第五节 函数的微分

第五节 函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：一、微分的定义计算函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆是我们非常关心的。

一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。

先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到x x ∆+0（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为x ，面积为A ，则A 是x 的函数：2x A =。

薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x自0x 取得增量x ∆时，函数A 相应的增量A ∆，即()()2020202x x x x x x A ∆+∆=-∆+=∆。

从上式可以看出，A ∆分成两部分，第一部分A x ∆02是A ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分()2x ∆在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0→∆x 时，第二部分()2x ∆是比x ∆高阶的无穷小，即()()x x ∆=∆02。

由此可见，如果边长改变很微小，即x ∆很小时，面积的改变量A ∆可近似地用第一部分来代替。

一般地，如果函数()x f y =满足一定条件，则函数的增量y ∆可表示为()x x A y ∆+∆=∆0，其中A 是不依赖于x ∆的常数，因此x A ∆是x ∆的线性函数，且它与y ∆之差()x x A y ∆=∆-∆0，是比x ∆高阶的无穷小。

所以，当0≠A ，且x ∆很小时，我们就可近似地用x A ∆来代替y ∆。

定义： 设函数()x f y =在某区间内有定义，x x ∆+0及x 0在这区间内，如果函数的增量图2-1()()00x f x x f y -∆+=∆可表示为 ()x x A y ∆+∆=∆0， ① 其中A 是不依赖于x ∆的常数，而()x ∆0是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数()x f y =在点0x 是可微的，而x A ∆叫做函数()x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即 x A dy ∆=。

下面讨论函数可微的条件。

设函数()x f y =在点0x 可微，则按定义有①式成立。

①式两边除以x ∆，得 ()xx A x y ∆∆+=∆∆0。

于是，当0→∆x 时，由上式就得到 ()00limx f x y A x '=∆∆=→∆。

因此，如果函数()x f 在点0x 可微，则()x f 在点0x 也一定可导（即()0x f '存在），且()0x f A '=。

反之，如果()x f y =在点0x 可导，即()00limx f x y x '=∆∆→∆ 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成()α+'=∆∆0x f xy ， 其中0→α（当0→∆x ）。

由此又有()x x x f y ∆+∆'=∆α0。

因()x x ∆=∆0α，且不依赖于x ∆，故上式相当于①式，所以()x f 在点0x 也是可微的。

由此可见，函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且当()x f 在点0x 可微时，其微分一定是()x x f dy ∆'=0。

②当()00≠'x f 时，有()()1lim 1lim lim00000=∆∆'=∆'∆=∆→∆→∆→∆x y x f x x f y dy y x x x 。

从而，当0→∆x 时，y ∆与dy 是等价无穷小，这时有()dy dy y 0+=∆， ③即dy 是y ∆的主部。

又由于()x x f dy ∆'=0是x ∆的线性函数，所以在()00≠'x f 的条件下，我们说dy 是y ∆的线性主部（当0→∆x ）。

这是由③式有0lim0=-∆→∆dy dy y x ， 从而也有0lim0=-∆→∆dy dy y x 。

式子dydy y -∆表示以dy 近似代替y ∆时的相对误差，于是我们得到结论：在()00≠'x f 的条件下，以微分()x x f dy ∆'=0近似代替增量()()00x f x x f y -∆+=∆时，相对误差当0→∆x 时趋于零。

因此，在x ∆很小时，有精确度较好的近似等式dy y ≈∆。

函数()x f y =在任意点x 的微分，称为函数的微分，记作dy 或()x df ，即()x x f dy ∆'=。

评注：⑴由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。

例如求x sin 对x 的导数时就可以看成x sin 微分与x 微分的商，即 x x dx xxdx x d xd cos 221cos sin ==。

⑵函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差x ∆的高阶无穷小。

因此要会应用下面两个公式：()x x f dy y ∆'=≈∆0，()()()x x f x f x x f ∆'+≈∆+'000。

作近似计算。

二、微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。

在直角坐标系中，函数()x f y =的图形是一条曲线。

对于某一固定的0x 值，曲线上有一个确定点()00y x M ，当自变量x 有微小增量x ∆时，就得到曲线上另一点()y y x x N ∆+∆+00，.从图2-2可知：x MQ ∆=，y QN ∆=。

过M 点作曲线的切线,它的倾角为α，则 ()0tan x f x MQ QP '⋅∆=⋅=α，即 QP dy =。

由此可见，当y ∆是曲线()x f y =上的M 点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上M 点的纵坐标的相应增量。

当x ∆很小时，dy y -∆比x ∆小得多。

因此在点M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则由()dx x f dy '=，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当v u 、都可导）： ()dv du v u d ±=±， ()C d u Cu d =， ()udv vdu v u d +=⋅， 2v udv vdu v u d -=⎪⎭⎫ ⎝⎛。

微分公式表：()dx x x d 1-=μμμ，()xdx x d cos sin =，()xdx x d sin cos -=，()xdx x d 2sec tan =， ()xdx x d 2csc cot -=，()xdx x x d tan sec sec =，()xdx x x d cot csc csc -=， ()adx a a d x x ln =，()dx e e d x x =，()dx a x x d a ln 1log =，()dx x x d 1ln =， ()dx x x d 211arcsin -=，()dx x x d 211arccos --=，()dx xx d 211arctan +=， ()dx x x arc d 211cot +-=。

注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。

例如： x d dx x 21=，x d dx x112-=，()b ax d a dx +=1，x x da a dx a ln 1=。

图2-21． 复合函数微分法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设()u f y =及()x u ϕ=都可导，则复合函数()[]x f y ϕ=的微分为()()dx x u f dx y dy x ϕ''='=。

由于()du dx x ='ϕ，所以，复合函数()[]x f y ϕ=的微分公式也可以写成()du u f dy '=或du y dy u'=。

由此可见，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式()du u f dy '=保持不变。

这一性质称为微分形式不变性。

这性质表示，当变换自变量时（即设u 为另一变量的任一可微函数时），微分形式()du u f dy '=并不改变。

例1： 已知y xe y +=1，求dy .解：)1(y xe d dy +==dy xe dx e y y +，所以yyxe e dy -=1例2： 设y =dy 。

解 记22u a x =+，则y d du y y u u '==.又 d ()d 2d u u x x x x ='=，故d 2d y x x x ==. 例3： 填空题⑴ 若函数12[()]x y f x =，其中f 是可微的正值函数，则_______dy =；⑵ 设函数()y y x =由方程2xy x y =+确定，则0______x dy ==．解：⑴ 由于函数可写为21ln ()ef x x y =，所以1221[()][ln ()]x dy f x d f x x =， 故111222221[2()()[()]ln ()]x x dy f x f x f x f x dx x-'=-． ⑵ 这是一个求隐函数微分的问题．由方程2xy x y =+可得，当0x =时，1y =．在方程两端同时求微分，有2ln 2()xy ydx xdy dx dy ⋅⋅+=+ 代入0x =，1y =得0ln 2x dx dx dy=⋅=+ 故 0(l n 21)x d y d x ==-．。