第1章整式的乘除计算 题型解读17 用配方法解题题型-北师大版七年级数学下册
《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型
【知识梳理】
1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式；
2.解题方法：
配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。.
【典型例题】
例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______
解析：①x ²若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ；
②若x ²为乘积二倍项，则加上的项是：（x ²6
）²=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x ²或-9．
例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655
解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552
=(1.2345+0.7655)2
=4
例3.若a，b为有理数，且2a2−2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2 =__________ 解析：原方程可变形为： (a−b)2+(a+2)2=0,
∴a=b=−2,
∴原式=-6
例4.已知x2+y2+2x−8y+17=0，求x2017+xy的值。
解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y−4)2=0 ,
∴ x=−1,y=4,,
∴原式=1-4=-3
例5.已知a2+b2−2a+4b+5=0，则a+b=____________
解析：原方程可变形为：(a−1)2+(b+2)2=0 ,
∴ a=1,b=−2,
∴原式=-1
例6.不论x取何数，代数式x2−6x+10的值均为（）
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
解析：原式=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1,故选A
例7.不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x −4y +7的值（ A ）
A ．总不小于2
B ．总不小于7
C ．可为任何实数
D ．可能为负数
解析：原式=(x ²+2x+1)+（y ²-4y+4）+2=(x+1)²+(y-2)²+2≥2,故选A
例8.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题。
求代数式y 2+4y +8的最小值。
解：y 2+4y +8=y 2+4y +4+4=(y +2)2+4,
∵(y +2)2≥0,∴(y +2)2+4≥4,
∴y 2+4y +8的最小值是4.
（1）求代数式m 2+m +1的最小值；
（2）求代数式4−x 2+4x 的最大值。
解析：材料阅读题型，考查完全平方公式、平方的非负性及数学理解能力，解题方法：配方法求最值。
（1）m 2+m +1=m 2+m +14+34=(m +12)2+34,
∵(m +12)2≥0,∴(m +12)2+34≥34
, ∴m 2+m +1的最小值是34.
（2）4−x 2+4x =−x 2+4x +4=−(x 2−4x +4)+8=−(x −2)2+8,
∵(x −2)2≥0,
∴−(x −2)2≤0 ,
∴−(x−2)2+8≤8,
∴4−x2+4x的最大值是8.
例9.（1）求多项式3x2−6x+2的最小值是多少，并写出对应的x的值；
（2）多项式−x2+2x+4的最大值，并写出对应的x的值；
（3）试说明：不管x和y取何值，多项式x2+2x+y2−4y+9总为正；
解析：考查完全平方公式的拓展和平方的非负性，解题方法是：配方法；
（1）3x2−6x+2=3x2−6x+3−1=3(x2−2x+1)−1=3(x−1)2−1，
∵(x−1)2≥0，
∴当x=1时，3x2−6x+2有最小值，最小值为-1；
（2）−x2+2x+4=−x2+2x−1+5=−(x2−2x+1)+5=−(x−1)2+5，
∵−(x−1)2≤0，
∴当x=1时，−x2+2x+4有最大值，最大值为5；
（3）x2+2x+y2−4y+9=(x2+2x+1)+(y2−4y+4)+4=(x+1)2+(y−2)2+4，∵(x+1)2≥0，(y−2)2≥0，
∴(x+1)2+(y−2)2+4≥4，
即x2+2x+y2−4y+9≥4，多项式的值永为正。
例10.阅读下列材料，并利用材料中所使用的方法解决问题。
在学习完全平方公式时老师提出这样一个问题：同学们，你们能判断代数式a2-2a+2最小值吗？小明作出如下的回答:
在老师所给的代数式中，隐藏着一个完全平方式，我可以把他找出来,
a2-2a+2=a2-2·a·1+12+1=(a+1)2+1
因为完全平方式是恢复的，所以它一定大于等于0,余下的1为常数，所以有
a2-2a+2=(a+1)2+1≥1
所以a2-2a+2最小值是1。当且仅当a-1=0即a=1时取得最小值。
其中我们将代数式a2-2a+2改写为一个含有完全平方式的代数式的方法称为配方。利用配方求解下列问题:
（1）记S=(x+3)2+4,求S的最小值,并说明x取何之时S最小。
（2）已知a2+b2+6a-8b+25=0,求a,b的值。
（3）记T=a2+2ab+3b2+4b+5,求T的最小值，并且说明a,b取何值时T最小。
解析：
（1）∵(x+3)2≥0,∴S=(x+3)2+4≥4,当x=-3时，(x+3)2=0，S有最小值为4.
（2）配方法解题.原等式可变形为：(a2+6a+9)+(b2-8b+16)=0，即(a+3)2+(b-4)2=0,∵(a+3)2≥0,(b-4)2≥0，∴a+3=0，b-4=0，∴a=-3，b=4.
（3）配方法解题.T=(a2+2ab+b2)+2(b2+2b+1)+3=(a+b)2+2(b+1)2+3,∵(a+b)2≥0,(b+1)2≥0，∴T≥3,∴当a+b=0，b+1=0时，即a=b=-1时，T有最小值3.
第1章整式的乘除计算 题型解读17 用配方法解题题型-北师大版七年级数学下册
《整式的乘除》计算题型解读17 用配方法解题题型 【知识梳理】 1.题型特点：出现类似完全平方式展开式的代数式； 2.解题方法： 配方法指的是将一个代数式的某一部分，通过恒等变形（如拆分、分组或等式性质的方法）转化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法。初一代数中涉及到“配方法”，多拆分常数项，或运用等式性质进行恒等变形，让拆分出来的项与多项式中的某两项组成完全平方式，且多半会结合平方的非负性进行解题。. 【典型例题】 例1. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是______ 解析：①x ²若为平方项，则加上的项是：±2x ×3=±6x ； ②若x ²为乘积二倍项，则加上的项是：（x ²6 ）²=x4/36， ③若加上后是单项式的平方，则加上的项是：-x ²或-9． 例2.计算：1.23452+0.76552+2.469×0.7655 解析：原式=1.23452+2×1.2345×0.7655+0.76552 =(1.2345+0.7655)2 =4
例3.若a，b为有理数，且2a2−2ab+b2+4a+4=0，则a2b+ab2 =__________ 解析：原方程可变形为： (a−b)2+(a+2)2=0, ∴a=b=−2, ∴原式=-6 例4.已知x2+y2+2x−8y+17=0，求x2017+xy的值。 解析：原方程可变形为： (x+1)2+(y−4)2=0 , ∴ x=−1,y=4,, ∴原式=1-4=-3 例5.已知a2+b2−2a+4b+5=0，则a+b=____________ 解析：原方程可变形为：(a−1)2+(b+2)2=0 , ∴ a=1,b=−2, ∴原式=-1 例6.不论x取何数，代数式x2−6x+10的值均为（） A．正数 B．零 C．负数 D．非负数 解析：原式=x²-6x+9+1=(x-3)²+1≥1,故选A
北师大版七年级(下)数学第一章整式的乘除教案：整式乘法讲义(含解析)
北师大版七年級（下）数学第一章整式的乘除教 案：1 把握单项式与单项式相乘的算理。 把握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。 灵活运用公式，简化运算。 1、单项式乘以单项式法则： 单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式. 注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。 2、单项式乘以多项式的运算法则 单项式与多项式相乘，确实是依照乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加. 3、多项式乘以多项式 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行运算，那个地点再一次说明了整体性思想在数学中的应用。 4、幂的运算法则： ①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 即：n m n m a a a +=⋅ （m 、n 为正整数） ②幂的乘方，底数不变，指数相乘。 即：n m n m a a ⋅=）（ （m 、n 为正整数） ③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 即：n n n b a )b a (⋅=⋅ （n 为正整数） ④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。 n -m n m a a a =÷（m>n ，m 、n 为正整数） 5、乘法的运算律：
①乘法的结合律：（a ×b ）×c=a ×（b ×c ） ②乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac 1、单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式. 注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。 【例1】运算： （1）（2xy2）·（13xy ）; （2）（－2a2b3）·（－3a ）; （3）（4×10 5）·（5×104）; 解：（1）（2xy2）·（13xy ） = （2×13）·（x ·x ）（y2·y ） = 23x2 y3; （2）（－2a2b3）·（－3a ） =［（－2）·（－3）］（a2a ）·b3=6a3b3; （3）（4×105）·（5×104） = （4×5）·（105×104）=20×109=2×1010; 注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再运算绝对值.这时容易显现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a3·3a2=6a5，而不要认为是6a6或5a5. ②相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质. ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式. ④单项式乘法法则关于三个以上的单项式相乘同样适用. ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 练1、（－3a2b3）2·（－a3b2）5; 答案：（－3a2b3）2·（－a3b2）5 =［（－3）2 · （a2）2 ·（b3）2］·［（－1）5 · （a3）5 ·（b2）5］ = （9a4b6）·（－a15b10） = －9·（a4·a15）·（b6·b10） = －9a19b16; 练2、（－23a2bc3）·（－34c5）·（13ab2c ）.
北师大版七年级下册数学第一章--整式的乘除(附答案)
七年级数学下册——第一章 整式的乘除（复习） 单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 第1章 整式的乘除 单元测试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列运算正确的是（ ） A. 9 5 4 a a a =+ B. 3 3 3 3 3a a a a =?? C. 9 5 4 632a a a =? D. () 74 3 a a =- =? ?? ? ? -??? ? ??-2012 2012 532135.2（ ） A. 1- B. 1 C. 0 D. 1997 3.设()()A b a b a +-=+2 2 3535，则A=（ ） A. 30ab B. 60ab C. 15ab D. 12ab 4.已知,3,5=-=+xy y x 则=+2 2 y x （ ） A. 25. B 25- C 19 D 、19- 5.已知,5,3==b a x x 则=-b a x 23（ ） A 、 2527 B 、10 9 C 、53 D 、52 6. .如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四 种表示该长方形面积的多项式： m a b a
①(2a +b )(m +n ); ②2a (m +n )+b (m +n ); ③m (2a +b )+n (2a +b ); ④2am +2an +bm +bn ， 你认为其中正确的有 A 、①② B 、③④ C 、①②③ D 、①②③④ （ ） 7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A 、 –3 B 、3 C 、0 D 、1 8．已知.(a+b)2=9，ab= －11 2 ，则a2+b 2的值等于（ ） A 、84 B 、78 C 、12 D 、6 9．计算（a －b ）（a+b ）（a 2+b 2）（a 4－b 4）的结果是（ ） A ．a 8+2a 4b 4+b 8 B ．a 8－2a 4b 4+b 8 C ．a 8+b 8 D ．a 8－b 8 10.已知m m Q m P 15 8 ,11572-=-= （m 为任意实数） ，则P 、Q 的大小关系为 （ ） A 、Q P > B 、Q P = C 、Q P < D 、不能确定 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11.设12142 ++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。 12.已知51 =+ x x ，那么221x x +=_______。 13.方程()()()()41812523=-+--+x x x x 的解是_______。 14.已知2=+n m ，2-=mn ，则=--)1)(1(n m _______。 15.已知2a =5,2b =10,2c =50,那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是___________. 16.若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ． 三、解答题（共8题，共66分） 17计算：（本题9分） （1）()()0 2 2012 14.3211π--?? ? ??-+--
北师大版七年级下数学第一章《整式的乘除》全套教案
北师大版七年级下第一章《整式的乘除》教案 1.1《同底数幂的乘法》教案 教学目标 1、理解法则中“底数不变、指数相加”的意义；能熟练地应用同底数幂乘法法则进行计算. 2、从同底数幂乘法法则的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力和逻辑推理能力. 重点：同底数幂的乘法法则及法则的正确应用. 难点：同底数幂的乘法法则的推导. 教学流程 一、复习与回顾 回忆乘方、幂等概念. 二、创设情境，引出课题，探索新知 师：看来同学们对以前所学的知识还有印象.哎，有一件事情虽然过去两年多了，但是我相信大家一定印象深刻——那就是2008年北京奥运会.你们还记得奥运场馆的标志性建筑是什么吗？——对，鸟巢和水立方！非常壮观，被列入北京十大建筑，同时也是世界上著名的节能环保建筑.你们认为他们最漂亮的是什么时候呢？到了晚上他们就更漂亮了，是因为什么？（灯光）可能大家有所不知，这里所需要的灯光大部分都不是来自发电厂，而是来自太阳能. （出示: 中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成一个环保的奥运会，很多建筑都做了节能的设计，据统计：奥运场馆一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？）师：你们能列式吗？（学生讨论得出108×105） 师： 108、105我们称之为什么？（幂） 师：我们再来观察底数有什么特点？ 生1：都是10 生2：是一样的 师：像这样底数相同的两个幂相乘的运算，我们把它叫做同底数幂的乘法.（揭示课题） 1、探索108×105等于多少？（鼓励学生大胆猜想？） 13②1040③10040④1013 学生可能会出现以下几种情况：①100 师：那到底谁得猜想是正确呢？小组合作讨论（师提示：根据幂的意义） 生回答师板演：
北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除(学生、家长、教师必备)
第一章整式的乘除 ■通关口诀： 幂的运算六公式；零指负指都包括。 单单单多多和多；整式乘法三法则。 除法情况较复杂；确保结果是整式。 单单多单无多多；初步搞清为什么。 乘除一共五法则；文字符号皆会说。 乘法公式有两个；乘幂公式共八个。 八个公式五法则；本章基本这么多。 公式正反灵活用；科学记数表小数。 整体思想威力大；仔细体会方法多。 ■正奇数学学堂 第一讲：同底数幂的乘法 【知识点一】同底数幂的乘法法则。 1．复习： ⑴整式：单项式和多项式统称为整式。 ⑵整式的加减：一去二合。 ⑶幂的运算：a n表示n个a相乘。底数a；指数n；幂a n 2．法则： ⑴同底数幂的乘法的定义：底数相同的两个幂相乘。 ⑵文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ⑶符号语言：a m·a n=a m+n(m、n是正整数）。 ⑷说明：公式中的字母：可数、可字母、可式。 3．注意：与整式加法之间的关系:如a+a=2a 与a·a=a2的区别。〖母题示例〗 1．n a的意义是表示相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。叫做底数，叫做指数。 2．判断下列计算是否正确，并简要说明理由。（1）a?2a= 2a（2）a+2a= 3a （３）2 a?2a＝２2a（４）3a?3a= 9a （５）3 a+3a=6a 3．计算： （１）3 10×2 10（２）3a?7a （３）x?5x?7x 4．填空： 5 x?（）＝9x m?（）＝4 m 3 a?7a?（）＝11 a 5．计算： （１）m a?1+m a（２）3y?2y＋5y （３）（ｘ＋ｙ）2?（ｘ＋ｙ）6 【知识点二】同底数幂法则的推广和逆用。 1.推广：··· ··· m n p m n p a a a a+++ ???=（m、p、n 为正整数） 2.隐性同底的转化：（b-a）2=（a-b）2（偶次）；（b-a）3=-（a-b）3（奇次）——底数变相反数，结果：奇变偶不变。 3.逆用公式：a m+n=a m·a n（m、n是正整数） 4.逆用公式是灵活性：你想要什么？你希望出现什么？a5=a4+a=a3+a2------ 5.关键词：同底；不变；相加！ 〖母题示例〗 1．灵活运用： （１）x 3＝２７，则ｘ＝。 （２）９×２７＝x 3，则ｘ＝。
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固 【要点梳理】 要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法： (m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：()0 10.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n n a a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++. 要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2 x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除 单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式 1.平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=-
北师大版七年级下册第一章《整式的乘除》逆用公式巧妙解题
北师版七下数学第一章《整式的乘除》逆用公式巧妙解题 在整式乘除运算中，有的运用幕的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，大量习题都是直接套用公式运算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，而且很难计算准确.如果把公式反过来使用，就会化繁为简，化难为易. 一、逆用幕的运算性质 1.同底数幕乘法与同底数幕除法互为逆运算• 例1与a M b2的积为4a3m+2b2n+3的单项式是・ 例2如杲A*6送y= +贝IJA= ________ . 例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被除式，这时可利用乘法与除法的互逆关系来解答• 例3已知3M=4,3N=5,求3M+I1∙ 本题如果想先求出m,n的值，再代入3N1+11中求值，是很难办到的，初一学生更无法进行.但若将同底数幕乘法性质反过来用，就可得到 3M+n=3M•3N,这样问题就迎刃而解了• 2.积的乘方与幕的乘方性质的逆用. 例4计算(a-l)2(a2+a+1)2∙
这个题若按一般运算顺序，先算乘方，后算乘法，就会很繁杂，但若仔细观察，不难发现，作为两个因式的幕的指数都是2,如果将积的乘方性质反过来运用就会简捷很多. 解：(a-l)2(a2+a+1)2 =[(a-l)(a2+a+,)]2 =(a3-D2 =a6-2a3+1. -般地，当两个同指数幕相乘，且底数之积较特殊吋，就应考虑到逆向运用积的乘方的性质. 例5己知a x=2,a y=5,求芒创的值. 该题可先将同底数幕除法性质反过来运用后得到a3χ-2y=a3x÷a2y,这时再将幕的乘方性质逆用一次，得到a3χ-2y=a3x÷a2y=(a x)3÷(a y)2,再代入已知条件就可求出所求代数式的值.
北师大版七年级下册数学第一章 整式的乘除含答案
北师大版七年级下册数学第一章整式 的乘除含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、以下式子化简正确的是（） A.－（x－3）=－x－3 B.4(a＋b)＋2(a＋b)－(a＋b)=5(a＋b) C.－5(－1－0.2x)=－5＋x D.(a＋b)＋(a－b)－(－a＋b)=3a+b 2、雾霾天气是一种大气污染状态，造成这种天气的“元凶”是PM2.5，PM2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒，将数据0.0000025科学记数法表示为（） A.2.5×10 6 B.2.5×10 ﹣6 C.0.25×10 ﹣6 D.0.25×10 7 3、下列计算中，正确的是（） A.2 a+3 b=5 ab B.（3 a 3）2=6 a 6 C. a 6+ a 2= a 3 D.-3 a+2 a=- a 4、已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为 （） A.8.9×10 3 B.8.9×10 ﹣4 C.8.9×10 ﹣3 D.89×10 ﹣2 5、下列计算中正确的是（） A. B. C. D. 6、下列计算正确的是（） A. B. C. D. 7、下列计算结果正确的是（） A. B. C. D. 8、下列各式中，正确的是（）
A.a 5+a 3=a 8 B.a 2•a 3=a 6 C.（﹣3a 2）3=﹣9a 6 D. 9、因式分解（x－1）2－9的结果是（） A.（x＋8）（x＋1） B.（x＋2）（x－4） C.（x－2）（x＋ 4） D.（x－10）（x＋8） 10、下列运算正确的（） A.（﹣a）•（﹣a）4=﹣a 5 B.（a﹣b）2=a 2﹣b 2 C.（a 3）2=a 5 D.a 3+a 3=2a 6 11、如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（） A.a 2+2ab+b 2＝（a+b）2 B.a 2﹣2ab+b 2＝（a﹣b）2 C.4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2 D.（a+b）（a﹣b）＝a 2﹣b 2 12、下列运算不正确是（） A.（a2）3÷ a4＝a2 B.（﹣a2）•（﹣2 a）＝﹣5 a 3 C.（2﹣）0＝1 D. a3+ a3＝2 a3 13、若，则（） A.12 B.4 C.32 D.2 14、下列各式计算结果是a6的是（） A.a 3+a 3 B.a 12÷a 2 C.a 2•a 3 D.（﹣a 3）2 15、观察等式：1+2+22＝23－1；1+2+22 +23＝24－1；1+2+22 +23 +24＝25 －1；若 1+2+22+…+29＝210－1＝m，则用含 m 的式子表示 211 +212 + …+218 +219的结果是（）
北师大版数学七年级下册 第一章整式的乘除 专题复习
题型一：同底数幂的乘法与整式加减的综合应用 计算：（1）x3·x5+x·x3·x4： (2)(2x-1)2·(2x-1)3+(2x-1)4·[-(2x-1)]. 题型二：同底数幂的乘法运算性质的综合应用 已知32x+1=243，求x的值. 题型三：与实际生活结合解决大数据运算 太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为2×104s，光的速度约为3×108 m/s，求太阳系的直径. 规律总结 实际应用型问题应先转化为数学问题，再运用结合律及同底数幂的乘法运算性质进行计算，注意最后一步用科学记数法表示，不要漏掉单位，可用公式(a×10m)×(b×10n)=ab×10m+n来计算. 题型四：与同底数幂有关的探究题 观察下列算式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729，37=2187，38=6561，…用你发现的规律写出32020的末位数字是 已知2a=5，2b=10，2c=20，求a，b，c之间的关系. 题型五：灵活逆用同底数幂的乘法法则解决问题 阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22019的值. 解：设S=1+2+22+23+24+…+22018+22019，将等式两边同时乘2，得2S=2+22+23+24+25+···+22019+22020， 将下式减去上式，得2S-S=22020-1，即S=22020-1. 故1+2+22+23+24+…+22019=22020-1. 请你仿照此法计算下面各题. (1)1+2+22+23+24+ (210) (2)1+3+32+33+34+·•+3n(其中n为正整数).
北师大七年级数学下册第一章整式的乘除知识点及试题
第一章 整式的运算 一、同底数幂的乘法 同底数幕的乘法法则:a m .a n =a m+n (m 、n 都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点 ①法则使用的前提条件是:幕的底数相同而且是相乘时,底数a 可以是一个具体的数字式字母,也可以是一个单项或多项式; ②指数是1时,不要误以为没有指数 ③不要将同底数幕的乘法与整式的加法相滑,对乘法,只要底数相同指数就可以相加;而对于加法,不仅底数相同要求指数相同才能相加 ④当三个或三个以上同底数幕相乘时,法则可推广为:a m ⋅a n ⋅a p =a m+n+p (其中m 、n 、p 均为正数) ⑤公式还可以逆用:a m+n =a m .a n (m 、n 均为正整数) 二、C 的乘方与积的乘方 1．幂的乘方法则:(a m )n =a m.n （m,n 都是正数)是幕的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆 2. (a m )n =(a n )m =a m.n (m,n 都为正数) 3.底数是负号时，运算时要注意，底数是a 与（-a ）是不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将(−a )3化成−a 3 一般地， 4.底数有时形式不同，但可以化为相同。 5.要注意区别(ab )n 与(a +b )n 意义是不同的，不要误以为(a +b )n =a n +b n (a 、b 均不为零) 6.积的乘方法则：积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab )n =a n b n (n 为正整数) 7.幂的乘方与积的乘方法则均可逆向运用。 三、同底数幂的除法 1.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m ÷a n =a m−n （a ≠0,m 、n 都是正数，且m >n ） 2.在应用时需要注意以下几点： ①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能作为除数，所以法则中a ≠0， ②任何不等于0的数的0次幂等于1，即a 0=1(a ≠0),如100=1,(−2.5)0=1,则00无意义， ③任何不等于0的数的-p 次幂（p 是正整数），等于这个数的p 的次幂的倒数，即a −p =1a p (a ≠0,p 是正整数)，而且0−1,0−3都是无意义的：当a >0时，a −p 的值一定是正的；当a <0时，a −p 的值有可能是正的也有可能是负的，如(−2)−2=14 ,(−2)−3=−(1 8) ④运算要注意运算顺序。
北师大七年级数学下册《第一章整式的乘除》质量检测试卷含试卷分析答题技巧
本章质量评估 (时间:90分钟满分:120分) 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列运算正确的是() A.a4+a5=a9 B.a3·a3·a3=3a3 C.2a4×3a5=6a9 D.(- a3)4=a7 2.×等于() A.- 1 B.1 C.0 D.1997 3.设(5a+3b)2=(5a- 3b)2+A,则A等于() A.30ab B.60ab C.15ab D.12ab 4.已知x+y=- 5,xy=3,则x2+y2等于() A.25 B.- 25 C.19 D.- 19 5.已知x a=3,x b=5,则x3a- 2b等于() A. B. C. D.52 6.如图所示,甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式: ①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+bm+b n. 其中正确的有() A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 7.若(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为() A.- 3 B.3 C.0 D.1 8.已知(a+b)2=9,ab=- 1,则a2+b2的值等于() A.84 B.78 C.12 D.6 9.计算(a- b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)的结果是() A.a8+2a4b4+b8 B.a8- 2a4b4+b8 C.a8+b8 D.a8- b8
10.已知P=m- 1,Q=m2- m(m为任意实数),则P,Q的大小关系为() A.P>Q B.P=Q C.P 北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、计算0 2022的结果是（） A．1 B．0 C．2022 D． 1 2022 2、下列计算正确的是（） A．a+3a＝4a B．b3•b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a7 3、三个数02，23-，()1 3- -中，负数的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4、已知并排放置的正方形ABCD和正方形BEFG如图，其中点E在直线AB上，那么DEG ∆的面积1S和正方形BEFG的面积的2S大小关系是（） A ．121 2=S S B ．12S S C ．122S S = D ．123 4 S S = 5、计算(1)(2)m m m ++结果中，3m 项的系数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6、下列运算正确的是（ ） A ．（a 2）3＝a 6 B ．a 2•a 3＝a 6 C ．a 7÷a ＝a 7 D ．（﹣2a 2）3＝8a 6 7、()23a -的值是（ ） A ．5a - B ．6a C ．5a D ．6a - 8、下列计算中，正确的是（ ） A ．3515a a a ⋅= B ．22a b ab += C ．()2362a b a b = D ．()2 224a a =++ 9、下列计算正确的是( )． A ．()33xy xy = B ．()2 22455xy x y -=- C ．()22439x x -=- D ．()323628xy x y -=- 10、下列计算中，结果正确的是（ ） A ．3515x x ⋅= B ．248x x x ⋅= C ．()236x x = D ．623x x x ÷= 一、选择题（共10题） 1. 若 a ，b 是实数，则 2(a 2+b 2)(a +b )2 的值必是 ( ) A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 2. 下列计算正确的是 ( ) A ． (−2a )3=−8a 3 B ． a 2⋅a 2=2a 4 C ． (a 3)2=a 5 D ． a 3÷a 3=a 3. 下列运算正确的是 ( ) A ． a 3⋅a 2=a 5 B ． 2a 2+a 2=2a 3 C ． (a 3)2=a 5 D ． (3a )3=3a 3 4. 计算 (−2)1000⋅(12) 999 ⋅22+22+22+⋯+22⏟64个 的结果为 ( ) A ． −29 B ． 2129 C ． 29 D ． −2129 5. 任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解：n =s ×t （s ，t 是正整数，且 s ≤t ），如果 p ×q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p ×q 是 n 的最佳分解，并规定：F (n )=p q ．例如 18 可以分解成 1×18，2×9，3×6 这三种，这时就有 F (18)=3 6=1 2，给出下列关于 F (n ) 的说法：① F (2)=1 2 ，② F (48)=1 3 ；③ F (n 2+n )= n n+1 ；④若 n 是一个完全 平方数，则 F (n )=1，其中正确说法的个数是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 6. 为了书写简便，18 世纪数学家欧拉引进了求和符号“∑”．例如：∑k n k=1=1+2+3+⋯+ (n −1)+n ，∑(x +k )n k=5=(x +5)+(x +6)+(x +7)+⋯+(x +n )．已知：∑[(x +k )(x − n k=3k +1)]=4x 2+4x +m ，则 m 的值为 ( ) A ． 40 B ． −68 C ． −40 D ． −104 7. 下列计算正确的是 ( ) A ． a 3+a 3=a 6 B ． (a 3)2=a 6 C ． a 6÷a 2=a 3 D ． (ab )3=ab 3 8. 下列有四个结论，其中正确的是 ( ) ①若 (x −1)x+1=1，则 x 只能是 2； ②若 (x −1)(x 2+ax +1) 的运算结果中不含 x 2 项，则 a =1； 北师大新版七年级下册《第1章整式的乘除》 一、选择题 1．（3分）下列等式不成立的是（） A．（ab）2＝a2b2B．a5÷a2＝a3 C．（a﹣b）2＝（b﹣a）2D．（a+b）2＝（﹣a+b）2 2．（3分）如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（） A．30 B．±30 C．15 D．±15 3．（3分）若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（）A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．20 4．（3分）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（） A．a2+2ab+b2＝（a+b）2B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 C．4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 5．（3分）若（x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 6．（3分）若x2﹣x﹣m＝（x﹣m）（x+1）且x≠0，则m等于（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 7．（3分）若3x＝18，3y＝6，则3x﹣y＝（） A．6 B．3 C．9 D．12 8．（3分）下列各式中为完全平方式的是（） A．x2+2xy+4y2B．x2﹣2xy﹣y2 C．﹣9x2+6xy﹣y2D．x2+4x+16 9．（3分）已知（m﹣n）2＝32，（m+n）2＝4000，则m2+n2的值为（）A．2014 B．2015 C．2016 D．4032 10．（3分）利用平方差公式计算（2x﹣5）（﹣2x﹣5）的结果是（） A．4x2﹣5 B．4x2﹣25 C．25﹣4x2D．4x2+25 11．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a、b的值分别为（） A．a＝5，b＝6 B．a＝1，b＝﹣6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 12．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则a2+b2的值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（题型注释） 13．（3分）已知x m＝3，y n＝2，求（x2m y n）﹣1的值． 14．（3分）若a2﹣4a+b2﹣10b+29＝0，则a＝，b＝． 15．（3分）（﹣5a2+4b2）（）＝25a4﹣16b4，括号内应填（） A．5a2+4b2B．5a2﹣4b2C．﹣5a2﹣4b2D．﹣5a2+4b2 16．（3分）99×101＝（）×（）＝． 17．（3分）若a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为． 18．（3分）若a+b＝6，ab＝4，则（a﹣b）2＝． 19．（3分）若a2+b2＝5，ab＝2，则（a+b）2＝． 20．（3分）将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义＝ad﹣bc，若＝6，则x＝． 三、计算题 21．化简求值．（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a＝3，b＝﹣． 22．（16分）计算 （1）a3b2c÷a2b （2）（﹣x3）2•（﹣x2）3 （3）（﹣4x﹣3y）2 （4）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3） 四、解答题 23．若a2b+ab2＝30，ab＝6，求下列代数式的值： （1）a2+b2； （2）a﹣b． 24．先化简，再求值：[b（a﹣3b）﹣a（3a+2b）+（3a﹣b）（2a﹣3b）]÷（﹣3a），其中a、北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除难点解析试题(含答案及详细解析)
新北师大版七年级数学下册第一章《整式的乘除》单元练习题含答案解析 (52)
北师大新版七年级下册《第1章 整式的乘除》2含解析版答案