常用逻辑用语高一数学

第02练 常用逻辑用语1.充分、必要条件的判断： (1)定义法：①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论； ②找推式：判断“q p ⇒”及“p q ⇒”的真假； ③下结论：根据推式及定义下结论.(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题。

(3)集合法：写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)}，利用集合之间的包含关系进行判断。

2.充要条件的证明：(1)证明充要条件时要分别证明充分性和必要性，二者缺一不可。

一般地，证明“p 成立的充要条件是q ”，①充分性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p ； ②必要性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ；(2)等价证明：从条件开始，逐步推出结论，或者从结论开始，逐步推出条件，但要求每一步都是等价的。

3.应用充分、必要条件确定参数：利用充分条件和必要条件求参数的取值范围、主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解。

4.判断全称量词命题、存在量词命题的真假：(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得)(0x p 不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”）.(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =；使)(0x p 成立即可。

否则，这一存在量词命题就是假命题。

一、单选题 1．“0a b >>”是“1ab>”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】解：由0a b >>，得1a b >，反之不成立，如2a =-，1b =-，满足1ab>，但是不满足0a b >>， 故“0a b >>”是“1ab>”的充分不必要条件．故选：B 2．命题“x ∀∈R ，23230x x -->”的否定为（ ） A ．x ∀∈R ，23230x x --≤B ．x ∀∉R ，23230x x --≤ C ．x ∃∈R ，23230x x --≤D ．x ∃∉R ，23230x x --≤ 【答案】C【解析】命题“x ∀∈R ，23230x x -->”的否定为x ∃∈R ，23230x x --≤，故选：C 。

3．已知命题p ：x ∃∈R ，tan si 12n x x ->，则p ⌝是（ ） A ．x ∃∈R ，tan si 12n x x -≤B ．x ∃∈R ，tan si 12n x x -< C ．x ∀∈R ，tan si 12n x x ->D ．x ∀∈R ，tan si 12n x x -≤ 【答案】D【解析】因为特称命题的否定为全称命题，所以p ⌝是x ∀∈R ，tan si 12n x x -≤.故选：D. 4．x A B ∈成立是x A ∈成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】解：∵x ∈A ∩B ⇒x ∈A ，当x ∈A 时，不一定有x ∈A ∩B ，x ∈A ∩B 成立是x ∈A 成立的充分不必要条件．故选：A ．5．已知命题0:p x R ∃∈，()200110x a x +-+<是假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．13a -≤≤B ．13a -<<C ．1a <-或3a >D ．1a ≤-或3a ≥ 【答案】A【解析】因为命题0:p x R ∃∈，()200110x a x +-+<是假命题，所以:p x R ⌝∀∈，()2110x a x +-+≥是真命题，于是有：2(1)4013a a ∆=--≤⇒-≤≤.故选：A. 6．下列命题中，假命题是（ ） A ．0a b +=的充要条件是1ab=-B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“0x R ∃∈，使得2010x x ++<”的否定是“x R ∀∈都有210x x ++≥” D ．命题“x R ∀∈，210x x ++≠”的否定是“0x R ∃∈，2010x x ++=” 【答案】A【解析】A. 当0b =时，1a b =-不成立，故不充分；当1ab=-可推出0a b +=，故必要，故错误；B. 由不等式的基本性质知1a >，1b >可推出1ab >，故充分，故正确；C.存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确；D. 全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确； 故选：A 二、填空题7．若()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使()()10g x f x =则实数a 的取值范围是________． 【答案】10,2⎛⎤⎥⎝⎦【解析】原问题等价于函数()g x 的值域是函数()f x 值域的子集．在[]1,2-上，二次函数()f x 的值域是()()[]1,11,3f f ⎡⎤-=-⎣⎦，0,a >∴单调递增的一次函数()g x 的值域是()()[]1,22,22g g a a ⎡⎤-=-+⎣⎦，则[]2,22a a -+⊆[]1,3-，则21a --且223a +，解得12a ．故答案为：10,2⎛⎤⎥⎝⎦． 8．已知函数()()21,f x x bx g x x x=-+=+．写出满足“()()()0,,g x f x x ∀∈+∞≤”的一个必要不充分条件为________．(注：写出一个满足条件的即可) 【答案】3b ≤（答案不唯一）【解析】若()()()0,,g x f x x ∀∈+∞≤可理解为()g x 始终在()f x 上方或恰好重合，已知()12g x x x=+≥，当且仅当1x =时取到等号，()f x 对称轴为2b x =，当012b <≤，即02b <≤时，()2max 14b f x =≤，显然()()g f x x ≤恒成立，如图：不妨取“()()()0,,g x f x x ∀∈+∞≤”的一个必要不充分条件为3b ≤，即023b b <≤⇒≤，但302b b ≤<≤.故答案为：3b ≤（答案不唯一） 9．从符号“⇒”“”“⇔”中选择适当的一个填空：（1）x A ∈_________x A B ∈； （2）x A B ∉_________x A B ∉；（3）()Ux A B ∈_________()()U Ux A B ∈； （4）()U x A B ∈_________()()U Ux A B ∈.【答案】⇒⇔⇔【解析】（1）令{}{}1,2,2,3A B ==，则{}2A B ⋂=，此时1A ∈，但1A B ∉，故x A∈x A B ∈；（2）()()A B A B ⊆，若x A B ∉，则必有x A B ∉，所以x A B ∉⇒x A B ∉；令{}{}1,2,2,3A B ==，则{}2A B ⋂=，{}1,2,3A B =，此时1A B ∉，但1A B ∈⋃，故x A B ∉x A B ∉；综上所述，x A B ∉⇒x A B ∉；（3）若()Ux A B ∈，则x A B ∉，则x A ∉且x B ∉，则Ux A ∈且Ux B ∈，则()()U Ux A B ∈，故()Ux A B ∈⇒()()U Ux A B ∈；若()()U Ux A B ∈，则Ux A ∈且Ux B ∈，则x A ∉且x B ∉，则x A B ∉，则()Ux A B ∈，故()()U Ux A B ∈⇒()Ux A B ∈；综上所述，()()U Ux A B ∈⇔()Ux A B ∈；（4）若()Ux A B ∈，则x A B ∉，则x A ∉或x B ∉，则Ux A ∈或Ux B ∈，则()()U Ux A B ∈，故()Ux A B ∈⇒()()U Ux A B ∈；若()()U Ux A B ∈，则U x A ∈或Ux B ∈，则x A ∉或x B ∉，则x A B ∉，则()Ux A B ∈，故()()U Ux A B ∈⇒()Ux A B ∈；综上所述，()()U Ux A B ∈⇔()Ux A B ∈；10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5Z k n k n =+∈，0,1,2,3,4k =；给出下列四个结论：①[]20150∈；②[]33-∈；③[][][][][]Z 01234=⋃⋃⋃⋃；④“整数a ，b属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”.其中正确的结论是___________. 【答案】①③④【解析】对于①，因201554030=⨯+，则[]20150∈，①正确；对于②，因35(1)2-=⨯-+，则[]23-∈，②不正确；对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则[][][][][]Z 01234=⋃⋃⋃⋃，③正确；对于④，若整数a ，b 属于同一“类”，则整数a ，b 被5除的余数相同，从而得-a b 被5除的余数为0，即有[]0a b -∈，若[]0a b -∈，不妨令112212125,5(,Z,,{0,1,2,3,4})a n k b n k n n k k =+=+∈∈，则12125()()a b n n k k -=-+-，显然12()Z n n -∈，12||{0,1,2,3,4}k k -∈，于是得12||0k k -=，12k k =，即有整数a ，b 属于同一“类”，所以“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”，④正确，所以正确的结论是①③④.故答案为：①③④。

11．已知集合A ＝{x |m —1＜x ＜m 2+1}，B ＝{x |—2＜x ＜2}． （1）当m ＝2时，求A ∪B ，A ∩B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}25A B x x ⋃=-<<，{}12A B x x ⋂=<< （2）(]1,1-【分析】（1）当2m =时，{}15A x x =<<，因为{}22B x x =-<<，所以{}25A B x x ⋃=-<<， {}12A B x x ⋂=<<；（2）因为x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，因为211m m -<+恒成立，所以集合A ≠∅，所以21212m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得11m -≤≤，当1m =-时，()2,2A B ==-，不符合题意，故实数m的取值范围(]1,1-。