线性代数 向量组的线性相关性
向量组线性相关性
向量组线性相关性在线性代数中，向量组的线性相关性是一个重要的概念。
当我们谈论向量组的线性相关性时，实际上是在探讨这些向量之间是否存在一种线性关系，即是否存在一组实数使得这些向量的线性组合为零向量。
在本文中，我们将深入探讨向量组的线性相关性，包括线性相关性的定义、判定方法以及线性相关性与线性无关性之间的关系。
定义给定一个由n个向量$\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2, \\ldots,\\boldsymbol{v}_n$组成的向量组，如果存在不全为零的实数$k_1, k_2, \\ldots,k_n$，使得$k_1\\boldsymbol{v}_1 + k_2\\boldsymbol{v}_2 + \\ldots +k_n\\boldsymbol{v}_n = \\boldsymbol{0}$，那么这个向量组就被称为线性相关的；否则，这个向量组就被称为线性无关的。
判定方法方法一：行列式判别法对于n个n维向量组成的矩阵$A=[\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2,\\ldots, \\boldsymbol{v}_n]$，如果$\\text{det}(A) = 0$，则这个向量组线性相关；如果$\\text{det}(A) \ eq 0$，则这个向量组线性无关。
方法二：向量组的秩将向量组的向量依次排列成矩阵A的列向量，然后对矩阵A进行行变换化为阶梯形矩阵B，向量组的秩r即为矩阵B的非零行数，如果r=n，则向量组线性无关；如果r<n，则向量组线性相关。
线性相关性与线性无关性的关系线性相关性和线性无关性是一对互补的概念。
线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，而线性无关的向量组中每个向量都不能被其他向量线性表示。
在实际应用中，线性相关的向量组会造成冗余信息，降低计算效率，而线性无关的向量组则被广泛应用于解方程组、矩阵变换等问题中。
线性代数42-向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩 a 1 A 阵 a 2(ai)jm n有 a j n个 m 维 a n 列向量
a11 a12 a1j a1n
A
a21
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（ 1 , 2 ,
, m
)
k2 j
,
kmj
从而
k11 k12
（ b1,b2,,bs) （1,2,,m)
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的
1T 2T mT
a11
a21
am1
a12 a22 am2
a1s a2s
12TT
a ms sT
设矩阵A经初等行变换变 B，成则B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性，组即合B的行向量 组能由A的行向量组线性.表由示初等变换可逆性 可知，A的行向量组能B的 由行向量组线性表示 于是A的行向量组B与 的行向量组等. 价
1 k k 1 2 2 k k 1 3 3 k k m 1 m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个是方其程余方程的线性组 合时，这个方程就余是的多，这时称方程各组（ 个方程）是线性相；关当的方程组中没有方多余 程，就称该方程组个（方各程）线性无关线（或 性独立. ）
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
线性代数：3.2 向量的线性相关性
,
是线性无关的.
n
例：判断向量组
1 1, a, a2, a3 ,2 1, b, b2, b3 , 4 1, c, c2, c3 ,4 1, d, d 2, d 3
线性相关还是线性无关。（a, b, c, d各不相同）
考虑齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 ax1 bx2 cx3 dx4 0 a2 x1 b2 x2 c2 x3 d 2 x4 0 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 其系数行列式是范德蒙德行列式
即齐次线性方程组有非零解，
所以向量 1,2 ,3 线性相关。
而向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
例： 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关,
1 1 2, 2 2 3,3 3 1
试证 : 1 , 2 , 3线性无关.
证明: 设 k11 k2 2 k3 3 0 k1(1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0
设 k11 k22 l11 l22
两式相减得
kmm lmm
（k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0
因为1,2 ,,m线性无关，
所以系数k1 l1 0, k2 l2 0,, km lm 0, 于是有ki li , i 1, 2, , m.
k11 k22 kmm 0
不妨设ki 0，于是
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki 1 ki
i 1
即i可由其余m-1个向量线性表示。
km ki
m
（充分性）设i可由其余m 1个向量线性表示， 即i l11 li1 i1 li1 i1 lmm
于是l11 l i1 i1 (1) i l i1 i1 lm m 0
线性代数-向量组的线性相关性
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组
e1 = (1,0,,0)T ,e2 = (0,1,,0)T ,，en = (0,0,,1)T
称为n维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E = 1 ≠ 0，知R(E) = n. 即R(E)等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
因α1，α 2，α 3线性无关，故有
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
x2 + x3 = 0.
由于此方程组的系数行 列式 1 01 1 1 0 =2≠0 011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组 b1 ,b2 ,b3线性无关.
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
(1) 若向量组 A：α1,α2 ,,αm 线性相关,则 向量组 B :α1,,α m ,α m+1 也线性相关.反言之,若向
量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证明 （1）记A = (a1,, am ), B = (a1,, am , am+1 )，有 R(B) ≤ R( A) + 1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R( A) < m，从而R(B) ≤ R( A) + 1 < m + 1,因此, 根据定理 2知向量组 B线性相关 .
说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 维）而言的，若增加多 个分量,结论也成立.
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。
向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.一、定义法.利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,,s k k 是否全为0，从而得到结论.对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k ===时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.(1)1,,s αα线性相关⇔1(,,)s r s <αα； 1,,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.用秩的时候经常用到下面几个定理：①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα证明123,,ααα线性无关．【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα其实就是12132(3),(3)2,(3)2,-=-=-=0A E αA E ααA E αα这启发我们应用3-A E 左乘112233k k k ++=0ααα来作恒等变形．【证明】设 112233k k k ++=0ααα， ① 用3-A E 左乘①式，有112233(3)(3)(3),k k k -+-+-=0A E αA E αA E α即 213222k k +=0αα． ②再用3-A E 左乘②式，可得21322(3)2(3),k k -+-=0A E αA E α即314k =0α．由1≠0α，故必有30k =；将其代入②式得212k =0α，故有20k =；再将其代入①式得11k =0α，故有10k =，所以123,,ααα线性无关．【评注】用定义法证明向量组的线性相关性时，需要作恒等变形，最常用的两种变形方法是拆项重组和同乘(等式两端同乘以同一个矩阵)．【例2】已知四维列向量123,,ααα线性无关，(1,2,3,4)i i =β为非零向量，且与123,,ααα均正交，求向量组1234,,,ββββ的秩.【解析】123,,ααα均正交，即0(,1,2,3,4)αβT j i i j ==.以123,,T T T ααα为行向量作为矩阵123A αααT T T =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1234,,,ββββ为列向量作为矩阵()1234,,,B ββββ=，则AB O =.利用矩阵秩的性质得到()+()4A B r r ≤.123,,ααα线性无关，则()3A r =，从而()1B r ≤(1,2,3,4)i i =β为非零向量，则()1B r ≥,得到()=1B r ，即1234(,,,)1r =ββββ.。
线性代数 第4章 向量组的线性相关性
线性组合: 线性组合
定义 2 给定向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m , 对于任何一组 实数 k1， k 2， ， k m，向量 ⋯ k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m 称为向量组 A 的一个 线性组合 ， k1， k 2， ， k m 称为这 ⋯ 个线性组合的系数。
《线性代数》
学习要求： 学习要求：
第四章向量组的线性相关
维向量； 向量组的线性组合 向量组的线性组合； １、掌握下列基本概念：[1] n维向量；[2]向量组的线性组合；[3] 掌握下列基本概念： 维向量 向量的线性表示； 向量组的线性相关与线性无关 向量组的线性相关与线性无关； 向量组的 向量的线性表示；[4]向量组的线性相关与线性无关；[5]向量组的 极大无关组； 向量组的秩 向量组的秩； 两向量组的等价 两向量组的等价。 极大无关组；[5]向量组的秩；[6]两向量组的等价。 ２、知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、定理判别向量 知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、 组的线性相关性。 组的线性相关性。 ３、理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系，熟炼掌握用矩阵的初 理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系， 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 ４、理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 ５、理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 ６、熟炼掌握用矩阵来表示向量组，用矩阵及线性方程组理论判 熟炼掌握用矩阵来表示向量组， 别向量组的线性相关性。 别向量组的线性相关性。 ７、知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。 知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。
线性代数__2[1].2向量组的线性相关性
![线性代数__2[1].2向量组的线性相关性](https://img.taocdn.com/s3/m/b9fe1714a2161479171128c3.png)
k 3 0 1 , 2 , 3 线性无关.
例3：设向量组1 , 2 ,, m 线性无关，且
1 2 m 证明向量组 1 , 2 ,， m 线性无关(m 1). 证 : 设k1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k m ( m ) O
a , a , , a b , b , , a
m 1m 2m 1 2 n
nm
可由 ， ， ， 线性表示
1 2 m
存在一组实数k1 , k 2 , k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m
a1 m b1 a11 a12 a b a a 2 k 21 k 22 k 2 m 1 2 m bn a n1 a n 2 a nm a11k1 a12k 2 ...... a1m k m b1
问题： 零向量是任何向量组的线性组合，为什么？
1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 有 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 即 =2 1 5 2 3 3 0 4 所以，称 是 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合， 或 可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示。
任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分布图示
★ 线性相关与线性无关
★ 例1
★ 例2
★ 证明线性无关的一种方法
线性相关性的判定
★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5
★ 例7
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-3
内容要点
一、线性相关性概念
定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使
,02211=+++s s k k k αααΛ (1)
则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.
注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;
③ 向量组只含有一个向量α时，则
（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；
④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
二、线性相关性的判定
定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.
定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要
条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .
推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵
),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .
推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.
注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.
推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.
定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.
定理5 设有两向量组
,,,,:;
,,,:2121t s B A βββαααΛΛ
向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.
推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥
推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =
例题选讲
例1 设有3个向量(列向量):
,421,221,101221⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα
不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.
例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使
,02211=+e e λλ
也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ
于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个
向量.
例3 (E01) n 维向量组
T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε
称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.
解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵
)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=10
0010
001Λ
ΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.
由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.
例 4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性
相关性.
解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.
),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-212
5r r ,000220201⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.
例5 判断下列向量组是否线性相关:
.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα
解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---111511131242
1 ⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛000000110421
秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.
例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使
0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）
成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+0
0032
2131k k k k k k （2） 因为1
100111
01,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.
因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.
例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.
证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；
（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.
课堂练习
1. 试证明:
(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;
(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
2. 判断向量组
T T T )0,1,1,1(,)1,0,3,1(,)1,0,2,1(321--=-==ααα
是否线性相关.
3. 判断向量组
T T T )11,1,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321-=-=-=ααα
是否线性相关.。