立体几何公式定理大全

一、公理定理

（一）平面基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

（二）空间中两条直线的位置关系

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。范围为(]0,90??

两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条)

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面

（三）平行关系

1．线面平行

定义：直线和平面没有公共点

判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线

平行。

2．面面平行

定义：空间两平面没有公共点

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。性质定理引理：两个平面互相平行则其中一个平面内的直线平行于另一个平面。性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

（四）垂直关系

1．线面垂直

定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

2．二面角的有关定义

半平面的定义：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

3．面面垂直

定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

4．三垂线定理相关

平面的斜线：和平面相交但不垂直的直线叫平面的斜线，斜线和平面交点叫斜足。

斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平

面上的射影

三垂线定理：平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这

条斜线在平面内的射影。

斜线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三余弦定理：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影

为AB，AC为面上的一条直线，那么

∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB(∠BAC和∠

OAB只能是锐角）

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有：公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。二、平行关系直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。三、垂直关系直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。三角公式汇总一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ

高中立体几何八大定理

线面位置关系的八大定理、直线与平面平行的判定定理: 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： a u a b u o alia a//b 作用：线线平行=线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。图形语言： I//：符号语言：I u E l //m a o P = m 作用：线面平行=线线平行、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 图形语言：符号语言： a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂作用：线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理：文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言：「二a = a//b Y =b“ 作用：面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行

图形语言：符号语言： a 丄m a 丄n :a _ ： m 「n 二 A m 二二，n 二：作用：线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言： a - :■ 匕 a//b b -:- 作用：线面垂直=线线平行七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。图形语言：一 a 丄a 〕任符号表示： _ ■ a u Pj 注：线面垂直 =?面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另个平面图形语言：符号语言: a 1 P l AB : AB _丨作用：面面垂直=线面垂直五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,

立体几何中的向量公式

向量法解立体几何用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。一. 证明两直线平行已知两直线a 和b , b D C a B A ∈∈,,,,则?b a //存在唯一的实数λ使CD AB λ= 二. 证明直线和平面平行 1.已知直线αα∈∈?E D C a B A a ,,,,,且三点不共线，则a ∥?α存在有序实数对μλ,使CE CD AB μλ+= 2.已知直线,,,a B A a ∈?α和平面 α的法向量n ,则a ∥n AB ⊥?α 三.证明两个平面平行已知两个不重合平面βα,,法向量分别为n m ,,则α∥n m //?β 四．证明两直线垂直已知直线b a ,。b D C a B A ∈∈,,,，则0=??⊥CD AB b a 五.证明直线和平面垂直已知直线α和平面a ，且A 、B a ∈,面α的法向量为m ,则m AB a //?⊥α 六.证明两个平面垂直已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为n m ,,则n m ⊥?⊥βα 七．求两异面直线所成的角已知两异面直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线所成的角θ 为：CD AB ?=θcos 八．求直线和平面所成的角 A B

已知A,B 为直线a 上任意两点，n 为平面α的法向量，则a 和平面α所成的角θ为: 1．当??? ? ??2, 0π 时?-=2πθ 2．当??? ??∈?ππ,2 时2πθ-?= 九．求二面角 1．已知二面角βα--l ，且l CD l AB D C B A ⊥⊥∈∈,,,,且βα，则二面角的平面角θ 的大小为：=θ 2.已知二面角,βα--l n m ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的大小与两个法向量所成的角相等或互补。即-=πθ 注:如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。 (1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。 (2)通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。十.求两条异面直线的距离已知两条异面直线b a ,,m 是与两直线都垂直的向量,b B a A ∈∈,则两条异面直线的距离d = 十一.求点到面的距离已知平面α和点A,B 且αα∈?B A ,,m 为平面α的法向量,则点A 到平面 α 的距离d =

高中数学《立体几何》重要公式、定理

高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠

立体几何与平面几何计算公式

立体几何与平面几何计算公式初中数学几何中，不论是平面几何还是立体几何，他们的计算公式是我们进行数学试题计算的基础，因此，希望中考考生积极的做好几何计算公式的复习。下面是初中数学几何计算公式，一起了解一下： 1 、正方形 C：周长S：面积：a：边长周长=边长×4 C=4a 正方形面积=边长×边长S= a a 2 、长方形C：周长S：面积a：边长周长=(长+宽)×2 C = 2(a+b) 长方形面积=长×宽S = a b 3 、三角形s：面积a：底h：高三角形面积=底×高÷2 s = ah÷2 4 、平行四边形s：面积a：底h：高平行四边形面积=底×高s = ah 5、梯形s面积a上底b下底h高梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s = (a+b) h÷2 6 、圆形r:半径d：直径c：周长s：面积半径=直径÷2 r = d/2 半径=周长÷圆周率÷2 r = c/2π 直径=半径×2 d = 2r 直径=周长÷圆周率d = c/π

周长=圆周率×直径 c = πd 周长=圆周率×半径×2 c = 2πr 圆面积=圆周率×半径×半径s = πr r 圆环面积=圆周率×(大圆半径×大圆半径-小圆半径×小圆半径) s=π(R R-r r) 7 、长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高体积=长×宽×高V = abh 8、正方体V:体积a:棱长总棱长=棱长×12 C = 12a 表面积=棱长×棱长×6 S表= a a6 体积=棱长×棱长×棱长V = a a a 9、圆柱体V:体积s:底面积h:高圆柱体侧面积=底面周长×高s= c h 圆柱体体积=底面积×高V= sh 圆柱体体积=圆周率×半径×半径×高V =πr r h 圆柱体体积=1/2×侧面积×半径V =1/2s侧r 10、圆锥体V:体积s:底面积h:高圆锥体体积=1/3×底面积×高V = 1/3sh 圆锥体体积=1/3×圆周率×半径×半径×高V = 1/3×πr r h

高中立体几何常用结论、定理

立体几何中的定理、公理和常用结论一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直．若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

高中数学立体几何判定定理及性质

高中立体几何判定定理及性质一、公理及其推论文字语言符号语言图像语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 α α α ? ? ∈ ∈ ∈ ∈ l B A l B l A, , ,①用来验证直线在平面内； ②用来说明平面是无限延展的公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） l l P ∈ = ? ? ? ∈ P 且 β α β α ①用来证明两个平面是相交关系； ②用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面确定一个平面不共线 C B A C B A , , , , ? 用来证明多点共面，多线共面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 α α α α ? ∈ ? ? a A A , 使，有且只有一个平面推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? = ? b a P b a , 使，有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? b a b a , 使，有且只有一个平面 ∥ 公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥ ∥ ∥ ? ? ? ?用来证明线线平行

二、平行关系文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥ ∥ ? ? ? ? （2）线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 αα α∥∥ a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? （3）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 b a a b b ∥∥ ? ? ? ? ? ? ? = ? β β α β （4）面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. β α α α β β ∥∥ ∥ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? b a O b a b a （5）面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 β α β α ∥ ? ? ? ? ⊥ ' ⊥ ' O O O O （6）面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 b a b a∥∥ ? ? ? ? ? ? = ? = ? γ β γ α β α （7）面面平行的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直 βα β α ∥∥ a a ? ? ? ? ?

空间几何中的角和距离的计算

空间角和距离的计算(1) 一线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角．（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小．二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2．（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B

2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小．三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点．（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5．（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1

立体几何公理、定理推论汇总74915

立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：作用：用来证明线线平行。二、平行关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言：线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言：线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? I 图形语言：面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4）

高中数学立体几何解析几何判定&性质&公式整理(全)

高中数学必修二复习基本概念公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类：（1）共面：平行、相交（2）异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类：（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

N维空间几何体质心的计算方法.

N维空间几何体质心的计算方法摘要:本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题,通过微积分方面的知识来求解,从平面推广到空间,问题也由易到难。首先提出质心或形心问题,然后给出重心的定义,再由具体的例子来求解相关问题。关键字:质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分一.质心或形心问题: 这类问题的核心是静力矩的计算原理。 1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心: 静力矩的微元关系为 , dMx yudl dMy xudl ==. 其中形如曲线L( (, y f x a x b =≤≤的形状体对x轴与y轴的静力矩分别为( b

a y f x S = ? , ( b y a M u f x =? 设曲线AB L 的质心坐标为( ,x y,则,, y x M M x y

M M == 其中( b a M u x d x u l == ? 为AB L 的质量,L为曲线弧长。若在式 y M x M

= 与式 x M y M = 两端同乘以2π,则可得到22( b a y xl f x S ππ == ? ,

22( b a x yl f x S ππ == ? ,其中x S 与y S 分别表示曲线AB L 绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。 2.均匀密度平面薄板的静力矩与质心: 设f(x为 [],a b 上的连续非负函数,考虑形如区域 {} (,,0(

D x y a x b y f x =≤≤≤≤ 的薄板质心,设M为其密度,利用微元法,小曲边梯形MNPQ的形心坐标为1 (,(, 2 y f y x y x x ≤≤+? ,当分割无限细化时,可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点 1 (,( 2 x f x 处的一个质点,将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有 1 (( 2 x dM u f x f x dx

高一数学必修2空间几何部分公式定理大全

必修2空间几何部分公式定理总结棱柱、棱锥、棱台的表面积设圆柱的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即 . 设圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即 . 设圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即 . 柱、锥、台的体积公式柱体体积公式为：，（为底面积，为高）锥体体积公式为：，（为底面积，为高）台体体积公式为：（，分别为上、下底面面积，为高）球的体积和表面积球的体积公式球的表面积公式

其中，为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径有关. 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交的直线有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行的直线有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 空间两条直线的位置关系有且只有三种：共面直线：相交直线（在同一平面内，有且只有一个公共点）；平行直线（在同一平面内，没有公共点）；异面直线：不同在任何一个平面内且没有公共点. 空间中直线与平面位置关系有且只有三种：直线在平面内——有无数个公共点直线与平面相交——有且只有一个公共点直线与平面平行——没有公共点直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. 两个平面的位置关系只有两种：两个平面平行——没有公共点两个平面相交——有一条公共直线异面直线所成的角已知两条异面直线，经过空间任一点作直线∥，∥，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

(完整版)高中立体几何八大定理

l m β α α b a 线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用：线线平行?线面平行二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。图形语言：符号语言：//l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用：线面平行?线线平行三、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．图形语言：符号语言： //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? I ∥∥ 作用：线线平行? 面面平行四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行

n m A α a α b a B A l β αa β α五、直线与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面图形语言：符号语言： ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 作用：线线垂直?线面垂直六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行图形语言：符号语言： //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用：线面垂直?线线平行七、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。图形语言：符号表示：a a ααββ⊥? ?⊥??? 注：线面垂直?面面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面图形语言：符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? I 作用：面面垂直?线面垂直

高中数学立体几何知识点归纳总结

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高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ? 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱

底面为平行四边形侧棱垂直于底面底面为矩形底面为正方形棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】 222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是 αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.

(完整word版)立体几何常考定理总结(八大定理)

关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a I b A a// b// 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。四、面面平行的性质定理：面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言:如果两个平行平面冋时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行? 文字语言:如果两个平面平行，那么其中符号语言: 亠一个平面内的任意一条直线平行于另一个 // 平面. a a//b 符号语言 : // ,a a// b 丨v 关键点：找第三个平面与已知平面都相关键：只要是其中一个平面内的直线就行交，则交线平行立体几何的八大定理、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行符号语言：b all a//b 关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 1 〃符号语言: I I l/m 三、面面平行的判定定理: 线面平行面面平行文字语言：如果一个平面 //

五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面符号语言: 六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线. 、亠 l 符号语言: a 关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示: 八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另个平面? 符号语言： 1 1 AB AB AB I 关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直 a

立体几何的计算

教案教师姓名授课班级授课形式授课日期年月日第周授课时数授课章节名称立体几何的计算教学目的计算立体几何中的有关角度和距离以及一些体积问题教学重点二面角和几何体的体积教学难点二面角的计算更新、补充、删节内容使用教具三角板课外作业补充课后体会注意立体图形与平面图形的转化

授课主要内容或板书设计

一、复习知识点 1．有关角的计算 ⑴异面直线所成的角 a ．定义：设,a b 是异面直线，过空间任一点o 引'',a a b b ，则'a 与'b 所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 b ．范围(0,90] c ．求法：作平行线，将异面转化成相交 ⑵线面所成的角 a ．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。 b ．范围：[0,90] c ．求法：作垂线，找射影 ⑶二面角 a ．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量。 b ．二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫二面角的平面角。 c ．范围：[0,]π d ．作法： 1定义法：过棱上任一点o 在两个半平面内分别引棱的两条垂线,OA OB ，则 AOB ∠为二面角的平面角 2三垂线定理法：过二面角的一个半平面内一点A ，作棱l 的垂线，垂足为O ，作另一个面的垂线，垂足为B ，连接OB ，则AOB ∠为二面角的平面角。 β α O B A 3作棱的垂面法：过二面角内任意一点O ，分别向两个平面作垂线，垂足为,A B 则,AO BO 所确定的平面与棱l 交于P ，则APB ∠为二面角的平面角。

立体几何初步知识点(很详细)

立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =++台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 4、空间点、直线、平面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ 公理2的作用： ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

立体几何常考定理总结(八大定理)

立体几何常考定理总结(八大定理) 一、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行、符号语言：关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行、符号语言：关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行、符号语言：关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行、符号语言:关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面、符号语言:关键：只要是其中一个平面内的直线就行五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂

直于这个平面、符号语言：关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线、符号语言：关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直、（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面、符号语言：关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。一、线线、线面和面面的位置关系两直线位置关系线面位置关系面面的位置关系二、有关平行的证明线∥线⑴线∥线线∥线（都是直线）⑵线∥面线∥线（相交平面）⑶面∥面线∥线（平行平面）⑷同垂直于一个平面线∥线（线面垂直）线∥面⑴线∥线线∥面⑵面∥面线∥面面∥面线∥面面∥面线⊥线线⊥线线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面四、三种角的范围异面直线所成角直线与平面所成角二面角