河南省高考数学模拟试卷(理科)(2月份)
河南省高考数学模拟试卷（理科）（2月份）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2017高一上·黑龙江期末) 已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B=Z，则A∩B=（）
A . {﹣1，0，1，2}
B . {﹣2，﹣1，0，1}
C . {0，1}
D . {﹣1，0}
2. （2分） (2020高二下·长沙期末) 复数（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）命题且满足.命题且满足.则是的（）
A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4. （2分）阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，则判断框中应填人的条件为（）
A . i≤4
B . i≤5
C . i≤6
D . i≤7
5. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则• =（）
A .
B .
C . R
D . R
6. （2分）(2018·永春模拟) 下列命题是假命题的是（）
A . 已知随机变量，若，则；
B . 在三角形中，是的充要条件；
C . 向量，，则在的方向上的投影为2；
D . 命题“ 或为真命题”是命题“ 为真命题且为假命题”的必要不充分条件。
7. （2分） (2018高二上·玉溪期中) 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2015高三上·石景山期末) 若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）
A . 0
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分） (2020高一下·重庆期末) 若曲线与直线仅有一个交点，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2019高三上·中山月考) 函数满足：，．则
时，（）
A . 有极大值，无极小值
B . 有极小值，无极大值
C . 既有极大值，又有极小值
D . 既无极大值，也无极小值
二、填空题： (共5题；共5分)
11. （1分） (2016高二上·张家界期中) 已知（﹣）n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于________．
12. （1分） (2020高三上·稷山月考) 已知实数x，y满足不等式组，且z=2x-y的最大值为a，则 =________．
13. （1分） (2019高二上·南宁期中) 在区间上随机地取出两个数，，满足的概率为
，则实数 ________．
14. （1分）(2017·新课标Ⅱ卷理) 已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．
15. （1分） (2019高一上·浙江期中) 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
三、解答题： (共6题；共50分)
16. （10分）(2020·淮南模拟) 2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特
种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：
研发费用（百万元）2361013151821
销量（万盒）112 2.5 3.5 3.5 4.56（1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）；
（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第
二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望．
附：（1）相关系数；（2），，，．
17. （5分） (2017高一下·淮北期末) 设函数，
是其函数图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为，值域为[﹣1，5]，求a，b的值．
18. （5分） (2017高二上·苏州月考) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1 ，AC⊥BC, 点D 是AB的中点.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1？
19. （10分） (2016高二上·菏泽期中) 已知数列{an}为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=|an|，求数列{bn}的前项n和Tn ．
20. （10分） (2015高二上·湛江期末) 如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A （x1 ， y1），B（x2 ， y2）均在抛物线上．
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．
21. （10分）(2016·安徽模拟) 已知函数f（x）=x|x+a|﹣ lnx．（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＜0，讨论函数f（x）的极值点．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题： (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题： (共6题；共50分)
16-1、
16-2、
17-1、
18-1、
19-1、
19-2、20-1、
20-2、
21-1、
21-2、。
高考理科数学2月模拟考试试题、参考答案
高考理科数学2月模拟考试试题数学理科本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共55分） 一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分） 1．复数ii ⋅--2123= A ．－iB ．IC ．22－iD ．－22+i2．函数的y =222-x （x ≤－1）反函数是A ．y =－1212+x （x ≥0）B ．y =1212+x （x ≥0）C ．y =－1212+x （x ≥2）D ．y =1212+x （x ≥2）3．若函数f （x ）=e x cos x ，则此函数图象在点（1, f （1））处的切线的倾斜角为A ．0B ．锐角C ．2πD ．钝角4．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成的角的余弦值为A ．62B ．36C ．46D ．635．曲线y =2si n )4cos()4(ππ-+x x 和直线在y =21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．已知α、β是平面，m 、n 是直线，则下命题不正确的是A ．若m ∥n , m ⊥α, 则n ⊥αB ．若,m ⊥α, m ⊥β, 则α∥βC ．若m ⊥α, m ∥n , n ⊂β, 则α⊥βD ．若m ∥α, α ∩β=n 则m ∥n7．设函数f （x ）是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f （2）>１，f （2008）=33-+a a ，A BC DA 1D 1C 1B 1则a 的取值范围是A ．（－∞, 0）B ．（0, 3）C ．（0, +∞）D ．（－∞, 0）∪（3, +∞）8．设f （x ）= x 2－6x+5，若实数x 、y 满足条件f （y ）≤ f （x ）≤0，则xy的最大值为 A ．9－45B ．1C ．3D ．59．已知点A, F 分别是椭圆12222=+by a x （a >b >0）的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BA BF ⋅=0，则椭圆的离心率e 为A ．21（5－1） B ．21（3－1） C ．25D ．2210．在圆周上有10个等分，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是A ．51 B ．41 C ．31 D ．21 11．已知集合P={x |5x －a ≤0}， Q={x |6x －b >0}，a , b ∈N, 且A∩B∩N={2，3，4}，则整数对（a , b ）的个数为A ．20B ．30C ．42D ．56第Ⅱ卷（非选择题, 共95分）二、填空题（每小题4分，共16分）12．432⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的常数项等于 ；13．已知|OA |=1，|OB |=3，OA ·OB =0, 点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC =m OA +n OB （ m , n ∈R ）, 则m/n 等于 ;14．编辑一个运行程序：1﹡1=x ，，m ﹡（n +1）=k +2，欲得到1﹡2007=2008的输出结果，则x 的值为 ；15．已知函数f （x ）=x⎪⎭⎫⎝⎛31－log 2x 正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足f （a ）f（b）f（c）<0,若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：① d<a; ②d>b; ③d<c; ④d>c中有可能成立的为（填序号）．三、解答题（本大题共6小题，共79分）16．（本小题满分12分）设函数f（x）=2cos x（cos x+3si nx）－1,x∈R（1）求f（x）的最小正周期T；（2）求f（x）的单调递增区间．17．（本小题满分13分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提高通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．求：（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．18．（本小题满分14分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长是2，D 是侧棱CC 1的中点，直线AD 与侧面BB 1C 1C 所成的角为45°．（1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求二面角A-BD-C 的大小； （3）求点C 到平面ABD 的距离．19．（本小题满分14分）已知数列{a n }中，a n =2－11-n a （ n ≥2，n ∈N +）（1）若a 1=53，数列{b n }满足b n =11-n a （ n ∈N +），求证数列{b n }是等差数列；（2）若a 1=53，求数列{a n }中的最大项与最小项，并说明理由．ABD1A 1B 1C（3）若1<a 1<2, 试证：1<a n+1< a n <220．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y =41x 2的焦点，离心率等于552．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA =λ1AF ，MB =λ2BF ，求证λ1+λ2为定值．21．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=ln （2+3x ）－23x 2． （1）求f （x ）在[0, 1]上的极值；（2）若对任意x ∈[61，31]，不等式|a －ln x |－ln[ f ’（x ）+3x ]>0成立，求实数a 的取值范围；（3）若关于x 的方程f （x ）= －2x +b 在[0, 1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分． 1．B 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．C11．B二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 12．-32； 13．3； 14．-2004； 15．①②③ 三、解答题：本大题共6小题，共79分． 16．)62sin(22cos 2sin 3cos sin 322cos )(π+=+=+=x x x x x x x f ………… 6分（1）ππ==22T ． ………… 9分 （2）由2k π –2π≤ 2x +6π ≤ 2k π +2π, 得：k π – 3π≤ x ≤ k π + 6π（k ∈Z ）, f （ x ） 单调递增区间是[k π – 3π，k π +6π]（k ∈Z ）． ……………… 12分17．（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3。
河南省郑州市高考数学二模试卷(理科)
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数为纯虚数，则实数b等于（）A.B. C. D.2.已知全集U=R，A={x|y=ln（1-x2）}，B={y|y=4x-2}，则A∩（∁R B）=（）A. （-1，0）B. [0，1）C. （0，1）D. （-1，0]3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知f（x）=2019x2018+2018x2017+…+2x+1，程序框图设计的是f（x）的值，在M处应填的执行语句是（）A. n=iB. n=2019-iC. n=i+1D. n=2018-i4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（-2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：X⁓N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9545．）A. 906B. 2718C. 339.75D. 34135.将函数f（x）=2sin x的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，下面四个结论正确的是（）A. 函数g（x）在[π，2π]上的最大值为1B. 将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数g（x）图象的一个对称中心D. 函数g（x）在区间上为增函数6.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为（）A. B. C. 3 D. 47.在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=2，CA=4，P在边AC的中线BD上，则的最小值为（）A. B. 0 C. 4 D. -18.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（）A. B. C. D.9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[-2.1]=-3，[3.1]=3，已知函数，则函数y=[f（x）]的值域为（）A. B. （0，2] C. {0，1，2} D. {0，1，2，3}10.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B.C. D.11.在△ABC中，已知，，∠ABC=45°，D是边AC上的一点，将△ABC沿BD折叠，得到三棱锥A-BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM=x，则x的取值范围是（）A. B. C. D.12.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（5，0），则S△AOB=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，若a2=2，S3=7，则a5的值为______．14.已知，则=______．15.二项式的展开式中x5的系数为，则=______．16.已知函数，若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}中，a1=1，a n＞0，前n项和为S n，若（n∈N*，且n≥2）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记，求数列{c n}的前n项和T n．18.如图，等腰直角△ABC中，∠B=90°，平面ABEF⊥平面ABC，2AF=AB=BE，∠FAB=60°，AF∥BE．（Ⅰ）求证：BC⊥BF；（Ⅱ）求二面角F-CE-B的正弦值．19.目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%把握认为选历史是否与性（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2=，n=a+b+c+d．20.在直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点满足，设动点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设P，Q是曲线C上两动点，线段PQ的中点为T，OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且，求|OT|的取值范围．21.已知函数，，a，b∈R．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤g（x）恒成立，求b-2a的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，直线l的参数方程为为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．23.设函数f（x）=|ax+1|+|x-a|（a＞0），g（x）=x2-x．（Ⅰ）当a=1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；（Ⅱ）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得b值．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，即b=-．故选：B．2.【答案】D【解析】【分析】可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．【解答】解：∵A={x|-1＜x＜1}，B={y|y＞0}；∴∁R B={y|y≤0}；∴A∩（∁R B）=（-1，0]．故选：D．3.【答案】B【解析】解：由题意，n的值为多项式的系数，由2019，2018，2017…直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n=2019-i．故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查正态分布曲线的特点，数形结合是解决问题的关键，属基础题．由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以10000可得答案．【解答】解：∵X～N（-2，4），∴阴影部分的面积S=P（0≤X≤2）=[P（-6≤x≤2）-P（-4≤x≤0）]=（0.9545-0.6827）=0.1359，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为P=∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×=339.75．故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin x的图象向左平移个单位，可得y=2sin（x+）的图象，然后纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到g（x）=2sin（x+）的图象，在[π，2π]上，+∈[，]，g（x）=2sin（x+）的最大值为，故A错误；将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的解析式为y=2sin（x+），它不是奇函数，图象不关于原点对称，故B错误；当x=时，g（x）=≠0，故点不是函数g（x）图象的一个对称中心，故C错误；在区间上，+∈[，]，故函数g（x）在区间上为增函数，故D正确，故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图，目标函数的最大值，就是求解u=3x+y的最小值，得y=-3x+u，平移直线y=-3x+u，由图象可知当直线y=-3x+u，经过点A时，直线y=-3x+u的截距最小，此时u最小．由，解得A（-1，2），此时z的最大值==3．故选C．7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查基底向量的设立以及用基底向量表示所求向量，最后转化为二次函数求最值问题，本题属基础题．本题可设，然后将用向量作为基底向量表示出来，再根据向量的运算，即可将问题转化为二次函数求最值问题．【解答】解：由题意，画图如下：可设，∵，，cos＜＞=0．∴，==．∴==4λ2-4λ（1-λ）=8λ2-4λ．由二次函数的性质，可知：当λ=时，取得最小值．故选：A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用三视图求几何体外接球的体积应用问题，是基础题．根据三视图知，该几何体是三棱锥，且三棱锥的一顶点处三条棱两两互相垂直，三棱锥的外接球即为共顶点处长方体的外接球，计算该外接球的直径，求出外接球的体积．【解答】解：根据三视图知，该几何体是侧棱PA⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；把三棱锥补成一个长方体，如图所示；其中AC=AB=3，BC=6，∴AC⊥AB；三棱锥P-ABC的外接球即为以AB、AC、AP为共顶点的长方体的外接球，则该外接球的直径为（2R）2=AB2+AC2+AP2=18+18+9=45，∴R=，∴外接球的体积为V=•=．故选A．9.【答案】C【解析】解：因为，所以f（x）==，又1+2x+1∈（1，+∞），所以f（x）∈（，3），由高斯函数的定义可得：函数y=[f（x）]的值域为，故选：C．由分式函数值域的求法得：f（x）==，又1+2x+1∈（1，+∞），所以f（x）∈（，3），由高斯函数定义的理解得：函数y=[f（x）]的值域为，得解．本题考查了分式函数值域的求法及对即时定义的理解，属中档题．10.【答案】D【解析】解：不妨设P在双曲线右支上运动，并设P（x0，y0），则x0＞a由正弦定理可==，由双曲线的第二定义可得|PF1|=a+ex0，得|PF2|=ex0-a∴=，解得x0=＞a，∴2a+c＞ce-2ae，两边同除以a，可得2+e＞e2-2e，即e2-3e-2＜0，解得1＜e＜，又ce-2ae＞0，解得e＞2，故2＜e＜，故选：D．用正弦定理及双曲线的定义，可得a，c的不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a，c的不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，属于中档题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间垂直位置关系的判定与性质，考查空间想象能力与逻辑推理能力，考查数学转化思想方法，属于中档题．由题意意可得，折叠前在图1中，AM⊥BD，垂足为N．设图1中A点在BC上的射影为M1，运动点D可得，当D点与C点无限接近时，点M与点M1无限接近，得到BM＞BM1．在图2中，根据斜边大于直角边，可得BM＜AB，由此可得x的取值范围．【解答】解：将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A-BCD，且点A在底面BCD的射影M在线段BC上，如图2，AM⊥平面BCD，则AM⊥BD，过M作MN⊥BD，连接AN，则AN⊥BD，因此，折叠前在图1中，AM⊥BD，垂足为N．在图1中，过A作AM1⊥BC于M1，运动点D，当D点与C点无限接近时，折痕BD接近BC，此时M与点M1无限接近；在图2中，由于AB是Rt△ABM的斜边，BM是直角边，∴BM＜AB．由此可得：BM1＜BM＜AB，∵△ABC中，AB=2，BC=2，∠ABC=45°，由余弦定理可得AC=2，∴BM1=，∴＜BM＜2，由BM=x可得x的取值范围为（，2）．故选C．12.【答案】A【解析】【分析】如图所示，F（1，0）．设直线l的方程为：y=k（x-1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点E（x0，y0）．线段AB的垂直平分线的方程为y=-（x-5）.直线l的方程与抛物线方程联立化为：ky2-4y-4k=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式、可得E坐标．把E代入线段AB的垂直平分线的方程可得：k．再利用S△OAB==即可得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图所示，F（1，0）．设直线l的方程为：y=k（x-1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点E（x0，y0）．线段AB的垂直平分线的方程为：y=-（x-5）．联立，化为：ky2-4y-4k=0，∴y1+y2=，y1y2=-4，∴y0=（y1+y2）=，x0=+1=+1，把E（，+1）代入线段AB的垂直平分线的方程：y=-（x-5）．可得：=-（+1-5），解得：k2=1．S△OAB====2．故选：A．13.【答案】16【解析】【分析】本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用等比数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出a5．【解答】解：∵等比数列{a n}为单调递增数列，设其前n项和为S n，a2=2，S3=7，∴，解得a1=1，q=2，∴a5==1×24=16．故答案为16．14.【答案】【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：，可得cosαcos+sinαsin+cosα=，即：c osα+sinα=，可得=，=．故答案为．15.【答案】【解析】解：二项式的展开式中x5的系数为=，∴a=1，∴==•=，故答案为：．由题意利用二项展开式的通项公式求得a的值，再计算定积分，求得结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，计算定积分，属于基础题．16.【答案】（0，]【解析】解：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=ae x-x有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=ae x-x=0有两个零点x1，x2，∴=x1，=x2，两式作比，得==，令x2-x1=t，①，则，②∴，代入①，得：，由②，得，∴t≥ln2，令g（t）=，t≥ln2，则g′（t）=，令h（t）=e t-1-te t，则h′（t）=-te t＜0，∴h（t）单调递减，∴h（t）≤h（ln2）=1-2ln2＜0，∴g（t）单调递减，∴g（t）≤g（ln2）=ln2，即x1≤ln2，∵a=，令μ（x）=，则＞0，∴μ（x）在x≤ln2上单调递增，∴μ（x）≤，∴a≤，∵f′（x）=ae x-x有两个零点x1，x2，μ（x）在R上与y=a有两个交点，∵，在（-∞，1）上，μ′（x）＞0，μ（x）单调递增，在（1，+∞）上，μ′（x）＜0，μ（x）单调递减，∴μ（x）的最大值为μ（1）=，大致图象为：∴0＜a＜，∵，，∴0＜a．∴实数a的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．由题意可得=x1，=x2，作比，得=，令x2-x1=t，结合条件将x1定成关于t的函数，求导分析得到x1的范围，再结合a=得到a的范围，与函数f（x）有两个极值点时a的范围取交集即可．本题考查利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用整体换元方法，体现了减元思想，是难题．17.【答案】解：（Ⅰ）数列{a n}中，a n=S n-S n-1，①，②①÷②可得：-=1，则数列{}是以=1为首项，公差为1的等差数列，则=1+（n-1）=n，则S n=n2，当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n-1，a1=1也符合该式，则a n=2n-1；（Ⅱ）有（Ⅰ）的结论，a n=2n-1，则C n=（2n-1）×22n-1；则T n=1×2+3×23+5×25+……+（2n-1）×22n-1，③；则4T n=1×23+3×25+5×27+……+（2n-1）×22n+1，④；③-④可得：-3T n=2+2（23+25+……+22n-1）-（2n-1）×22n+1=-+（-2n）×22n+1，变形可得：T n=．【解析】（Ⅰ）根据题意，有a n=S n-S n-1，结合分析可得-=1，则数列{}是以=1为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得=1+（n-1）=n，则S n=n2，据此分析可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论可得C n=（2n-1）×22n-1；进而可得T n=1×2+3×23+5×25+……+（2n-1）×22n-1，由错位相减法分析可得答案．本题考查数列的递推公式的应用以及数列的求和，关键是求出数列{a n}的通项公式．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵等腰直角△ABC中，∠B=90°，∴BC⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF∩平面ABC=AB，∴BC⊥平面ABEF，∵BF⊂平面ABEF，∴BC⊥BF．解：（Ⅱ）由（1）知BC⊥平面ABEF，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，设2AF=AB=BE=2，∵∠FAB=60°，AF∥BE．∴B（0，0，0），C（0，2，0），F（），E（-1，0，），=（1，2，-），=（），=（0，2，0），设平面CEF的一个法向量=（x，y，z），则，即，令x=，得=（，5），设平面BCE的一个法向量=（x，y，z），则，即，取x=，得=（），设二面角F-CE-B的平面角为θ．则|cosθ|=||==，∴sinθ=，∴二面角F-CE-B的正弦值为．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）推导出BC⊥AB，从而BC⊥平面ABEF，由此能证明BC⊥BF．（Ⅱ）由BC⊥平面ABEF，以B为原点，建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出二面角F-CE-B的正弦值．19.【答案】解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有=392人．（Ⅱ）列联表为：由列联表中数据得K2=，=＞10.828，所以有99%的把握认为选历史与性别有关．（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物：有4人选择物理、化学和历史：有2人选择物理、化学和地理：有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0，1．P（ξ=1）==，P（ξ=0）=1-P（ξ=1）=，（或P（ξ=0）==）所以的分布列为E(ξ)=0×+1×=．【解析】本题主要考查独立性检验以及概率分布列的计算，考查学生的计算能力．（Ⅰ）计算男生和女生确定选考生物的人数，进行估算即可（Ⅱ）根据数据完成列联表，计算K2，结合独立性检验的性质进行判断即可（Ⅲ）求出随机变量的数值和对应的概率，即可得到和期望．20.【答案】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N，∴N（x0，0），又圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：相切，∴r==2，则圆C1：x2+y2=4．由题意，，得（x，y）+（x-x0，y-y0）=（x0，0），∴，即，又点A为圆C1上的动点，∴x2+4y2=4，即；（Ⅱ）当PQ的斜率不存在时，设直线OP：y=，不妨取点P（），则Q（），T（），∴|OT|=．当PQ的斜率存在时，设直线PQ：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．∴，．∵，∴4y1y2+x1x2=0．∴4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2==．化简得：2m2=1+4k2，∴．△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（4k2+1-m2）=16m2＞0．设T（x3，y3），则，．∴=∈[，2），∴|OT|∈[）．综上，|OT|的取值范围是[]．【解析】（Ⅰ）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N，得N（x0，0），由圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：相切求得r值，得到圆的方程，再由向量等式得到M，A的坐标关系把点A的坐标代入圆C1，即可求得曲线C的方程；（Ⅱ）当PQ的斜率不存在时，设直线OP：y=，求得|OT|=；当PQ的斜率存在时，设直线PQ：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程利用根与系数的关系结合得：2m2=1+4k2，则，进一步求得|OT|∈[），则|OT|的取值范围可求．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域是R，g′（x）=（2x+2）（x-a），令g′（x）=0，解得：x=-1或x=a，①a＜-1时，令g′（x）＞0，解得：x＞-1或x＜a，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜-1，故g（x）在（-∞，a）递增，在（a，-1）递减，在（-1，+∞）递增，②a=-1时，g′（x）≥0，g（x）在R递增，③当a＞-1时，令g′（x）＞0，解得：x＞a或x＜-1，令g′（x）＜0，解得：-1＜x＜a故g（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）f（x）≤g（x）g（x）-f（x）≥0，设F（x）=g（x）-f（x），则F′（x）=（2x+1）ln x+（x2+x）+2x2+2（1-a）x-a=（2x+1）（ln x+x+1-a），∵x∈（0，+∞），令F′（x）=0，得ln x+x+1-a=0，设h（x）=ln x+x+1-a，由于h（x）在（0，+∞）递增，当x→0时，h（x）→-∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，故存在唯一x0∈（0，+∞），使得h（x0）=0，即a=x0+ln x0+1，当0＜x＜x0时，F′（x）＜0，故F（x）在（0，x0）递减，当x＞x0时，F′（x）＞0，F（x）在（x0，+∞）递增，当x∈（0，+∞）时，F（x）min=F（x0）=（+x0）ln x0++（1-a）-ax0+b=（+x0）ln x0++（-x0-ln x0）-（x0+ln x0+1）x0+b=---x0+b，∵f（x）≤g（x）恒成立，故F（x）min=---x0+b≥0，即b≥++x0，故b-2a≥++x0-2a=+-x0-2ln x0-2，设h（x）=x3+x2-x-2ln x-2，x∈（0，+∞），则h′（x）=，令h′（x）=0，解得：x=1，故h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（x）min=h（1）=-2，故x0=1即a=1+x0+ln x0=2，b=++x0=时，（b-2a）min=-．【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）设F（x）=g（x）-f（x），求出函数的导数，根据函数的单调性求出F（x）的最小值，从而确定（b-2a）的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，转换为直角坐标方程为：．点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（-2，0）．把直线l的参数方程为为参数）．代入椭圆的方程为：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：t1•t2=-4．故：|PM|•|PN|=|t1•t2|=4（Ⅱ）由椭圆的直角坐标方程转换为（），所以：以A为顶点的内接矩形的周长为4（2）=16sin（）（）所以：当时，周长的最大值为16．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程为进行转换，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.【答案】解：（1）当a=1时，g（x）≥f（x）⇔或或，解得x≤-1或x≥3，所以原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥3}（2）f（x）=，当0＜a≤1时，f（x）min=f（a）=a2+1≥2，a=1；当a＞1时，f（x）max=f（-）=a+≥2，a＞1，综上：a∈[1，+∞）【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．（1）分3种情况去绝对值，解不等式组再相并；（2）按照0＜a≤1和a＞1求出分段函数的最小值，由最小值大于等于2可得．。
2023年河南省创新发展联盟高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年河南省创新发展联盟高考数学二模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知a，，，则( )A. 5B.C. 3D.3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )A. B. C. D.4. 函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.5. 十项全能是田径运动中全能项目的一种，是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者.如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是( )A. 在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低B. 在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当C. 甲的各项得分比乙的各项得分更均衡D. 甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大6. 设x，y满足约束条件，则的取值范围为( )A. B. C. D.7. 在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为( )A. B. C. D.8. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为( )A. B. C. D.9. 已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是( )A. B. C. D.10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上一点，，的平分线与x轴交于点Q，，则双曲线E的离心率为( )A. B. 2 C. D.11. 古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类一直在思考和探索数学的对称问题，图形中的对称性本质就是点的对称、线的对称.如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优美函数”的说法中正确的有( )①函数可以是某个正方形的“优美函数”；②函数只能是边长不超过的正方形的“优美函数”；③函数可以是无数个正方形的“优美函数”；④若函数是“优美函数”，则的图象一定是中心对称图形.A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④12. 对20不断进行“乘以2”或“减去3”的运算，每进行一次记作一次运算，若运算n 次得到的结果为23，则n的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 1013. 已知向量，，且，则______ .14. 设E，F分别在正方体的棱，上，且，，则直线DE与BF所成角的余弦值为______ .15. 已知抛物线C：的焦点为F，过F且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线C的方程：______ ，此时该弦的中点到x轴的距离为______ .16.已知正数x，y满足，给出以下结论：①，②，③，④其中正确的是______ 请写出所有正确结论的序号17. 已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，求与通项公式；设，求的前n项和18. 2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分的频率分布折线图如下.若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望用分数表示，并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.参考数据：，，，，19. 在四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，证明：平面平面若，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.20. 已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点.求椭圆C的方程；设O为坐标原点，求面积的最大值以及此时直线l的方程.21. 已知函数，为的导函数.证明：当时，；判断函数的零点个数.22. 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；直线l的参数方程为为参数，l与C的交点为A，B，且，求l的斜率.23. 已知函数解不等式；若t是的最小值，且，求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：解可得，则，，故故选：解不等式可得集合B，根据集合的并集运算，即得答案．本题主要考查并集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为，所以，，所以故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，先求出a，b，再结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为，所以，由，得，所以故选：直接利用正弦定理求解即可．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，其的定义域为，因为，所以为偶函数，排除B，当时，，，则有，排除故选：根据题意，用排除法分析：由函数的奇偶性排除BD，再分析区间上，的符号，排除C，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性判断和定义域的求法，属于基础题．5.【答案】BD【解析】解：对于A选项，由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错；对于B选项，由图可知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，B对；对于C选项，甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在内，波动较小，C错；对于D选项，甲的各项得分的极差约为，乙的各项得分的极差小于200，D 对．故选：利用雷达图、结合极差逐项判断，可得出合适的选项．本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，表示可行域内的动点与定点连线所在直线的斜率，由图可知，经过点与的直线斜率最大，且最大值为2，经过点与的直线斜率最小，且最小值为，所以的取值范围为故选：由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线所在直线的斜率求解．本题考查线性规划，考查数学运算与直观想象的核心素养，是基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，设为的中点，连接，可知，平面，由，可得题中所求交线为：以为圆心，为半径的圆弧，设该圆弧与，分别相交于点M，N，经计算可知，故交线长故选：设为的中点，连接，则根据题意可知，平面，从而可得题中所求交线为：以为圆心，为半径的圆弧，再根据弧长公式，即可求解．本题考查球面与柱体侧面的交线长度，考查直观想象与数学运算的核心素养，属中档题．8.【答案】C【解析】解：设甲、乙、丙三人用a，b，c，由题意可知：传球的方式有以下形式，，，，，，，，，所求概率为故选：根据古典概型运算公式进行求解即可．本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意知在内有且仅有两个解．因为，所以，则需，解得故选：由，以及的取值范围列不等式，由此求得的取值范围．本题主要考查了正弦函数的图象昂和性质，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：作出图形，如图所示：，，即，在，中，由正弦定理得：平分，，即，且，故，则，，又，则，，整理得，故，即，，即故选：由题意得，利用正弦定理结合角平分线得，再根据双曲线的定义，结合题意，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：对于①，，且，可知为奇函数，可以是中心为原点且边长为2的正方形的“优美函数”，故①正确；对于②，令，得，图象的对称中心为，故以为中心的正方形都能被函数的图象平分，即可以同时是无数个正方形的“优美函数”，故②错误；对于③，令，其定义域为R，且，为奇函数，又的图象是由的图象向下平移一个单位长度得到的，图象的对称中心为，故以为中心的正方形都能被的图象平分，故③正确；对于④，如图所示，曲线经过正方形的中心，当上下两个三角形面积相等时，该曲线表示的函数为该正方形的“优美函数”，但该曲线不是中心对称图形，故④错误．说法正确的是①③．故选：判断函数为奇函数，结合“优美函数”的定义判断①③；求出函数的对称中心判断②；画图说明④错误．本题考查新定义以及函数的性质，考查逻辑推理的核心素养，是中档题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，对20不断进行“乘以2”或“减去3”的运算，由于，所以至少要进行一次“乘以2”的运算．①若一共只有一次“乘以2”的运算；设做了k次“减去3”的运算之后，再“乘以2”，再做了t次“减去3”的运算后，得数为，变形可得有，其中k，，显然无非负整数解，故一共只有一次“乘以2”的运算不能成立；②若一共只有2次“乘以2”的运算；设做了k次“减去3”的运算之后，再“乘以2”，再做了t次“减去3”的运算之后“乘以2”，再做了m次“减去3”的运算后，得数是，即有，又由k，t，当时，，或，；当时，；当时，所以的最小值为6，即至少运算8次，其过程为③若一共有3次或3次以上“乘以2”的运算，总运算次数显然不止8次．所以至少运算8次．故选：根据题意，分析可得至少要进行一次“乘以2”的运算，由此按乘以2”的运算次数分情况讨论，分析可得答案．本题考查逻辑推理，注意运算的规则，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：因为，，所以，解得故答案为：根据题意，由向量的坐标计算公式可得的关系，又由向量垂直与向量数量积的关系计算即可得出答案．本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．14.【答案】【解析】解：在棱CD，上分别取点N，M，使得，，连接CM，NE，，F分别在正方体的棱，上，且，，，为直线DE与BF所成的角，设，在中，由题意得，，，设，则，从而故答案为：在棱CD，上分别取点N，M，使得，，连接CM，NE，推导出，从而为直线DE与BF所成的角，由此能求出结果．本题考查正方体的结构特征、异面直线所成角、立体几何初步的知识，考查直观想象的核心素养、运算求解能力，是中档题．15.【答案】【解析】解：已知抛物线C：的焦点为F，则，设过F的直线方程为，联立，消x可得，则，则，则过F且被C截得的弦长为，当且仅当时取等号，即过F且被C截得的弦长的取值范围为又过F且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条，，即，取，则抛物线C的方程为，此时弦AB的中点到x轴的距离为故答案为：；设过F的直线方程为，联立，结合抛物线的定义可得：过F且被C截得的弦长的取值范围为然后结合题意求解即可．本题考查抛物线的性质及抛物线的定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属基础题．16.【答案】①③④【解析】解：因为正数x，y满足，所以，所以，①正确，②错误；令，则，当时，，单调递增，当时，单调递减，所以，③正确；令，则，可知当时，单调递增，当时，单调递减，所以，④正确．故答案为：①③④．直接根据已知条件进行转化即可判断①②，减少变量后根据函数的单调性即可判断③④．本题考查不等关系，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于基础题．17.【答案】解：设的公差为d，因为，，所以，解得，从而，所以；设的公比为q，因为，所以，解得，因为，所以，所以由上可知：，所以，所以，所以【解析】由等差数列、等比数列的定义计算基本量即可求通项公式；根据等比数列的求和公式及裂项相消求和即可．本题主要考查等差数列与等比数列的综合，分组求和法与裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由折线图可知：，，，，；由题意可知，20，30，40，又，，，，，，的分布列为：10203040P，故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元．【解析】先根据频率分布折线图求平均值及方差，再根据正态分布公式计算概率即可；先分析获奖金额的情况，再列出相关分布列计算即可．本题考查频率分布折线图，平均数与方差的概念，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．19.【答案】解：证明：过点C作于点E，如图所示：四边形ABCD为等腰梯形，，，，又，，则，在中，由余弦定理得，，即是直角三角形，，又，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，又平面ABCD，则平面平面PBC；由得平面PBC，，则建立以C为原点的空间直角坐标系，如图所示：，，则，，，，，，，设平面PCD的一个法向量为，则，取，则，，平面PCD的一个法向量为，设直线PA与平面PCD的夹角为，，，故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为；【解析】利用线面垂直和面面垂直的判定定理，即可证明结论；由得平面PBC，，则建立以C为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．本题考查直线与平面垂直和直线与平面的夹角，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由，得，所以椭圆C的方程为，把点的坐标代入上式，得，可得，所以，，故椭圆C的方程为由知焦点F的坐标为，若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，所以直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，联立方程组，消去x，得，方程的判别式，设，，则，，令，则，当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为令，解得，所以此时直线l的方程为或【解析】根据给定条件列方程，求出a，b即可作答．先判断直线l的斜率不为0，设出直线l的方程，与椭圆E的方程联立，利用韦达定理、三角形面积列出函数式，利用基本不等式求解作答．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】证明：令，则，当时，，当时，，即当时，，所以在上单调递增，则，故当时，成立；解：，即，所以，设，由可知当时，所以在上单调递增，从而，下面证明：当时，，即证，设，则，所以在上单调递减，从而，即当时，，当时，，，所以是的零点；当时，，，即，所以在上无零点；当时，，，即，所以在上无零点；当时，，所以，，即，所以在上无零点；当时，，所以，即，所以在上无零点，综上在上只有1个零点．【解析】求导，分和两种情况判断函数的单调性，再根据函数的单调性即可得证；，即，整理可得，设，由可知当时，，再证明当时，，由此分析，结合零点的存在性定理即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，函数的零点个数的判断，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：可化为，因为，，所以可化为，即圆C的极坐标方程为因为直线l的参数方程为为参数，当时，直线l与C没有交点，所以，所以，即直线l的普通方程为，设圆心C到直线l的距离为d，则，由，得，解得，即，所以l的斜率为【解析】利用极坐标与直角坐标方程的互化，求出极坐标方程即可．通过直线的参数方程，得到直线的普通方程，利用点到直线的距离公式，转化求解直线的斜率即可．本题考查极坐标方程与原点普通方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.【答案】解：当时，，即为，解得；当时，，即，解得；当时，，即为，解得，综上可得，的解集为；因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，从而，又，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，所以，即的最小值为【解析】由绝对值的定义和一次不等式的解法，即可得到所求解集；由绝对值不等式的性质可得的最小值，结合柯西不等式可得所求最小值．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，以及柯西不等式的运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(2月份)(含解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝(y|y＝2x, x>0}, B＝{x|ylog2(x−2)}，则A∩(∁R B)＝（）A.[0, 1)B.(1, 2)C.(1, 2]D.[2, +∞)2.已知复数z满足(1+√3i)z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数f(x)＝sin4x−cos4x，则下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间[π4, π2]上单调递减4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：(l)取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=12AB＝1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为、（参考数据：√5≈2.236）（）A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.6185.已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A.26B.52C.78D.1046.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”是“m // α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)={e x−1,x<2log3(x2−1),x≥2，若f(a)≥1，则a的取值范围是（）A.[1, 2)B.[1, +∞)C.[2, +∞)D.(−∞, −2]∪[1, +∞)8.若x，y满足约束条件{2x+y≥2y−x≤2x−2≤0，则yx+2的取值范围为（）A.[−12, 1]B.[−∞, −12]∪[1, +∞)C.[0, 1]D.[12, 1]9.已知数列{a n}中，a1=12，a n+1＝1−1an，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（）A.n≤2 015B.n≤2 018C.n≤2 020D.n≤2 02110.已知△ABC的内角A=π3，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA＝OB＝OC，设AO→=mAB→+nAC→，则m+n的值为（）A.1118B.1 C.718D.211.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为−4√3，△PF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.√3D.√212.已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60∘，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为V1，三棱锥O−ABC的体积为V2，若V1V2的最大值为3，则球O的表面积为（）A.16π9B.64π9C.3π2D.6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．14.已知正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，则当x ＝________√22时，1x +1y 取得最小值，最小值为________√2．15.已知函数f(x)是定义域为(−∞, +∞)的偶函数，且f(x −1)为奇函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝1−x 3，则f(292)＝________−7816.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，则p ＝________•三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC 的面积为3√3，且内角A 、B 、C 依次成等差数列． （1）若sinC ＝3sinA ，求边AC 的长；（2）设D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．18.如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘，点P 是AC 的中点，连接BP ，DP ．（1）证明：平面ACD ⊥平面BDP ；（2）若BD =√6，且二面角A −BD −C 为120∘，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y＝kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若k OM⋅k ON=54，求证：点(m, k)在定圆上．20.已知函数f(x)＝me x−lnx−1．（1）当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若m∈(1, +∞)，求证：f(x)>1．21.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(0<p<1)，某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．(Ⅰ)求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望；(Ⅱ)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n(n≥2)．(i)求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；(ⅱ)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1+p)−23p ．当p 取最大值时，计算此时p ′所对应的E 6′值和此时p 对应的E 6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a ＝10） （结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），（1）请写出直线l 的参数方程；（2）求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（1）已知x ，y ∈R ，且|x +y|≤16，|x −y|≤14，求证：|x +5y|≤1．23.（2）已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e ＝8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2＝16，试确定e 的最大值．2020年河南省高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝(y|y＝2x, x>0}, B＝{x|ylog2(x−2)}，则A∩(∁R B)＝（）A.[0, 1)B.(1, 2)C.(1, 2]D.[2, +∞)【解答】集合A＝(y|y＝2x, x>0}＝{y|y>1}＝(1, +∞)，B＝{x|ylog2(x−2)}＝{x|x−2>0}＝{x|x>2}，则∁R B＝{x|x≤2}＝(−∞, 2]，∴A∩(∁R B)＝(−∞, 2]．2.已知复数z满足(1+√3i)z＝1+i，则复平面内与复数z对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】由(1+√3i)z＝1+i，得z=1+√3i =√3i)(1+√3i)(1−√3i)=1+√34+1−√34i，∴复平面内与复数z对应的点的坐标为(1+√34,1−√34)，在第四象限角．3.已知函数f(x)＝sin4x−cos4x，则下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的最大值为2C.f(x)的图象关于y轴对称D.f(x)在区间[π4, π2]上单调递减【解答】∵f(x)＝sin4x−cos4x＝sin2x−cos2x＝−cos2x，∴函数的最小正周期T＝π，∵f(−x)＝−cos(−2x)＝−cos2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，∵f(x)＝cos2x在[π4, π2]上单调递减，故f(x)＝−cos2x在[π4, π2]上单调递增．4.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：AB＝(l)取线段AB＝2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BC=121，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；（3）以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E．则点E即为线段AB的黄金分割点．若在线段AB上随机取一点F，则使得BE≤AF≤AE的概率约为、（参考数据：√5≈2.236）（）A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.618【解答】由勾股定理可得：AC=√22+12=√5，CD＝1，则AD=√5−1≈1.236，则AE＝1.236，BE＝2−AE＝0.764，所以0.764≤AF≤1.236，由几何概型中的线段型可知：=0.236，使得BE≤AF≤AE的概率约为1.236−0.76425.已知等比数列{a n}中，有a3a11＝4a7，数列{b n}是等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A.26B.52C.78D.104【解答】等比数列{a n}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，数列{b n}是等差数列中b7＝a7＝4，×13(b1+b13)＝13b7＝13×4＝52．则S13=126.已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”是“m // α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m // n”与“m // α”相互推不出．∴“m // n ”是“m // α”的既不充分也不必要条件． 故选D .7.已知函数f(x)={e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2 ，若f(a)≥1，则a 的取值范围是（ ） A.[1, 2) B.[1, +∞) C.[2, +∞)D.(−∞, −2]∪[1, +∞) 【解答】函数f(x)={e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2，若f(a)≥1，可得：{a <2e a−1≥1 或{a ≥2log 3(a 2−1)≥1 ，{a <2e a−1≥1 ，可得：1≤a <2； {a ≥2log 3(a 2−1)≥1 解得a ≥2． 综上a ≥1．8.若x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0 ，则yx+2的取值范围为（ ）A.[−12, 1]B.[−∞, −12]∪[1, +∞)C.[0, 1]D.[12, 1] 【解答】作出x ，y 满足约束条件{2x +y ≥2y −x ≤2x −2≤0 的可行域如图：△ABC ，yx+2表示区域内的点与点(−2, 0)连线的斜率， 联方程组{x =22x +y =2可解得B(2, −2)，同理可得A(2, 4)，当直线经过点B 时，M 取最小值：−22+2=−12， 当直线经过点A 时，M 取最大值42+2=1． 则yx+2的取值范围：[−12, 1]．9.已知数列{a n }中，a 1=12，a n+1＝1−1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是（ ）A.n ≤2 015B.n ≤2 018C.n ≤2 020D.n ≤2 021【解答】因为a 1=12，a n+1＝1−1a n，所以a 2=1−1a 1=1−2=−1，a 3=1−1a 2=1+1=2，a 4=1−1a 3=1−12=12，所以数列{a n }是以3为周期的周期数列，循环的三项分别是12,−1,2，即输出的数字2是循环数列中的第三项，20153=671⋯⋯2，20183=672⋯⋯2，20203=673⋯⋯1，20213=673⋯⋯2，只有选项C 对应的余数是1，不是2，10.已知△ABC 的内角A =π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC ，设AO →=mAB →+nAC →，则m +n 的值为（ ） A.1118 B.1C.718D.2【解答】由OA ＝OB ＝OC ，得：点O 是△ABC 的外心， 又外心是中垂线的交点，则有：{AO →⋅AB →=18AO →⋅AC →=8 ， 即{(mAB →+nAC →)⋅AB →=18(mAB →+nAC →)⋅AC →=8，又AB ＝6，AC ＝4，AB →⋅AC →=12， 所以{6m +2n =33m +4n =2 ，解得：{m =49n =16，即m+n=49+16=1118，11.已知P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为−4√3，△PF1F2的面积为24√3，则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.√3D.√2【解答】P是双曲线x2a −y2b=1(a>0, b>0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，c＝6，△PF1F2的面积为24√3，可得P的纵坐标y为：12×12×y=24√3，y＝4√3．直线PF2的斜率为−4√3，所以P的横坐标x满足：yx−6=−4√3，解得x＝5，则P(5, 4√3)，|PF1|=√(5+6)2+(4√3−0)2=13，|PF2|=√(5−6)2+(4√3−0)2=7，所以2a＝13−7，a＝3，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．12.已知A，B，C为球O的球面上的三个定点，∠ABC＝60∘，AC＝2，P为球O的球面上的动点，记三棱锥p一ABC的体积为V1，三棱锥O−ABC的体积为V2，若V1V2的最大值为3，则球O的表面积为（）A.16π9B.64π9C.3π2D.6π【解答】如图，设△ABC的外接球球心为O′，其半径为r，球O的半径为R，由题意可知，(V1V2)max=√R2−r2√22=3，可得R=√3，∵2r=ACsin∠ABC =√3，∴r=√3，∴R =43， ∴S =4π×169=64π9，当球心O 在三棱锥P −ABC 外时， 结果不变．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种． 【解答】根据题意，分2种情况讨论：①甲同学选择牛，乙有2种选择，丙有10种选择，此时选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种选择，丙有10种选择，此时选法有1×3×10＝30种，所以总共有20+30＝50种；14.已知正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，则当x ＝________√22时，1x +1y 取得最小值，最小值为________√2． 【解答】正数x ，y 满足x 2+y 2＝1，由基本不等式可得，1＝x 2+y 2≥2xy 当且仅当x ＝y =√22时取等号，所以，1x+1y ≥2√1xy ≥2√2．故当x =√22时，1x +1y 取得最小2√2．15.已知函数f(x)是定义域为(−∞, +∞)的偶函数，且f(x −1)为奇函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝1−x 3，则f(292)＝________−78 【解答】根据题意，f(x −1)为奇函数，则函数f(x)关于点(1, 0)对称，则有f(−x)＝−f(2+x)，又由函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(−x)，则有f(x)＝−f(x +2)，变形可得f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，f(292)＝f(16−32)＝f(−32)＝f(32)＝−f(12)＝−[1−(12)3]=−78；16.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，则p ＝________• 【解答】点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF|＝12，F(p2, 0)，则M(p4, √2p2)，E(0, √2P)，cos∠EFO =OF EF=13，作NS 垂直y 轴与S ，NS ＝12−p2=(12+32p)cos∠EFO ， 解得p ＝8，三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知△ABC 的面积为3√3，且内角A 、B 、C 依次成等差数列． （1）若sinC ＝3sinA ，求边AC 的长；（2）设D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值． 【解答】∵在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 依次成等差数列， ∴2B ＝A +C ， ∵A +B +C ＝180∘， ∴B ＝60∘，∵△ABC 的面积为3√3=12acsinB =√34ac ，∴ac ＝12，∵sinC ＝3sinA ，由正弦定理可得：c ＝3a ， ∴解得：a ＝2，c ＝6，∴由余弦定理得AC ＝b =2+c 2−2accosB =√4+36−2×2×6×12=2√7．因为D 为AC 边的中点， 所以：BD →=12(BA →+BC →)，两边平方，可得：BD →2=14(BA →2+BC →2+2BA →⋅BC →)，可得：|BD →|2=14(c 2+a 2+2a ⋅c ⋅cosB)=14(c 2+a 2+a ⋅c)≥14(2ac +ac)=14×3×12＝9，解得BD ≥3，当且仅当a ＝c 时等号成立， 可得BD 的最小值为3．18.如图，在三棱锥A −BCD 中，△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘，点P 是AC 的中点，连接BP ，DP ．（1）证明：平面ACD ⊥平面BDP ；（2）若BD =√6，且二面角A −BD −C 为120∘，求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值． 【解答】∵△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝∠BCD ＝90∘， ∴Rt △ABD ≅Rt △BCD ，∴AD ＝CD ， ∵点P 是AC 的中点，则PD ⊥AC ，PB ⊥AC ， ∵PD ∩PB ＝P ，∴AC ⊥平面PBD ， ∵AC ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BDP ． 作CE ⊥BD ，垂足为E ，连结AE ， ∵Rt △ABD ≅Rt △BCD ，∴AE ⊥BD ，AE ＝CE ，∠AEC 为二面角A −BD −C 的平面角， 由已知二面角A −BD −C 为120∘，∴∠AEC ＝120∘， 在等腰△AEC 中，由余弦定理得AC =√3AE ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ，∴AB =√3AE ， 在Rt △ABD 中，12×AE ×BD =12×AB ×AD ，∴BD =√3AD ，∵BD =√6，∴AD =√2，∵BD 2＝AB 2+AD 2，∴AB ＝2，∴AE =2√33，ED =√63，由上述可知BD ⊥平面AEC ，则平面AEC ⊥平面BCD ， 过点A 作AO ⊥CE ，垂足为O ，则AO ⊥平面BCD ， 连结OD ，则∠ADO 是直线AD 与平面BCD 所成角， 在Rt △AEO 中，∠AEO ＝60∘，∴AO ＝1，AE =2√33，sin∠ADO =AO AD =√22，∴直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为√22．19.已知椭圆C:x 2a +y 2b=1(a >b >0)的离心率为√32，短轴长为2． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l:y ＝kx +m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ⋅k ON =54，求证：点(m, k)在定圆上． 【解答】设焦距为2c ，由已知e =ca=√32，2b ＝2，a 2＝b 2+c 2．∴b ＝1，a ＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．证明：设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4＝0，依题意，△＝(8km)2−4(4k 2+1)(4m 2−4)>0，化简得m 2<4k 2+1，①x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2−44k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 若k OM ⋅k ON =54，则y 1y 2x1x 2=54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2，∴(4k2−5)⋅4(m2−1)4k2+1+4km⋅(−8km4k2+1)+4m2=0，即(4k2−5)(m2−1)−8k2m2+m2(4k2+1)＝0，化简得m2+k2=54，②由①②得0≤m2<65,120<k2≤54．∴点(m, k)在定圆x2+y2=54上．20.已知函数f(x)＝me x−lnx−1．（1）当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若m∈(1, +∞)，求证：f(x)>1．【解答】当m＝1时，f(x)＝e x−lnx−1，所以f′(x)＝ex−1x所以f(1)＝e−1，f′(1)＝e−1．所以曲线y＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−(e−1)＝(e−1)(x−1)．即y＝(e−1)x．当m>1时，f(x)＝me x−lnx−1≥e x−lnx−1．要证明f(x)>1，只需证明e x−lnx−2>0．设g(x)＝e x−lnx−2，则g′(x)＝e x−1x．设ℎ(x)＝e x−1x ，则ℎ′(x)＝e x+1x>0，所以函数ℎ(x)＝g′(x)＝e x−1x在(0, +∞)上单调递增．因为g′(12)＝e12−2<0，g′(1)＝e−1>0，所以函数g′(x)＝e x−1x 在(0, +∞)上有唯一零点x0，且x0∈( 12, 1)．因为g′(x0)＝0时，所以e x0=1x，即lnx0＝−x0．当x∈(0, x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0, +∞)时，g′(x)>0所以当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)．故g(x)≥g(x0)＝e x0−lnx0−2=1x+x0−2>0．综上可知，当m>1时，f(x)>1．21.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(0<p <1)，某位患者在隔离之前，每天有a 位密切接触者，其中被感染的人数为X(0≤X ≤a)，假设每位密切接触者不再接触其他患者．(Ⅰ)求一天内被感染人数为X 的概率P(X)与a 、p 的关系式和X 的数学期望； (Ⅱ)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n 天新增患者的数学期望记为E n (n ≥2)．(i)求数列{E n }的通项公式，并证明数列{E n }为等比数列；(ⅱ)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1+p)−23p ．当p 取最大值时，计算此时p ′所对应的E 6′值和此时p 对应的E 6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a ＝10） （结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7） 【解答】（1）由题意X ∼B(a, p)，则P(X)=C a x p x(1−p)a−x ，EX ＝ap ．(2)(i)第n 天被感染人数为(1+ap)n−1，第n −1天被感染人数为(1+ap)n−2， 由题目中均值定义得：E n ＝(1+ap)n−1−(1+ap)n−2＝ap(1+ap)n−2． ∴E nEn−1=1+ap ，且E 1＝ap ，∴{E n }是以ap 为首项，1+ap 为公比的等比数列． (ii)令f(p)＝ln(1+p)−23p ，则f′(p)=1p+1−23=−2p+13(p+1)， ∴f(p)在(0, 12)上单调递增，在(12, 1)上单调递减，f(p)max ＝f(12)＝ln 23−13=ln3−ln2−13≈1.1−0.7−0.3＝0.1． 则当a ＝10，E n ＝10p(1+10p)n−2，E 6′＝10×0.1(1+10×0.1)4≈1.46，E 6＝10×0.5(1+10×0.5)4≈25.31，∵E 6>E 6′，∴戴口罩很有必要．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），（1）请写出直线l 的参数方程；（2）求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标． 【解答】直线l 的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)．可得直线l 的参数方程{x =12t y =√32t （t 为参数）．曲线C 的参数方程为{x =2sinαy =1−cos2α（α为参数），可得普通方程：y ＝1−[1−2(x2)2]，化为：x 2＝2y ．把直线l 的参数方程{x =12ty =√32t （t 为参数）．化为普通方程：y =√3x ． 联立{y =√3xx 2=2y，解得：x ＝0，y ＝0．或x ＝2√3，y ＝6． ∴直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标为(0, 0)或(2√3, 6)． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23.（1）已知x ，y ∈R ，且|x +y|≤16，|x −y|≤14，求证：|x +5y|≤1．23.（2）已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e ＝8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2＝16，试确定e 的最大值． 【解答】证明：依题意，−16≤x +y ≤16,−14≤x −y ≤14，设x +5y ＝m(x +y)+n(x −y)，解得m ＝3，n ＝−2，∴−12≤3(x +y)≤12，−12≤−2(x −y)≤12，∴−1≤3(x +y)−2(x −y)≤1，即−1≤x +5y ≤1， ∴|x +5y|≤1．依题意，{a +b +c +d =8−ea 2+b 2+c 2+d 2=16−e 2， 又(a 2+b 2+c 2+d 2)(1+1+1+1)≥(a +b +c +d)2（当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时取等号），即4(16−e 2)≥(8−e)2，解得0≤e ≤165，∴e 的最大值为165．。
河南省2023年高三理数二模试卷附参考答案
高三理数二模试卷一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，则的实部为（）A．B．C．D．3．从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（）A．6B．8C．12D．164．在正项等比数列中，是的等差中项，则（）A．16B．27C．32D．545．已知点是双曲线的右焦点，点是双曲线上位于第一象限内的一点，且与轴垂直，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．6．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．B．8C．D．107．已知点C（2，0），直线kx－y＋k=0（k≠0）与圆交于A，B两点，则“△ABC为等边三角形”是“k=1”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数有4个不同的零点，则正实数的范围为（）A．B．C．D．9．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为（）A．B．C．D．10．已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，（）A．B．C．D．11．在正项数列中，，，记．整数满足，则数列的前项和为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）的定义域为R，且f（2x＋1）为偶函数，f（x－1）的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（）①的一个周期为2②③④直线是图象的一条对称轴A．1B．2C．3D．4二、填空题13．曲线在点处的切线的斜率为，则.14．的展开式中x的系数为．15．过原点且相互垂直的两条直线分别交抛物线于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线AB的最大距离为．16．在三棱柱中，平面ABC⊥平面，平面⊥平面，侧棱与底面所成的角为，，D为的中点，二面角的正切值为，则四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C；（2）若c=4，△ABC的面积为，求a，b．18．相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．某市一健身连锁机构对其会员进行了统计，制作成如下两个统计图，图1为会员年龄分布图（年龄为整数），图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图．若将会员按年龄分为“年轻人”（20岁-39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类，将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为”健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”．（1）现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图的数据，补全下方2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计附：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（2）将（1）中相应的频率作为概率，该健身连锁机构随机选取3名会员进行回访，设3名会员中既是“年轻人”又是“健身达人”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，，AB＝2，M为PC上一点，且．（1）求异面直线AP与DM所成角的余弦值．（2）在棱PB上是否存在点N，使得平面BDM？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20．已知椭圆的长轴长为4，，为C的左、右焦点，点P（不在x轴上）在C上运动，且的最小值为.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，记的内切圆的半径为r，求r的取值范围.21．已知函数（是自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，，直线的参数方程为（为参数，），直线，垂足为.以为坐标原点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出曲线与直线的极坐标方程；（2）设直线､分别与曲线交于､与､，顺次连接､､､四个点构成四边形，求.23．已知二次函数，（1）已知是正实数，且，求证：；（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.1．D2．A3．C4．D5．B6．D7．A8．B9．B10．A11．B12．B13．-414．-315．16．17．（1）解：依题意由得，根据正弦定理得，则，则，所以，由于，所以，所以，所以，则，由于，则．（2）解：由题意：，所以ab=16．又由余弦定理以及c=4，得，所以，所以，所以a=b=4．18．（1）解：根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为80%，则年轻人人数为10080%=80，则非年轻人为20人，根据图2表格得健身达人所占比60%，所以其人数为10060%=60，根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，则非年轻人为10人；健身爱好者人数为100-60=40，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为80-50=30，根据非年轻人总共为20人，则健身爱好者中非年轻人人数为20-10=10，所以列联表为年轻人非年轻人合计健身达人501060健身爱好者301040合计8020100，所以没有95%的把握认为“健身达人”与年龄有关．（2）解：由（1）知，既是年轻人又是健身达人的概率为，则随机变量X满足二项分布，，，，，故X的分布列：X0123P则的数学期望为．19．（1）解：设是的中点，连接，由于，所以，由于平面PAD⊥平面ABCD且交线为，平面，所以平面，由于平面，所以，在菱形中，，所以三角形是等边三角形，所以，故两两相互垂直，由此建立空间直角坐标系如下图所示，，，，，所以直线AP与DM所成角为，则.（2）解：，设平面的法向量为，则，故可设.平面，设，则，若平面，则，解得，所以在棱PB上是存在点N，使得平面BDM且.20．（1）解：由题意得，设，的长分别为m，n，，则在中，由余弦定理可得当且仅当时取等号，从而，得，∴，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设，，由题意，根据椭圆的定义可得的周长为，，所以，设l的方程为，联立椭圆方程，整理可得，易知且，，，所以，令，则，，令函数，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，则，所以，即，故r的取值范围为.21．（1）解：函数，令，解得．当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数有最小值．（2）解：（），．当时，函数是增函数，有唯一的零点，与已知矛盾．当时，，令，则，所以是增函数．又，，故存在，使，即．当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增，所以函数有最小值，且,，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以．当时，存在使，再，故有且仅有两个不同的零点；当时，此时，有唯一的零点；当时，存在使，再，故有且仅有两个不同的零点．综上所述，．22．（1）解：由的参数方程，可得，则，即，∴.由题设知：为，故的极坐标方程为，又，∴为且.（2）解：由题设知：，若，，联立与：，可得，，联立与：，可得，，∴.∴.23．（1）证明：由得：，，由柯西不等式得：（当且仅当时取等号），则.（2）解：由得：，，则，；，又，，则，令，则，设，当时，；当时，（当且仅当时取等号），的最大值为.。
河南省新乡市高三下学期理数2月一轮复习摸底考试试卷附解析
;〔2〕分两种情况：①当直
线 l 与 x 轴不重合时，②当直线 l 与 x 轴重合时
，即可得出答案．
21.【解析】【分析】 〔1〕f〔x〕的定义域是〔-3，+∞〕，求导得
，分析 f′〔x〕
的正负，f(x)单调性，即可得出答案；
〔2〕方程
有 2 个解， 设
，显然 在
上是增函数，
又
， 即方程
有两个实数根 ， ， 根据分析法可证出。
16.定义在 上的函数
满足
，当
________. 时，
.假设不等式
对任意
恒成立，那么实数 的最小值为________.
三、解答题
17.在
中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且
.
〔1〕求角 ；
〔2〕假设
的面积为 ， 边上的高
，求 ， .
18.某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，每名男射手每次的命
〔1〕求动点 的轨迹 的标准方程；
〔2〕过点
的直线 交 于 ， 两点，点
， .试问在 轴上是否存在一点 ，使得
假设不存在，请说明理由.
21.函数
.
〔1〕求函数 的最大值；
，直线 ， 分别交 轴于点 ？假设存在，求出点 的坐标；
〔2〕假设关于 的方程
有两个不等实数根
，证明：
.
22.在极坐标系中，点
，
，曲线
，可得为偶数的项共有 333 项，那么
为奇数的项共有 667 项.
故答案为：D.
【分析】 该数列第 3，6，9，…项为偶数，以 3 为周期，可求出为偶数的项数，从而可求得为奇数的项 的项数．
10.【解析】【解答】设点
2023年河南省top20名校联盟高考数学联考试卷(理科)(2月份)+答案解析(附后)
2023年河南省top20名校联盟高考数学联考试卷（理科）（2月份）1. 设集合，，则( )A. B. C. D.2. 若，则( )A. B. 1 C. D. 23. 已知向量，满足，，则( )A. B. C. D.4. 经济学专业的学生们为研究流通费率y和销售额单位：千万元的关系，对同类型10家企业的相关数据进行整理，并得到如图散点图：由此散点图，在2千万元至1亿元之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为流通费率y和销售额x的回归方程类型的是( )A. B. C. D.5. 转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放.如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S，高为h，已知曲面棱柱的体积，若，，则曲面棱柱的体积为( )A. B. C. D.6. 某地区的统计数据表明新生儿的实际出生日期与预产期的天数差已知，估计在100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数( )A. 34B. 36C. 38D. 407. 已知抛物线C：焦点为F，准线为l，点在C上，直线AF 与l交于点B，则( )A. 1B.C.D. 28. 将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，则分配到3个小区的志愿者人数互不相同的概率为( )A. B. C. D.9. 在锐角三角形ABC中，，，则AB边上的高的取值范围是( )A. B. C. D.10. 已知，，若，则( )A. B. C. D.11. 若有且仅有一条直线与曲线和都相切，则( )A. B. C. D.12. 已知数列满足，对任意，都有是数列中的项，则( )A. B. C. D.13. 设x，y满足约束条件则的最小值为______ .14. 函数的部分图象如图所示，则______ .15. 过双曲线C：的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，直线FH 与C交于点P，，则C的离心率为______ .16. 在很多人的童年中都少不了折纸的乐趣，而现如今传统意义上的手工折纸与数学联系在一起，并产生了许多需要缜密论证的折纸问题.有一张直角梯形纸片ABCD，，，，，E为AB的中点，将和分别沿DE，CE折起，使得点A，B重合于P，构成三棱锥，且三棱锥的底面CDE和侧面PCD均为直角三角形.若三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______ .17. 已知数列满足证明：是等差数列；若，求数列的前n项和18. 某品牌手机厂商为对比A，B两款手机屏幕的抗跌性，分别对A，B两款各50部手机进行手机跌落测试，屏幕损坏情况如表：屏幕无损坏屏幕损坏A款4010B款3020判断是否有的把握认为手机屏幕的抗跌性与手机款式有关？为方便手机用户，手机厂商针对A，B两款手机推出碎屏险服务，在保修期内，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务.某人为A，B款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为，，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：，其中参考数据：k19.如图，圆柱的侧面积为，高为1，AB为的直径，C，D分别为，上的点，直线CD经过的中点若，证明：；若直线CD与平面ABC所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.20. 已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴为x轴、y轴，且过，求E的方程；设点P在E上，过B且垂直于x轴的直线与直线AP交于点D，且，求21. 已知函数当时，讨论的单调性；若存在极小值，求的极小值的最大值.22. 在直角坐标系xOy中，曲线，的参数方程分别为为参数，为参数将，的参数方程化为普通方程；以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与，共有三个交点，求23. 已知a，b，c都是正数，且，证明：；答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据不等式的性质可得集合，又因为集合，则故选：根据不等式的性质求出集合A，然后利用交集的运算即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，则故选：化简，然后求出复数的模即可得出答案．本题主要考查复数模公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由，两边平方得，所以，所以，所以，又因为，所以故选：利用向量数量积，求两个向量的夹角．本题主要考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：根据散点图，可以知道各点基本上是沿着一条具有递减趋势的曲线分布，并且变化趋势较平缓，A中表示直线，变化趋势是定的，不合题意；B中表示的曲线既有上升又有下降部分，不合题意；C中表示的曲线不论是上升还是下降，都将比较快，曲线较“陡峭”，不合题意；D中表示的曲线不论是上升还是下降，都将比较平缓，合乎题意．故选：根据散点图的变化趋势，分析各选项中方程表示的曲线的特点，看是否合乎题意，即可得答案．本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：扇形ACB的面积，，则底面积，所以曲面棱柱的体积，故选：根据题意和图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成的，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，进而求解．本题主要考查了扇形的面积公式，考查了棱柱的体积公式，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为，且，根据正态分布的对称性，则有，所以，故100个新生儿中，实际出生日期比预产期提前超过5天的新生儿数为故选：根据正态分布的对称性，即可推出，进而得出，进而可得出答案．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：点在抛物线C：上，，，，，过点A作l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知，设l与x轴交于点G，则，，又，，为AB中点，，故选：将点代入抛物线方程中，可得，过点A作l的垂线，垂足为H，l与x轴交于点G，则，所以F为AB中点，从而可得的值．本题考查抛物线的几何性质，化归转化思想，属基础题．8.【答案】D【解析】解：将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个小区至少分配1名志愿者，共三种情况，第1种情况：3个社区的志愿者人数分别为4，1，1，不同的分配方案共有种，第2种情况：3个社区的志愿者人数分别为3，2，1，不同的分配方案共有种，第3种情况：3个社区的志愿者人数分别为2，2，2，不同的分配方案共有种，则分配到3个小区的志愿者人数互不相同的概率故选：先将6名志愿者分组，然后再全排列到各个小区．本题主要考查了排列组合知识的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：因为，则，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高，由正弦定理得，由为锐角三角形，可知，则，所以，从而，因此AB边上的高的取值范围是故选：先利用正弦定理和余弦定理可得，进而求出AB边上的高，然后结合正弦定理和锐角三角形得到，最后利用正切函数的图象和性质即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：，则有，即因为，，所以，设，其中，因为函数、在上均为增函数，则函数在单调递增，则，即，A对B错，其它选项无法判断．故选：分析可得，设，其中，分析函数的单调性，可得出结论．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查对数值的大小比较，考查函数思想以及运算求解能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解；设直线l与曲线：和：都相切，且与相切于点，，直线l的斜率为，直线l的方程为，联立，整理得：，，，根据题意可得关于的方程有唯一解，函数有唯一零点，设，令，，解，得，在区间单调递减；解，得，在区间单调递增，在处取得唯一极小值，由题意知，，解得，故选：由已知，根据导数的几何意义，可设直线方程为，进而可推得有唯一解．设，根据导函数求出在处取得唯一极小值，根据，即可得出a的值．本题考查两曲线的公切线问题，导数的几何意义，函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．12.【答案】B【解析】解：因为，，，所以因为，且，，…，，所以，，…，，故…，则数列的前6项可设为0，d，2d，3d，4d，5d，则有，B选项正确，其余选项错误．故选：由题意可证得数列是首项为0的等差数列，验证选项即可．本题主要考查数列递推式，考查逻辑推理能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：作出可行域如图中阴影部分所示，将化为，结合图形可知，当直线过点A时，z取最小值，联立方程，解得，，即，则故答案为：画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求解．本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题图知，，则，解得，设的最小正周期为T，易知，所以，因为，所以，解得，当且仅当时，符合题意，此时故答案为：由图象可知，即可推出进而根据图象可推得，即可得出，进而可得出答案．本题主要考查了三角函数的周期性，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，设O为坐标原点，则直线OH的方程为由，则点到直线距离为，又，则由，可知设双曲线C的左焦点为，连接，由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，则，，所以C的离心率故答案为：不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解．本题考查双曲线的性质以及余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：在三棱锥的侧面PCD中，如果，则三条侧棱PC，PE，PD两两垂直，底面CDE不可能为直角三角形，故，又，则，在直角梯形ABCD中，因为，所以在三棱锥中，，，则平面PCD，又平面PCD，所以，又因为，所以平面PDE，又平面PDE，所以，即，所以三棱锥外接球的球心为CE的中点O，半径为OC，在中，，，，则在直角梯形ABCD中，作于H，，则，且有，所以外接球O的半径为，球O的表面积为故答案为：根据题目已知条件分析得三棱锥外接球的球心为CE的中点O，半径为OC，结合图形即可求得半径．本题主要考查几何体的体积，属于中档题．17.【答案】证明：依题意，当时，由，①可得，②①-②，可得，又，即，，即，故数列是等差数列．解：由题意可得，当时，，解得，设等差数列的公差为d，则，解得，，，构造数列：令，则，故，，数列为递增数列，当时，，当时，，设数列的前n项和为，则当时，，当时，，综上所述，可得【解析】根据题意当时，由，可得，两式相减进一步推导，根据等差数列的定义即可判别出数列是等差数列；先将代入题干表达式计算出，再设等差数列的公差为d，计算出公差d的值，即可计算出数列的通项公式，然后构造数列：令，计算出数列的通项公式，并运用作差法分析数列的单调性，再将数列的通项与0进行大小比较，然后分和两种情况分别计算出数列的前n项和，最后综合即可得到前n项和本题主要考查等差数列的判定，以及绝对值数列的求和问题．考查了分类讨论思想，整体思想，转化与化归思想，等差数列的定义与求和公式的运用，构造法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：根据题意可得，有的把握认为手机屏幕的抗跌性与手机款式有关；可能的取值分别为0，1，2，又，，的分布列为：X012P，免费更换屏幕的次数X的期望为【解析】利用列联表中的数据计算，对照临界值表即可判断；由X可能的取值计算对应的概率，得到X的分布列，由公式计算数学期望．本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．19.【答案】解：如图所示，连接，，，，因为C，，D，四点共面，由圆柱的结构特征可知因为，为AB中点，所以，又，，所以平面，又平面，所以延长交于点E，连接CE，则，以E为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系因为圆柱的侧面积为，高为1，则，设，则，，则有，，，，，，设平面ABC的法向量为，由得取，可得平面ABC的法向量则则，又，所以，故或故三棱锥的体积【解析】由已知条件通过证明平面，得到延长交于点E，建立空间直角坐标系，设，由已知条件解得，可求三棱锥的体积．本题主要考查线线垂直的证明，棱锥的体积公式，圆柱的结构特征，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：由，三点的坐标，可知椭圆E的焦点在x轴上，设椭圆E的方程为，又椭圆E过，则，，故椭圆E的方程为：；设，且有，不妨设，所以直线AD：，即，由，消去y得，设，则，所以，，连接OD，取OD的中点Q，则，连接PQ，因为，所以，又，，则有，解得，由，得，则【解析】根据椭圆过三个点，可得椭圆方程；将直线AD表示出来，与椭圆联立，把点P坐标表示出来，根据三角形相似，对应边成比例可得所求比值．本题考查直线与椭圆的综合，属于中档题．21.【答案】解：当时，，，令，解得或当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减．故的单调递减区间为，，单调递增区间为，①若，当时，，单调递增，当时，，单调递减，无极小值．②若，令，解得或若，即，x小于0大于0小于0单调递减单调递增单调递减所以在处取极小值，此时有的极小值若，即，在R上恒成立，所以单调递减，无极值．若，即，x小于0大于0小于0单调递减单调递增单调递减的极小值令，设，则，令，则或舍去当时，，单调递增；当时，单调递减．所以，综上所述，的极小值的最大值为【解析】代入函数解析式，求导，利用导数讨论的单调性；分类讨论函数的单调性，计算极小值，利用构造函数求解单调性的方法求极小值的最大值．本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，考查了考试分析问题的能力，属于中档题．22.【答案】解：由的参数方程可得，，故的普通方程为由的参数方程可知，，故的普通方程为当时，由l的极坐标方程，得，即，化为直角坐标方程为，将代入得，即直线与有一个交点；将代入得或，即直线与有2个交点，此时直线l与，共有三个交点，当时，，则有，整理得即直线l经过点，倾斜角为，此时点在内部，直线l与其有两个交点，若直线l与，共有三个交点，则直线l与圆相切，即，解得，此时，综上，若直线l与，共有三个交点，或【解析】根据曲线的参数方程消去参数，即可求得普通方程；将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，讨论和两种情况，时，根据交点个数判断直线和圆的位置关系，求得答案．本题考查参数方程以及极坐标的应用，是中档题．23.【答案】证明：因为，，，则，当且仅当时等号成立，所以因为，，，则，当且仅当，即时等号成立．则，所以【解析】根据不等式证明即可；变形，然后根据不等式证明即可．本题考查不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于基础题．。
河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题
一、单选题1. 2020年是脱贫攻坚战决胜之年．凝心聚力打赢脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会．为了如期完成脱贫攻坚目标任务，某县安排包括甲、乙在内的个单位对本县的个贫困村进行精准帮扶，要求每个村至少安排一个单位，每个单位只帮扶一个村，则甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为（ ）A．B．C．D．2. 2011年至2020年是中国电力工业发展的黄金十年，煤电产能结构持续优化，新能源发展突飞猛进．如图是2011年至2021年每年1~8月全社会用电量统计图，则下列说法不正确的是（）A ．2021年1~8月的全社会用电量最大B ．2020年1~8月的全社会用电量同比增长最低C ．2016年1~8月全社会用电量为2011年至2021年每年1~8月全社会用电量的中位数D ．2011年至2015年每年1~8月全社会用电量同比增长的极差大于2016年至2021年每年1~8月全社会用电量同比增长的极差3.已知等差数列的前项和为，，则（ ）A ．11B ．12C ．13D ．144.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A．B．C．D．5. “米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（）A ．2B ．3C ．4D ．66.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题二、多选题7.函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．8. 若复数，则复数z 的虚部是（ ）A ．B．C ．1D ．29. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作直线交双曲线的右支于、两点，其中点在第一象限，且，，则（ ）A ．双曲线的离心率为B．过点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，则C．若为的中点，则直线（其中为坐标原点）和直线的斜率之积为D．的内切圆半径和的内切圆半径之比为10.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标保持不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）A．B．的图象关于点对称C ．若，则的值域是D ．对任意，都成立11. 已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（ ）A．B．C．D．12. 根据小红家2022年全年用电量（单位：度）和该月的用电量占年总用电量的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（）A ．2022年第二季度的用电量为260度B ．2022年下半年的总用电量为500度C ．2022年11月的用电量为100度三、填空题四、解答题D ．2022年12个月的月用电量的中位数为80度13. 已知向量，满足，，则满足条件的一个向量__________．14.四边形中，，，设、的面积分别为、，则当取最大值时，__________．15.在展开式中，常数项为__________.（用数值表示）16. 已知函数．（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数在上的值域．17. 已知函数，其中为自然对数的底数．(1)若，求的单调区间；(2)证明：．18. 已知为实数，且，数列的前项和满足（1）求证：数列为等比数列，并求出公比；（2）若对任意正整数成立，求证：当取到最小整数时，对于 都有.19.如图，在正三棱柱中，为上一点，，，为上一点，三棱锥的体积为.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离．20. 已知函数，.（1）求的单调性；（2）若，且的最小值小于，求的取值范围.21. 为积极响应国家对垃圾分类处理的号召，增强市民的环保意识，加快城市生态文明的建设，某市决定在A ，B ，C 三个社区进行垃圾分类回收试点，现准备建造一座垃圾处理站D ，集中处理三个社区的湿垃圾．如图，已知千米，千米，，．（1）求垃圾处理站D与社区A之间的距离；（2）假设有大、小两种运输车，负责在各社区和垃圾处理站之间运输湿垃圾，车在运输期间都是直线行驶，每辆大车的行车费用为每千米a元，每辆小车的行车费用为每千米元（）．现有两种运输湿垃圾的方案方案一：用一辆大车运输，从D出发，依次经A，B，C，再由C返回到D；方案二：用三辆小车运输，均从D出发.分别到A，B，C，再各自原路返回到D．请从行车费用的角度比较哪种方案更合算，并说明理由．。
河南省高考数学2月份模拟试卷
河南省高考数学2月份模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题． (共8题；共16分)1. （2分） (2018高一上·成都月考) 设集合，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·长安期末) 函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·温州期中) 计算（）A .B . 2C . 4D . 84. （2分）(2018·江西模拟) 已知都是实数，那么“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2019·河北模拟) 已知函数，数列满足，，若要使数列成等差数列，则的取值集合为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·浙江月考) 若实数满足约束条件，则的最大值是（）A . 1B . 3C . -1D . -37. （2分）(2019·宣城模拟) 已知双曲线 : 的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线在第一象限上的点，直线交双曲线左支于点，直线交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·景德镇月考) 某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2016高二上·集宁期中) 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为________．10. （1分） (2018高二上·嘉兴期末) 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.11. （1分）把函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再将横坐标缩小为原来的，则其解析式为________12. （1分）(2017·烟台模拟) 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，y0）到其焦点的距离为5，双曲线（b＞0）的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线垂直于直线AM，则其离心率为________．13. （1分） (2017高一下·台州期末) 已知x，y为正实数，且满足（xy﹣1）2=（3y+2）（y﹣2），则x+ 的最大值为________．14. （1分） (2020高三上·成都月考) 已知，，与垂直，则与的夹角为________.15. （1分）如图，P﹣ABCD是棱长均为1的正四棱锥，顶点P在平面ABCD内的正投影为点E，点E在平面PAB内的正投影为点F，则tan∠PEF=________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分）(2020·贵州模拟) 的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且的面积为，求边的取值范围．17. （10分） (2020高二上·运城期中) 如图，四棱锥的底面为正方形，平面平面，且， .（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．18. （10分） (2016高一上·河北期中) 已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．（1）求f（x）的解析式（2）是否存在常数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n 的值；如不存在，说明理由．19. （10分） (2018高二下·邱县期末) 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且直线与直线分别交于两点．是否存在点使得以为直径的圆经过点？若存在，求出点的横坐标；若不存在，说明理由.20. （10分） (2016高二上·福州期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1=1，Sn+1=4an+2（n∈N*）．（1）设bn=an+1﹣2an ，证明数列{bn}是等比数列（要指出首项、公比）；（2）若cn=nbn ，求数列{cn}的前n项和Tn ．参考答案一、选择题． (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。