ch05一阶逻辑等值演算与推理 - 副本

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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
例5.2：证明： ：证明：
(1) ∀x(A(x)∨B(x)) <≠> ∀x A(x)∨ ∀x B(x) (2) ∃ x(A(x)∧B(x)) <≠> ∃x A(x)∧ ∃x B(x) 其中，A(x)、B(x)为含 自由出现的公式。 为含x 其中，A(x)、B(x)为含x自由出现的公式。 只需证明∀x(A(x)∨B(x))↔∀ ↔∀x B(x)不 证:（1）只需证明∀x(A(x)∨B(x))↔∀x A(x)∨ ∀x B(x)不 是永真式。 是永真式。 设个体域为人集合，A(x): 是男人。 B(x): 是女人。 设个体域为人集合，A(x):x是男人。 B(x):x是女人。 x(A(x)∧B(x))↔ B(x)不是 （2）只需证明 ∃x(A(x)∧B(x))↔ ∃x A(x)∧ ∃x B(x)不是 永真式。 永真式。 设个体域为全总个体域， A(x): 是人。 B(x): 有尾巴。 设个体域为全总个体域 ， A(x):x 是人 。 B(x):x 有尾巴 。 此例说明， 此例说明，“∀”对“∨”无分配律，“∃”对“∧”无分配律 无分配律，
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
第二组： 第二组： 1、消去量词等值式 、 设个体域为有限集D={a1，a2，… ，an}，则 设个体域为有限集 ， (1) ∀x A(x) A(a1)∧A(a2)∧… ∧A(an) A(a )∧A(a )∧… ∧A(a (2) ∃x A(x) A( 1)∨A( 2)∨ ∨ A( n) A(a )∨A(a )∨… A(a 2、量词否定等值式 、 A(x)是任意的含自由出现个体变项 的公式， 是任意的含自由出现个体变项x的公式 设A(x)是任意的含自由出现个体变项 的公式，则 (1) ∀x A(x) ∃x A(x) (2) ∃x A(x) ∀x A(x)
在一阶逻辑中， 在一阶逻辑中，有些命题可以有不同的符号 化形式。 化形式。如： 没有不能表示为分数的有理数。 没有不能表示为分数的有理数。
是有理数。 能表示成分数。 令 H(x): x是有理数。W(x):x能表示成分数。 则： 是有理数 能表示成分数 （1）∀x (H(x) → W(x)) （2） ∃x(H(x)∧ W(x)) 均正确。 均正确。 同命题逻辑一样，我们称（1）、（2）是等值的。 同命题逻辑一样，我们称（ 是等值的。
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
如下： 例5.4：给定解释 如下： ：给定解释I如下 (a)个体域 个体域D={2,3} 个体域 (b)D中特定元素 中特定元素a=2 中特定元素 (c) D上特定函数 上特定函数f(x):f(2)=3,f(3)=2 上特定函数 (d) D上特定谓词 上特定谓词G(x,y):G(2,2)= G(2,3)= G(3,2)=1,G(3,3)=0. 上特定谓词 L(x,y):L(2 L(3 )=1 L(2 L(3 )=0 L(x,y):L(2,2)= L(3,3)=1, L(2,3)= L(3,2)=0. F(x):F(2)=0,F(3)=1 F(x):F(2)=0,F(3)=1. 下求下列各式的真值。 在I下求下列各式的真值。 (1)∀x(F(x) ∧ G(x,a)) (3)∀x∃y L(x,y)
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(2)∃ x(F(f(x))∧G(x,f(x))) F(f(x)) (4)∃y∀x L(x,y)
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
解: (1) (2) (F(2 G(2 (F(3 G(3 (F(2)∧G(2,2))∧(F(3)∧G(3,2)) (0∧1)∧(1∧1)
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
将下列各公式的量词去掉。 例5.3：设个体域为 ：设个体域为D={a,b,c},将下列各公式的量词去掉。 将下列各公式的量词去掉 (1) ∀x(F(x)→G(x)) (2) ∀x(F(x)∨∃y G(y)) x(F(x)∨∃ (3) ∃ x∀y F(x,y) ∀ 解: (1) (2) (F(a)→G(a)) ∧(F(b)→G(b))∧(F(c)→G(c)) 公式5 公式5.3 F(x)∨∃ ∀x F(x)∨∃y G(y)
∀x(A(x)→B) x(A(x)→
∀x(B→ A(x))
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∃ x A(x) → B
B → ∀ x A(x)
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
3、量词辖域收缩与扩张等值式 、 A(x)是任意的含自由出现个体变项 的公式， 中 是任意的含自由出现个体变项x的公式 设 A(x) 是任意的含自由出现个体变项 的公式 ， B中 不含x的出现 的出现， 不含 的出现，则 (2) ∃ x(A(x)∨B) ∃ x A(x)∨B ∃ x(A(x)∧B) ∃ x A(x)∧B
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
2、换名规则 是一公式， 中某个辖域中约束变项 约束变项的所有出 设 A 是一公式 ， 将 A 中某个辖域中 约束变项 的所有出 现及相应的指导变元，改成该量词辖域中未曾出 现及相应的指导变元，改成该量词辖域中未曾出 的某个个体变项符号，公式中其它部分不变， 现的某个个体变项符号，公式中其它部分不变， 设所得公式为A`, A`,则 A`。 设所得公式为A`,则 A A`。 3、代替规则 是一公式， 中某个自由出现 自由出现的个体变项所有 设 A 是一公式 ， 将 A 中某个 自由出现 的个体变项所有 出现用A 未曾出现的个体变项符号代替 的个体变项符号代替， 出现用A中未曾出现的个体变项符号代替，A中其 它部分不变，设所得公式为A`, A`,则 A`。 它部分不变，设所得公式为A`,则 A A`。
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
设个体域为D={a,b,c},将下列各公式的量词去掉。 练习：设个体域为 将下列各公式的量词去掉 (1) ∀x ∀y(F(x) ∨ G(y)) (2) ∀x(F(x,y) → ∃y G(y))
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F(f(2 G(2,f(2 F(f(3 G(3,f(3 ( F(f(2))∧G(2,f(2)))∨ ( F(f(3))∧G(3,f(3))) F(3 G(2 F(2 G(3 ( F(3)∧G(2,3))∨ ( F(2)∧G(3,2)) (1∧1)∧(0∧1)
1 L(2 )∨L(2 L(3 )∨L(3 (3) ( L(2,2)∨L(2,3))∧ ( L(3,2)∨L(3,3)) (1∨0)∧(0∨1) 1 (4) ∃y( L(2,y) ∧ L(3,y) ) L(2 L(3 L(2 L(3 L(2 L(3 ( L(2,2)∧L(3,2))∨(( L(2,3) ∧ L(3,3)) )∨(0 (1∧0)∨(0∧1) 0
(F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∨ G(b)∨ G(c)) (3) ∃ x( F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c)) (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨ F(a,a) (F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨ F(b,a) (F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c)) F(c,a)
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
定义ห้องสมุดไป่ตู้.1 定义
是一阶逻辑中任意两个公式， 为重言式， 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式， ， 是一阶逻辑中任意两个公式 若A ↔ B为重言式， 为重言式 则称A与 是等值的 记作A 是等值的， B。 称A B是等值式。 是等值式。 则称 与B是等值的，记作 。 是等值式 已经得证的重要等值式： 已经得证的重要等值式： 第一组： 等值式给出的代换实例， 第一组：由P21-22等值式给出的代换实例，如： (1) ∀x F(x) ∀x F(x) (2) ∀x ∃y(F(x,y)→G(x,y)) ∀x ∃y(F(x,y)→G(x,y)) (3) F(x)→G(y) F(x) ∨ G(y) (4) ∀ x(F(x)→G(y))→∃z L(z) ∀ x(F(x)→G(y))∨∃z L(z) F(x) G(y))∨∃ F(x)
(1) ∀x ∃y F(x,y) (2) ∃y∀x F(x,y) (3) ∀x ∀y( F(x,y) →F(f(x),f(y)))
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
3、量词辖域收缩与扩张等值式 、 A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式 是任意的含自由出现个体变项 的公式， 设A(x)是任意的含自由出现个体变项 的公式， B中不含 的出现，则: 中不含x的出现 中不含 的出现， (1) ∀x(A(x)∨B) ∀x(A(x)∧B) ∀x A(x)∨B ∀x A(x)∧B
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(换名规则) 换名规则) 换名规则) (换名规则)
(代替规则) 代替规则) 代替规则) (代替规则)
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理
练习：将下列公式等值化， 练习：将下列公式等值化，使其不含既是约束出现
又是自由出现的个体变项。 又是自由出现的个体变项。
∀x∃y(F(x,y)∧G(y,z))∨ ∃x H(x,y,z)
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第五章 一阶逻辑等值演算与推理 练习：给定解释I如下 如下： 练习：给定解释 如下：
(a)个体域 个体域D={3,4} 个体域 (b) D上特定函数 上特定函数f(x):f(3)=4,f(4)=3 上特定函数 (c)D上特定谓词 上特定谓词F(x,y):F(3,3)= F(4,4)=0, F(3,4)=F(4,3)=1. 上特定谓词 下求下列各式的真值。 在I下求下列各式的真值。