线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
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线性代数第一章第二节
四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解 含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项 ，a12 a43a31a24是四阶 行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排 列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2
(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
所以，a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
线性代数基础
0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
a1n D a n1 a2,n 1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1
an1
(3)
上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a11 0 D 0
a11a22a34a43 2 x 3
故 x 3 的系数为－1.
§1.2
代数余子式:
行列式按行(列)展开
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij的余子式，记作 M ij . 把 Aij 1 子式．
例如
i j
M ij
, n) 排成的
a21
a22
am 1 am 2
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵的分块 §2.5 方阵的特征值与特征向量 补充: 几个重要的矩阵
§2.1 矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2, m 行 n 列的数表 a11 a12
, m; j 1, 2,
a1n a2 n amn
a1 n a2 n amn
1 0 4. 形如 0 0
2
0
0 0 记作 的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n
线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
课题 二阶与三阶行列式,全排列及其逆序数,n阶行列式的定义,对换
课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；n 阶行列式的定义；对换.1、二阶行列式把二元线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩ （1）的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表11122122a a a a （2）其运算表达式11221221a a a a -称为数表（2）的二阶行列式，记为1112112212212122a a D a a a a a a ==- （3）理解：（1）数(1,2;1,2)ij a ij ==称为行列式（3）的元素或元，即行列式（3）的元素可表为(1,2;1,2)ij a i j ==，其中i 为行标，j 为列标。
元素ij a 位于该行列式（3）的第i 行第j 列或称为行列式（3）的第(,)i j 元.（2）把11a 到22a 的联线称为主对角线，12a 到21a 的联线称为副对角线，二阶行列式等于各元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.（3）行列式表示按某种法则运算的结果.利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程可写为111221220a a D a a =≠，1121222b a D b a =，1112222a b D a b =.所以 11D x D =，22D x D=.自学P 2例1. 2、三阶行列式定义：设有9个数排成3行3列的数表111213212223313233a a a a a a a a a （4） 记为111213212223112233122331313233a a a D a a a a a a a a a a a a ==+ 132132132231112332122133a a a a a a a a a a a a +---. （5）（5）式称为数表（4）所确定的行列式.例1 计算三阶行列式222111a b c abc. 解 原式=222222bcca ab ba cb ac ++---=()()()a b b c c a ---. □ 自学P 3例2。
线性代数知识点总结
1. 二阶行列式--------对角线法则 :2. 三阶行列式 ①对角线法则②按行（列）展开法则3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。
所有排列的种数用 表示， = n ！逆序数：对于排列…，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。
整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。
奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。
n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.4.其中： 是1,2,3的一个排列，t()是排列的逆序数5. 下三角行列式:副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式：6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。
D =②互换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 ：两行（列）相同的行列式值为零。
互换两行：③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。
第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。
如：⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。
如333231232221131211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---32132123312322211312113j 2j 1j )j j t (j 33a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n2211n nn 2n 1222111...a a a a ...a a 0a a a =n...λλλλλλ21n21= n21λλλ n2121)n(n λλλ1)( --=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a+++n nn j n 2n 12n2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a +=第j 列的k 倍加到第i 列上：7. 重要性质：利用行列式的性质或，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶行列式的值。
线代1-2全排列和对换
01 031 于是排列32514的逆序数为 t = 0+1+0+3+1 = 5.
•奇排列：逆序数为奇数的排列; •偶排列：逆序数为偶数的排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性.
(1) 217986354.
217986354
解: 该排列逆序数为:
0 1001344 5
t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列.
1. n个不同的元素的所有排列种数为n!个; 2. 排列具有奇偶性; 3. 计算排列逆序数常用的方法.
(2) n(n–1)(n–2) ···2 1 解: n (n–1) (n–2) ···2 1
0 1 2 ···(n–2) (n–1)
于是此排列的逆序数为:
t = 0+1+2+ ···+(n–2)+(n–1) nn 1,
2 当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时 为奇排列.
四、对换与排列奇偶性的关系
定理1: 排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
推论1: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排 列调成标准排列的对换次数为偶数. 推论2: n个自然数的所有排列中奇偶排列各占一半.
证明: 先考虑相邻对换的情形. 例如 a1 a2 ···al a b b1 ···bm 对换 a与b a1 a2 ···al b a b1 ···bm 即除 a, b 外, 其它元素的逆序数不改变.
当 a<b 时, 对换后 a 的逆序数增加1, b 的逆序数不变; 当 a>b 时, 对换后 a 的逆序数不变, b 的逆序数增加1; 因此, 相邻对换排列改变奇偶性.
•奇排列：逆序数为奇数的排列; •偶排列：逆序数为偶数的排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性.
(1) 217986354.
217986354
解: 该排列逆序数为:
0 1001344 5
t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列.
1. n个不同的元素的所有排列种数为n!个; 2. 排列具有奇偶性; 3. 计算排列逆序数常用的方法.
(2) n(n–1)(n–2) ···2 1 解: n (n–1) (n–2) ···2 1
0 1 2 ···(n–2) (n–1)
于是此排列的逆序数为:
t = 0+1+2+ ···+(n–2)+(n–1) nn 1,
2 当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时 为奇排列.
四、对换与排列奇偶性的关系
定理1: 排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.
推论1: 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排 列调成标准排列的对换次数为偶数. 推论2: n个自然数的所有排列中奇偶排列各占一半.
证明: 先考虑相邻对换的情形. 例如 a1 a2 ···al a b b1 ···bm 对换 a与b a1 a2 ···al b a b1 ···bm 即除 a, b 外, 其它元素的逆序数不改变.
当 a<b 时, 对换后 a 的逆序数增加1, b 的逆序数不变; 当 a>b 时, 对换后 a 的逆序数不变, b 的逆序数增加1; 因此, 相邻对换排列改变奇偶性.
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
线性代数1.2
3前面比3大的数有2个；
1前面比1大的数有4个.
逆序数为0+1+2+2+4=9
对换
• 求下列排列的逆序数，并判断奇偶性
• 31254
• 51234
在排列中，将任意两个元素位置对调，其余元 素不动，得到新的排列，这样的变换叫做对换。
定理：对换一个排列中的任意两个数，则 排列改变奇偶性。即奇排列变成偶排列， 偶排列变成奇排列。
由n个数字组成的n阶排列共有 n！个
逆序数
标准次序：数字按由小到大的自然排列的次序
定义 在一个排列中，某个较大的数排在较小的 数前面，则称这两个数构成一个逆序。 例如，在排列13524中，3和2构成了一个逆序。 一个排列中的所有逆序的总数叫做这个排列
的逆序数. 记为
例如，在排列13524中，逆序有32，52，54。
在全部n阶排列中，奇排列和偶排列数目各占一半。
定理
• 任意n阶排列都可以经过有限次对换变成自然 排列，且所做对换的次数与原排列的奇偶性 相同。
练习：将下列排列经过有限次对换，变为标准 排列
• 4312 • 3124
n 阶行列式的定义
观察三阶行列式
D a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
(13524) 3
自然排列、奇排列、偶排列
若一个排列中的所有元素按标准次序 排列，则称之为标准排列或自然排列. 其逆序数为0
逆序数为奇数的排列叫做奇排列； 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
计算逆序数的方法例如 排列 4 2 3 1 9为奇排列
5前面比5大的数有0个；
4前面比4大的数有1个； 2前面比2大的数有2个；
（3）当行标是标准排列时，每一项的符号由 列标排列的逆序数的奇偶性确定；
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11 2
1
b
21
a
xba
=
2 a11a22 a12a21
原则：横行竖列
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
a11 a12 数表 a21 a22
a11 a12 记号 a21 a22
表达式 a11a22 a12a21 称为由该
数表所确定的二阶行列式，即
a11 a12 D=
a21 a22
=
a11b 2
ba 1
21
2 a11a22 a12a21
�分母相同，由方程组的四个系数确定. �分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
7
二元线性方程组
a11x1 +a12x2 = b1 21 1 x +a22 x2 = b2 a
其求解公式为
b1a22 a12b2
x1 = a11a22 a12a21
= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
13
1 2 -4
例2 计算行列式 D = -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D = 1×2×( 2)+ 2×1×( 3)+ ( 4)×( 2)×4 1×1×4 2×( 2)×( 2) ( 4)×2×( 3)
副对角线 a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
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例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
其中 p1 p2 pn , q1q2 qn 是两个 n 级排列，t 为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
例1 试判断 a14a23a31a42a56a65和 a32a43a14a51a25a66 是否都是六阶行列式中的项.
解 a14a23a31a42a56a65 列标的逆序数为
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
所以，a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性．
证明 先证相邻对换的情形 . 设排列为
a1 al ab b1 bm 对换a与b a1 al ba b1 bm
除a ,b 外，其它元素的逆序数不改变.
当a b时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变 ; 当a b时， 经对换后 a 的逆序数不变 ，b的逆序数减少 1 .
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，这种作出新排列的操作叫做对换．
将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．
例如
a1 al a bb b1 bm
a1 al bb aa b1 bm
a1 alaa b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm aa c1 cn
二、对换与排列的奇偶性的关系
其中 p1 p2 pn 为自然数1，2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
1 t p1 p2 pn a1 p1a2 p2 anpn
p1 p2 pn
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定 义的;
的逆序数决定.
6. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
7. 行列式的三种表示方法
D
1 a a L a t( p1p2L pn )
1 p1 2 p2
npn
D
1 a a L a t( p1p2L pn )
p11 p2 2
pnn
D 1 a a L a t( p1p2L pn )t(q1q2L qn )
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
32514 01 031 于是排列32514的逆序数为
2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和;
3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n个元素的乘积;
4、 一阶行列式 a a不要与绝对值记号混淆;
5、 a a 1 p1 2 p2 anpn 的符号为 1t .
例1 计算对角行列式
0001 0020 0300 4000
分析 展开式中项的一般形式是 a a a a 1 p1 2 p2 3 p3 4 p4
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同 列的三个元素的下标排列．
例如 a a a 13 21 32 列标排列的逆序数为
t312 1 1 2, 偶排列 正号
a a a 11 23 32
列标排列的逆序数为
t132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1 p1a2 p2 a3 p3 .
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
a31 a32 a33
二、n 阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1)t a1 p1a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
12 n;
n
1
2
nn1
1 2 12 n .
n
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
1
2
a1n a2,n1
n
an1
1 tnn1 21a1na2,n1 an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
第一章 行列式 第四节 对 换
一、对换的定义
t431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 可改写为 a14a25a32a43a51a66 ,
此时列标的逆序数为 t 452316 8 ,
所以， a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
分析 展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n
0 a22
a2n
1
a a t 12 n 11 22
ann
0 0 ann a11a22 ann .
a1 alab1 bmbc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a1 al bb1 bmac1 cn ,
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性 .
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
证明 由定理 1 知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0), 因此知 推论成立.
同的排法？
定义 把 n个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的
全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 Pn
表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不 同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 i1i2 L it L is L in 中，若 it is ，则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中，
若 p1 4 a1 p1 0, 从而这个项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理 p2 3, p3 2, p4 1.
即行列式中不为零的项为a14a23a32a41 .
0001
0 0
0 3
2 0
0 0
1t 1 4321 2 3 4
24.
4000
例2 计算上三角行列式
a11 a12 L a1n 0 a22 L a2n LLLLLLL 0 0 L ann
n 1 n 2 ,
2
n1n2
Dn 1 2 n!.
小结
1. n 个不同的元素的所有排列种数为n!. 2. 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4. 行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要 而定义的.