时域瞬态响应分析
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控制系统的时域瞬态响应分析 PPT
单位阶跃响应是以 ω n
1ξ 2 为角频率的衰减振荡，
随着 的减小，其振荡幅值加大。
二阶系统的瞬态响应
临界阻尼(=1)二阶系统的单位阶跃响应：图3-11
x(t) 1 ω n t e ω n t e ω n t (t 0 )
系统无超调。
二阶系统的瞬态响应
过阻尼(>1)二阶系统的单位阶跃响应：图3-12
x(t)tω 2te ωntω 2e ωnt (t0)
n
n
二阶系统的瞬态响应
过阻尼(>1)二阶系统的单位斜坡响应：图3-26
x(t)tω 2 ξn2ξ22 ω 1n ξ 2 ξ2 ξ1 21e (ξξ2 1)ω nt
2ξ212ξ
2
ξ 1e(ξξ21)ωnt
2ωn ξ21
(t0)
二阶系统的斜坡响应
控制系统的典型输入信号
加速度 xi(t函 ) a0 数 2t(t(t00 ))
控制系统的典型输入信号
正弦xi函 (t) 数 as0iw n (t t(t0 )0)
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
控制系统的典型输入信号
脉冲函数
xi(t) tl0i m0ta0 (0t t0) 0 (t 0或t t0)
一阶系统的瞬态响应
一阶惯性环节的单位斜坡响应
xi (t) t
e()=T
x 0(t) t T T t/e T(t 0 )
0
t
当 t = 时，e() = T 时间常数 T 越小，则该环节稳态的误差越小。
一阶系统的瞬态响应
一阶惯性环节的单位脉冲响应
xo(t)
1
T
x0(t)T1et/T(t0)
0
控制工程基础 第3章 时域瞬态响应分析
X o s k sm b1sm1 bm1s bm
X i s
sn a1sn1 an1s an
k sm b1sm1 bm1s bm
q
r
s pj
s2
2
kk
s
2 k
j 1
fi(t) D
图 3-26
图 3-27
解：根据牛顿第二定律
fi t kxo t Dxo t Mxo t
拉氏变换，并整理得
Ms2 Ds k X o s Fi s
X o s Fi s
1 Ms2 Ds k
1 k kM s2 D s
峰值点为极值点，令 dxo t 0 ，得
dt
nentp
1 2
sin
dtp
d
e
nt
p
1 2
cos dt p
0
因为 e nt p 0
所以
tan d t p
d n
tan
dtp
d
0
即输出响应为输入函数与脉冲响应函数的
卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。
求上升时间 tr 由式（3.5）知
xo (t) 1
e nt
1 2
sin d t
arctan
1
2
1t
将 xo (tr ) 1代入，得
11
tp
d
n
1 2
3时域瞬态响应分析
时域瞬态响应分析
二阶系统的单位阶跃响应 1、当0 1时，称为欠阻尼
二阶系统的极点是一对共轭复根，传递函数可表示为：
X o ( s) n2 H ( s) X i ( s) ( s n jd )(s n jd )
1
d n
2
阻尼自振荡角频率
Im
(n ) 2 (n 1 2 ) 2 n
cos
n n
0 Re
arccos arctan
1 2
时域瞬态响应分析
单位阶跃响应为：
Xo( s ) H ( s ) Xi ( s ) 1 ( s n jd )( s n jd ) s s n n 1 2 2 s ( s ) d ( s ) 2 d2
2 2
e
( 2 1 ) nt
时域瞬态响应分析
各种阻尼二阶系统单位脉冲响应曲线
时域瞬态响应分析
二阶系统的单位斜坡响应 1、01
2 1 2 1 n t 2 x0 (t ) t e sin[( n 1 t arctg ] 2 2 n n 1 2 1
超调量
允许误差± Δ
td
0.02或0.05
tr
t
tp ts
时域瞬态响应分析
1、上升时间tr （Rising Time ） 从零时刻到首次达到稳态值的时间。对于没有超调 的系统响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 2、峰值时间tp （Peak Time） 响应曲线从零时刻到达峰值的时间，即响应曲线从 零上升到第一个峰值点所需要的时间。 3、最大超调Mp （Maximum Overshoot） 单位阶跃输入时，响应曲线的最大峰值与稳态值的 差。通常用百分数表示。 4、调整时间ts （Settling Time）
第3 章 时域瞬态响应分析 - 过控
dc1 (t ) c (t ) dt dct (t ) c1 (t ) dt
单位脉冲 函数响应
积分
c1 (t ) 1 et /T
1 c (t ) e T
t T
三者之间的关系
积分 积分
微分
单位阶跃 函数响应
微分
单位斜坡 函数响应
单位抛物线 函数响应
微分
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导 数；或者说，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响 20 应的积分。
0
y (t )
t1
t
t
① 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加 输入信号的形式有关。 ② 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。 对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
R( s )
-
E (s)
1 Ts 1
C (s)
0.5 G (s) 0.5Ts 1
通过反馈，使得时间常数减小了一半。
15
二、一阶系统的时间响应
2、单位脉冲响应
当输入为单位脉冲函数
c(t)
1 T
1 R( s ) 1 G ( s ) Ts 1
拉氏反变换
t
一阶系统单位阶跃响应
c(t ) 1 e
t / T
瞬态响应： et T 稳态响应：1
单位脉冲 函数响应
积分
c1 (t ) 1 et /T
1 c (t ) e T
t T
三者之间的关系
积分 积分
微分
单位阶跃 函数响应
微分
单位斜坡 函数响应
单位抛物线 函数响应
微分
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导 数；或者说，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响 20 应的积分。
0
y (t )
t1
t
t
① 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加 输入信号的形式有关。 ② 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。 对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
R( s )
-
E (s)
1 Ts 1
C (s)
0.5 G (s) 0.5Ts 1
通过反馈，使得时间常数减小了一半。
15
二、一阶系统的时间响应
2、单位脉冲响应
当输入为单位脉冲函数
c(t)
1 T
1 R( s ) 1 G ( s ) Ts 1
拉氏反变换
t
一阶系统单位阶跃响应
c(t ) 1 e
t / T
瞬态响应： et T 稳态响应：1
时域瞬态响应分析
特点:
(1) 稳定,无振荡; (3) 调整时间为(3～4)T;
t xo (t ) 1 e T 1(t )
(2) 经过时间T 曲线上升到0.632 的高度;
(4) 在t = 0 处,响应曲线的切线斜率为1/T;
(5) 由响应函数得.
1 lg e t lg 1 xo (t ) T
时域分析法就是根据系统的微分方程 , 采用拉氏变换 法直接解出系统的时间响应 , 再根据响应的表达式及 对应曲线来分析系统的性能 . 用时域分析法分析系统 性能具有直接、准确、易于接受等特点.
3.1 时域响应以及典型输入信号
在输入信号作用下 ,系统输出随时间的变化过程称为系 统的时间响应.时间响应通常由两部分组成:瞬态响应和 稳态应响. 瞬态响应(又称过渡过程)是指系统在某一输入信号作用 下,其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程. 稳态响应 (又称静态响应)是指时间 t趋于无穷时,系统的 输出状态.
由此可见 , 三种典型输入信号单位脉冲、单位阶跃和 单位速度之间存在着积分和微分的关系 . 它们的时间 响应之间也存在着同样的积分和微分的关系 . 这是线 性定常系统时间响应的一个重要性质.
3.3 二阶系统的瞬态响应
二阶系统 :用二阶微分方程描述的系统 .它的典型形式是 二阶振荡环节.
2 X o ( s) n 1 2 2 2 2 X i (s) T s 2Ts 1 s 2n s n
2 1 式中， d 称为阻尼自 n
振角频率.
n
j
s
j
n
s
0
n
2
n 1
1
2
时域瞬态响应分析
β = arctan
ξ
ωd = ωn 1 − ξ 2
x0 (t ) = 1 −
e
−ξω n t 2
1−ξ
sin(ω d t + β )
临界阻尼（ ２. 临界阻尼（ξ=1） ）
s1, 2 = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 = −ω n
系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。 传递函数
2 2 X o (s) ωn ωn Φ(s) = = 2 = 2 X i ( s ) s + 2ξω n s + ω n (s + ω n )2
时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信号
的作用下，其输出信号随时间的变化情况。 具体地说，如果系统可用以下的线性常系数微分方 程描述
( ( & a 0 xon ) (t ) + a1 xon −1) (t ) + L + a n −1 xo (t ) + a n x0 (t ) . (m) ( m −1) = b0 xi (t ) + b1 xi (t ) + L + bm −1 x i (t ) + bm xi (t )
σ% = M p% =
ξ 阻尼比
ω n 无阻尼自然频率
二阶系统的特征方程
s 2 + 2ξω n s + ω 2 = 0
特征方程的根（闭环极点）
s1, 2 = −ξω n ± ω n ξ − 1
2
显然，特征根的性质取决于阻尼比ξ的大小，而特征根在复 平面的分布决定系统的性能，如稳定性。
二.二阶系统单位阶跃响应 二阶系统单位阶跃响应
单位阶跃响应
2 ωn 1 × X 0 ( s) = Φ( s) X i ( s) = 2 (s + ω n ) s
第三章 时域瞬态响应
添加副标题
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
第三章 时域瞬态响应分析
(3-16)
(3) 最大超调量Mp
Mp = h(t p ) − h(∞) h(∞) − ζπ = exp 1− ζ 2 ×100%
(4) 调整时间ts 3 误差带范围为 ±5% ts = ζωn 误差带范围为± 2% (5) 振荡次数N
ts = 4
ζωn
ωd ts ts ts N= = = Td 2π / ωd 2π
当 ζ >> 1时，
h(t) ≈1− es1t =1− e
(−ζωn +ωn ζ 2 −1)t
过阻尼二阶系统单位阶跃响应
当 ζ >1.25 时，系统的过渡过程时间可近 1 似为 ts = (3 ~ 4)
s1
系统的超调量 M p = 0
2. 当0<ζ<1时，系统有一对实部为负的共轭 时 复根，称为欠阻尼状态。 复根，称为欠阻尼状态。 在欠阻尼状态下，系统的两个闭环 极点为一对共轭复极点，即
第三章 时域瞬态响应分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 时域响应及典型输入信号 一阶系统的瞬时响应 二阶系统的瞬时响应 时域分析性能指标 高阶系统的瞬时响应 综合例题
第三章 时域瞬态响应分析
机电控制系统的运行在时域中最为直观当系统输入某些典 型信号时，利用拉氏变换中的终值定理， 型信号时，利用拉氏变换中的终值定理，我们可以了解当时间 时系统的输出情况， t→∞时系统的输出情况，及稳态状况；但对动态系统来说，更 时系统的输出情况 及稳态状况；但对动态系统来说， 重要的是要了解系统加上输入信号后其输出随时间变化的情况， 重要的是要了解系统加上输入信号后其输出随时间变化的情况， 我们希望系统响应满足稳、 另外， 我们希望系统响应满足稳、准、快。另外，我们希望从动力学 的观点分析研究机械系统随时间变化的运动规律。 的观点分析研究机械系统随时间变化的运动规律。以上就是时 域稳态响应分析所要解决的问题。 域稳态响应分析所要解决的问题。 在控制理论发展初期，由于计算机还没有充分发展， 在控制理论发展初期，由于计算机还没有充分发展，时域 瞬态响应分析只限于较低阶次的简单系统。 瞬态响应分析只限于较低阶次的简单系统。随着电子计算机的 不断发展，很多复杂系统可以在时域直接分析， 不断发展，很多复杂系统可以在时域直接分析，使时域分析法 在现代控制理论中得到了广泛应用。 在现代控制理论中得到了广泛应用。
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s1.2 nn 21
1 1 不相等正实根
Xos
s
n2
s1s
s2
1 s
x o(t)
ab c
s ss1 ss2
求出 a,： b,c
e e xotab s1tc s2t 1t 0
0
1
单调发散
5.0 负阻尼 s1.2 nn 21
2 -10 共轭复根
x o(t)
0
1 0
0
发散振荡
t
j
[s]
s1.2 n jn 1 2
0
n
1
此
时Xo： ssn2n2
1 s
不振荡
a
s
b2
sn
2P54 图s3b-111 n临
界 阻尼 二 阶
系 统单 位 阶
跃
响应 曲 线
求出 a,2： ,bb 1
e e xot1nt nt nt 1t
一、二阶系统的单位阶跃响应
4.1 过阻尼
s 1.2
a
0
t
2.
其 中 a为 常 数a，1当 时 ，
为单位阶跃函数。
2 斜坡函数
xi
t
0 { at
,
t 0 t 0
a
01
t
其 中 a为 常 数a，1当 时 ， 为单位斜坡函数。
3 加速度函数
xi
t
0
{ a
t2
,
t 0 t 0
0
t
其 中a为常数，a当 1时 ， 2
称为单位加速度函数。
4 脉冲函数
0
t 0 或t t0
xot
d t xtt t T Te T t 1 t
dt d
dt
1 t
t
x1t 1eT t 1 t
xt T 1eT t 1t
二阶系统的瞬态响应
X Xoisss22n n2sn2
T2s2
1
2Ts1
Xi
s
Es
×
-
ss
n2 2
n
Xos
- 阻尼比 n 无阻尼自然
振荡角频率
Xi s
n2
a t0
lim xit { a
t t00 0
0t t0
其中a为常数
0 t0
t
因 于此无脉穷冲小高，度脉趋冲于 面无 积穷 为大a，。持当续a时间1趋时，
称为单位脉冲函数，又称 函数。
0
t 0 或t t0
t
t{lt0i0mt10
0tt0
且 0tdt1 0 0-
t函数的重要性质：
Lt1
必须明确含 t 的拉氏变换的
1
1 s
1 s
1 s 1
T
T
e xot1
T1t1t
一阶系统的单位阶跃响应曲线
xo t
1
0.632
B A
结论：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
1 一阶系统总是稳定的； 0 T 2T 3T 4T 5T t 2 可用实验方法测 T；
3 经过3~4T，响应已达
e xo t
1
T1t1t
Xis s Xos
XossXis
xotL1XosL1sXis
比较各种系统对这 各种 规定一些特殊的 些试验信号的响应 系统 试验输入信号
时域响应及典型输入信号
时域响应包括：（以阶跃输入为例）
xo t xi t
t
瞬态响应 稳态响应
常见的典型输入信号：
1. 阶跃信号
xi t
0 { a
,
t 0 t 0
积分下限
e e L tt sd t t0 t sd t 1 t
0
0
积分下限必须是 0
5 正弦函数
xit
as {
0
i nt
0t t0
a
0
t
究竟采用哪种典型信号？
取决于系统在正常工作情况下最常 见的输入信号 形式。 斜坡信号 随时间逐渐变化的输入 阶跃信号 突然的扰动量、突变的输入 脉冲信号 冲击输入 正弦信号 随时间往复变化的输入
一、二阶系统的单位阶跃响应
2. 0
无阻尼
s1.2 n jxo(t)n 1 2
0
jn
此时X： oss2n2n2
1 s
0
等幅振荡
1s
2
s s P54
2 图 3-13n零 阻尼 二 阶
系统单 位阶
跃
响应 曲
线
x o t 1 co n t1 s t
一、二阶系统的单位阶跃响应
3. 1 临界阻尼xo(t)
瞬态性能指标是以阶跃信号为典型 输入信号定义的。
一阶系统的瞬态响应
Xos Xi s
1 Ts1
Xi s ×Es 1
-
Ts
1t 1
s
t
1 s2
s
?
Xos
一、一阶系统的单位阶跃响应
xit1t
Xis1 s
X osX X o is sX isT1 s11 s
1
T s
e T
三、一阶系统的单位脉冲响应
x itt X is 11
XosX Xo issXisT1 s1
s
T
1
xo
t 1
T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
e xotT1
T1t1t T
1
0 .368
T
A B
0 T 2T 3T 4T 5T t
Xi s
1
Xos
Ts 1
xi t
s s22
nsn2
求出 a,b ： ,c
n
n
jn 1 2
0
jn 12
e e
xot1
n tcodst
12
n ts
in dt1tgt
1 2
1e1 n t2si ndt1t
0.2
0.4 0.6
x0( t )
0.8
衰减振荡
e
nt
xot1
12
si ndt1t
tp w nt
xo(t)
n
n
21
0
此时 Xos： ss 1n s2s21 s
1
不振荡
ab c
s ss1 ss2
动态过程更长
求出 a ,： b ,cP54 图 3-12 过阻 尼 二 阶 系统单 位阶 跃 响应 曲 线
e e xotab s1tc s2t 1t
一、二阶系统的单位阶跃响应
5.0 负阻尼
[s]
s2 2nsn2
Xos
二阶系统特征方程：
s22 nsn20
特征方程的根：
s1.2 nn 21
[s]
1 1 s1 .2 nn 2 1
0
21 s1.2n
0
30 1s 1 .2 n jn1 2
0
4 0 s1 .2 j n
0
一、二阶系统的单位阶跃响应
1.0 1 欠阻尼
[s]
此s时 1.X 2os： asn2n 2j jn n bd2sn s 1cn 21 s2
稳态值的95%~98%
4
dxot
dt
t0
1 T
二、一阶系统的单位斜坡响应
xitt
Xiss12
X osX X o is sX isT1 s1s1 2
1
T s
1
1 s2
1 s2
T s
s
T
1
T
T
e xottTT
T 1t1t
一阶系统的单位斜坡响应曲线
eT
xitt
e xottTT
T 1t1t
0
t
e e etxitxott tTTT 1t T 1T 1t
补充习题：
1
0
2
0
1
3
0
0
t
4
0 1、根据特征根在S平面的分布，
画出单位阶跃响应，并标出对
应的序列号；
5
0
2、指出各响应属于哪种形式：
6
0
（单调上升 衰减振荡 等幅振荡 发散振荡 单调发散）
二、二阶系统的性能指标
X os sX is