高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系同步练习含解析
【配套K12】高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2两条直线的位置关系练习新人教B版必修2
2.2.2 直线方程的几种形式1在同一平面直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a的图象正确的是(),a在两个方程中分别表示斜率和纵截距,它们的符号应一致.逐一判断知A,B,D项均错,只有C项正确.2下列命题:①--=k表示过定点P(x0,y0)且斜率为k的直线;②直线y=kx+b和y轴交于点B,O是原点,那么b=|OB|;③一条直线在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,那么该直线的方程为=1;④方程(x1-x2)(y-y1)+(y2-y1)(x-x1)=0表示过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的直线.其中错误命题的个数是()A.0B.1C.2D.3不是点斜式,因为它不包含点(x0,y0);②b≠|OB|,b是点B的纵坐标,可正、可负、可为零;③当a=b=0时,直线方程不能写成=1;④正确,这是两点式的变形形式,其可以表示过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的所有直线.3已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则()A.b>0,d<0,a<cB.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>cD.b<0,d>0,a<c,变形得l 1:y=-x-,l 2:y=-x-,由图象知 - ---4过点P (3,2)的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为6的直线有( ) A.1条B.2条C.3条D.4条分析：此题会比较简单,符合条件的直线有两种情况(如图).若直线经过第一、二、四象限,此时三角形面积一定大于长与宽分别为3与2的矩形的面积,即大于6,不符合条件. 5直线2x-y+4=0在两坐标轴上的截距之和是( ) A.6B.4C.3D.2x=0得y=4;令y=0得x=-2,于是截距是4+(-2)=2. 6如果直线经过点A (1,4),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍,那么直线的方程为( ) A.2x+y-9=0B.y=4xC.y=4x 和2x+y-9=0D.y=4x和x+2y-9=0,直线在x 轴、y 轴上的截距都是0,符合题意,设其方程为y=kx ,又直线经过点A (1,4),所以4=k ,即方程为y=4x.当直线不经过坐标原点时,设其方程为=1,又直线经过点A (1,4),所以=1,解得a=,此时直线方程为=1,即x+2y-9=0.故所求直线方程为y=4x 或x+2y-9=0.7若一条直线经过点M (2,1),且在两坐标轴上的截距之和是6,则该直线的方程为 .,设直线在x 轴上的截距为a ,则其在y 轴上的截距为6-a.于是我们可列出此直线的截距式方程为- =1,代入点M 的坐标(2,1),得到关于a 的一元二次方程,解得a=3或a=4,从而得到直线的方程为=1或=1,化为一般式方程即为x+y-3=0或x+2y-4=0.3=0或x+2y-4=08已知直线l 过点P (-2,3),且与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点.若P 点恰为线段AB 的中点,则直线l 的方程为 .l 的斜率为k ,则其方程为y-3=k (x+2).令y=0得x=--2;令x=0,得y=2k+3,因此A -- ,B (0,2k+3).因为P 是AB 的中点,所以--=-2,且=3,解得k=.因此l 的方程为3x-2y+12=0.x-2y+12=09经过点(-2,1),且斜率与直线y=-2x-1的斜率相等的直线方程为 .y=-2x-1的斜率为-2,则所求直线的斜率也是-2,故其方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.x+y+3=010若直线2x+3y+m=0经过第一、二、四象限,则实数m 的取值范围是 .y=-x-m ,则-m>0,即m<0.11设直线l 的方程为(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m 的值. (1)经过定点P (2,-1); (2)在y 轴上的截距为6; (3)与y 轴平行; (4)与x 轴平行.点P 在直线l 上,即P (2,-1)适合方程(m 2-2m-3)x+(2m 2+m-1)y=2m-6,把点P 的坐标(2,-1)代入,得2(m 2-2m-3)-(2m 2+m-1)=2m-6,解得m=.(2)令x=0,得y=- -,由题意知--=6,解得m=-或m=0.(3)与y轴平行,则有---解得m=.(4)与x轴平行,则有---解得m=3.★12已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.方法一)将直线l的方程整理为y-=a-,∴l的斜率为a,且过定点A,而点A在第一象限,故不论a为何值,直线l恒过第一象限.(方法二)直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0.由于上式对任意的a总成立,必有--则有即l过定点A,以下同方法一.OA的斜率为k=--=3.要使l不经过第二象限,需它在y轴上的截距不大于零,即令x=0时,y=--≤0,故a≥3.★13已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上求一点P,使得|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.,作点A(2,5)关于y轴的对称点A',则其坐标为(-2,5),在y轴上任取一点P,由对称的知识易知|PA'|=|PA|.则求|PA|+|PB|的最小值,即求|PA'|+|PB|的最小值.由平面几何知识知,当A',P ,B 三点共线时,|PA'|+|PB|最小,由两点式得A'B 所在直线的方程为-- - ,即2x+y-1=0. 令x=0,得y=1,故所求点P 的坐标为(0,1). 此时,(|PA|+|PB|)min =|A'B|= - -=6 .。
全国通用版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系练习新人教B版必修220181113315
2.2.3 两条直线的位置关系1若直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1与l2只有一个公共点,则()A.A1B1-A2B2=0B.A1B2-A2B1≠0C.D.2如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么a等于()A.-3B.-6C.-D.3已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5AB的中点坐标为,又因为直线AB的斜率k==-,所以线段AB的垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即4x-2y=5.4已知点A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则直线l的方程是()A.5x+6y-11=0B.5x-6y+1=0C.6x+5y-11=0D.6x-5y-1=05已知l平行于直线3x+4y-5=0,且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24,则直线l的方程是()A.3x+4y-12=0B.3x+4y+12=0C.3x+4y-24=0D.3x+4y+24=0l的方程是3x+4y-c=0,c>0,由题意,知=24,所以c=24.6若过点A(4,m),B(m,-2)的直线与直线x+2y+2=0垂直,则m的值为.AB垂直于直线x+2y+2=0,又因为直线x+2y+2=0的斜率为-,所以直线AB的斜率k AB==2,即m=2.7设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则a=,b=.38若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则的值等于.A在第一象限,点B在x轴上,点C在y轴上,因此三点所在的直线斜率存在,因此直线AB的斜率与直线BC的斜率相等,从而将题意转化为关于a和b的等式,再进一步整理求出的值.根据题意,得2a=b(a-2),整理得.9直线l与直线3x-2y=6平行,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的方程为.l的斜率k=,设直线l的方程为y=x+b.令y=0,得x=-,∴--b=1,解得b=-.∴直线l的方程为y=x-,即15x-10y-6=0.x-10y-6=010直线l过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3x-2y+4=0平行,求直线l的方程.方法一)联立方程解得即直线l过点(-1,3),由直线l与直线3x-2y+4=0平行得直线l的斜率为,故直线l的方程为y-3=(x+1), 即3x-2y+9=0.(方法二)因为直线x+y-2=0不与3x-2y+4=0平行,所以可设符合条件的直线l的方程为x-y+4+λ(x+y-2)=0,整理得(1+λ)x+(λ-1)y+4-2λ=0.因为直线l与直线3x-2y+4=0平行,所以,解得λ=,故直线l的方程为x-y+=0,即3x-2y+9=0.★11光线沿着直线x-2y+1=0射入,遇到直线l:3x-2y+7=0即发生反射,求反射光线所在的直线方程.x-2y+1=0上任一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P'(x,y),因为PP'⊥l,所以=-.所以=-.①又因为PP'的中点M在l上,所以3-2+7=0.②由方程①②,可得点P的坐标为.所以x-2y+1=0关于直线l的对称直线的方程为-2+1=0.整理得29x-2y+85=0.故反射光线所在的直线方程为29x-2y+85=0.★12已知A(-3,5),B(2,15),直线l:3x-4y+4=0,在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小,并求出最小值.,设点A关于直线l的对称点为A'(x0,y0).∵AA'⊥l,∴AA'的中点在直线l上,∴即解得∴点A'的坐标为(3,-3).由|PA|=|PA'|知|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|.又当B,P,A'三点共线时,|PA'|+|PB|的值最小,即使|PA|+|PB|的值最小.由两点式可得A'B的方程为,即为18x+y-51=0.又∵点P应是A'B与l的交点,∴解方程组得∴所求点P的坐标为.最小值为|A'B|==5.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系(1)导学案(无答案)新人教B版必
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两条直线的位置关系 （一)预习准备:1.直线方程的一般式，点斜式，斜截式2。
直线Ax+By+C=0的斜率，纵截距预习目标：直线位置关系的条件及简单应用预习内容:教材81页——84页预习检验1。
直线012431=--=-y x y x 与的交点坐标为2。
判断下列各对直线的位置关系1::14:)4(03:;012:)3(0486:;0243:)2(014:;0243:)1(21212121-=-==+=-=-+=-+=+-=-+x y l x y l x l x l y x l y x l y x l y x l3.过点P （-1,2）,与直线121+=x y 平行的直线方程为与x 轴平行的直线方程为与x=2平行的直线方程为4.直线0532,01=-+=++y x y ax 与直线平行时，a=2.2.3 两条直线的位置关系 (一）课堂探究例11.已知直线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l ，求证:当21C C ≠时，21l l 与平行变式：若直线的方程用斜截式表示，那么两条平行直线的方程可设为：例2 设直线,023)2(:,06:221=++-=++m my x m l y m x l 当m 为何值时，21l l 与1. 相交2.平行 3。
(人教版,必修二)高中数学：第二章 点、直线、平面之间
2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础达标1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α.②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对①②⑤，均不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.2．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面() A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在答案 B解析若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．3．(2014·淮北高一检测)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°答案 C解析如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．4．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交答案 C解析 取BD 中点O ， 连接AO ，CO ， 则BD ⊥AO ，BD ⊥CO ， ∴BD ⊥面AOC ，BD ⊥AC ， 又BD 、AC 异面，∴选C.5．已知△ABC 所在平面外一点P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影是△ABC 的________． 答案 外心解析 P 到△ABC 三顶点的距离都相等，则点P 在平面ABC 内的射影到△ABC 三顶点的距离都相等，所以是外心．6．(2014·舟山高一检测)如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．答案 4 解析⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BCAC ⊥BC P A ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .证明 如图，连接AC ，所以AC ⊥BD . 又∵BD ⊥A 1A ，AC ∩AA 1＝A ， AC ，A 1A ⊂平面A 1AC ， ∴BD ⊥平面A 1AC .∵A 1C ⊂平面A 1AC ，∴BD ⊥A 1C . 同理可证BC 1⊥A 1C .又∵BD ∩BC 1＝B ，BD ，BC 1⊂平面BC 1D ， ∴A 1C ⊥平面BC 1D . 二、能力提升8．(2014·青岛高一检测)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.265C.155D.105答案 D解析 如右图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接A 1C 1、B 1D 1，交于O 点，连接OB ，由已知A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，OC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴OC 1⊥BB 1.而BB 1∩B 1D 1＝B 1，∴OC 1⊥平面BB 1D 1D .∴OB 是BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影． ∴∠C 1BO 是BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角． 在正方形A 1B 1C 1D 1中， OC 1＝12A 1C 1＝1222＋22＝ 2.在矩形BB 1C 1C 中，BC 1＝BC 2＋CC 21＝4＋1＝ 5.∴sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝25＝105.9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，则AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________． 答案105解析 如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC1D 1于O ，连接AO .由已知正方体易知EO ⊥平面ABC 1D 1，所以∠EAO 为AE 与平面ABC 1D 1所成的角，设正方体棱长为1，在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12A 1D ＝22，AE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52，sin ∠EAO ＝EO AE ＝105.所以直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105.10.如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a >0)，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 因为P A ⊥平面AC ，QD ⊂平面AC ，所以P A⊥QD.又因为PQ⊥QD，P A∩PQ＝P，所以QD⊥平面P AQ，所以AQ⊥QD.①当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.11.(2014·南昌高一检测)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解连接A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，又D1E⊂面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF.连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF.∵ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.三、探究与创新12．已知：α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R，求证：QR⊥AB.证明如图，∵α∩β＝AB，PO⊥β于O，∴PO⊥AB.∵PQ⊥α于Q，∴PQ⊥AB.∵PO∩PQ＝P，∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α于R，∴PQ∥OR.∴PQ与OR确定平面PQRO.即AB⊥平面PQRO.又∵QR⊂平面PQRD，∴QR⊥AB.13．已知四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值．解过点A作AO⊥平面BCD，连接OD，OB，OC，可知O是△BCD的中心．作QP⊥OD，如图所示．∵QP∥AO，∴QP⊥平面BCD.连接CP，则∠QCP即为CQ与平面DBC所成的角．设四面体的棱长为a，∵在正△ACD中，Q是AD的中点，∴CQ＝32a.∵QP∥AO，Q是AD的中点，O为△BCD的重心，∴QP＝12AO＝12a2－⎝⎛⎭⎪⎫23×32a2＝1 2×63a＝66a，即sin∠QCP＝QPCQ ＝23.∴CQ与平面DBC所成角的正弦值为23.。
高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系平行练习新人教B版必修2
直线l1的斜率为k1＝－ ，直线l2的斜率为k2＝ ，又两直线平行，则 ，解得a＝ .
综上，可得a＝0或 .
能力提升
12．(5分)如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是()
A．－ B．－3
4．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m的值是()
A．－8 B．0
C．2 D．10
答案：A
解析：由题意可知kAB＝ ＝－2，所以m＝－8.
5．直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0相பைடு நூலகம்于第一象限，则实数a的取值范围是()
A．－1＜a＜2 B．a＞－1
C．a＜2 D．a＜－1或a＞2
第20课时2.2.3两条直线的位置关系——平行
课时目标
1.理解两条直线相交、平行、重合的条件，并会用这些条件判断两条直线的位置关系．
2．掌握两条直线垂直的条件，并能用这些条件判断两直线是否垂直．
3．理解两条直线的三种位置关系(平行、相交、重合)与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系．
三、解答题
10．(12分)分别判断下列两直线的位置关系，若两直线相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：x－3y＋2＝0，l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
解：(1)因为方程组 的解为 ，
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．
答案：3x＋y＋9＝0
解析：由题意，知直线l的斜率为－3，且在x轴上的截距为－3，所以直线l的方程为y－0＝－3[x－(－3)]，即3x＋y＋9＝0.
_新教材高中数学第二章平面解析几何2
A．－
3 3
B．
3 3
C．－ 3
D． 3
解析：∵k1＝tan 30°＝
3 3
，
又l1⊥l2，∴k1·Hale Waihona Puke 2＝－1，∴k2＝－ 3 .
答案：C
3．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为
A．－8 C．2
B．0 D．10
()
解析：由已知，得4m－＋m2 ＝－2，∴m＝－8.
顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．” 解：由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图， 由斜率公式可得kAB＝2－（5－－34） ＝13 ，kCD＝－0－ 3－36 ＝13 ，kAD ＝－3－0－（－3 4） ＝－3，kBC＝36－ －52 ＝－12 . 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与 BC不平行． 又因为kAB·kAD＝13 ×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
(2)若l1∥l2，则有AB11BC22－ －AB22BC11＝ ≠00， ， 即32－ m2m－（18m≠－02，）＝0， 即mm22－ ≠29m，－3＝0， 即mm＝ ≠33或 且mm＝ ≠－ －13， ， ∴m＝－1.故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (3)若l1与l2重合，则有AB11BC22－ －AB22BC11＝ ＝00， ， 即32－m2m－（18m＝－02，）＝0， ∴mm＝ ＝33或 或mm＝ ＝－ －13， ， ∴m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合．
当两条直线都没有斜率时，它们互相平行或重合；当两条直线中有一条直 线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直．
高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.3知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一、学习任务认识和理解空间中线面垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单空间的垂直关系 点面距离三、知识讲解1.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记作．直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．l αl αl ⊥αl ααl P a b ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥β例题：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：，，，．a ⊥αb ⊥α⇒a ||b α⊥βα∩β=CD AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；②若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；③若直线 不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；④若直线 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线 与平面 内的无数条平行直线垂直时， 与 不一定垂直，所以①不正确；当 与 内的一条直线垂直时，不能保证 与平面 垂直，所以②不正确；当 与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．l αl ⊥αl αl ⊥αl ααl l ααl l αl αl αl αl αl α如图，三棱锥 中，，底面 的斜边为 ， 为 上一点．求证： ．证明：因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．又 ，所以 ．P −ABC P A ⊥平面 ABC Rt△ABC AB F P C BC ⊥AF P A ⊥平面 ABC BC ⊂平面 ABC P A ⊥BC AC ⊥BC AC ∩P A =A BC ⊥平面 P AC AF ⊂平面 P AC BC ⊥AF 如图，已知四棱锥 ，底面 是菱形，，，，点 为 的中点．求证：．P −ABCD ABCD ∠DAB =60∘P D ⊥平面 ABCD P D =AD E AB 平面P ED ⊥平面 P ABAB⊂平面P AB又 ，所以3P C⊥AC C，求点 到平面P A⊥ABCD高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系 第1课时 两条直线相交、平行与重
第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件1．了解平面内两条直线的位置关系． 2．理解直线相交、平行、重合的概念． 3．会求两条直线的交点． 4．掌握两直线相交、平行、重合的判定方法．两条直线相交、平行与重合的条件 (1)代数方法判断两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下： 方程组的解位置 关系交点个数代数条件无解平行无交点A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(A 2C 1－A 1C 2≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 有唯一解相交有一个交点 A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)有无数个解重合无数个 交点A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)(2)几何方法判断两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系，也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断．具体判断方法如表所示．位置关系平行重合相交图示k ，b 满足条件k 1＝k 2且b 1≠b 2k 1＝k 2且b 1＝b 2k 1≠k 21．若两条直线平行，斜率一定相等吗？解：不一定．例如直线x ＝3和x ＝－2平行，但是，两条直线斜率不存在． 2．判断下列各组中两条直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2． 解：(1)因为32≠－1－6＝16，即A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋4，2x －6y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12．(2)把l 2化为一般式为x －3y ＋2＝0． 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2＝2， 所以l 1与l 2重合． (3)因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2， 所以l 1与l 2平行．判断直线的位置关系判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2，1)，l 2经过点M (3，4)，N (－1，－1)； (2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1，1)，B (2，2)；(3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点M (－1，3)，N (2，0)； (4)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5，5)．【解】 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，因为k 1≠k 2，所以l 1与l 2不平行． (2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，则有k 1＝k 2．又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠－1，即A ，B ，M 不共线， 故l 1∥l 2．(4)由已知点的坐标，得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合，故有l 1∥l 2．当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜率均不存在时，则两直线重合或平行．解答此类问题应考虑周全．已知P (－2，m )，Q (m ，4)，M (m ＋2，3)，N (1，1)，若直线PQ ∥直线MN ，求m 的值．解：由题意可知，直线PQ 和MN 的斜率显然都存在． 因为PQ ∥MN ，所以k PQ ＝k MN ． 即4－m m ＋2＝1－31－(m ＋2)，解得m ＝0或1． 利用两直线平行的条件求参数已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0．问：当m 为何值时，l 1与l 2(1)平行；(2)重合？ 【解】 (1)因为l 1∥l 2， 所以3－m (m －2)＝0． 即m 2－2m －3＝0． 所以m ＝－1或m ＝3．经检验当m ＝3时两直线重合，故m ＝3舍去． 所以m ＝－1．(2)由(1)可知当m＝3时两直线重合．利用两直线相交、平行、重合的条件进行判断时要根据题目合理选择，要特别注意系数为0和不为0，直线的斜率存在和不存在的情况，可进行分类讨论．已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件(1)l1与l2相交；(2)l1∥l2；(3)l1与l2重合？解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4即m－2≠±2，所以当m≠4且m≠0时l1与l2相交．(2)由A1B2－A2B1＝0得m＝0或m＝4，当m＝0时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2；当m＝4时，两直线方程为2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此时l1∥2．故m＝0或m＝4时，两直线l1∥l2．(3)由(2)知，直线l1与l2不可能重合．求直线方程已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A和直线l平行的直线方程．【解】设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，由(2，2)在直线l上，可得3×2＋4×2＋C＝0，所以C＝－14．所以过点A与直线l平行的直线方程为3x＋4y－14＝0．直线方程的设法(1)直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这是经常采用的解题技巧．(2)经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．解：法一：设直线l 的斜率为k ，因为直线l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，所以k ＝－34．又因为直线l 过点(1，2)，所以所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0．法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，因为直线l 过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11，所以所求直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0．1．判断两条直线是否平行的步骤2．平行直线的求法(1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值；(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－13D ．13解析：选B ．因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3．2．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合D ．不确定解析：选B ．直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠0， 所以l 1∥l 2．3．直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是 ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xx ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，所以交点坐标为(1，2)． 答案：(1，2)4．直线l 过A (1，1)点且与过B (2，5)，C (3，－1)两点的直线平行，则直线l 的方程为 ．答案：6x ＋y －7＝0[学生用书P115(单独成册)])[A 基础达标]1．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合解析：选C ．当k ＝12时，两直线重合，当k ≠12时，两直线平行．2．经过点A (1，1)和点B (－3，2)的直线l 1与过点C (4，5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝( )A ．1B ．4C ．52D ．44解析：选C ．因为k 1＝2－1－3－1＝－14，又l 1∥l 2，所以k 2＝－7－5a －4＝－14，故a ＝52．3．已知两平行直线的斜率是方程2x 2－4x ＋m －1＝0的两实根，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3解析：选C ．由题意知方程2x 2－4x ＋m －1＝0的两实根相等，所以Δ＝(－4)2－4×2×(m －1)＝0．解之得m ＝3．4．如果直线l 1：2x －ay ＋1＝0与直线l 2：4x ＋6y －7＝0平行，则a 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．0解析：选B ．因为l 1∥l 2，所以2×6－(－a )·4＝0，解得a ＝－3．5．若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠±1 B ．a ≠1，a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠±1，a ≠2解析：选A ．因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3，0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形．所以a ≠±1．6．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝ ．解析：由题意得tan 45°＝a ＋13＋2，解得a ＝4．答案：47．过l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0的直线方程为 ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y －10＝0x ＋y ＋1＝0得交点为(58，－138)，又l 3的斜率为－12，所以所求直线方程为y ＋138＝－12(x －58)，得8x ＋16y ＋21＝0． 答案：8x ＋16y ＋21＝08．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a，1，直线l 2经过点M (1，1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为 ．解析：由题意得l 1∥l 2，则1＋1－4a－0＝－2－10－1，解得a ＝－6． 答案：－69．求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点A (3，2)，且与直线4x ＋y －2＝0平行；(2)经过点C (2，－3)，且平行于过点M (1，2)和N (－1，－5)的直线．解：(1)设所求直线的方程为：4x ＋y ＋m ＝0．又过点A (3，2)，所以4×3＋2＋m ＝0，所以m ＝－14，所以所求直线的方程为4x ＋y －14＝0．(2)因为M (1，2)，N (－1，－5)， 所以k MN ＝2－(－5)1－(－1)＝72．又所求直线与过M 、N 的直线平行，故可设所求直线的方程为y ＝72x ＋b ．又直线过点C (2，－3)，所以－3＝72×2＋b ，所以b ＝－10．所以所求直线的方程为y ＝72x －10．即7x －2y －20＝0．10．光线从点A (－3，4)射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的点C ，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1，6)，求光线BC 所在直线的斜率．解：设B (a ，0)，C (0，b )，过点B 、C 作两条法线交于点E ， 则∠E ＝90°．所以∠ECB ＋∠EBC ＝90°， 所以2∠ECB ＋2∠EBC ＝180°． 由入射角等于反射角，得∠DCB ＋∠ABC ＝180°， 所以AB ∥CD ． 所以k AB ＝k CD ，即－4a ＋3＝b －6． ①由入射角等于反射角，还可得直线AB 的倾斜角与直线BC 的倾斜角互补， 所以k AB ＝－k BC ，即－4a ＋3＝－b－a． ②解①②得a ＝－75，b ＝72．所以B (－75，0)，C (0，72)．所以k BC ＝52．[B 能力提升]11．已知过A (－2，m )和B (m ，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10解析：选A ．由题意可知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8．12．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为 ．解析：依题意，直线CD 的斜率k CD ＝k AB ＝8－06－(－2)＝1，且过C (8，6)，则CD 的方程为y －6＝1×(x －8)，即x －y －2＝0．直线AD 的斜率为k AD ＝k BC ＝6－88－6＝－1，且过点A (－2，0)，则AD 的方程为y ＝－1×(x ＋2)，即x ＋y ＋2＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0x ＋y ＋2＝0得D (0，－2)． 答案：(0，－2)13．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0．试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2．解：(1)因为m 2－8＋n ＝0且2m －m －1＝0，所以m ＝1，n ＝7． (2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4． 由8×(－1)－n ·m ≠0，得n ≠∓2．即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2．14．(选做题)已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0，1)，B (1，0)，C (4，3)，求顶点D 的坐标．解：设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ， 则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ．所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3，4)．。
高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系同步练习含解析新人教B版必修2
高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3两条直线的位置关系同步练习含解析新人教B版必修21．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或22．由直线2x－y＋2＝0，x－3y－3＝0和6x＋2y＋5＝0围成的三角形为( )．A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0，x，y R}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y R}，则集合A B 的元素个数是( )．A．0 B．1C．2 D．34．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )．A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)5．若直线l经过点M(a－2，－1)和N(－a－2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为23-的直线垂直，则实数a的值为( )．A．23- B．32-C．23D．326．已知直线l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0，若l1，l2，l3只有两个交点，则m＝__________.7．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长度为5，求直线l的方程．8．(1)求点A(3,2)关于点B(－3,4)的对称点C的坐标；(2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；(3)求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．9.求证：不论m取何值，直线(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒过一定点．参考答案1.答案：C2.答案：A3.答案：B4.答案：C解析：如图，作出直线x ＋y －1＝0的图象，它与x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)、(0,1)，直线y ＝kx －1过点(0，－1)，因此，直线y ＝kx －1与直线x ＋y －1＝0的交点在第一象限时，k ＞1，故选C ．5. 答案：A6. 答案：－1或12- 解析：∵l 1与l 2相交，则只需l 1∥l 3或l 2∥l 3．7. 解：设直线l 与l 1、l 2的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0，两式相减得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5，①∵|AB |＝5，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25，②联立①②可得：121250x x y y -=⎧⎨-=⎩，或121205.x x y y -=⎧⎨-=⎩，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°，故所求直线的方程为x ＝3或y ＝1．8. 解：(1)设C (x ，y )，由中点坐标公式得33,224,2x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得 9,6,x y =-⎧⎨=⎩故所求的对称点的坐标为C (－9,6)． (2)设直线l 上任一点为(x ，y )，它关于点P (2，－1)的对称点(4－x ，－2－y )在直线3x －y －4＝0上．∵3(4－x )－(－2－y )－4＝0，∴3x －y －10＝0.∴所求直线l的方程为3x－y－10＝0.(3)设B(a，b)是A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，根据直线AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0上，则有121,2222 2490, 22baa b-⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-⨯+=⎪⎩解得a＝1，b＝4．∴所求的对称点坐标为(1,4)．9. 证明：证法一：取m＝0，得直线x＋3y－11＝0，取m＝1，得直线x－4y＋10＝0，解方程组3110,4100, x yx y+-=⎧⎨-+=⎩得两直线的交点为(2,3)，将(2,3)代入原方程有(2m－1)×2－(m＋3)×3－m＋11＝0恒成立．∴不论m取何值，直线(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒过定点(2,3)．证法二：将原方程变形为(2x－y－1)m－(x＋3y－11)＝0，若对任意的m R，上式恒成立，则210,3110,x yx y--=⎧⎨+-=⎩解得2,3, xy=⎧⎨=⎩∴直线(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒过定点(2,3)．。
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究(含解析)北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修2课后篇巩固探究A组基础巩固1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.答案A2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.答案B3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或3解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.答案C4.已知点A(1,2),B(3,1),线段AB的中点D,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0解析因为k AB==-,所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点D为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.答案B5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对解析由斜率公式可得k AB=k CD=,而k AD=-3,k BC=-.所以AB∥CD,且AD与BC不平行.所以四边形ABCD为梯形.又k AD·k AB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.答案B6.已知A(3,),B(2,0),直线l与AB平行,则直线l的倾斜角为.解析由已知得k AB=,因此k l=k AB=.因为tan60°=,所以直线l的倾斜角为60°.答案60°7.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是.解析依题意设点Q的坐标为(a,b),则有解得故点Q的坐标为(2,3).答案(2,3)8.已知l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则下列说法正确的是(填序号).①若l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0②若l1⊥l2,则=-1③若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2④若=-1,则l1⊥l2.解析当B1,B2均不为0时,由两条直线垂直可得-=-1,即A1A2+B1B2=0;当B1=0,A2=0或A1=0,B2=0时,两条直线也垂直,并满足A1A2+B1B2=0.由此可知①③④正确,②错.答案①③④9.(1)求与直线5x+3y-10=0平行且与x轴的交点到原点的距离为2的直线方程;(2)求经过点(0,2)且与直线l:2x-3y-3=0垂直的直线方程.解(1)设直线方程为5x+3y+m=0(m≠-10).因为直线与x轴的交点到原点的距离为2,且直线与x轴的交点为,所以=2,解得m=±10.又因为m≠-10,所以m=10,所以直线方程为5x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线l:2x-3y-3=0垂直,所以可设所求直线的方程为3x+2y+m=0.又因为所求直线过点(0,2),所以4+m=0,解得m=-4,故所求直线的方程为3x+2y-4=0.10.导学号91134044已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点.(1)求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD;(2)判断此时四边形ACBD的形状.解(1)如图,设D(x,y),则由CD⊥AB,BC∥AD,可知得解得即点D坐标为(0,1).(2)∵k AC=,k BD=,∴k AC=k BD.∴AC∥BD,∴四边形ACBD为平行四边形.而k BC==-2,∴k BC·k AC=-1.∴AC⊥BC,∴四边形ACBD是矩形.∵DC⊥AB,∴四边形ACBD是正方形.B组能力提升1.若过点A(-2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.3C.2D.解析由已知k AB=k PQ,得,解得m=3,故选B.答案B2.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直且垂足为(1,p),则m-n+p的值为()A.24B.20C.0D.-8解析因为l1⊥l2,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,又点(1,p)在l1上,所以10+4p-2=0,即p=-2,因为点(1,p)在l2上,所以2×1-5p+n=0,得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.答案B3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.当∠A=90°时,有b=a3;当∠B=90°时,有=-1,得b=a3+.故(b-a3)=0,选C.答案C4.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且直线l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=.解析依题意知,直线l的斜率为k=tan135°=-1,则直线l1的斜率为1,于是有=1,所以a=0.又直线l2与l1平行,所以1=-.即b=-2,所以a+b=-2.答案-25.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.解析所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则其斜率为-,可设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意可得b+b=,解得b=,所以所求直线的方程为y=-x+,即2x+3y-4=0.答案2x+3y-4=06.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=. 解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×m=-1,∴m=-;由l3⊥l2得1×m=-1,∴m=-.答案-或-7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O为坐标原点);(2)∠MPN是直角.解设P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴MO∥PN,∴k OM=k NP,又k OM==1,k NP=.∴=1,解得x=7,即点P为(7,0).(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴k MP·k NP=-1.∵k MP=,k NP=,∴=-1,解得x=1或x=6.∴P为(1,0)或(6,0).8.导学号91134045如图,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?解如图,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,∴k AC·k DM=-1,即=-1,解得x=.故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.。
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两条直线的位置关系
1．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．
A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2
2．由直线2x－y＋2＝0，x－3y－3＝0和6x＋2y＋5＝0围成的三角形为( )．
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝0，x，y R}，B＝{(x，y)|x－y＝0，x，y R}，则集合A B 的元素个数是( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
4．若直线l：y＝kx－1与直线x＋y－1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )．
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
5．若直线l经过点M(a－2，－1)和N(－a－2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为
2
3
-的直线垂
直，则实数a的值为( )．
A．
2
3
- B．
3
2
-C．
2
3
D．
3
2
6．已知直线l1：x－y－1＝0，l2：2x－y＋3＝0，l3：x＋my－5＝0，若l1，l2，l3只有两个交点，则m＝__________.
7．已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长度为5，求直线l的方程．
8．(1)求点A(3,2)关于点B(－3,4)的对称点C的坐标；
(2)求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程；
(3)求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．
9.求证：不论m取何值，直线(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒过一定点．
参考答案
1.答案：C
2.答案：A
3.答案：B
4.答案：C
解析：如图，作出直线x ＋y －1＝0的图象，它与x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)、(0,1)，直线y ＝kx －1过点(0，－1)，因此，直线y ＝kx －1与直线x ＋y －1＝0的交点在第一象限时，k ＞1，故选C ．
5. 答案：A
6. 答案：－1或12
- 解析：∵l 1与l 2相交，则只需l 1∥l 3或l 2∥l 3．
7. 解：设直线l 与l 1、l 2的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0，两式相减得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5，①
∵|AB |＝5，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝25，② 联立①②可得：121250x x y y -=⎧⎨-=⎩，或1212
05.x x y y -=⎧⎨-=⎩， 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°，故所求直线的方程为x ＝3或y ＝1．
8. 解：(1)设C (x ，y )，由中点坐标公式得33,224,2
x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得 9,6,
x y =-⎧⎨=⎩故所求的对称点的坐标为C (－9,6)． (2)设直线l 上任一点为(x ，y )，它关于点P (2，－1)的对称点(4－x ，－2－y )在直线3x －y －4＝0上．
∵3(4－x )－(－2－y )－4＝0，∴3x －y －10＝0.
∴所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
(3)设B(a，b)是A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，根据直线AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线2x－4y＋9＝0上，
则有
12
1,
22
22 2490, 22
b
a
a b
-
⎧
⨯=-
⎪⎪-
⎨
++
⎪⨯-⨯+=⎪⎩
解得a＝1，b＝4．∴所求的对称点坐标为(1,4)．9. 证明：证法一：取m＝0，得直线x＋3y－11＝0，取m＝1，得直线x－4y＋10＝0，
解方程组
3110,
4100, x y
x y
+-=⎧
⎨
-+=⎩
得两直线的交点为(2,3)，将(2,3)代入原方程有(2m－1)×2－(m＋3)×3－m＋11＝0恒成立．∴不论m取何值，直线(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒过定点(2,3)．
证法二：将原方程变形为(2x－y－1)m－(x＋3y－11)＝0，若对任意的m R，上式恒成立，
则
210,
3110,
x y
x y
--=
⎧
⎨
+-=⎩
解得
2,
3, x
y
=⎧
⎨
=⎩
∴直线(2m－1)x－(m＋3)y－m＋11＝0恒过定点(2,3)．。