第1课 函数的三要素

第1课 函数的三要素
1.函数f (x )＝1－2x ＋1
x ＋3
的定义域为 (3,0]-
2.函数y ＝
x ＋1＋
()()
1lg 2x x --的定义域是________．{x |－1≤x <1或1<x <2}．
3.已知函数()f x 的定义域为()0,1， 求①2()f x 的定义域；()
()-1,00,1
②2(2)()3
f x f x ++的定义域10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
4.若函数()f x =[]2,3，则a 的值
5.若函数()f x =
[]2,3上有意义，则a 的取值范围
6.若函数f (x )＝mx 2－2mx ＋m ＋1的定义域是R ，则实数m 的取值范围是__________．m ≥0.
7.若函数()f x =
[]1,1-上有意义，则a b +的取值范围是
★函数解析式：待定系数法、换元法、方程组法.
1.已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．f (x )＝12x 2＋1
2
x (x ∈R)．
2.已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；f (x )＝lg 2x －1(x >1)．
3.已知f ⎝⎛⎭
⎫x ＋1x ＝331
x x
+，求f (x )的解析式 4.已知f (x )＋2f (－x )＝3x －2，求f (x )的解析式．f (x )＝－3x －2
3
.
5.设函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ) 的解析式．f (x )＝2－x 2
3x ，(x ≠0)
★函数的值域
1.下表表示y 是x
2. y =
（[1）
3．y =]2,2[
4
．y =
5 . 23y x =- （(],4-∞）
6．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．
7．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．
8. 已知函数[]2
()2f x x x x a b =-∈，
，的值域为[]13-，，则b a -的取值范围是 ▲ ． 答案：[2,4]。

【解析】[]2
2
()2(1)11,3f x x x x =-=--∈-，对称轴为1x =，最小值为1-，所以当1a =-时，
[]1,3b ∈或当3b =时，[]1,1a ∈-，所以[2,4]b -a ∈．
9.已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域是[1，＋∞)，则1a ＋9
c 的最小值是________．
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
4a (c ＋1)－42
4a ＝1，a >0，化简得1c ＝a 4且a >0，于是1a ＋9c ＝1a ＋9a 4
≥2
1a ·9a 4＝3，当且仅当1a ＝9a 4，即a ＝2
3
时取等号．
10. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，
的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为_____．
解法1：（运用求根公式，求出两根）
由题意得： 2
4a b =.()f x c ∴<可化为：22
04a x ax c +
+-<
x
<<
，所以6==，故9c =． 解法2：（运用韦达定理，设而不求）
由题意得：2
4a b =.()f x c ∴<可化为：22
04a x ax c ++-<，22
04
a x ax c ∴++-<的解集为(6)m m +，，∴m 和6m +是关于x 的二次方程20x ax
b
c ++-=的两个实数根，由韦达定理得：
()22664
m a
a
m m c +=-⎧⎪⎨+=
-⎪⎩.()()222646m m m c ∴+=++，化简得：9c =. 解法3：（利用对称性，求出两根）
如图（5），易得()2
22
42a a f x x ax x ⎛⎫
=++=+ ⎪⎝⎭．()f x c ∴<对应的方程2()=2
a
x c +
的两根之差为6=，解得9c =.
解法4：（利用对称性，数形结合）
易得()2
22
42a a f x x ax x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，其对称轴为02a x =-，由抛物线的对称性可知，点3,2a c ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
在该函数图
象上，即2
3322
2a a
a f c ⎛⎫⎛⎫-+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故9c =．
解法5：（将函数特殊化）
如图（6），考虑特殊函数，0a b ==，此时不等式()f x c <的解集必关于y 轴对称，即3m =-，所以()f x 过点
()3,c ，故()2339c f ===．
解法6：（将区间特殊化）
取0m =，设()f x c <的解集为(0,6)．则0,6分别是方程2()0f x c x ax b c -=++-=的两根，即有
03660b c a b c -=⎧⎨
++-=⎩，则6a b c =-⎧⎨=⎩
．由题意得：2
4a b =（同解法1）.故294a c b ===． 试题赏析：本题除了变量x ，还有a b c m 、、、四个参数，貌似未知量很多，但将信息“函数
2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，
”加工为“24a b =”,通过消元，函数()f x 可由a 来唯一确定，长度为6的解集的起止值也由a 来唯一确定，一切在变，一切又都是定局，妙就妙在可“一般”还可“特殊”． 11. 已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.
(1) 若不等式f (x )＞0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围； (2) 若a ＞1，且函数f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，求实数a 的值．
16. 规范解答 (1) 因为x 2－2ax ＋5＞0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，所以2a ＜x ＋5
x 对x ＞0恒成立．(3分)
因为x ＞0时，x ＋5
x ≥25，(5分)
当且仅当x ＝5
x ，即x ＝5时取等号，(6分)
所以⎝⎛⎭
⎫x ＋5
x min ＝2 5.所以2a ＜25，即a ＜ 5.(7分) (2) 因为f (x )＝x 2－2ax ＋5的图像的对称轴为x ＝a (a ＞1)，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，(8分) 所以f (x )的值域为[f (a )，f (1)]．(10分) 而已知值域为[1，a ]，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
f (a )＝a 2－2a 2
＋5＝1，f (1)＝1－2a ＋5＝a .(12分)
解得a ＝2.(14分)
12.若存在整数,a b 使得()()2
22f x x m x m =-+-+-在区间[],a b 上值域也是[]
,a b ，求,a b 的值。