-
-
（x），… ，uxkxl（x），… ））φ（x））dx从 而 在 u（x）=u（x）
n
n
∑ ∑ L′（0）=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=蘩Ω（fu-
i=1
i，j=1
蘩
Ω
（
鄣
xi
f
uxixj
（x，
u
（x），
u
x1
（x），
…
，
u
xn
（x），
…
，
u xkxl
（x），
n
-
-
-
-
∑ … ））φxj（x）dx=- 蘩 鄣xj（鄣xjfuxixj（x，u（x），ux1（x），… ，uxn（x），… ，u
i，j=1 Ω
n
-
-
-
∑ xkxl （x）， … ）φ （x））dx+ 蘩 （鄣 f xjxj uxixj （x，u （x），ux1 （x）， … ，uxn （x），
n
-
-
-
-
-
-
∑鄣xixjfuxiuxj （x， u （x）， ux1 （x）， … ， uxn （x）， u x1x1 （x）， u x2x2 （x）， u xnxn
i，j=1
（x））=0定 理 2：设 f是 关 于 自 变 量 的 2k次 连 续 可 微 函 数 ，若
S=L（u
）=蘩f（x，u
Ω
新高中数学课程标准在“基本理念”中强调数学的人文价 值 ，并 提 出 “数 学 是 全 人 类 的 共 同 财 富 ，也 是21世 纪 公 民 必 备 的科学、文化素养。 应当通过介绍数学发展的历史……包括了 解数学在推动当代社会发展中的社会价值。 在整个数学教学 中，都要注意体现数学的社会需要，数学科学的重大作用、美 学 价 值 、正 确 数 学 观 ，并 使 之 成 为 正 确 世 界 观 的 一 部 分 ”［4］。
i，j=1
+Ⅱ+Ⅲ=0
由定理1
∑n
-
-
-
-
Ⅱ=- 蘩（鄣xifuxi（x，u（x），ux1（x），… ，uxn（x），… ，uxkxl（x））φ
i=1 Ω
（x）dx
同 理 对 Ⅲ式 运 用 Gauss公 式 及 φ∈C0（Ω）， 得
n
-
-
-
-Байду номын сангаас
∑ Ⅲ=蘩 Ω
i，j=1
fuxixj（x
，u
（x
），ux1（x）
-
-
-
L （a） =L （ u +aφ） = 蘩 f （x， u （x） +aφ （x），
鄣［u（x）+aφ（x）］
，…，
Ω
鄣x1
-
鄣［u（x）+aφ（x）］
，…
2-
鄣 ［u（x）+aφ（x）］
-
… ）dx 即 L （u+aφ） 为 a 的
鄣xn
鄣xi鄣xj
函 数 ，且 当 a=0时 函 数 L（a）取 极 值 .故 有
其中L为拉格朗日量，T为动能，V为势能. 拉格朗日量是动能T 与 势 能 V的 差 值 L=T-V［2］.
一个物理系统的拉格朗日函数所构成的泛函的变分问
题 ：在 时 间 段 ［t1，t2］内 的 一 切 容 许 运 动 中 ，真 实 的 运 动 必 使 L 取 极值对应于寻求泛函的临界点， 在寻找函数的极大、 极小值 时，一个解附近的微小变 化 的 分 析 给 出 一 阶 的 一 个 近 似 ［3］，借
面拒人千里之外，使人望而生畏，另一方面美丽动人，让人流 连忘返。 数学极其重要的价值正是体现在数学为社会发展和 人类文明进步提供动力，以及许多基础学科、工程技术和整个 社会日益增长的数学文化需求上的。 在这一过程中，数学文化 体现了以下重要特征，可以概括为：数学文化具有相对的稳定 性和连续性，其基本观点、思想方法交叉组合而成的具有丰富 内容和强烈应用价值的技术系统。
关键词： 数学文化 数学教学 渗透策略
数学作为一种文化研究最早出现在西方哲学研究中。 美 国数学家怀尔德受到科学哲学研究发展的启示， 出版了他的 代表作《作为一种文 化 体 系 的 数 学 》［1］。 斯 默 瑞 恩 斯 基 对 其 给 予高度评价， 认为是二十世纪三十年代以来第一个成熟的数 学哲学观［2］。 中国的数学文化作为一种学术研究的内容、作为 一种教学形式， 在二三十年的时间里迅速发展成大学乃至中 学教学中受重视的教学内容， 成为数学教育领域发展比较迅 速的数学分支。 在新课程改革中，数学文化研究的范畴如何界 定？ 在新课标下的数学教学中如何渗透数学文化？ 本文将从以 下几个方面做探讨。
○ 数学教学与研究 2013年第35期
周刊
欧 拉—拉 格 朗 日 方 程 的 推 广
张露萍
（江西科技学院 公共教学部，江西 南昌 330098）
摘 要： 变分法是处理泛函极值的一种数学方法，欧拉— 拉格朗日方程是基于变分法得到的， 该方程在除数学外的很 多其他领域有着广泛的运用. 如果能将欧拉—拉格朗日方程 的应用范围进一步扩大，即条件减弱或者放松限制条件，就可 以使已有的结论更完善.本文运用变分法，得到更普遍适用的 欧拉—拉格朗日方程.
，…
uxi
，…
，uxjxl，
u … ， xmlxm2…xmk
…
）dx
-
-
在 u（x）=u（x）取 极 值 ，则 在 u（x）
n
n
n
∑ ∑ ∑ 2
k
fu- 鄣xifuxi+ 鄣xixjfuxiuxj+（-1）
k
鄣xm1…xmkfuxm1…umk=0.
i=1
i，j=1
m1，…mk=1
参考文献： ［1］Fomin，S.V.and Gelfand，I.M.：Calculus of Variations，
i，j=1
-
-
-
-
-
-
鄣xixjfuxiuxj（x，u（x），ux1（x），… ，uxn（x），ux1x1（x），ux1x2（x），uxnxn（x））=0
68
-
证明：设在u=（x）=u（x）时L（u）取 极 值 ，取φ∈C0（Ω），取 绝
-
对 值 分 小 的 a，使 得 u+aφ属 于 容 许 函 数 类 ，则
鄣xifuxi+ 鄣xixjfuxiuxj）φdx=0 i，j=1
由引理，在Ω上恒有
-
-
-
-
-
-
fu （x，u （x），ux1 （x）， … ，uxn （x），ux1x1 （x），ux2x2 （x），uxnxn （x））-
∑n
-
-
-
-
-
-
鄣xjfuxi（x，u（x），ux1（x），… ，uxn（x），ux1x1（x），ux2x2（x），uxnxn（x））+
i=1
周刊 2013年第35期 ○ 数学教学与研究
新课标下的高中数学文化渗透
任淑萍 李全林
（甘肃省庆阳第一中学，甘肃 庆阳 745000）
摘 要： 数学文化可以张扬数学思考的魅力，拓展思考 视角，增强思考动力，提升思考品位。 本文对数学文化做了定 位，分析了数学文化的特点，提出了在高中数学教学中渗透数 学文化的策略，对当前的数学教学改革具有现实指导意义。
（x）dx=0，
其
中
f∈C
（Ω），
则 在 Ω上 f≡0［5］.
2.主 要 结 论
上述得到的欧拉—拉格朗日方程涉及的是变量的一阶偏
导， 如果L涉及变量的高阶偏导那么上述方程就不适用了.为
了使其运用范围进一步扩大，本文通过运用变分法，得到更普
遍适用的欧拉—拉格朗日方程.
定理1：设f是关于自变量的四次连续可微函数，若
i=1
这里我们采用下述记号，设f为在Ω上定义的连续函数，记
—— —— —— ———— —— —— —
k
f的支集suppf为suppf={x;f（x）≠0}， 记C 为Ω上 定 义 的 直 到k阶
k
k
导数都连续的函数的集合，记C0（Ω）为C （Ω）中其函数的支集
为 包 含 在 Ω内 的 紧 集 的 函 数 的 集 合 ［4］.fu为 函 数 f 对 变 量 u 的 一 阶
，
…
，uxn
（x），…
，uxkxl
（x）
，
…
）φxixj
∑n
-
-
-
-
（x）dx= 鄣（xifuxixj（x，u（x），ux1（x），… ，uxn（x），… ，uxkxl（x），… ）φxj
i，j=1
∑n
-
-
-
-
（x）dx- （鄣xifuxixj（x，u（x），ux1（x），…，uxn（x），…，uxkxl（x），…））φxj
1.数 学 文 化 的 界 定 和 特 点 1.1数 学 文 化 的 界 定 数学科学是以人们的社会生活需要及客观现象为研究对 象。 它作为人类文明的一个组成部分，与一定的社会历史发展 水平相适应；它作为一种文化现象，又受到整个文化结构的影 响。 数学文化是数学史、数学教育、数学哲学和文化学的交叉 领域，它把数学史、数学教育、数学哲学作为一种文化现象进 行分析研究。 与一般文化物相比较，数学对象并非世界中的真 实存在，而是抽象思维的产物。 张楚廷先生的《数学文化》一 书，强调在数学是一种文化的理解下，数学不只是数的世界， 形的世界，或更广阔世界的科学，还是一门充满了人文精神的 科学［3］。 我国著名 数 学 哲 学 教 授 郑 毓 信 对 数 学 文 化 观 念 做 了 描述，数学应主要看成人类的一种活动，一种以数学共同体为 主体，并在一定的文化环境中所从事的创造性活动。 高中数学新课程标准中特别增加了“数学建模”、“探究性 课 题 ”、“数 学 文 化 ”三 个 模 块 ，为 学 生 提 供 了 更 广 阔 的 发 展 空 间，也为改变学生的学习方式提供了素材［4］。 美国数学史学家 莫里斯·克莱因（M·Kline）出版了专著《古今数学思想》、《西 方 文化中的数学》，还有我国的数学哲学家郑毓信先生出版的专 著《数学文化学》，从不同侧面力图增添数学文化的人文色彩， 充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值，为 数学文化的发展奠定了基础。 1.2数 学 文 化 的 特 点 数学文化具有明显的特点，直接支配着人们的行动。 一方