高中数学解析几何总结(非常全)

高中数学解析几何

第一部分:直线

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角α

(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：?<≤?1800α

2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.

αtan =k

（1）.倾斜角为?90的直线没有斜率。

（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。

（3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2

121tan x x y y k --=

=α；当21x x =时，o

90=α；斜率不存在；

二、直线的方程

1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)

注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；

2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。

3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方

程：1

121x x x x y y y y --=--；

注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。

4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程：

1=+b

a x ；注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线

方程可设为x-y=a

5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：0=++C By Ax ；（B A ,不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。

注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数C B A ,,是否为0才能确定。

②指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，???

??+-+222

2,B A A B

A B （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）

6(选修4-4)参数式?

??+=+=bt y y at

x x 00（t 参数）其中方向向量为),(b a ，

单位向量???? ??++222

2,b a b

a a ； a

b k =；2

2||||b a t PP o +=；点21,P P 对应的参数为21,t t ，则2

22121||||b a t t P P +-=

；

?+=+=α

sin cos 00t y y t x x （t 为参数）其中方向向量为)sin ,(cos αα， t 的几何意义为||o PP ；斜率为αtan ；倾斜角为)0(παα<≤。三、两条直线的位置关系

位置关系 2

22111::b x k y l b x k y l +=+= 0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 平行 ? 21k k =，且21b b ≠ 2

2121C C B B A A ≠

=(A 1B 2-A 2B 1=0) 重合 ? 21k k =，且21b b =

2121C C B B A A =

= 相交 ? 21k k ≠

21B B A A ≠

垂直

121-=?k k

02121=+B B A A

设两直线的方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21k k ≠或

1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00222

111C

y B x A C y B x A 解；

注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211B A B A λ=

对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211=?B A B A

②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。

③对于02121=+B B A A 来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．

④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。四、两直线的交角

（1）1l 到2l 的角：把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角；它是有向角，其范

围是πθ<≤0；

注意：①1l 到2l 的角与2l 到1l 的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。

（2）直线1l 与2l 的夹角：是指由1l 与2l 相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是2

0π

θ<

≤；

（3）设两直线方程分别为：

222111::b x k y l b x k y l +=+=或0

:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=

θ或2

1211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

②若θ为1l 和2l 的夹角，则1

2121tan k k k k +-=

θ或21211

221tan B B A A B A B A +-=θ；

③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时，o

90=θ；

注意：①上述与k 有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。 ②直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2

(π

θθα≤=或)2

(π

θθπα>

-=；

五、点到直线的距离公式：

1.点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

00|

A C By Ax d +++=

；

2.两平行线0:11=++C By Ax l ，0:22=++C By Ax l 的距离为：2

21||B

A C C d +-=

；

六、直线系：

（1）设直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222

=++C y B x A l ，经过21,l l 的交点

的直线方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（除去2l ）；

如：①011=--?+=kx y kx y ，即也就是过01=-y 与0=x 的交点)1,0(除去0=x 的直线方程。

②直线5)12()1(:-=-+-m y m x m l 恒过一个定点。

注意：推广到过曲线0),(1=y x f 与0),(2=y x f 的交点的方程为：0)()(21=+x f x f λ；（2）与0:=++C By Ax l 平行的直线为01=++C By Ax ；（3）与0:=++C By Ax l 垂直的直线为01=+-C Ay Bx ；七、对称问题：（1）中心对称：

①点关于点的对称：

该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(b a A 关于),(d c C 的对称点)2,2(b d a c --

②直线关于点的对称：

Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，

再由两点式求出直线方程； Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。

如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。

（2）轴对称：

①点关于直线对称：

Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。

如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。 ②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）

Ⅰ、若b a ,相交，则a 到l 的角等于b 到l 的角；若l a //，则l b //，且b a ,与l 的

距离相等。

Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。

Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合

a 的方程。

如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。

八、简单的线性规划：

（1）设点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，

①若点P 在直线l 上，则000=++C By Ax ；②若点P 在直线l 的上方，则

0)(00>++C By Ax B ；

③若点P 在直线l 的下方，则0)(00<++C By Ax B ；（2）二元一次不等式表示平面区域：

对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ，

①当0>B 时，则0>++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；

0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；

②当0++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；

0<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；

注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中，根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。（3）线性规划：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。

注意：①当0>B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越大；直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越小；

②当0

如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ay x z +=取得最小值的最优解有无数个，则a 为；第二部分：圆与方程

A(1,1)

B(5,1) C(4,2)

2.1圆的标准方程：2

22)()(r b y a x =-+-圆心),(b a C ，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：2

r y x =+. 2.2点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： (1)点在圆上 d=r ；(2)点在圆外 d ＞r ；(3)点在圆内 d ＜r ．

2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? 2.3 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .

当042

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心???

??--2,2

E D C ，半径2

422F

E D r -+=

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点???

??--

2,2

E D . 当0422<-+

F E D 时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422>-+AF E D .

圆的直径系方程：已知AB 是圆的直径

0))(())((),(),(21212211=--+--?y y y y x x x x y x B y x A

2.4 直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(2

A C Bb Aa d +++=

(1)

相离r d ；(2)

=???=相切r d ；（3）

0>???<相交r d 。

2.5 两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。

（1）条公切线外离421??+>r r d ；（2）条公切线外切321??+=r r d ；（

）

条公切线

相交22121??+<<-r r d r r ；（4）

条公切线内切121??-=r r d ；

（5）无公切线

内含?

< <

d；

外离外切相交内切内含

2.6 圆的切线方程：

1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）

2.圆2

+的斜率为k的切线方程是r

=过圆0

x上一点)

P的切线方程为：0

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x– a)(x0– a)+(y– b)(y0– b)=R2.

特别地，过圆2

+上一点)

P的切线方程为2

若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则

)

(

)

(

，联立求出?

k切线方程.

2.7圆的弦长问题：1.半弦

、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：2

2.弦长公式（设而不求）：

]

)

[(

)

(

）

（

）

（

第三部分:椭圆

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数()21

a>的点的轨迹叫

做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（c

=时为线段

F，c

<无轨迹）。

2．标准方程：

222

c a b

①焦点在x轴上：

（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）；焦点F （0, ±c ）

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，2

c b a +=并且椭圆的焦点总在长轴上；

②一般形式表示：

1x y m n

+=或者 ),0,0(122n m n m ny mx ≠>>=+ 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围

（1）椭圆122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b

（2）椭圆122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a

2.对称性

椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点

（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）

（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比

22c

，即a c 称为椭圆的离心率，

记作e （10<

21()

b e a a

==-c

e 越接近于0 （e 越小），椭圆就越接近于圆;

e 越接近于1 （e 越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。（

e d

PF =|

|） ①焦点在x 轴上：122

=+b

a x （a ＞

b ＞0）准线方程：

c a x 2±

②焦点在y 轴上：122

22=+b

x a y （a ＞b ＞0）准线方程：c a y 2

±=

小结一：基本元素

（1）基本量：a 、b 、c 、e 、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆

221(0)x y a b a b +=>>的内部2200

221x y a b

?+<.

（2）点00(,)P x y 在椭圆2

1(0)x y a b a b +=>>的外部2200

221x y a b

?+>.

6.几何性质

（1）焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：c a MF c a +≤≤-

（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）a

b AB 2

（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2

tan

21θ

?=?b S F MF 其中

θ=∠21MF F

7直线与椭圆的位置关系：

(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x 的一元二次方程，根据判别式

?的符号判断位置关系：没有交点

相离有一个交点相切相交有两个交点???000 联立?????=++=+0

222C By Ax b y a x 消y 得： ()(

)

(

)

22222212

2221222222222

2B b A a B b C a x x B b A a AC

a x x B

b C a ACx a x B b A

a +-=+-=+=-+++

联立?????=++=+0

222C By Ax b y a x 消x 得：

()(

)

(

)

22222212

2221222222222

2B b A a A a C b y y B b A a BC

b y y A a C b BCy b y B b A

a +-=+-=+=-+++

(2)弦中点问题:斜率为k 的直线l 与椭圆),0,0(12

22n m n m n y m x ≠>>=+交于两点

),(),(2211y x B y x A 、）（00,y x M 是AB 的中点，则：0

22y x m n k AB

?-=

(3)弦长公式：]

4)[(1)(212

2122

212

21x x x x k y y x x AB -++=-+-=）（）（

第四部分：双曲线

双曲线

标准方程（焦点在x 轴） )0,0(122

22>>=-b a b

y a x 标准方程（焦点在y 轴）

)0,0(12

22>>=-b a b x a y 定义

第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

{}a MF

MF M 22

=-()212F F a <

第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。

范围

x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈

F 2F

2F x

F 2

F x

2F x

对称轴 x 轴，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b

对称中心

原点(0,0)O

焦点坐标

1(,0)F c - 2(,0)F c

1(0,)F c - 2(0,)F c

焦点在实轴上，2

c a b =+；焦距：122F F c =

顶点坐标（a -,0） (a ,0)

(0, a -,) (0，a )

离心率

e a

e (=

>1) 重要结论

（1）焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：MF c a ≤-

（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）a

b AB 2

（3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形）：

cot

tan

2221θ

?==

?b b S F MF

准线方程

a x 2±

= c

a y 2±

= 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c

a 2

渐近线方程 x a

b y ±

= y a

x ±

= 共渐近线的双曲线系方程

k b y a x =-22

22（0k ≠） k b x a y =-2

22（0k ≠）直线和双曲线的位置

（1）判断方法:联立直线方程与双曲线方程消y(或x)得到关于x 的一元二次方程，根据判别式?的符号判断位置关系：

没有交点

相离有一个交点相切相交有两个交点???000

联立?????=++=-0

222C By Ax b y a x 消y 得： ()(

)

(

)

2222222212

222221222222222

b A a B b C a x x B

b A a AC

a x x B

b C a ACx a x B b A

a -+=--=+=+++-

联立?????=++=-0

222C By Ax b y a x 消x 得： ()(

)

(

)

2222222212

222221222222222

2B b A a A a C b y y B

b A a BC

b y y A a C b BCy b y B b A

a ---=

-=+=----

(4)弦中点问题:斜率为k 的直线l 与双曲线)0,0(122

22>>=-n m n

y m x 交于两点

),(),(2211y x B y x A 、）（00,y x M 是AB 的中点，则：0

22y x m n k AB

?= 弦长公式：]

4)[(1)(212

2122

212

21x x x x k y y x x AB -++=-+-=）（）（

补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长；

（2）其标准方程为C y x =-2

其中C≠0；（3）离心率2=

e ；

（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；

（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；

（6）等轴双曲线上任意一点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分； 7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数2

a 第五部分：抛物线知识点总结

图象

)0(22>=p px y

)0(22>-=p px y

)0(22>=p py x

)0(22>-=p py x

定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。{MF M =点M 到直线l 的距离}

范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤

对称性

关于x 轴对称

关于y 轴对称

x y

O l

x y

α焦点 (

,0) (2

,0) (0,

p ) (0,2

p -

) 焦点在对称轴上

顶点 (0,0)O

离心率 e =1

准线方程 2

p x -

= 2

p x =

p y -

= 2

p y =

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

顶点到准线的距离 2p 焦点到准线的距离

焦半径

11(,)A x y

p AF x =+

p AF x =-+

p AF y =+

p AF y =-+

焦点弦长

12()x x p ++

12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y (以

焦点在x 轴

正半轴为例)

以AB 为直径的圆必与准线l 相切,以MN 为直径的圆与AB 相切与点F ，即FN MF ⊥

cos 12cos 1221+=

=-=

p x BF p p x AF 若AB 的倾斜角为α，则)(2sin 22

21通径p p

p x x AB ≥=

++=α

124

p x x = 212y y p =-

p S p

BF AF AOB

sin 22112

=+? o

x ()22,B x y F

()11,A x y M

参数方程

)

(

为参数

1.直线与抛物线的位置关系

直线，抛物线，，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线l：b

=抛物线，)0

(

①联立方程法：

)

(22

设交点坐标为)

(

A,)

(

B，则有0

?,以及

x+，还可进一步求出

)

(

+，

)

(

)

)(

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a.相交弦AB的弦长

)

(

AB-

或

)

(

AB-

b. 中点)

(

=，

②点差法：

设交点坐标为)

(

A，)

(

B，代入抛物线方程，得

1212px y = 22

22px y =

将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-

121212y y p

x x y y +=

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--，

即0

y p k AB =

，同理，对于抛物线)0(22

≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点)

,(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，

且不等于零）

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