2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 第六章不等式
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 专题六立体几何 Word版含解析
专题六 立体几何第1课时1．(2015年新课标Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图Z6-1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图Z6-1 A.18 B.17 C.16 D.152．如图Z6-2，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图Z6-2 A.163 B.323 C.643D ．32 3．某几何体的三视图如图Z6-3，则该几何体的体积为( )图Z6-3 A.23 B.43C.83D.1634．(2016年河北“五校联盟”质量监测)某四面体的三视图如图Z6-4，则其四个面中最大的面积是( )图Z6-4 A ．2 B ．2 2 C. 3 D ．2 35．已知一个几何体的三视图如图Z6-5，则该几何体的体积为( )图Z6-5 A ．8 B.223 C.233D ．7 6．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A ．7πB ．14π C.72π D.714π3 7．(2013年新课标Ⅰ)如图Z6-6，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )图Z6-6 A.500π3 cm 3 B.866π3cm 3 C.1372π3 cm 3 D.2048π3cm 3 8．(2016年北京)某四棱柱的三视图如图Z6-7，则该四棱柱的体积为________．图Z6-79．球O 半径为R ＝13，球面上有三点A ，B ，C ，AB ＝12 3，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积是( )A ．60 3B ．50 3C ．60 6D ．50 610．如图Z6-8，已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )图Z6-8 A.7π4 B ．2π C.9π4D ．3π 11．(2017年广东茂名一模)过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB ，AC ，AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为R ，则△BCD 的面积为____________．12．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________．第2课时1．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．(2016年天津模拟)如图Z6-9，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：图Z6-9 ①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D -ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC .其中正确的是( )A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长各为2，m ，n ，其中m 2＋n 2＝6，则三棱锥体积的最大值为( )A.33B.12C.8 327D.234．(2016年辽宁葫芦岛统测)已知四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD 垂直于平面ABCD ，在△P AD 中，P A ＝PD ＝2，∠APD ＝120°，AB ＝2，则球O 的外接球的表面积等于( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．36π5．在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A ，F 折起后分别为点A ′，F ′，得到四棱锥A ′-BCDE .给出下列几个结论：①A ′，B ，C ，F ′四点共面；②EF ′∥平面A ′BC ；③若平面A ′DE ⊥平面BCDE ，则CE ⊥A ′D ；④四棱锥A ′-BCDE 体积的最大值为2，其中正确的是________(填上所有正确的序号)．6．(2017年广东梅州一模)如图Z6-10所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面ADG ；(2)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．图Z6-107．(2017年广东广州二模)如图Z6-11，ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝3a.(1)求证：EF⊥AC；(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．图Z6-118．(2017年广东揭阳一模)如图Z6-12，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求二面角B-A1D-B1的余弦值．图Z6-12专题六 立体几何第1课时1．D 解析：由三视图，得在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A -A 1B 1D 1，如图D164，图D164设正方体棱长为a ，则111-A A B D V ＝13×12a 3＝16a 3. 则剩余几何体体积为a 3－16a 3＝56a 3.所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.故选D.2．B 解析：几何体为如图D165所示的正方体中的三棱锥E -BB 1C (E 为AA 1的中点)，它的体积为13×12×4×4×4＝323.故选B.图D165 图D1663．B 解析：由三视图知对应的几何体为如图D166所示的正方体中的三棱锥P -ABC ，其中PC ⊥平面P AB ，P A ＝AB ，PC ＝PB ＝2，A 到PB 的距离为2，故该几何体的体积为13×12×2×2×2＝43.故选B. 4．D 解析：如图D167，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即D 1-BCB 1，其四个面的面积分别为2,2 2，2 2，2 3.故选D.图D1675．D 解析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为2的正方体截去两个三棱锥A -A 1PQ 和D -PC 1D 1后剩余的部分，如图D168，其中Q 是棱A 1B 1的中点，P 是A 1D 1的中点，所以该几何体的体积为V ＝8－13×12×1×1×2－13×12×1×2×2＝7.故选D.图D1686．B 解析：三棱锥A -BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，所以长方体的对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝⎛⎭⎫1422＝14π.故选B. 7．A 解析：如图D169，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝500π3(cm 3)．图D169 8.32解析：由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高为1，故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32. 9．A 解析：设△ABC 外接圆半径为r ，由AB ＝12 3，AB ＝BC ＝12，得A ＝B ＝30°，C ＝120°.所以2r ＝12 3sin 120°＝24.解得r ＝12.则O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝132－122＝5.又S △ABC ＝12×12×12×sin 120°＝36 3，所以V O -ABC ＝13×36 3×5＝60 3.故选A. 10．C 解析：根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点E 的球O 的截面与OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连接O 1A ，连接O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1是正三角形ABC 的中心，A ，B ，C 三点都在球面上，∴O 1O ⊥平面ABC .结合O 1C ⊂平面ABC ，可得O 1O ⊥O 1C .∵球的半径R ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝R 2－O 1O 2＝ 3.又∵E 为AB 的中点，△ABC 是等边三角形．∴O 1E ＝AO 1sin 30°＝32.∴OE ＝OO 21＋O 1E 2＝72.过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝R 2－OE 2＝32.可得截面面积为S ＝πr 2＝94π.故选C. 11.2 33R 2 解析：方法一，由条件知A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A ，B ，C ，D 为球上四点，将正三棱锥A -BCD 补充成一个正方体AGBH -FDEC ，如图D170.则正三棱锥A -BCD 和正方体AGBH -FDEC 有共同的外接球，△BCD 的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBH -FDEC 的棱长为a ，则正方体外接球半径R 满足：a 2＋a 2＋a 2＝(2R )2，解得a 2＝43R 2.所以BC 2＝a 2＋a 2＝83R 2.所以△BCD 的面积S ＝12BC ×BD sin 60°＝12×83R 2×32＝2 33R 2.图D170 图D171方法二，由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A ，B ，C ，D 为球上四点，球心O 在正四面体中心，如图D171.设BC ＝a ，CD 的中点为E ，O 1为过点B ，C ，D 截面圆的圆心，则截面圆半径r ＝O 1B ＝23BE ＝23×32a ＝33a . 正四面体A -BCD 的高AO 1＝a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a . ∴截面BCD 与球心的距离d ＝OO 1＝63a －R . 在Rt △BOO 1中，⎝⎛⎭⎫33a 2＝R 2－⎝⎛⎭⎫63a －R 2，解得a ＝2 63R . ∴△BCD 的面积为S ＝12BC ×BC sin 60°＝12×⎝⎛⎭⎫2 63R 2×32＝2 33R 2. 12．8π 解析：∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝60°，∴12×1×2×sin 60°×AA 1＝ 3.∴AA 1＝2.∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝4＋1－2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为R ，则BC sin 60°＝2R .∴R ＝1.故外接球的半径为12＋12＝2，外接球的表面积等于4π×(2)2＝8π.第2课时1．C 解析：延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1C 1为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角．又△A 1DB 为等边三角形．∴∠DA 1B ＝60°.2．B 解析：由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3．D 解析：直接求三棱锥的体积很困难，因为不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥A -CB 1D 1符合题意，设AA 1＝x ，A 1D 1＝y ，A 1B 1＝z ，有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2，x 2＋z 2＝m 2，y 2＋z 2＝n 2，x 2＋y 2＋2z 2＝m 2＋n 2＝6,2z 2＝4，z ＝2，x 2＋y 2＝2≥2xy ，∴xy ≤1.三棱锥体积V ＝13V 长方体＝13xyz ＝23xy ≤23.所以三棱锥体积的最大值为23.故选D.图D1724．B 解析：取AD 的中点为E ，连接PE ，则由平面P AD 垂直于平面ABCD 可得，PE⊥平面ABCD ，于是以点E 为原点，以ED ，EP 分别为x ，z 轴建立空间直角坐标系，其中AC 与BD 相交于F 点．于是可得E (0,0,0)，D (3，0,0)，A (－3，0,0)，P (0,0,1)，C (3，2,0)，B (－3，2,0)，F (0,1,0)，设球O 的球心的坐标为O (0，1，z 0)，则OP →＝(0，－1,1－z 0)，OB →＝(－3，1，－z 0)，由|OP →|＝|OB →|，得(－1)2＋(1－z 0)2＝3＋1＋z 20.解之，得z 0＝－1.所以球心O (0,1，－1)．于是其半径为|OP →|＝5，由球的表面积公式知，S ＝4πr 2＝4π×(5)2＝20π.故选B.5．②③6．(1)证明：在△BAD 中，∵AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°，∴由余弦定理，可得BD ＝ 3.∵AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴GD ⊥BD .又AD ∩GD ＝D ，∴BD ⊥平面ADG .(2)解：以D 为坐标原点，建立如图D173所示的空间直角坐标系D -xyz .图D173∵∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∴A (1,0,0)，B (0，3，0)，G (0,0,1)，E (0，3，2)，C (－1，3，0)．∴AE →＝(－1，3，2)，AG →＝(－1,0,1)．设平面AEFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，故有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝－x ＋3y ＋2z ＝0，n ·AG →＝－x ＋z ＝0. 令x ＝1，得y ＝－33，z ＝1.n ＝(1，－33，1)． 而平面ABCD 的一个法向量为DG →＝(0,0,1)，∴cos 〈DG →，n 〉＝DG →·n |DG →|·|n |＝217. 故平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为217. 7．解：(1)证明：连接BD ，如图D174.因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥FD .因为BD ∩FD ＝D ，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB ∥FD .所以B ，D ，F ，E 四点共面．因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF ⊥AC .图D174 图D175(2)如图D175，以D 为坐标原点，分别以DC →，DF →的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D -xyz .可以求得A ⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，0，B ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，32a ，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，3a .所以AB →＝(0，a,0)，AF →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，12a ，32a .设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay ＝0，－32ax ＋12ay ＋32az ＝0.取x ＝1，则平面ABF 的一个法向量为n ＝(1,0,1)．因为CE →＝⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，3a ，所以||cos 〈n ，CE →〉＝||n ·CE →||n ||CE →＝3 68.所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为3 68.8．(1)证明：如图D176，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ，∴B 1C ∥ED .∵E 为AB 1的中点，∴D 为AC 的中点．∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .①方法一，由A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，得A 1A ⊥BD ，②由①②及A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线，∴BD ⊥平面A 1ACC 1.方法二，∵A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .又平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.图D176 图D177 (2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1.由(1)知DA ＝12AC ，由AC ·DA ＝1，得AC 2＝2. ∵AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC .以B 为原点，建立空间直角坐标系B -xyz 如图D177，则A 1(1,0,1)，B 1(0,0,1)，D ⎝⎛⎭⎫12，12，0.所以B 1A 1→＝(1,0,0)，B 1D →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－1. 设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1D 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥B 1A 1→，m ⊥B 1D →，得⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1A 1→＝x ＝0，m ·B 1D →＝12x ＋12y －z ＝0. 令z ＝1，得m ＝(0,2,1)．设n ＝(a ，b ，c )为平面A 1BD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BD →，n ⊥BA 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝a 2＋b 2＝0，n ·BA 1→＝a ＋c ＝0.令c ＝1，得n ＝(－1,1,1)．依题意知二面角B -A 1D -B 1为锐二面角，设其大小为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n |·|m |＝35×3＝155. 即二面角B -A 1D -B 1的余弦值为155.。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试课时作业 专题三数列与不等式 Word版含解析
专题三数列与不等式
．已知等差数列{}，{}的前项和分别为，，且＝，则使得
为整数的正整数的个数是( )
．．．．
．已知等差数列{}的公差≠，且，，成等比数列，若＝，为数列{}的前项和，则
的最小值为( )
．．．－
．(年新课标Ⅱ)设是数列{}的前项和，且＝－，＋＝＋，则＝.
．设数列{}的前项和为，且满足＋＝，则的取值范围是( )
．() ．(，＋∞)
．(年广东调研)设是等比数列{}的前项的积，若(＋)＝，＝，则当取最小值时，＝.．(年新课标
Ⅰ)几名大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．求满足如下条件的最小整数：>且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是(
)
．．．．
．(年新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{}满足＝，－(＋－)－＋＝.
()求，；
()求{}的通项公式．
．(年广东揭阳一模)设等差数列{}的前项和为，且＝，＝＋－.
()求数列{}的通项公式；
()设数列{}满足＋＋…＋＝－，求{}的前项和.
．(年广东汕头一模)已知数列{}的前项和为，＝，＋＝＋.
()求数列{}的通项公式；
()已知＝，求数列的前项和.
．(年天津)已知{}为等差数列，前项和为(∈
*)，{}是首项为的等比数列，且公比大于，＋＝，＝－，＝.
()求{}和{}的通项公式；
()求数列{－}的前项和(∈*)．。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 专题五圆锥曲线的综合及应用问题含解析
专题五 圆锥曲线的综合及应用问题第1课时1．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为( )A ．8B ．5C ．4D ．92．已知点F 1，F 2是x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．4B ．5C ．2D ．13．(2017年广东揭阳一模)已知双曲线x 24－y 22＝1右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( )A ．4(1＋2)B ．4＋ 2C ．2(2＋6) D.6＋3 2 4．(2016年四川)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0) 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22 D ．1 5．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．6．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．7．(2014年新课标Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．8．(2017年广东广州二模)已知双曲线x 25－y 2＝1的焦点是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)设动点M ，N 在椭圆C 上，且|MN |＝4 33，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m的最大值．第2课时1．(2017年广东调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点到直线x －y ＋3 2＝0的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)给出定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫6 55，0，对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB ，1|QA |2＋1|QB |2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点P (2，1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若A 1，A 2分别是椭圆C 的左、右顶点，动点M 满足MA 2⊥A 1A 2，且MA 1交椭圆C 于不同于A 1的点R ，求证：OR →·OM →为定值．3．(2017年广东广州一模)过点P (a ，－2)作抛物线C ：x 2＝4y 的两条切线，切点分别为A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)．(1)证明：x 1x 2＋y 1y 2为定值；(2)记△PAB 的外接圆的圆心为点M ，点F 是抛物线C 的焦点， 对任意实数a ，试判断以PM 为直径的圆是否恒过点F? 并说明理由．4．(2017年广东广州华附执信深外联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，离心率为63，点A ，B分别是椭圆与x 轴，y 轴的交点，且原点O 到AB 的距离为62. (1)求椭圆方程；(2)如图Z51若F 是椭圆的右焦点，过F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，当直线l 绕着点F 转动过程中，试问在直线x ＝3上是否存在点P ，使得△PMN 是以P 为顶点的等腰直角三角形，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 专题三数列与不等式含解析
专题三 数列与不等式1．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋45n －3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( )A ．4B ．3C ．2 3－2 D.923．(2015年新课标Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1，则S n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 5．(2017年广东调研)设R n 是等比数列{a n }的前n 项的积，若25(a 1＋a 3)＝1，a 5＝27a 2，则当R n 取最小值时，n ＝______.6．(2017年新课标Ⅰ)几名大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．1107．(2016年新课标Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．8．(2017年广东揭阳一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝3－2n ＋32n ，求{b n }的前n 项和T n .9．(2017年广东汕头一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .10．(2017年天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．专题三 数列与不等式1．B 解析：a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝S 2n －1T 2n －1＝14n ＋382n －4＝7n ＋19n －2＝7＋33n －2，∴n －2＝－1或1或3或11或33，∴n ＝1或3或5或13或35.当n ＝3时，S n T n ＝T n ＋45n －3中分母为零，所以舍去．2．A 解析：由a 1，a 3，a 13成等比数列，得a 23＝a 1a 13⇒(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )⇒4d2＝8a 1d .因为d ≠0，因此d ＝2a 1＝2，S n ＝n 2，a n ＝2n －1，从而2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2n ＋9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时取等号．故选A. 3．－1n解析：由已知，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1·S n ，两边同时除以－S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列．则1S n＝－1－(n －1)＝－n .所以S n ＝－1n.4．C 解析：当n ＝1时，a 1＝12.当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝1，得a n －a n －1＋a n ＝0，即2a n ＝a n －1.∴数列{}a n 是首项为12，公比为12的等比数列．∴S n ＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴S n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 5．6 解析：设公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝27.所以q ＝3.由25(a 1＋a 3)＝1，得25(a 1＋a 1·32)＝1，解得a 1＝1250.则a n ＝3n －1250.则要使R n 取得最小值，必有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤1，a n ＋1>1，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －1250≤1，3n250>1，所以250<3n≤750，解得n ＝6.6．A 解析：由题意，得数列如下： 1， 1,2， 1,2,4， …则该数列的前1＋2＋…＋k ＝k k ＋2项和为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋2＝1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2k )＝2k ＋1－k －2. 要使k k ＋2>100，有k ≥14，此时k ＋2<2k ＋1.所以k ＋2是之后的等比数列1,2，…，2k ＋1的部分和，即k ＋2＝1＋2＋…＋2t －1＝2t－1.所以k ＝2t －3≥14，则t ≥5，此时k ＝25－3＝29.对应满足的最小条件为N ＝29×302＋5＝440.故选A.7．解：(1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．因此a n ＝12n －1.8．解：(1)设{a n }的公差为d ，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝a 1＋d ，a 1＋n －d ＝a 1＋nd －3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝3－2n ＋32n ， ①当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝12.当n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝3－2n ＋12n －1. ②①式减去②式，得a n b n ＝2n －12n .求得b n ＝12n ，易知当n ＝1时也成立，所以数列{b n }为等比数列．其前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.9．解：(1)∵a n ＋1＝S n ＋2，∴a n ＝S n －1＋2(n ≥2)． 两式作差，得a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n .∴a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2(n ≥2)． 又当n ＝1时，a 2＝S 1＋2＝4，∴a 2a 1＝2成立．∴数列{a n }是公比为2，首项为2的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)，可得b n ＝log 2a n ＝n .∴1b n b n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1.∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 10．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12.因为b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0.又因为q >0，解得q ＝2.所以b n ＝2n. 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3.由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，因为a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，所以a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n.故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝－4n 1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)课件：第六章 第4讲 简单的线性规划
图 6-4-2 其中点 A(1,1)，B(－1，－1)，C－1，151.z＝x－y 2表示△ABC 区 域 内 ( 含 边 界 ) 的 点 与 点 M(2,0) 的 连 线 的 斜 率 ， 显 然 kMA≤z≤kMB，即1－1 2≤z≤－－1－1 2.化简，得－1≤z≤13.
答案：－1，13
答案：3
图 6-4-1
(2)(2017 年湖北七市联考)若变量 x，y 满足约束条件
xy≥ ≥－ x，1， 3x＋5y≤8，
则 z＝x－y 2的取值范围是__________.
解 析 ： 作 出 不 等 式 组 xy≥ ≥－ x，1， 3x＋5y≤8
所表示的区域，如图
6-4-2 中△ABC 所表示的区域(含边界).
1.不等式组xx－ －3y＋y＋26≥<00， 表示的平面区域是( C )
A
B
C
D
解析：x－3y＋6<0 表示直线 x－3y＋6＝0 左上方的平面区
域，x－y＋2≥0 表示直线 x－y＋2＝0 及其右下方的平面区域.
故选 C.
2.(2016 年辽宁沈阳四校联考)下列各点中，与点(1,2)位于直
能用平面区域表示 2015年新课标Ⅰ第15题考查简单线 二元一次不等式组. 性规划求截距的最大值； 3.会从实际情境中 2016年新课标Ⅱ第14题考查简单线 抽象出一些简单的 性规划求最值，山东、江苏考查非
二元线性规划问题，线性规划的最值(距离)；
并能加以解决
2017年新课标Ⅰ第14题考查简单线
性规划求截距的最小值
(2)因为对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把它 的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C 所得到实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C 的符号即可判断不等式表示的平面区域.
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 第三章 三角函数与解三角形含解析
第三章 三角函数与解三角形第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，则( ) A ．M ＝N B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅2．(2017年青海西宁复习检测)若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若角α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角4．(2016年四川成都模拟)若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0 D ．tan αsin α<05．若角α的终边经过点P (1，m )，且tan α＝－2，则sin α＝( )A.55 B ．－55 C.2 55 D ．－2 556．(2014年新课标Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0 D ．cos 2α>07．设α是第二象限角，点P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－438．(2016年河北衡水二中模拟)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－459．(2017年广东深圳二模)以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ的终边过点P (1,2)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.10．在如图X311的算法中，令a ＝tan θ，b ＝sin θ，c ＝cos θ，若在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪0<θ＜3π2中任取θ的一个值，输出的结果是sin θ的概率是( )图X311A.13B.12C.23D.3411．判断下列各式的符号：(1)tan 125°·sin 278°； (2)cos 7π12tan23π12sin11π12.12．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．sin 2013°的值属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 2．下列关系式中，正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°3．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22 C.22D ．14．(2014年大纲)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b5．(2011年新课标)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.456．下列不等式成立的是( )A ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π8>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π10>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5C ．sin π18>sin π10D ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5 7．(2012年大纲)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.538．(2017年浙江绍兴二模)已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－43B ．－34 C.43 D.349．(2013年新课标Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.10．(2016年广东惠州三调)已知sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－1311．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x.(1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限角，且tan α＝－43，求f (α)的值．12．已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．第3讲 三角函数的图象与性质1．下列四个函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π12对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 2．(2017年重庆适应性测试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π63．(2016年新课标Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图X331，则( )图X331A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 4．(2017年广东茂名一模)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)和g (x )＝2sin(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，则f (x )的取值范围是( )A ．[－3,3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，3 32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32 5．(2013年大纲)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图X332，则ω＝( )图X332A ．5B ．4C ．3D ．26．函数y ＝|tan x |cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <3π2，且x ≠π2的图象是( )A BC D7．(2017年新课标Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 8．(2016年江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与函数y ＝cos x 的图象的交点个数是______．9．(2017年浙江温州中学统测)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )是减函数的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，010．(2012年新课标)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,2] 11．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．12．是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋a cos x＋58a－32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由．第4讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图X341，则( )图X341A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π42．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度3．(2017年四川眉山中学统测)将函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．其一条对称轴方程为x ＝－π6B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C ．当x ＝π12＋k π(k ∈Z )时取得最大值D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 4．(2015年湖南)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π65．(2017年湖北咸宁模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 B ．关于直线x ＝5π12对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称6．设f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a .当a ＝π3时，f (x )的值域是__________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是__________． 8．(2015年湖南)已知ω＞0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 3，则ω＝________.9．(2015年天津)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R ，若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为____________．10．(2014年北京)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图X342. (1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．图X34211．(2017年山东)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(2016年新课标Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15 D ．－7252．4cos 50°－tan 40°＝( )A. 2B.2＋32C. 3 D ．2 2－13．(2017年上海师大附中统测)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．(2015年上海)已知点A 的坐标为(4 3，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.3 32B.5 32C.112D.1325．(2017年江苏)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16， 则tan α＝________. 6．(2017年北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝________.7．(2016年新课标Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移______个单位长度得到．8．(2016年上海)若函数f (x )＝4sin x ＋a cos x 的最大值为5，则常数a ＝________. 9．(2016年上海)方程3sin x ＝1＋cos 2x 在区间[0,2π]上的解为__________．10．(2015年浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________，单调递减区间是____________________．11．(2014年江苏)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．12．(2017年北京)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.第6讲 简单的三角恒等变换1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13 C.13 D.232．(2016年山东)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 3．(2017年广东广州一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增4．(2017年河北石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图X361，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图X361A ．－62 B ．－32 C ．－22D ．－1 5．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16 B.14 C.13 D.126．(2016年山西四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π2⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图X362，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的取值集合为( )图X362A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π－π3，k ∈Z7．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－438．(2012年大纲)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取最大值时，x ＝________.9．(2016年江西九江模拟)化简sin 235°－12cos10°cos80°＝________.10．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________．11．(2014年四川)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．12．(2017年浙江)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －2 3 sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值； (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．第7讲 正弦定理和余弦定理1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．(2017年山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A3．(2016年新课标Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝( )A.310B.1010C.55 D.310104．(2017年河南郑州模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且 (b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30° B．45° C．60° D．120° 5．(2013年新课标Ⅰ)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．56．(2016年山东德州模拟)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6，则△ABC 的面积是( )A.32B.34C.32或34D.32或 3 7．(2017年湖北孝感一模)在锐角三角形ABC 中，已知AB ＝2 3，BC ＝3，其面积S△ABC ＝3 2，则AC ＝________.8．(2015年重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，角A 的平分线AD ＝3，则AC ＝________.9．(2017年北京)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．10．(2017年新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .第8讲 解三角形应用举例1．某人向正东方向走x km 后，顺时针转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好 3 km ，则x ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．2 3或 3 D ．32．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°的方向，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°的方向，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km3．如图X381，一艘海轮从A 处出发，以40海里/时的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )图X381A ．10 2海里B ．10 3海里C ．20 2海里D ．20 3海里4．(2014年四川)如图X382，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图X3825．(2016年河南信阳模拟)某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C 处，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是________分钟．6．(2017年浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.7．(2016年上海)已知△ABC 的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________．8．(2017年广东揭阳一模)如图X383，在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，点D 在边AB上，且DA ＝DC ，BD ＝1，则∠DCA ＝________.图X3839．(2017年新课标Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝2 7，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．10．(2017年广东广州一模)如图X384，在△ABC 中， 点P 在BC 边上， ∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是3 32， 求sin ∠BAP .图X384第三章 三角函数与解三角形 第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．B 解析：方法一，由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .故选B.方法二，在M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；在N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .故选B.2．D 解析：由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限．故选D.3．C 解析：∵α是第一象限角，∴2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π＜α2＜π4＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．4．B 解析：在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则tan α－sin α>0，故B 错误．故选B.5．D 解析：由三角函数的定义，得tan α＝m ＝－2.∴r ＝5，sin α＝－25＝－2 55.故选D.6．C 解析：tan α＝sin αcos α>0，而sin 2α＝2sin αcos α>0.故选C.7．D 解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16，解得x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.8．D 解析：由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－45.再根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2.所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.故选D. 9．－3 解析：由题意知tan θ＝21＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.10．A 解析：该程序框图的功能是比较a ，b ，c 的大小并输出最大值，因此要使输出的结果是sin θ，需sin θ＞tan θ，且sin θ＞cos θ.∵当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，总有tan θ＞sin θ；当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，总有sin θ＞0，tan θ＜0，cos θ＜0；当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2时，tan θ＞0，sin θ＜0.故当输出的结果是sin θ时，θ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.结合几何概型公式，得输出sin θ的概率为π－π232π－0＝13.故选A. 11．解：(1)∵125°，278°角分别为第二、四象限角， ∴tan 125°＜0，sin 278°＜0. 因此tan 125°·sin 278°＞0.(2)∵π2＜7π12＜π，3π2<23π12<2π，π2<11π12<π，∴cos 7π12＜0，tan 23π12＜0，sin 11π12＞0.因此cos 7π12tan23π12sin11π12>0.12．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，θ所对的弧长为l .(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12θR 2＝4，θR ＋2R ＝10.∴2θ2－17θ＋8＝0.解得θ＝8或12.∵8>2π(舍去)，∴θ＝12rad.(2)扇形的周长为40，即θR ＋2R ＝40， S ＝12lR ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时，扇形面积取得最大值，最大值为100.第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．B 解析：sin 2013°＝sin(5×360°＋213°)＝sin 213°＝sin(180°＋33°)＝－sin 33°<－12.故选B.2．C 解析：∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.3．A 解析：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0.∴cos α＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4.∴tan α＝tan 3π4＝－1.4．C 解析：c ＝tan 35°＞b ＝cos 55°＝sin 35°＞a ＝sin 33°.故选C.5．B 解析：由题知，tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θcos 2 θ＋sin 2 θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.故选B.6．D 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝cos π4>0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 3π5<0.故选D.7．A 解析：sin α＋cos α＝33，两边平方可得1＋sin 2α＝13⇒sin 2α＝－23.∵α是第二象限角，因此sin α>0，cos α<0.所以cos α－sin α＝－α－sin α2＝－1＋23＝－153.∴cos 2α＝cos 2 α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53. 8．A 解析：由题设知(sin α＋cos α)2＝125，则2sin αcos α＝－2425，故(sin α－cos α)2＝1＋2425＝4925.所以sin α－cos α＝75，与sin α＋cos α＝15联立解之可得sin α＝45，cos α＝－35，故tan α＝－43.故选A.9．－105 解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，tan θ＋11－tan θ＝12，tan θ＝－13，sin θcos θ＝－13，cos θ＝－3sin θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1010，cos θ＝－31010.sin θ＋cosθ＝－105. 10．B 解析： 因为sin θ＋cos θ＝43(0<θ<π4)，两边平方可得1＋2sin θ·cosθ＝169，即2sin θ·cos θ＝79，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29.又因为0<θ<π4，所以sin θ<cos θ.所以sin θ－cos θ<0.所以sin θ－cos θ＝－23.故选B. 11．解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. (2)f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x ＝1＋cos 2x －sin 2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )．由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45.∴f (α)＝2(cos α－sin α)＝145.12．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α ＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2α－－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2 ＝2×222＋2－2 ＝1.第3讲 三角函数的图象与性质1．C 解析：将x ＝π12代入选项A ，B ，C ，D 中，只有选项C 取得最大值y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin π2＝1，所以关于直线x ＝π12对称，且T ＝2π2＝π.2．A 解析：依题意，得f (x )＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6单调递增．结合各选项知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.故选A. 3．A 解析：由图知，A ＝2，周期T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2ππ＝2.所以y ＝2sin(2x ＋φ)．因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1.所以2π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝－π6.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A. 4．D 解析：因为函数f (x )和g (x )的图象的对称轴完全相同，故f (x )和g (x )的周期相同，所以ω ＝2，f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.根据余弦函数的单调性，当2x ＋π3＝π，即x ＝π3时，f (x )min ＝－3；当2x ＋π3＝π3，即x ＝0时，f (x )max ＝32.所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.故选D. 5．B 解析：设函数的最小正周期为T ，由题图可知T 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2πω，可解得ω＝4.6．C 解析：方法一，y ＝|sin x |·cos x|cos x |，分类讨论．方法二，y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同．故选C.7．D 解析：函数的最小正周期为T ＝2π1＝2π，则周期为2k π()k ∈Z .所以f (x )的一个周期为－2π.故选项A 正确；将x ＝8π3代入f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝cos3π＝－1为最小值．因此直线x ＝8π3为对称轴．故选项B 正确；将x ＝π6代入f (x ＋π)，得cos 3π2＝0.故选项C 正确；由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，4π3.函数在该区间显然不单调．故选项D 错误．故选D.8．7 解析：由sin 2x ＝cos x ⇒cos x ＝0或sin x ＝12.因为x ∈[0,3π]，所以x ＝π2，3π2，5π2，π6，5π6，13π6，17π6，共7个． 9．A 解析：因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，T 2＝π2，所以T ＝2πω＝π.则ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.故g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x ，故其单调递减区间为2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，当k ＝0时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4为函数g (x )的一个单调递减区间，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.故选A.10．A 解析：方法一，ω＝2⇒⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，9π4不合题意，排除D ；ω＝1⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4合题意，排除B ，C.故选A. 方法二，由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4.由题意知，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2.∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2.∴12≤ω≤54.故选A. 11．解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上所述，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.12．解：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12， 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1.令t ＝cos x ，则0≤t ≤1.∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时．y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题意．第4讲 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象1．C 解析：∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4.故选C.2．A 解析：由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位长度，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象． 3．B 解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度所得图象对应的函数为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，其对称轴方程为2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，即x ＝π12＋k π2(k ∈Z )，排除A.当x ＝π12＋k π(k ∈Z )，得－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2＝－3.故C 错误．由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，即f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．故选B. 4．D 解析：向右平移φ个单位长度后，得到g (x )＝sin(2x －2φ)，∵|f (x 1)－g (x 2)|＝2，∴不妨令2x 1＝π2＋2k π(k ∈Z )，2x 2－2φ＝－π2＋2m π(m ∈Z )．∴x 1－x 2＝π2－φ＋(k －m )π.又∵|x 1－x 2|min ＝π3，∴π2－φ＝π3⇒φ＝π6.故选D.5．B 解析：由已知，得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)．设平移后的函数为g (x )，则g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2，且为奇函数，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，易得f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称．故选B.6．[2，＋∞) 解析：f (x )＝3sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6，|f (x )|max ＝2，∴a ≥2. 7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析：当a ＝π3时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，π2≤2a ＋π6≤7π6，解得π6≤a ≤π2.8.π2 解析：根据三角函数图象与性质可得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1π＋π4，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2π＋5π4，－2，k 1，k 2∈Z ＋，距离最短的两个交点一定在同一个周期内，∴()2 32＝1ω2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π42＋(－2－2)2.∴ω＝π2. 9.π2解析：由f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，可得2ω≤πω，且f (ω)＝sin ω2＋cos ω2＝2⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫ω2＋π4＝1，所以ω2＋π4＝π2⇒ω＝π2. 10．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.11．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)，得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.根据x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4得到x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．D 解析：cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725，且cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.故选D. 2．C 解析：原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝－－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3.故选C.3．A 解析：由y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x ，∴T ＝π，且y ＝sin 2x 是奇函数，即函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1是奇函数．故选A. 4．D 解析：设直线OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则直线OB 的倾斜角为π3＋α.因为A (4 3，1)，所以tan α＝14 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝n m ，nm ＝3＋14 31－3·14 3＝133 3，即m 2＝27169n 2.因为m 2＋n 2＝(4 3)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49.所以n ＝132或n＝－132(舍去)．所以点B 的纵坐标为132.5.75 解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.6．－79解析：因为角α与角β它们的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝2k π＋π()k ∈Z ，sin α＝sin β＝13，cos α＝－cos β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sinαsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.7.π3 解析：因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以函数y ＝sin x －3cos x的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．8．±3 解析：f (x )＝16＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a4，故函数f (x )的最大值为16＋a 2，由已知，得16＋a 2＝5，解得a ＝±3.9.π6或5π6解析：3sin x ＝1＋cos 2x ，即3sin x ＝2－2sin 2x ，所以2sin 2x ＋3sin x －2＝0.解得sin x ＝12或sin x ＝－2(舍)．所以方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6.10．π 3－22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z解析：f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＋1＝12sin 2x －12cos 2x＋32＝22·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以T ＝2π2＝π，f (x )min ＝32－22.单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z . 11．解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)，得sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3 3＋410.12．(1)解：f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 第6讲 简单的三角恒等变换1．C2．B 解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.3．D 解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为函数为奇函数且0<φ<π，所以φ＋π4＝π，即φ＝3π4.所以f (x )＝－2sin ωx .又2πω＝π2，所以ω＝4，f (x )＝－2sin 4x ，其一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8.4．D 解析：由题图可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )．即k ＝1，φ＝π3.则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1.故选D.5．D 解析：函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4的图象．又因为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，依题意可得－ωπ6＋π4＝π6＋k π，k ∈Z ，∴ω＝12－6k ，()k ∈Z .由ω>0，得ω的最小值为12.6．B 解析：依题意，得T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π6＝1.又|φ|<π2，因此φ＝－π6.所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2k π－π，k ∈Z ，即x ＝k π－π3，k ∈Z .故选B.7．C 解析：∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α.∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.8.5π6 解析：y ＝sin x－3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，由0≤x <2π⇔－π3≤x －π3<5π3，可知－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤2.当且仅当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数取得最大值．9．－1 解析：sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.10．(－2，－1] 解析：由题意可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象D104可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.图D10411．解：(1)－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π⇒－π4＋23k π≤x ≤π12＋23k π(k ∈Z )．(2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)(cos α－sin α)(sin α＋cos α)．若sin α＋cos α＝0，则cos α－sin α＝－ 2. 若sin α＋cos α≠0，则1＝45(cos α－sin α)2⇒cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α的值为－2或－52. 12．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2 3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z .解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z . 第7讲 正弦定理和余弦定理1．B 解析：方法一，由已知，得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0.因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .方法二，由正弦定理，得2a cos B ＝c ，再由余弦定理，得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b2⇒a ＝b .2．A 解析：sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C ⇒2sin B ＝sin A ⇒2b ＝a .故选A.3．D 解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，DC ＝2AD .所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD .由正弦定理知，AC sin B ＝BC sin A ，即5AD 22＝3AD sin A.解得sin A ＝31010.故选D.4．A 解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac .∴a 2＋c 2－b 2＝3ac .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos B ＝32.∴B ＝30°.5．D 解析：23cos 2A ＋cos 2A ＝25cos 2A －1＝0，cos A ＝15或cos A ＝－15(舍)，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A,49＝b 2＋36－12b ×15，5b 2－12b －65＝0，(5b ＋13)(b －5)＝0，且b >0，所以b ＝5.6．C 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝AC sin B .解得sin C ＝32.由题意知C 有两解．当C ＝π3时，A ＝π2，此时S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32；当C ＝2π3时，A ＝π6，此时S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝34.故选C. 7．3 解析：依题意有S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×2 3×3sin B ＝3 2，sin B ＝63.又角B 为锐角，所以cos B ＝33.所以AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝12＋9－2×2 3×3×33＝3. 8. 6 解析：由正弦定理，得ABsin ∠ADB ＝ADsin B，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°.解得sin∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°.从而∠BAD ＝15°＝∠DAC .所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2AB cos 30°＝ 6.9．解：(1)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .sin C ＝c sin A a ＝3 314. (2)因为a ＝7，c ＝37a ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即72＝b 2＋32－2×b ×3×12.解得b ＝8或b ＝－5(舍)．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.10．解：(1)由A ＋C ＝π－B ，sin(A ＋C )＝sin B ＝8sin 2B2＝4(1－cos B )，两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0.解得cos B ＝1(舍)或cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817.故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac ＝2.∴ac ＝172.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.第8讲 解三角形应用举例1．C 解析：如图D105，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝3，∠ABC ＝30°.由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC .∴3＝x 2＋9－6x ·cos 30°，解得x ＝3或2 3.图D105 图D1062．D 解析：如图D106，依题意，得∠ACB ＝120°.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC2－2AC ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a km.故选D.3．A 解析：在△ABC 中，∠BAC ＝50°－20°＝30°，∠ABC ＝40°＋65°＝105°，AB ＝40×0.5＝20(海里)，则∠ACB ＝45°.由正弦定理，得BC sin 30°＝20sin 45°.解得BC＝10 2(海里)．故选A.4．60 解析：根据已知的图形可得AB ＝46sin 67°.在△ABC 中，∠BCA ＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得AB sin 30°＝BC sin 37°.所以BC ≈2×460.92×0.60＝60(m)．5．40 解析：设两船在B 处碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x 小时，则AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°，由余弦定理，知(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos120°，整理，得36x 2－9x －10＝0.解得x ＝23或x ＝－512(舍)．故舰艇到达渔船的最短时间是40分钟．6.152 104解析：取BC 中点E ，DC 中点F ，连接AE ，BF .由题意知AE ⊥BC ，BF⊥CD .在△ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，∴cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154.∴。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 第六章不等式 Word版含解析
第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2017年河北承德实验中学统测)若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式正确的个数是( )①1a <1b ；②a 2>b 2；③ac 4>bc 4；④a c 2＋1>b c 2＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2016年北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >03．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．(2015年湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 25．(2015年上海)记方程①：x 2＋a 1x ＋1＝0，方程②：x 2＋a 2x ＋2＝0，方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则ca的取值范围为__________．7．(2016年山东滨州模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x g ，B 杯中有浓度为b 的盐水y g ，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A ，B 两杯盐水混合在一起，其浓度可用不等式表示为______________．8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．9．设a ，b 为正实数．现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1；②若1b －1a＝1，则a －b ＜1；③若|a －b |＝1，则|a －b |＜1； ④若|a 3－b |＝1，则|a －b |＜1.其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)10．(2016年湖南怀化模拟)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．11．已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝⎛⎭⎫a 2b 12＋⎝⎛⎭⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.12．已知α∈(0，π)，比较2sin 2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2016年湖北模拟)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)2．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．(2016年江西九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)5．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．1C ．－1D ．36．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，则不等式f (x ＋2)<3的解集是_________．7．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．9．(2016年北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立？证明你的结论．第3讲 算术平均数与几何平均数1．下列命题正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值为2－4 32．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．43．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.944．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 35．(2015年湖南)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．(2015年陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q7．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．08．(2017年河南郑州第二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．9．(1)设x ＞－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________；10．(1)(2016年湖北七市联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．第4讲 简单的线性规划1．(2017年北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2y ≤x ，，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．92．(2017年新课标Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，2x －3y ≤6，3x ＋4y ≤12，则z ＝x ＋y －2x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－4，716 B ．[－4,1] C.⎣⎡⎦⎤14，716 D.⎣⎡⎦⎤14，1 4．(2014年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－35．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]6．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－17．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．8．(2016年江苏) 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．10．已知函数g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．求ba的取值范围．第5讲 不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年2．(2017年广东惠州三模)设z ＝4x ·2y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，则z 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．163．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层4．(2016年山东烟台诊断)已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金不超过54植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元7．(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是__________．8．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其关系式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，那么最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．9．(2017年湖北孝感一模)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (单位：升)与速度x (单位：千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？10．(2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．A 解析：①a ＝1，b ＝－1，1a ＜1b不成立；②a ＝1，b ＝－1，a 2＞b 2不成立； ③c ＝0，ac 4＞bc 4 不成立；④因为c 2＋1＞0，a ＞b ，所以a c 2＋1＞bc 2＋1成立．2．C 解析：由x >y >0，得1x <1y ，即1x －1y<0，A 不正确；由x >y >0及函数y ＝sin x 的单调性，可知sin x －sin y >0不一定正确，B 不正确；由0<12<1，x >y >0，得⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y <0，C 正确；由x >y >0，得xy >0，但不一定大于1，故ln x ＋ln y ＝ln xy >0不一定成立，D 不正确．3．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x .∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．B 解析：e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简，得b a <b ＋ma ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.5．B 解析：当方程①有实根，且②无实根时，a 21≥4，a 22<8，从而a 3＝a 22a 1<82＝4，∴a 23<16，即方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0无实根．故选B.而A ，D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根．6.⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析：因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0.所以b ＝－(a ＋c )． 又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0.所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >ca .所以⎩⎨⎧2ca <－1，ca>－2，解得－2<c a <－12.7．b <ax ＋by x ＋y <a 解析：依题意，知a >b ，将A ，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax ＋by x ＋y .则有ax ＋by x ＋y >bx ＋by x ＋y ＝b ，ax ＋by x ＋y <ax ＋ay x ＋y ＝a .故有b <ax ＋by x ＋y <a .8．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8(x －1)＜4x ＋20，8x ＞4x ＋20，x ∈N *.解得5＜x ＜7，且x ∈N *.故只有x ＝6才满足要求．9．①④ 解析：①中，∵a 2－b 2＝1，∴a －b ＝1a ＋b.∵a ＞0，b ＞0，又a 2＝b 2＋1＞1，∴a ＞1.从而1a ＋b＜1，即a －b ＜1.∴①正确．②中，取a ＝5，b ＝56，验证知②错误．③中，取a ＝4，b ＝1，验证知③错误． ④∵a ，b 是正实数，不妨设a ＞b >0， ∴a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋b 2＋ab )．∴a －b ＝a 3－b 3a 2＋ab ＋b 2＝1a 2＋ab ＋b 2. ∵a 3＝1＋b 3＞1，∴a 2＞1.∴a 2＋ab ＋b 2＞1.∴0＜1a 2＋ab ＋b 2＜1.∴0<a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2＜1.即|a －b |＜1.同理，设0<a ＜b ，也能得到|a －b |＜1的结论．故④正确． 10．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元， 坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元．则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．11．证明：方法一，左边－右边＝(a )3＋(b )3ab－(a ＋b )＝(a ＋b )(a －ab ＋b )－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a －2 ab ＋b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0.∴原不等式成立．方法二，左边>0，右边>0. 左边右边＝(a ＋b )(a －ab ＋b )ab (a ＋b ) ＝a －ab ＋b ab ≥2 ab －ab ab＝1.∴原不等式成立．12．解：2sin 2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α(1－cos α)－sin α1－cos α＝sin α1－cos α(－4cos 2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α(2cos α－1)2.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2≤0，即2sin 2α－sin α1－cos α≤0.∴2sin 2α≤sin α1－cos α，当且仅当α＝π3时取等号．第2讲 一元二次不等式及其解法1．B 解析：由题意关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可得ba＝1，且a <0.则(ax ＋b )(x －3)>0可变形为(x －3)⎝⎛⎭⎫x ＋ba <0，即得(x －3)(x ＋1)<0.所以－1<x <3.所以不等式的解集是(－1,3)．故选B.2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，(2k )2－4k ·[－(k ＋2)]＜0.解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0. 3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1. 4．A 解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max .令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2.∴a <－2.5．A 解析：由题意，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}．A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.6．{x |－5<x <1} 解析：设x ≥0，因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝x 2－2x .又f (x ＋2)＝f (|x ＋2|)，所以f (x ＋2)<3⇔f (|x ＋2|)＝(|x ＋2|)2－2|x ＋2|<3.所以(|x ＋2|－3)(|x ＋2|＋1)<0.所以0≤|x ＋2|<3，解得－5<x <1.所以原不等式的解集为{x |－5<x <1}．7．21 解析：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图D115.图D115关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (1)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a ＞0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－ba>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a－b ＋c <0.故正确结论的序号为①②③④.9．解：(1)依题意，得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0. 解得a ≥34.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 10．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72.令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32⇒x ＝－1.由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32.由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32.∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52，且b ＝1.∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a .依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，∴a ≠1，且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.由a －1>0，得a ＝32.∴f (x )＝32x 2＋x ＋1.证明如下： ∵32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32 ＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0.∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． ∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切x ∈R 都成立．第3讲 算术平均数与几何平均数1．D 解析：y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}，当x ＞0时，有最小值2，当x ＜0时，有最大值－2.故A 项不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”．故B 项不正确；∵当x ＞0时，3x ＋4x ≥2·3x ·4x ＝4 3，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝2 33时取“＝”．∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫3x ＋4x 有最大值2－4 3.故C 项不正确，D 项正确． 2．C 解析：∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．3．C 解析：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ≥2x ·2y －3xy xy ＝xy xy＝1. 当且仅当x ＝2y 时，zxy取最小值，此时z ＝2y 2.x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2，最大值为2.故选C.4．D 解析：由题意知，ab >0，且3a ＋4b >0，所以a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab .所以4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3.当且仅当4b a ＝3ab，即a ＝4＋2 3，b ＝3＋2 3时，等号成立．故选D.5．C 解析：∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0.∵ab ＝1a ＋2b ≥2 1a ·2b ＝2 2ab，∴ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，∴ab 的最小值为2 2.故选C.6．C 解析：p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln(ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12ln(ab )．因为a ＋b 2＞ab ，由f (x )＝ln x 在区间(0，＋∞)内是增函数，可知f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，所以q ＞p ＝r .故选C.7．A 解析：方法一，由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy＋4≥4＋4＝8(当且仅当x ＝4，y ＝2等号成立)． 方法二，由x ＋2y ＝xy ＝12x ·2y ≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝()x ＋2y 28，∴x ＋2y ≥8(当且仅当x ＝2y 时取等号)．8．3 解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x .则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x ≥2 3x 2·32x＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立．所以(2x＋y )min ＝3.9．(1)9 (2)1解析：(1)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，所以y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)·4x ＋1＋5＝9.当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立．故函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为9.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0.则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.10．(1)B (2)6解析：2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋2×2 b a ·a b＝9. 当且仅当a ＝b ＝13时取等号．∵2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.(2)由已知，得x ＝9－3y1＋y.方法一，(消元法)∵x >0，y >0，∴0<y <3.∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2 121＋y ·(3y ＋3)－6＝6.当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，取等号，故(x ＋3y )min ＝6.方法二，∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0. ∴(t －6)(t ＋18)≥0. 又t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.第4讲 简单的线性规划1．D 解析：如图D116，画出可行域．图D116z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.2．B 解析：将点(0,0)，(2,0)，(0,3)代入z ＝x －y 解得0,2，－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．故选B.3．B 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图D117)，因为z ＝x ＋y －2x ＋1＝y －3x ＋1＋1表示平面区域内的点与点(－1，3)之间连线的斜率k 与1的和．由图知，当x ＝0，y ＝－2时，k 取得最小值k min ＝－2－30＋1＝－5；当x ＝0，y ＝3时，k 取得最大值k max ＝3－30＋1＝0.所以z ∈[－4，1]．故选B.图D1174．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D118.两直线交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.又由z ＝x ＋ay 知，当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，z 的最小值为－12，不合题意；当a ≥1时，y ＝－1a x ＋za 过点A 时，z 有最小值，即z ＝a －12＋a ×a ＋12＝a 2＋2a －12＝7，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当a <1时，z 无最小值．故选B.图D1185．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标分别是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．6．D 解析：如图D119，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.图D1197．1 解析：不等式组表示的区域如图D120所示的阴影部分，图D120由x ＝1，x ＋y ＝0，得A (1，－1)； 由x ＝1，x －y －4＝0，得B (1，－3)； 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0，得C (2，－2)．∴|AB |＝2.∴S △ABC ＝12×2×1＝1.8.⎣⎡⎦⎤45，13 解析：由图D121知，原点到直线2x ＋y －2＝0的距离平方为x 2＋y 2的最小值，为⎝⎛⎭⎫ 252＝45；原点到点(2,3)距离平方为x 2＋y 2的最大值，为13.因此x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤45，13.图D1219．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图D122所示的阴影部分．图D122由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. 故z 的取值范围是[16,64]．10．解：g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，另一根大于0且小于1，由根的分布画图，得⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0，g (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图D123.图D123而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2.所以k ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12，即ba ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12. 第5讲 不等式的应用1．C 解析：yx＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ×25x ＋12，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．2．C 解析：作出不等式组对应的平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＝－3，x ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，设A (1,1)，由图可知，直线2x ＋y ＝m 经过点A 时，m 取最小值，同时z ＝4x ·2y ＝22x ＋y 取得最小值．所以z min ＝22×1＋1＝23＝8.故选C.3．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎫x ＋225x ≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈N *)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.4．D 解析：设公比为q .因为a 2＝1＝a 1q ，所以S 3＝a 1＋1＋a 1q 2＝1q＋q ＋1.当q >0时，1q ＋q ≥2；当q <0时，1q＋q ≤－2.所以S 3≥3或S 3≤－1.故选D. 5．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D124所示的阴影部分．易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30,20)时，z 取得最大值为48.故选B.图D124 图D1256．C 解析：设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝1600x ＋2400y .画出可行域：如图D125所示的阴影部分，可知当目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．7．30 解析：总费用4x ＋600x ×6＝4⎝⎛⎭⎫x ＋900x ≥4×2900＝240.当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．8．(1)1900 (2)100解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v ＋18＝76 00022＋18＝1900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002 v ·100v ＋18＝76 00020＋18＝2000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时，等号成立．此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时． 9．解：(1)①当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4900)＝175[(x －65)2＋675] 当x ＝65时，y 有最小值175×675＝9.②当x ∈[80,120]时，函数单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值10. 因为9<10，故当x ＝65时每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意，可知l ＝y ·120x .①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4900x －130＝16. 当且仅当x ＝4900x ，即x ＝70时，l 取得最小值16.②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤80120时，l ＝y ·120x ＝1440x －2为减函数，当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120时，总耗油量最少．10．解：(1)由已知，x ，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图D126中的阴影部分．图D126 图D127 (2)设总收视人次为z 万， 则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图D127可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0得点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多。
2019年《·高考总复习》数学：第六章 第3讲 算术平均数与几何平均数
答案：8
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
19
(2)已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小值为 __________.
解析：∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝yx＋ 9yx＋10≥6＋10＝16.当且仅当yx＝9yx时，上式等号成立.由1x＋9y＝ 1，得 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
答案：16
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
20
(3)已知正数 a，b 满足 a＋2b＝1，则1a＋1b的最小值是 _____________.
解析：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2ab·ab＝3 ＋2 2.当且仅当2ab＝ab时等号成立，又 a＋2b＝1，得 a＝ 2－1， b＝2－2 2时，1a＋1bmin＝3＋2 2.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
18
考点 3 利用逆代法求最值 例 3：(1)(2017 年山东)若直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)， 则 2a＋b 的最小值为____________.
解析：直线ax＋by＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，有1a＋2b＝1.则 2a＋b＝(2a＋b)1a＋2b＝2＋4ba＋ba＋2≥4＋2 4ba·ba＝8，当且 仅当4ba＝ba时，上式等式成立.由1a＋2b＝1，得 a＝2，b＝4 时， (2a＋b)min＝8.
10 5
时，2x＋y
取最大值2
10 5.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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(3)a＋2 b叫做算术平均数， ab叫做几何平均数，基本不等 式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试阶段检测卷(六) Word版含解析
阶段检测卷(六)(立体几何)时间：分钟满分：分一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分，有且只有一个正确答案，请将正确选项填入题后的括号中．．已知，，是三条不同的直线，命题“∥且⊥⇒⊥”是正确的，如果把，，中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有( )．个．个．个．个．如图-，在四面体-中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的是( )图-．⊥．∥截面．＝．异面直线与所成的角为°．如图-，在正方体-′′′′中，与′成°角的面对角线条数是( )图-．条．条．条．条．在如图-所示的空间直角坐标系-中，一个四面体的顶点坐标分别是()，()，()，()，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图-．①和②．③和①．④和③．④和②．如图-，在四边形中，∥，＝，∠＝°，∠＝°，将△沿折起，使平面⊥平面，构成三棱锥-，则在三棱锥-中，下列命题正确的是( )图-．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面．如图-，四棱锥-的底面为正方形，⊥底面，则下列结论中不正确的是( )图-．⊥．∥平面．与平面所成的角等于与平面所成的角．与所成的角等于与所成的角．(年广东深圳二模)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图-，则该几何体的体积为()图-．．．．．(年贵州贵阳二模)如图-，在正方形中，，分别是，的中点，沿，，把正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，点在△内的射影为，则下列说法正确的是( )图-．是△的垂心．是△的内心．是△的外心．是△的重心二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分，把答案填在题中横线上．．圆柱形容器内部盛有高度为的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图-)，则球的半径是 .。
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 第一章集合与逻辑用语 Word版含解析
第一章 集合与逻辑用语第1讲 集合的含义与基本关系1．(2017年北京)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1，或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |1<x <3}2．(2017年天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}3．(2016年浙江)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}, 则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3 ]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5}5．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．对任意两个正整数m ，n ，定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ，m 与n 奇偶性相同，mn ，m 与n 奇偶性不同，则集合P ＝{(a ，b )|a ⊕b ＝8，a ，b ∈N *}中元素的个数为( )A ．5个B ．7个C ．9个D ．11个 7．若集合A 具有以下性质： (1)0∈A,1∈A ；(2)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) ①集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； ②有理数集Q 是“好集”；③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A ．[0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)9．某校高三(1)班50名学生选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 3个模块中进行选择，则3A ．7人 B ．6人 C ．5人 D ．4人10．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若A∩B＝B，则a＝______________.11．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求实数a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并写出A中的元素；(3)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．12．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．(1)若a＝3，求(∁R P)∩Q；(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词1．(2015年浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *，且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∈N *，且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∈N *，或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∈N *，且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *，或f (n 0)>n 02．(2017年山东)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q3．命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是( ) A ．和不为偶数的两个整数都为偶数 B ．和为偶数的两个整数都不为偶数 C ．和不为偶数的两个整数不都为偶数 D ．和为偶数的两个整数不都为偶数4．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1]5．(2016年广东广州一模)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α；p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )；p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B . 其中真命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(2017年广东汕头一模)若命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <3B ．a <0，或a ≥3C ．a <0，或a >3D ．a ≤0，或a ≥3 7．(2017年山东)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a ＞b ，则a 2>b 2，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q8．(2016年河南郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥29．(2015年山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 10．(2017年湖南长沙质检)已知下面四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0，且x ≠1，则x 2－x ≠0”；②“x＜1”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件；③命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中为真命题的是________．(填序号)11．设函数f(x)＝x2－2x＋m.(1)若∀x∈[0,3]，f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；(2)若∃x0∈[0,3]，f(x0)≥0成立，求m的取值范围．12．设命题p：函数y＝kx＋1在R上是增函数，命题q：∃x0∈R，x20＋(2k－3)x0＋1＝0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．第3讲充分条件与必要条件1．(2015年天津)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2016年四川)设p：实数x，y满足x>1，且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p 是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2016年天津)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．(2015年福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2016年山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2015年陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．(2017年北京)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2014年江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β9．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，则“m ∥β” 是“α∥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．(2015年重庆)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝⎛⎭⎫m >－23的解为条件q .(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点．(1)求证：命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．习题集部分第一章 集合与逻辑用语 第1讲 集合的含义与基本关系1．A 解析：利用数轴可知A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．故选A. 2．B 解析：(A ∪B )∩C ＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．故选B.3．B 解析：∁R Q ＝{x ∈R |x 2<4}＝{x ∈R |－2<x <2}，P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]．故选B.4．D 解析：由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．5．B 解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图D87，由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象有2个交点，则A ∩B 的元素有2个．图D876．C 解析：当a ，b 奇偶性相同时，a ⊕b ＝a ＋b ＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a ，b 奇偶性不同时，a ⊕b ＝ab ＝1×8.由于(a ，b )有序，故共有元素4×2＋1＝9(个)．7．C 解析：(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x ∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .8．C 解析：由题意知，集合A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≤2}． 所以A －B ＝{y |y ＞2}，B －A ＝{y |y ≤0}． 所以A ⊕B ＝(2，＋∞)∪(－∞，0]．故选C.9．B 解析：方法一，设三个模块都选择的学生人数为x ，由韦恩图D88，得5＋x ＋2＋x ＋1＋x ＋11－x ＋12－x ＋13－x ＋x ＝50.得x ＝6.图D88方法二，由题意，得28＋26＋26－11－12－13＋x ＝50.得x ＝6.10．－12或1或0 解析：依题意，可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A.集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又B 是空集时也符合题意，这时a ＝0.11．解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)若A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，当a ＝0时，x ＝23，不合题意；则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝(－3)2－8a <0.∴a >98，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，方程只有一个解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98.此时方程有两个相等的实数根．当a ＝98时，解得x 1＝x 2＝43，A 中只有一个元素43.∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0，或a ≥98.12．解：(1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4，或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4，或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x <4}． (2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q ，得P ⊆Q . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2.当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，2]．第2讲 命题、量词与简单的逻辑联结词1．D 解析：根据全称命题的否定是特称命题．故选D.2．B 解析：显然命题p 为真命题， 命题q 为假命题， 即p ，綈q 均是真命题， p ∧綈q 为真命题．故选B.3．D 解析：命题“和为偶数的两个整数都为偶数”的否定是：和为偶数的两个整数不都为偶数．故选D.4．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥(e x )max ＝e 1＝e ；∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，即Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.5．B 解析：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α，或l ∥α，或l ⊂α，或l 与α相交，所以p 1是假命题；f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以p 2是真命题；由x ＋1x ＋1＝1，得x ＝0.所以p 3是假命题；Α>Β⇒a >b ⇒2R sin Α>2R sin Β⇒sin Α>sin Β，所以p 4是真命题．故选B.6．B 解析：命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，即∃x 0∈R ，使ax 20－2ax 0＋3≤0，当a ＝0时，不符合题意；当a ＜0时，符合题意；当a ＞0时，Δ＝4a 2－12a ≥0⇒a ≥3.综上所述，实数a 的取值范围是a ＜0，或a ≥3.故选B.7．B 解析：当x >0时，x ＋1>1，ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；当－1>－2时，而(－1)2<(－2)2，即q 为假命题，即p ，綈q 均是真命题， p ∧綈q 为真命题．故选B.8．A 解析：由题意知，f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.故选A.9．1 解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 大于或等于函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．因为函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，所以函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为tan π4＝1.所以m ≥1.则实数m 的最小值为1.10．①②③ 解析：①正确．②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．11．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.(2)若∃x 0∈[0,3]，f (x 0)≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，即m ≥－3.12．解：∵函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，∴k >0.由∃x 0∈R ，x 20＋(2k －3)x 0＋1＝0，得关于x 的方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，∴Δ＝(2k －3)2－4≥0.解得k ≤12或k ≥52.∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题， ∴命题p ，q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，12<k <52.∴12<k <52； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52.∴k ≤0.综上所述，k 的取值范围为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.第3讲 充分条件与必要条件1．A 解析：由|x －2|＜1⇒－1＜x －2＜1⇒1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分不必要条件．故选A.2．A 解析：由x >1，且y >1，得x ＋y >2，而当x ＋y >2时，不能得出x >1且y >1.故p 是q 的充分不必要条件．故选A.3．C 解析：由a 2n －1＋a 2n <0⇒a 1(q 2n －2＋q 2n －1)<0⇒q 2(n －1)(q ＋1)<0⇒q ∈(－∞，－1)，故是必要不充分条件．故选C.4．B 解析：若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α，或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“ l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件．故选B.5．A 解析：直线a 与直线b 相交，则α，β一定相交，若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能平行或异面．故选A.6．A 解析：cos 2α＝0⇒cos 2α－sin 2α＝0⇒(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α.故选A.7．A 解析：若∃λ<0，使m ＝λn ，即两向量反向，夹角是180°，那么m ·n ＝|m ||n |cos 180°＝－|m ||n |<0，若m ·n <0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn ，所以是充分不必要条件．故选A.8．D 解析：当a <0时，由“b 2－4ac ≤0”推不出“ax 2＋bx ＋c ≥0”，A 错误；当b ＝0时，由“a >c ”推不出“ab 2>cb 2”，B 错误；命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20<0”，C 错误；因为与同一条直线垂直的两个平面平行，所以D 正确．9．B 解析：由m ⊂α，m ∥β，得不到α∥β，因为α，β可能是相交的，只要m 和α，β的交线平行即可得到m ∥β；∵α∥β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点．∴m ∥α，即由α∥β可推得m ∥β.∴m ∥β是α∥β的必要不充分条件．10．B 解析：log 12(x ＋2)<0⇔x ＋2>1⇔x >－1.故选B.11．解：(1)设条件p 的解集为集合A ， 则A ＝{x |－1≤x ≤2}．设条件q 的解集为集合B ， 则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}． 若p 是q 的充分不必要条件，则A B . ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>2，－2m －1<－1，m >－23.解得m >1.(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B A . ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2，－2m －1≥－1，m >－23.解得－23<m ≤0.12．(1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3， 此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)，B (3，－6)． ∴OA →·OB →＝3. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －3)得ky 2－2y －6k ＝0.则y 1y 2＝－6. 又x 1＝12y 21，x 2＝12y 22，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3.综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)解：逆命题：如果OA →·OB →＝3，那么直线l 过点T (3,0)． 该命题是假命题，理由如下：例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．则逆命题是假命题．。
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第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．(2017年河北承德实验中学统测)若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式正确的个数是( )①1a <1b ；②a 2>b 2；③ac 4>bc 4；④a c 2＋1>b c 2＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2016年北京)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >03．已知下列不等式：①x 2＋3>2x ；②a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2(a ，b ∈R ＋)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．(2015年湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 25．(2015年上海)记方程①：x 2＋a 1x ＋1＝0，方程②：x 2＋a 2x ＋2＝0，方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是( )A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则ca的取值范围为__________．7．(2016年山东滨州模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x g ，B 杯中有浓度为b 的盐水y g ，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A ，B 两杯盐水混合在一起，其浓度可用不等式表示为______________．8．用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装8吨，则最后一辆汽车不满也不空．则有汽车________辆．9．设a ，b 为正实数．现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1；②若1b －1a＝1，则a －b ＜1；③若|a －b |＝1，则|a －b |＜1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |＜1.其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)10．(2016年湖南怀化模拟)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．11．已知a ＞0，b ＞0，求证：⎝⎛⎭⎫a 2b 12＋⎝⎛⎭⎫b 2a 12≥a 12＋b 12.12．已知α∈(0，π)，比较2sin 2α与sin α1－cos α的大小．第2讲 一元二次不等式及其解法1．(2016年湖北模拟)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)2．如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，那么实数k 的取值范围是( ) A ．－1≤k ≤0 B ．－1≤k <0 C ．－1<k ≤0 D ．－1<k <03．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x ＞0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．(2016年江西九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)5．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．1C ．－1D ．36．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，则不等式f (x ＋2)<3的解集是_________．7．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是________．8．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，对于系数a ，b ，c ，有如下结论：①a <0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确的结论的序号是________．9．(2016年北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立？证明你的结论．第3讲 算术平均数与几何平均数1．下列命题正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值为2－4 32．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取得最小值，则a ＝( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．43．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2 D.944．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 35．(2015年湖南)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．46．(2015年陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q7．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．08．(2017年河南郑州第二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．9．(1)设x ＞－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________．(2)已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________；10．(1)(2016年湖北七市联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．第4讲 简单的线性规划1．(2017年北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2y ≤x ，，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．92．(2017年新课标Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，2x －3y ≤6，3x ＋4y ≤12，则z ＝x ＋y －2x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－4，716 B ．[－4,1] C.⎣⎡⎦⎤14，716 D.⎣⎡⎦⎤14，1 4．(2014年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－35．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －19≥0，x －y －8≤0，x ＋2y －14≤0所表示的平面区域为M ，则使函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]6．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－17．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤0，x －y －4≤0表示的平面区域的面积是________．8．(2016年江苏) 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．10．已知函数g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．求ba的取值范围．第5讲 不等式的应用1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析：每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x 的函数关系为y ＝－(x －6)2＋11(x ∈N *)，要使每辆客车运营的年平均利润最大，则每辆客车营运的最佳年数为( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年2．(2017年广东惠州三模)设z ＝4x ·2y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，则z 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．163．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，若将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建为( )A ．10层B ．15层C ．20层D ．30层4．(2016年山东烟台诊断)已知在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩(1亩≈666.7平方米)，投入资金不超过54项目 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,506．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元7．(2017年江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则x 的值是__________．8．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其关系式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，那么最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，那么最大车流量比(1)中的最大车流量增加______辆/时．9．(2017年湖北孝感一模)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (单位：升)与速度x (单位：千米/时)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为：y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？10．(2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？第六章 不等式第1讲 不等式的概念与性质1．A 解析：①a ＝1，b ＝－1，1a ＜1b不成立；②a ＝1，b ＝－1，a 2＞b 2不成立； ③c ＝0，ac 4＞bc 4 不成立；④因为c 2＋1＞0，a ＞b ，所以a c 2＋1＞bc 2＋1成立．2．C 解析：由x >y >0，得1x <1y ，即1x －1y<0，A 不正确；由x >y >0及函数y ＝sin x 的单调性，可知sin x －sin y >0不一定正确，B 不正确；由0<12<1，x >y >0，得⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y <0，C 正确；由x >y >0，得xy >0，但不一定大于1，故ln x ＋ln y ＝ln xy >0不一定成立，D 不正确．3．D 解析：∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴x 2＋3>2x .∵a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )(a －b )2≥0，∴a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)．4．B 解析：e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋(b ＋m )2(a ＋m )2.不妨令e 1<e 2，化简，得b a <b ＋ma ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选B.5．B 解析：当方程①有实根，且②无实根时，a 21≥4，a 22<8，从而a 3＝a 22a 1<82＝4，∴a 23<16，即方程③：x 2＋a 3x ＋4＝0无实根．故选B.而A ，D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根．6.⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析：因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0.所以b ＝－(a ＋c )． 又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0.所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >ca .所以⎩⎨⎧2ca <－1，ca>－2，解得－2<c a <－12.7．b <ax ＋by x ＋y <a 解析：依题意，知a >b ，将A ，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax ＋by x ＋y .则有ax ＋by x ＋y >bx ＋by x ＋y ＝b ，ax ＋by x ＋y <ax ＋ay x ＋y ＝a .故有b <ax ＋by x ＋y <a .8．6 解析：设有x 辆汽车，则货物重为(4x ＋20)吨．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8(x －1)＜4x ＋20，8x ＞4x ＋20，x ∈N *.解得5＜x ＜7，且x ∈N *.故只有x ＝6才满足要求．9．①④ 解析：①中，∵a 2－b 2＝1，∴a －b ＝1a ＋b.∵a ＞0，b ＞0，又a 2＝b 2＋1＞1，∴a ＞1.从而1a ＋b＜1，即a －b ＜1.∴①正确．②中，取a ＝5，b ＝56，验证知②错误．③中，取a ＝4，b ＝1，验证知③错误． ④∵a ，b 是正实数，不妨设a ＞b >0， ∴a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋b 2＋ab )．∴a －b ＝a 3－b 3a 2＋ab ＋b 2＝1a 2＋ab ＋b 2. ∵a 3＝1＋b 3＞1，∴a 2＞1.∴a 2＋ab ＋b 2＞1.∴0＜1a 2＋ab ＋b 2＜1.∴0<a －b ＝1a 2＋ab ＋b 2＜1.即|a －b |＜1.同理，设0<a ＜b ，也能得到|a －b |＜1的结论．故④正确． 10．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元， 坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元．则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx .因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．11．证明：方法一，左边－右边＝(a )3＋(b )3ab－(a ＋b )＝(a ＋b )(a －ab ＋b )－ab (a ＋b )ab＝(a ＋b )(a －2 ab ＋b )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab≥0.∴原不等式成立．方法二，左边>0，右边>0. 左边右边＝(a ＋b )(a －ab ＋b )ab (a ＋b ) ＝a －ab ＋b ab ≥2 ab －ab ab＝1.∴原不等式成立．12．解：2sin 2α－sin α1－cos α＝4sin αcos α(1－cos α)－sin α1－cos α＝sin α1－cos α(－4cos 2α＋4cos α－1)＝－sin α1－cos α(2cos α－1)2.∵α∈(0，π)，∴sin α＞0,1－cos α＞0，(2cos α－1)2≥0.∴－sin α1－cos α(2cos α－1)2≤0，即2sin 2α－sin α1－cos α≤0.∴2sin 2α≤sin α1－cos α，当且仅当α＝π3时取等号．第2讲 一元二次不等式及其解法1．B 解析：由题意关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，1)，可得ba＝1，且a <0.则(ax ＋b )(x －3)>0可变形为(x －3)⎝⎛⎭⎫x ＋ba <0，即得(x －3)(x ＋1)<0.所以－1<x <3.所以不等式的解集是(－1,3)．故选B.2．C 解析：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，(2k )2－4k ·[－(k ＋2)]＜0.解得－1<k <0.∴－1＜k ≤0. 3．A 解析：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x ＋2≥x 2⇒－1≤x ≤0或0＜x ≤1⇒－1≤x ≤1. 4．A 解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max .令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2.∴a <－2.5．A 解析：由题意，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}．A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.6．{x |－5<x <1} 解析：设x ≥0，因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝x 2－2x .又f (x ＋2)＝f (|x ＋2|)，所以f (x ＋2)<3⇔f (|x ＋2|)＝(|x ＋2|)2－2|x ＋2|<3.所以(|x ＋2|－3)(|x ＋2|＋1)<0.所以0≤|x ＋2|<3，解得－5<x <1.所以原不等式的解集为{x |－5<x <1}．7．21 解析：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象是开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，图象如图D115.图D115关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (1)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4－12＋a ≤0，f (1)＝1－6＋a ＞0， 解得5<a ≤8.又a ∈Z ，所以a ＝6,7,8，则所有符合条件的a 的值之和是6＋7＋8＝21.8．①②③④ 解析：∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，2，∴a <0；－13，2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，－13＋2＝－ba>0，∴b >0；f (0)＝c >0，f (1)＝a ＋b ＋c >0，f (－1)＝a－b ＋c <0.故正确结论的序号为①②③④.9．解：(1)依题意，得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0. 解得a ≥34.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 10．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72.令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32⇒x ＝－1.由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32.由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32.∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52，且b ＝1.∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a .依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，∴a ≠1，且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.由a －1>0，得a ＝32.∴f (x )＝32x 2＋x ＋1.证明如下： ∵32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32 ＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0.∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． ∴存在实数a ＝32，b ＝1，c ＝1，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切x ∈R 都成立．第3讲 算术平均数与几何平均数1．D 解析：y ＝x ＋1x的定义域为{x |x ≠0}，当x ＞0时，有最小值2，当x ＜0时，有最大值－2.故A 项不正确；y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∵x 2＋2≥2，∴取不到“＝”．故B 项不正确；∵当x ＞0时，3x ＋4x ≥2·3x ·4x ＝4 3，当且仅当3x ＝4x ，即x ＝2 33时取“＝”．∴y ＝2－⎝⎛⎭⎫3x ＋4x 有最大值2－4 3.故C 项不正确，D 项正确． 2．C 解析：∵x ＞2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2 (x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．3．C 解析：z ＝x 2－3xy ＋4y 2，z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ≥2x ·2y －3xy xy ＝xy xy＝1. 当且仅当x ＝2y 时，zxy取最小值，此时z ＝2y 2.x ＋2y －z ＝4y －2y 2＝－2(y 2－2y )＝－2(y －1)2＋2，最大值为2.故选C.4．D 解析：由题意知，ab >0，且3a ＋4b >0，所以a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab .所以4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ·3a b ＝7＋4 3.当且仅当4b a ＝3ab，即a ＝4＋2 3，b ＝3＋2 3时，等号成立．故选D.5．C 解析：∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0.∵ab ＝1a ＋2b ≥2 1a ·2b ＝2 2ab，∴ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，∴ab 的最小值为2 2.故选C.6．C 解析：p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln(ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]＝12ln(ab )．因为a ＋b 2＞ab ，由f (x )＝ln x 在区间(0，＋∞)内是增函数，可知f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，所以q ＞p ＝r .故选C.7．A 解析：方法一，由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy＋4≥4＋4＝8(当且仅当x ＝4，y ＝2等号成立)． 方法二，由x ＋2y ＝xy ＝12x ·2y ≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝()x ＋2y 28，∴x ＋2y ≥8(当且仅当x ＝2y 时取等号)．8．3 解析：由x 2＋2xy －3＝0，得y ＝3－x 22x ＝32x －12x .则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x ≥2 3x 2·32x＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立．所以(2x＋y )min ＝3.9．(1)9 (2)1解析：(1)因为x ＞－1，所以x ＋1＞0，所以y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2 (x ＋1)·4x ＋1＋5＝9.当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时等号成立．故函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为9.(2)因为x ＜54，所以5－4x ＞0.则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.10．(1)B (2)6解析：2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋2×2 b a ·a b＝9. 当且仅当a ＝b ＝13时取等号．∵2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.故选B.(2)由已知，得x ＝9－3y1＋y.方法一，(消元法)∵x >0，y >0，∴0<y <3.∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2 121＋y ·(3y ＋3)－6＝6.当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，取等号，故(x ＋3y )min ＝6.方法二，∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0. ∴(t －6)(t ＋18)≥0. 又t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.第4讲 简单的线性规划1．D 解析：如图D116，画出可行域．图D116z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.2．B 解析：将点(0,0)，(2,0)，(0,3)代入z ＝x －y 解得0,2，－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．故选B.3．B 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图D117)，因为z ＝x ＋y －2x ＋1＝y －3x ＋1＋1表示平面区域内的点与点(－1，3)之间连线的斜率k 与1的和．由图知，当x ＝0，y ＝－2时，k 取得最小值k min ＝－2－30＋1＝－5；当x ＝0，y ＝3时，k 取得最大值k max ＝3－30＋1＝0.所以z ∈[－4，1]．故选B.图D1174．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D118.两直线交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.又由z ＝x ＋ay 知，当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，z 的最小值为－12，不合题意；当a ≥1时，y ＝－1a x ＋za 过点A 时，z 有最小值，即z ＝a －12＋a ×a ＋12＝a 2＋2a －12＝7，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当a <1时，z 无最小值．故选B.图D1185．C 解析：区域M 是一个三角形区域，三个顶点的坐标分别是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a ∈[2,9]时，符合题目要求．6．D 解析：如图D119，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.图D1197．1 解析：不等式组表示的区域如图D120所示的阴影部分，图D120由x ＝1，x ＋y ＝0，得A (1，－1)； 由x ＝1，x －y －4＝0，得B (1，－3)； 由x ＋y ＝0，x －y －4＝0，得C (2，－2)．∴|AB |＝2.∴S △ABC ＝12×2×1＝1.8.⎣⎡⎦⎤45，13 解析：由图D121知，原点到直线2x ＋y －2＝0的距离平方为x 2＋y 2的最小值，为⎝⎛⎭⎫ 252＝45；原点到点(2,3)距离平方为x 2＋y 2的最大值，为13.因此x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤45，13.图D1219．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图D122所示的阴影部分．图D122由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. 故z 的取值范围是[2,29]．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. 故z 的取值范围是[16,64]．10．解：g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，两个零点为方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，且一根大于1，另一根大于0且小于1，由根的分布画图，得⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0，g (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1>0，2a ＋b ＋3<0.作出可行域如图D123.图D123而b a ＝b －0a －0表示可行域中的点(a ，b )与原点连线的斜率k ，直线OA 的斜率k 1＝－12，直线2a ＋b ＋3＝0的斜率k 2＝－2.所以k ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12，即ba ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12. 第5讲 不等式的应用1．C 解析：yx＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－2 x ×25x ＋12，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取等号．2．C 解析：作出不等式组对应的平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＝－3，x ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，设A (1,1)，由图可知，直线2x ＋y ＝m 经过点A 时，m 取最小值，同时z ＝4x ·2y ＝22x ＋y 取得最小值．所以z min ＝22×1＋1＝23＝8.故选C.3．B 解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2160×10 0002000x＝560＋48x ＋10 800x＝560＋48⎝⎛⎭⎫x ＋225x ≥560＋48×2 x ·225x＝2000(x ≥10，x ∈N *)．当且仅当x ＝225x，即x ＝15时，f (x )取得最小值为f (15)＝2000.4．D 解析：设公比为q .因为a 2＝1＝a 1q ，所以S 3＝a 1＋1＋a 1q 2＝1q＋q ＋1.当q >0时，1q ＋q ≥2；当q <0时，1q＋q ≤－2.所以S 3≥3或S 3≤－1.故选D. 5．B 解析：设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，则目标函数z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y .作出约束条件如图D124所示的阴影部分．易求得点A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)．平移直线x ＋0.9y ＝0，当直线x ＋0.9y ＝0经过点B (30,20)时，z 取得最大值为48.故选B.图D124 图D1256．C 解析：设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝1600x ＋2400y .画出可行域：如图D125所示的阴影部分，可知当目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．7．30 解析：总费用4x ＋600x ×6＝4⎝⎛⎭⎫x ＋900x ≥4×2900＝240.当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．8．(1)1900 (2)100解析：(1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002 v ·121v ＋18＝76 00022＋18＝1900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时，等号成立．(2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l ＝76 000v ＋100v ＋18≤76 0002 v ·100v ＋18＝76 00020＋18＝2000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时，等号成立．此时车流量比(1)中的最大车流量增加100辆/时． 9．解：(1)①当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4900)＝175[(x －65)2＋675] 当x ＝65时，y 有最小值175×675＝9.②当x ∈[80,120]时，函数单调递减，故当x ＝120时，y 有最小值10. 因为9<10，故当x ＝65时每小时耗油量最低．(2)设总耗油量为l ，由题意，可知l ＝y ·120x .①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4900x －130＝16. 当且仅当x ＝4900x ，即x ＝70时，l 取得最小值16.②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤80120时，l ＝y ·120x ＝1440x －2为减函数，当x ＝120时，l 取得最小值10.因为10<16，所以当速度为120时，总耗油量最少．10．解：(1)由已知，x ，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图D126中的阴影部分．图D126 图D127 (2)设总收视人次为z 万， 则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图D127可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0得点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多。