运筹学的优化算法

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数学建模竞赛常用算法(1)
1. 蒙特卡罗方法(Monte-Carlo方法, MC)
该算法又称计算机随机性模拟方法，也称统计试验 方法。MC方法是一种基于“随机数”的计算方法，能够 比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些 数值方法难以解决的问题。 MC方法的雏型可以追溯到十九世纪后期的蒲丰随机 投针试验，即著名的蒲丰问题。 MC方法通过计算机仿 真(模拟)解决问题，同时也可以通过模拟来检验自己 模型的正确性，是比赛中经常使用的方法。
98 年B 题、00年B 题、95 年锁具装箱等问题体 现了图论问题的重要性。
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数学建模竞赛常用算法(5)
5. 计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜 索、分治算法、分枝定界等计算机算法.
92 年B 题用分枝定界法 97 年B 题是典型的动态规划问题 98 年B 题体现了分治算法
这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似， 可看一下与计算机算法有关的书。
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分枝定界法
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
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去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
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数学建模竞赛常用算法
97年的A题 每个零件都有自己的标定值，也都有自
己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一 个极其复杂的公式和108种容差选取方案，根本不可能去求 解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最 优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按 照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为 一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从 中选取一个最佳的。 02年的B题 关于彩票第二问，要求设计一种更好的方 案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能 刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
例1 最短路线问题
2 4
C1
8 3 4
5
B1
D1
5 6
3
6
5 8 7 7
C2 C3
8
5
3 4
E1
3
4
A
D2
1
2
F
B2
C4
D3
4
E2
3
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例1 多阶段资源分配问题
设有数量为x的某种资源，将它投入两种
生产方式A和B中：以数量y投入生产方式A， 剩下的量投入生产方式B，则可得到收入 g(y)+h(x-y)，其中g(y)和h(y)是已知函数，并 且g(0)=h(0)=0；同时假设以y与x-y分别投入两
99A 自动化车床管理：积分、概率分布、随机模拟、 分布拟合度检验
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数学建模竞赛中的算法(3)
99B 钻井布局：几何变换、枚举、最大完全子图、 混合整数规划
00A DNA分类：神经网络、最小二乘拟合、统计 分类 00B 管道订购和运输：最短路、二次规划 01A 血管的三维重建：数据挖掘、曲面重建与拟 合 01B 公交车调度：非线性规划 02A 车灯光源优化设计：最优化 02B 彩票中的数学：概率与优化
种生产方式A，B后可以回收再生产，回收率分
别为a与b。试求进行n个阶段后的最大总收入。
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例1 续（1）
若以y与x-y分别投入生产方式A与B，在第一
阶段生产后回收的总资源为x1=ay+b(x-y)，再将x1
投入生产方式A和B，则可得到收入g(y1)+h(x1-y1)， 继续回收资源x2=ay1+b(x1-y1)，…… 若上面的过程进行n个阶段，我们希望选择n 个变量y,y1,y2,…,yn-1，使这n个阶段的总收入最大。
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例2 生产和存储控制问题
某工厂生产某种季节性商品，需要作下一
年度的生产计划，假定这种商品的生产周期需 要两个月，全年共有6个生产周期，需要作出 各个周期中的生产计划。
多阶段决策过程是指这样一类特殊的活动 过程，他们可以按时间顺序分解成若干相互联 系的阶段，在每个阶段都要做出决策，全部过 程的决策是一个决策序列，所以多阶段决策问 题也称为序贯决策问题。
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动态规划应用举例
最优化原理：最优策略的任一后部子策略都是最优的。
无论以前状态决策如何，从眼下直到最后的诸决策必构成最 优子策略。
此类问题在MATLAB中有很多函数可以调用，只有熟 悉MATLAB，这些方法才能用好。
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数学建模竞赛常用算法(3)
3. 规划类问题算法
此类问题主要有线性规划、整数规划、多目标规划、 二次规划等。竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以 说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、 几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题， 求解就是关键了。
运筹学的优化算法
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运 筹 学 （Operations Research OR）
由于运筹学研究的广泛性和复杂性，人 们至今没有形成一个统一的定义。以下给出 几种定义： 运筹学是一种科学决策的方法 运筹学是依据给定目标和条件从众多方案 中选择最优方案的最优化技术。 运筹学是一种给出坏的问题的答案的艺术， 否则的话问题的结果会更坏。
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例： 用分枝定界法求解：
Max Z=4x1+3x2
s.t. 3x1+4x2 12
4x1+2x2 9
x1,x2 0 整数 用单纯形法可解得相应的松驰问题的 最优解（6/5，21/10）Z=111/10为各分 枝的上界。
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x2 4 3 2
分枝：x1 1,x1 2
（6/5，21/10）
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若松驰问题有最优解，但其各分量不 全是整数，则这个解不是原整数规划的 最优解，转下一步。
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若松驰问题有最优解，但其各分量不全 是整数，则这个解不是原整数规划的最 优解，转下一步。
从不满足整数条件的基变量中任选 一 个xl进行分枝，它必须满足xl [xl ] 或 xl [xl ] +1中的一个，把这两个约束条件加 进原问题中，形成两个互不相容的子问 题（两分法）。
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• 赛题发展的特点：
1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题 的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算 不能完成，计算机模拟和以算法形式给出最终结 果。
2. 赛题的开放性增大: 解法的多样性，一道赛题 可用多种解法。开放性还表现在对模型假设和对 数据处理上。
3. 试题向大规模数据处理方向发展 4. 求解算法和各类现代算法的融合
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数学建模竞赛常用算法(2)
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数 据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工 具。与图形处理有关的问题很多与拟合有关系。
98 年美国赛A 题 生物组织切片的三维插值处理 94 年A 题逢山开路 山体海拔高度的插值计算
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数学建模竞赛中的算法(2)
96B 节水洗衣机：非线性规划
97A 零件参数设计：微积分、非线性规划、随机模 拟
97B 截断切割：组合优化、几何变换、枚举、蒙特 卡罗、递归、最短路 98A 投资收益与风险：线性规划、非线性规划 98B 灾情巡视路线：最小生成树、Hamilton圈、 旅行商问题
4x1+2x2 9
x1,x2 0 ， x1 2 ，整数 用单纯形法可解得相应的（P2）的最 优解（2，1/2） Z=9(1/2)
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再对（P1） x1 1 （1，9/4）分枝：
x2 4
（P3） x2 2
P4
（P4） x2 3
3
2
P1
1 P3 0 1
P2 2
3
4
x1
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（P1）两个子问题：
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X1
2
X2 2
P2:(2,1/2) Z=9(1/2)
P:(6/5,21/10) Z=111/10
P3: (1,2) Z=10
X1 1
P1:(1,9/4) Z=10(3/4) X2
3 P : (0,3)
4
Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10
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动态规划应用举例
多阶段决策过程最优化
93B 足球队排名次: 矩阵论、图论、层次分析法、 整数规划 94A 逢山开路: 图论、插值、动态规划 94B 锁具装箱问题: 图论、组合数学 95A 飞行管理问题 : 非线性规划、线性规划
95B 天车与冶炼炉的作业调度: 非线性规划、动态 规划、层次分析法、PETRI方法、图论方法、排队 论方法 96A 最优捕鱼策略：微分方程、积分、非线性规划
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定界：把满足整数条件各分枝的最优 目标函数值作为上（下）界，用它来判 断分枝是保留还是剪枝。
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定界：把满足整数条件各分枝的最优 目标函数值作为上（下）界，用它来判 断分枝是保留还是剪枝。 剪枝：把那些子问题的最优值与界值 比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉， 直到每个分枝都查清为止。
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例1 续（2）
因此，我们的问题就变成：求y,y1,y2,…,yn-1 ，
以 使 g(y)+h(x-y)+ g(y1)+h(x1-y1)+ …+g(yn1)+h(xn-1-yn-1)
达到最大，且满足条件
x1=ay+b(x-y)
x2=ay1+b(x1-y1) ……… xn-1=ayn-2+b(xn-2-yn-2) yi与xi均非负,i=1,2, …,n-1
98年B 题 用很多不等式完全可以把问题刻画清楚