2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析.doc

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。

（1）下列曲线中有渐近线的是 （A ）sin y x x =+.(B)2sin y x x =+.(C)1sin y x x =+.(D)21sin y x x=+.【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]limsin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线【答案】C(2)设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ） (A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥. (B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(D)当0f '≥时，()()f x g x ≤【解析】当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()() f x g x ≤ 【答案】D(3)设(),f x y是连续函数，则110(,)ydy f x y -=⎰⎰（A）11110(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰.（B）1101(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰.（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin ).d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰【解析】积分区域如图 0≤y ≤1.1x y ≤≤-用极坐标表示，即：D 1:,012r πθπ≤≤≤≤ D 2: 10,02cos sin r πθθθ≤≤≤≤+【答案】D （4）若{}2211,(cos sin )(cos sin )mina b Rx a x b x dx x a x b x dxππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（A ）2sin x π.(B)2cos x .(C) 2sin x π. (D)2cos x π. 【解析】令2(,)(cos sin )Z a b x a x b x dx ππ-=--⎰2(cos sin )(cos )0(1)2(cos sin )(sin )0(2)a b Z x a x b x x dx Z x a x b x x dx ππππ--⎧'=---=⎪⎨'=---=⎪⎩⎰⎰由（1）得 202cos 0axdx π=⎰故10,0a a ==由（2）得 0120sin 22sin x xdx b b xdxππ===⎰⎰【答案】A(5)行列式00000000a b abc d c d= （A ）（ad-bc ）2（B ）-（ad-bc ）2。

（C ）a 2d 2-b 2c 2. (D)b 2 c 2-a 2 d 2【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c d c dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--【答案】B(6) 设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323 k l αααα++，线性无关是向量组1α ，2α，3α线性无关的（ ） （A ）必要非充分条件. (B)充分非必要条件.（C ）充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.【解析】由132312310(,)(,,)01k l k l ααααααα⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭知，当123,,ααα线性无关时，因为10001≠所以1323,k l αααα++线性无关反之不成立 如当30α=, 1α与2α线性无关时，123,,ααα线性相关【答案】A（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则P(B-A)=（ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【解析】P （A-B ）=P （A ）-P(AB) ∵A 与B 相互独立∴P （AB ）=P （A ）P （B ）∴P （A-B ）= P （A ）- P （A ）P （B ）=P （A ）[1-P （B ）]=0.3 P （A ）（1-0.5）=0.3∴P （A ）=0.6 P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×05=0.3 ∴P （B-A ）=P （B ）-P （BA ）=0.5-0.3=0.2 【答案】B（8）设连续性随机变量X 1与X 2相互独立，且方差均存在，X 1与X 2的概率密度分别为1f x （）与()2f x ，随机变量Y 1的概率密度为()1Y f y =121[()()]2f y f y +，随机变量Y 2= 121()2X X +.则（ ） (A)EY 1>EY 2，DY 1>DY 2 (B)EY 1=EY 2，DY 1=DY 2 (C)EY 1=EY 2，DY 1<DY 2(D)EY 1= EY 2，DY 1>DY 2【解析】⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-∞∞-+=+=dy y yf dy y yf dy y f y f y EY )(21)(21)](21)(21[21211121122EX EX =+ 21212111[()]222EY E X X EX EX =+=+∴21EY EY =2221212212121)(21)(21EX EX dy y f y f y EY +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰+∞∞-122222221212121212111111111()()222222442DY EX EX EX EX EX EX EX EX EX EX ⎛⎫=+-+=+--- ⎪⎝⎭=212221212141414141EX EX EX EX DX DX -+++ =22212121212121111112()()444444DX DX EX EX E X X DX DX E X X ⎡⎤⎡⎤+++-=++-⎣⎦⎣⎦ 21212111()244DY D X X DX DX ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦∴21DY DY >【答案】D二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（9）曲面()221sin 1sin z x y y x =-+-（）在点（1，0，1）处的切平面方程为 .【解析】在点（1，0，1）处，2[2(1sin )cos ]2(1,0,1)(1,0,1)xx y y x z --==2[cos 2(1sin )]1(1,0,1)(1,0,1)yx y y x z -+-==-切平面方程为0)1)(1()0()1(=--+-+-z y z x z y x 即012=---z y x（10）设()f x 是周期为4的可导奇函数，且21f x x '=-（）（）, [0,2],(7)x f ∈则= .【解析】∵)(x f 是周期为4的可导函数 ∴0)0()1()1()3()7(=-=-==f f f f f 且 又2()2(1)()2(0)00f x x f x x x cf C '=-∴=-+==将代入得∴]2,0[2)(2∈-=x x x x f∴(1)1(7)(1)1f f f =-=-=从而（11）微分方程()ln ln txy y x y +- =0满足条件y (1)=e 3的解为y =__________.【解析】0)ln (ln =-+'y x y y x 即0ln =+'yxy y x 两边同除x 得 0ln =+'yxx y y 令x y u =， 则xu y =，dxdu x u dx dy +=代入上式得 01ln =++u u dx du xu 整理得 dx xu u du 1)1(ln =- 两端积分得1ln (ln 1)du dx C u u x =+-⎰⎰⎰⎰+=--C dx xu u d ln 11ln )1(ln11321ln 1(1)2cx cx x u cx u e y xe y e C y xe +++-=====∴=将代入上式得（12）设L 是柱面221x y +=与平面0y z +=的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲面积分[]zdx ydz +⎰=___________.【解析】令cos sin sin x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩]2,0[:πt∴[]⎰⎰π-+--=+Ldt t t t t ydz zdx 20)cos (sin )sin (sint d t dt tsin )sin (22cos 12020-+-=⎰⎰πππ=+π=0（13）设二次型()22212311323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1,则a 的取值范围_________.【解析】1001220a A a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭因为1231230,||,A λλλλλλ++=++= 负惯性指数为1 ∴设10,λ<从而230λλ≥||0A ∴≤① 若||0A <，则1230,0,0.λλλ<>>此时符合题意而24A a =-240.a ∴-<即-2<a <2.② 若0A =,则1230,0,0,λλλ<>=此时2a =±当2a =时 102012220A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭102012(3)(3)22E A λλλλλλλ--=+-=+---1233,3,0λλλ=-==2a ∴=符合题意当a =-2时 102012220A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭102012(3)(3)22A λλλλλλλ-E -=+-=+--1233,3,0λλλ=-== 符合题意综上，a 的取值范围是 22a -≤≤（14）设总体X 的概率密度为f (x , θ)= 22,230,xx θθθ⎧⎪<<⎨⎪⎩其他，其中θ是未知数，X 1,X 2,…,X π为来自总体X 的简单样本，若21ni cx=∑是θ的无偏估计，则c =_________.【解析】22223422222212()3343x X x d x dx x θθθθθθθθθθE =⋅==⋅⎰⎰4221515.62θθθ=⋅= 2221152()().25nnii i i C X C X C n C n θ==E =E =⋅⋅⇒=∑∑三、解答题：15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程成消算步骤.（15）（本题满分10分） 求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e txtx +--⎰+∞→。